山西省长治市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省长治市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为：.故选：D2.某跳水运动员在距离地面高跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（）A. B.2.9 C.0.45 D.【答案】A【解析】由题意，求导后得，当时，，故A正确.故选：A.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则，可知：所求切线的斜率为2，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：B.4.已知数列的前项和为,且满足,,若,则（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】因为，所以数列是等差数列，设公差为d，则，可得，又，可得，.故选：C5.已知直线与直线垂直，则的值为（）A.1或 B.1或4 C.2或 D.2或3【答案】D【解析】由题意可得，即，解得或.故选：D.6.函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知与轴有三个交点，不妨设为，当，，当，,当，，当，，所以在区间，单调递减，故A、C错误；在区间,单调递增，故B错误，故D正确.故选：D.7.已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设为圆上点，则.因为.故选：A8.已知数列满足，，若成立，则的最大值为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因为，整理得，且，可知是以首项为3，公差为1的等差数列，所以，可得，当时，可得，且符合上式，所以，则，解得，即的最大值为8．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列导数运算正确是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】选项A，，故A正确；选项B，，故B错误；选项C，，故C正确；选项D，，故D错误.故选：AC.10.在三棱锥中,,,,点在直线上,且，是的中点，则下列结论可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确；对于B，当点在线段上时，因为，此时，则，所以B正确；对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点，可得，所以C正确；对于D，当点在线段上时，可得；当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确.综上可得，可能正确的结论为BC.故选：BC.11.如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（）A.远光灯光线按照路径射向远处B.光源到反光镜顶点的距离是C.与抛物线对称轴垂直的光线长度为D.灯口上任意一点到焦点的距离是【答案】AD【解析】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确；如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，可知，可得，解得，所以抛物线方程为，焦点坐标为，对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误；对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误；对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确；故选：AD.12.已知在有两个极值点，，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，因为在上有两个极值点，，即方程有两个解，若，则，方程即为，不成立，所以.所以，在和两个区间上各有一解，，不妨设，函数和在上的草图如下：则，，所以，故A正确；又，由在上单调递增，所以，故B正确；因为，，所以，，，所以，因为在上单调递增，所以，所以，故C正确；，因为，且，所以；且，所以，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列为等比数列，，，则______.【答案】12【解析】设等比数列的公比为，由题意可得：，则，且，所以.故答案为：12.14.若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由函数（且）在区间上单调递增，得在区间上恒成立，又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可，令，若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正；若，则，则一次函数在区间单调递增，所以只需，即，解得，故答案为：.15.已知数列满足，则的通项公式______.【答案】【解析】因为，若，可得；若，则，可得；且符合上式，可得，所以.故答案为：.16.在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为______（保留整数）.【答案】【解析】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系:使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.此时上、下口的直径都平行于轴,且,设双曲线的方程为，则，因为直径是实轴，又两点都在双曲线上，所以，解得，因为，所以，解得，所以双曲线方程为，所以，因为双曲线关于轴对称，所以.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，长方体中，，，.为的中点.（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求点到直线的距离.解：（1）如图：取中点，连接，，由长方体的性质可知，所以(或其补角)即为与所成的角，在中：，，，由余弦定理：，故所求角的余弦为.（2）连接，，在中：，，，所以，所以，所以点到直线的距离为：.18.已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，，则，，因为、、成等比数列，则，即，可得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得：，所以.19.已知函数.（1）讨论单调性；（2）若在处有极大值，求在上的最值.解：（1），所以.由得：若，则或，所以函数在区间和上递增，在上递减；若，则在上恒成立，所以函数在上递增；若，则或，所以函数在区间和上递增，在上递减.综上，当时，函数增区间为：和，减区间为：；当时，函数增区间为：，无减区间；当时，函数增区间为：和，减区间为：.（2）函数在处有极大值，由（1）可知：且函数在递增，在上递减，在上递增.又，，，.所以在上的最小值为：；最大值为：.20.有理数都能表示成（，，且，与互质）的形式，于是有理数集可表示为.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数.反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而它是有理数.对于无限循环小数，它可以表示成，这是数列的无穷项和，记为.设该数列的前项和为，经计算得，当趋于无穷大时，趋于0，则，即可得.（1）数列的无穷项和是有限小数吗？请说明理由；（2）是有理数吗？请说明理由.解：（1）是，理由如下：由题意得数列是首项为，公比为的等比数列，其无穷项和为，当趋于无穷大时，趋于，则，所以是有限小数.（2）是，理由如下：即为数列的无穷项和，记为，则其前项和为，则，当趋于无穷大时，趋于，则，所以是有限小数.21.已知椭圆的上、下顶点分别为，，上焦点为，，.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的弦交于，两点.当点变化时，直线是否过定点？并说明理由.解：（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则.所以椭圆的标准方程为：.（2）如图：由题意：直线的斜率一定存在，设直线：，联立，消去得：，设，则，.设，用代替得：，.所以直线得方程为：令，得：所以直线过定点.22.已知.（1）若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；（2）当时，讨论函数的零点个数.解：（1）由题意可得：，设切点坐标为，则切线斜率为，即，可得切线方程为，将，代入可得，整理得，因为在内单调递增，则在定义域内单调递增，且当时，，可知关于的方程的根为1，即，所以.（2）因为，则，可知在内单调递减，且，则，且在内单调递减，可知在内单调递减，所以在内单调递减，且，（i）若，即时，则在内恒成立，可知在内单调递增，则，当