中心对称图形-平行四边形 章节复习卷（20个知识点+50题练习）（原卷版）

第9章中心对称图形一一平行四边形章节复习卷

（20个知识点+50题练习）

知识点

知识点1.三角形中位线定理

（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

（2）几何语言：

如图，：点。、£分别是N8、NC的中点

C.DE//BC,DE^—BC.

知识点2.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

知识点3.平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言：..【台〃。。，•.四边行

N5CD是平行四边形.

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：•••/BuDC,•.四边行

N5CD是平行四边形.

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

符号语言：48=DC.,.四边行/BCD是平行四边形.

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：NABC=ZADC,/DAB=ZDCB：.四边行ABCD是平行四边形.

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：•••04=OC,08=00.•.四边行

/BCD是平行四边形.产C

知识点4.平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、

线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要

证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行

四边形达到上述目的.

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定

义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单.

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四

边形的性质和判定去解决问题.

知识点5.菱形的性质

（1）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

（2）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=聂.（。、6是两条对角线的长度）

知识点6.菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：,.•/3=2C=CD=D/；.四边形/BCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形").

几何语言：四边形/BCD是平行四边形平行四边形48co是菱形

知识点7.菱形的判定与性质

(1)依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改

变，中点四边形的形状始终是平行四边形.

(2)菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线

相等的四边形的中点四边形定为菱形.)―(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的，首

先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就

增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.

(4)正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不

只是正方形.

知识点8.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连

线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

知识点9.矩形的判定

(1)矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边

形的对角线相等.

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.

知识点10.矩形的判定与性质

（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四

边形，进一步研究其特有的性质是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四

边形的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有

关的问题.

（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△O8C都是等腰三角形（2）ZOAB=Z

OBA,NOCB=NOBC；③点O到三个顶点的距离都相等.

知识点11.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图

形，有四条对称轴.

知识点12.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

知识点13.正方形的判定与性质

正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

知识点14.反证法

(1)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间

接证法.反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的.②命题的结论是无限

型的.③命题的结论是“至多”或“至少”型的.

(2)反证法的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.

知识点15.生活中的旋转现象

(1)旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点。旋转一个角度的图形变换叫做旋

转.点。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点尸经过旋转变为点P,

那么这两个点叫做对应点.

(2)注意：

①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋

转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键.

②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向.

③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点.

知识点16.旋转的性质

(1)旋转的性质：

—①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角.—③旋转前、后的图形全等.—(2)旋转三要素①旋转中心②

旋转方向；③旋转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一

样.

知识点17.旋转对称图形

(1)旋转对称图形

如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360。)后能与原图形重合，那么这

个图形就叫做旋转对称图形.

(2)常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.

知识点18.中心对称

(1)中心对称的定义

把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图

形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心

的对称点..

(2)中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

知识点19.中心对称图形

(1)定义

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是

指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.

(2)常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.

知识点20.作图-旋转变换

(1)旋转图形的作法：

根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等

的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

(2)旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转

中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等.

练习卷

三角形中位线定理（共2小题）

1.（2024春•仪征市期中）如图，己知点E、尸分别为3C、AB、的中点，若四

边形DEFC的面积为9,则A48C的面积为.

2.Q023春•灌云县月考）如图，在A42c中，点。，E分别是/C,48的中点，点厂是C3

延长线上一点，且C尸=38尸，连接。8,EF.若N/CB=90。，AC=12,DE=4.

（1）求证：DE=BF

（2）求四边形DEFS的周长.

二.平行四边形的性质（共3小题）

3.（2024春•徐州期中）平行四边形的一边长为6,另一边长为12,则对角线的长可能是（

）

A.6B.5C.22D.10

4.（2023春•祁江区月考）在平行四边形48co中，对角线/C,8。相交于O,若

AC=10,BD=6,则48的长的取值范围是.

5.（2023春•江都区月考）阅读下列材料：如图1,在四边形/BCD中，若AB=AD,

BC=CD,则把这样的四边形称为筝形.

A

AA

（1）如图2,在平行四边形N8CZ1中，点£、尸分别在8C、CD上，且=

NAEC=NAFC.求证：四边形4EC尸是筝形.

（2）如图3,在筝形48cZ）中，48=40=15,BC=DC=13,AC=14.求筝形48cZ）

的面积.

三.平行四边形的判定（共3小题）

6.（2024春•秦淮区期中）一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行

四边形的是（）

A.92°,88°,88°B.102°,88°,102°

C.92°,88°,92°D.92°,78°,92°

7.（2024春•江阴市月考）已知。、/、3的坐标分别是（0,0）,（3,0）,（-1,2）,在平面内

找一点使得以点。、/、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标

为-,

8.（2023春•江阴市期中）如图，点/、B、C、。在同一条直线上，点£、尸分别在直

线4D的两侧，S.AE=DF,ZA=ZD,AB=DC.

（1）求证：\ACE=\DBF；

（2）求证：四边形BFCE是平行四边形.

四.平行四边形的判定与性质（共3小题）

9.（2023春•鼓楼区期中）如图，在平行四边形4BCD中，点、E,尸分别在边ND,2C上,

添加选项中的条件后不能判定四边形8EDE是平行四边形的是（）

AED

A.BE/IDFB.BE=DFC.BF=DED.AE=CF

10.（2023春•江宁区校级月考）如图，口48a）中，即为对角线5。上的两点，若添加一

个条件使四边形NEW为平行四边形，则可以是：.

11.（2024春•苏州期中）如图，点E为平行四边形/2CA的边4D上的一点，连接班并延

长，使BF=BE,连接EC并延长，使CG=CE,连接尸G.〃为尸G的中点，连接

AF.

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）连接交2c于点。，若OB=OE,FG=8,求。〃的长度.

A._____E_____D

五.菱形的性质（共3小题）

12.（2024春•贾汪区期中）如图，在菱形中，BD=3,NC=2,则该菱形N2CZ）的

面积是（）

13.（2024春•启东市期中）已知菱形有一个锐角为60。，一条对角线长为4c/n,则它的面积

为m2.

14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点。作对角线2。的垂线交BA

的延长线于点E.

（1）求证：四边形NCDE是平行四边形；

⑵若DE=8,BD=6,求菱形48CD的面积.

15.（2023春•扬州校级期中）嘉嘉自编一题“如图，在四边形48CL•中，对角线NC,BD

交于点O,AC1BD,OB=OD.求证四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同

学淇淇交流.

证明：­■•ACA.BD,OB=OD,

AC垂直平分BD,

AB=AD,CB=CD,

四边形/BCD是菱形.

淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明.下列正确的是（）

A.题目严谨，不用添加条件B.题目不严谨，可补充：OA=OB

C.题目不严谨，可补充：ADUBCD.题目不严谨，可补充：ABLBC

16.（2023春•沐阳县期末）如图，在口中，对角线4c所在直线上有两点E、F,满

足AE=AC=CF,连接BE、BF、DE、DF.

（1）求证：四边形8EZ*是平行四边形；

（2）若/助C=90。，贝!）当。时，四边形3EZW是菱形.

B

七.菱形的判定与性质（共2小题）

17.（2023春•邳州市期中）如图，由两个长为8,宽为4的全等矩形叠合（不完全重合）而

得到四边形/BCD,则四边形N8CO面积的最大值是（)

A.15B.16C.19D.20

18.2024春•姑苏区校级期中）如图，AA5C中，28=8C,过/点作8C的平行线与

的平分线交于点。，连接C/K

（1）求证：四边形N2CA是菱形；

（2）连接/C与8。交于点O,过点。作。EL5C交2C的延长线于£点，连接EO,若

EO=2遥,DC=5,求CE的长.

八.矩形的性质（共2小题）

19.（2023春•盐城月考）如图，矩形NBCr1的对角线/C,8。相交于点O,CE//BD,

DE//AC,若NC=12,则四边形CODE的周长为（）

A.12B.18C.24D.30

20.（2024春•姑苏区校级期中）如图矩形4BCD的对角线/C和AD相交于点O,过点。的

直线分别交4D和于点E,F,AB=5,BC=8,则图中阴影部分的面积为.

九.矩形的判定（共2小题）

21.（2024春•苏州期中）在口48cA中，对角线/C、AD相交于点O,添加下列一个条件,

能使口N8CD成为矩形的是（）

A.AB=BCB.ZABC=/ADCC.AC=BDD.ACLBD

22.（2024春•丰县期中）如图，在平行四边形NBC。中，延长A4到点£■，使/£=22,

连接EC、ED、AC,请你添加一个条件,使四边形是矩形.

一十.矩形的判定与性质（共2小题）

23.（2023春•宜兴市月考）如图,点尸是RtAABC中斜边/C（不与4,C重合）上一

动点，分别作尸于点作/W_L3c于点N,点。是MN的中点，若28=3,

AC=5.当点尸在/C上运动时,则80的最小值是（)

A.1B.1.2D-1

24.（2023春•锡山区校级期中）如图，在口48c。中，NE_L5C于点£,延长8c至点尸，

使CF=BE,连接。厂，AF与DE交于点、O.

（1）求证：四边形/EEC•为矩形；

（2）若43=3,OE=2,BF=5,求。尸的长.

一十一.正方形的性质（共2小题）

25.（2024春•秦淮区期中）如图，在正方形/BCD内作等边三角形NED,连接BE,CE,

则/E8C的度数为（）

A.15°B.20°C.22.5°D.30°

26.（2023春•天宁区校级期中）如图，在边长为2的正方形4BCA中，点、E、厂分别是边

AB,8c的中点，连接EC,FD,点、G、〃分别是EC,ED的中点，连接G//,则G77

的长度为

一十二.正方形的判定（共2小题）

27.（2023春•宿城区期中）如图，已知四边形N2C。是平行四边形，下列结论中不正确的

是（）

A.当48=8。时，它是菱形B.当4C=AD时，它是正方形

C.当N4BC=90。时，它是矩形D.当NC_LAD时，它是菱形

28.（2024春•徐州期中）如图，在A48C中，48=/C,点。是边8c的中点，以N8、BD

为邻边作平行四边形N8DE,连接CE.

（1）求证：四边形ZOCE1是矩形；

一十三.正方形的判定与性质（共2小题）

29.（2023春•靖江市期中）如图，RtACEF中，ZC=90°,NCE尸和NCFE的外角平分线

交于点过点/分别作直线CE,W的垂线，点2,。为垂足.

（1）求证：四边形/BCD是正方形；

（2）若/5=a（a为常数），求（2E+幻（。尸+°）的值.

30.（2023春•涕阳市期中）如图1,在矩形/BCD中，/84D的平分线交对角线助于点

(2)如图2,过点C作CG//MN,若/8=2,BC=5,求四边形/NCG的面积.

一十四.反证法（共3小题）

31.（2023春•靖江市校级期中）用反证法证明,“在A48c中，NA、对边是a、b.若

AA<AB,则“<6.”第一步应假设（)

A.a<bB.a=bC.a„bD.a...b

32.（2024春•泰州期中）运用反证法证明某个命题的结论时，第一步应先假

设―.

33.（2023春•姜堰区校级期中）要用反证法证明命题"三角形中必有一个内角小于或等于

60。”，首先应假设这个三角形中.

一十五.生活中的旋转现象（共2小题）

34.（江都区月考）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180。后得到的图案是

（）

35.（启东市校级月考）时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋

转角是—.

一十六.旋转的性质（共3小题）

36.（2024春•建邺区校级月考）如图，在RtAABC中，4c8=90。，Z5=30°,

AC=2。,尸是2C边上一动点，连接4P,把线段4P绕点工逆时针旋转60。到线段

连接C。，则线段C。的最小值为（）

C.-V3D.V6

2

37.（2023春•盐都区月考）如图，将AA8C绕点N逆时针旋转75。得到△/Q。，若

ABAC=50°,则N8NC的度数是

BL

38.（2023春•常州期中）如图1,将两个完全相同的三角形纸片4BC和。EC重合放置，其

中NC=90。.若固定A42C,将AT»EC绕点C旋转.

（1）当AZ）EC绕点C旋转到点。恰好落在N8边上时，如图2.

①当N3=NE=30。时，此时旋转角的大小为；

②当==a时，此时旋转角的大小为—（用含a的式子表示）.

（2）当AZ5EC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：ASOC的面积与A4EC

的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想.若不正

确，请说明理由.

一十七.旋转对称图形（共3小题）

39.（2022春•宜兴市校级期中）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中

心，顺时针旋转90。后，能与原图形完全重合的是（）

40.（2024•东海县一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小

为度.

41.（2022春•洪泽区校级月考）等边三角形绕一点至少旋转。与自身完全重合.

一十八.中心对称（共3小题）

42.（2023春•鼓楼区校级月考）如图，A48C与△H*C'关于点O成中心对称，下列结论

中不成立的是（）

A.OB=