山东省大联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省大联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线与直线平行，则（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】根据直线与直线平行，则，故.故选：A2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，根据题意，故A错误.对于B，设，则不存在，故B正确.对于C，，故C错误；对于D，由，则，所以，所以，故D错误；故选：B.3.直线与圆交于A，B两点，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离，故．故选：D．4.过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（）A.0条 B.1条 C.2条 D.3条【答案】C【解析】因点A在C上，所以过点A且与C相切的直线只有1条，该切线满足题意．过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点，所以满足题意的直线有2条．故选：C5.如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】解法一：作于点C，且，连接，，，；解法二：由，，得，，．因为，所以，则，解得，．故选：C.6.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，化简得．故选：B7.已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限,直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点E作轴，垂足为F．由题意可得，，所以，，两式相乘可得所以，则．故选：D8.如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，AB的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设平面EFG的法向量为，则，即令，可得．设，则．因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以平面EFG，则，所以，即．，当时，AP取得最小值，最小值为．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间内三点，，，则（）A. B.C. D.的面积为【答案】ABD【解析】因为空间内三点，，，所以，，，则，，，A正确．因为，所以，B正确．，C错误．的面积为，D正确．故选：ABD.10.已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（）A.若是的中点，则B.的最小值为4C.点到的两条渐近线的距离的乘积为12D.若的中点坐标为，则直线的斜率为【答案】ACD【解析】由双曲线，可得焦点在轴上，，若是的中点，则直线轴，，A正确．的最小值为，B错误．由题意得，，所以双曲线的渐近线方程为或，所以点到的两条渐近线的距离乘积为，C正确．设，，则两式相减得．因为的中点坐标为，所以，即，所以直线的斜率为，D正确．故选：ACD.11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线经过点，点Px0,y0在C上，则下列结论正确的是（A.直线与C有3个公共点 B.若点P在第二象限，则C. D.【答案】BCD【解析】因为叶形线经过点，所以．联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误．．因为点P在第二象限，所以，，所以，B正确．若点P在第四象限，则，可推出．因为，所以．当点P在第二、四象限时，，所以．当点P原点或在第一象限时，易得，所以，C正确．由，可得，解得，所以，D正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分．12.与圆，都相切的直线有______条．【答案】3【解析】圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，因为，所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条．故答案为：313.已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______．【答案】0.02【解析】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由题意，得，，解得，，所以这个椭圆的离心率．故答案为：0.0214.在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则______；点A到平面CMN的距离为___.【答案】4；【解析】连接AD，BF，设其交点为O．由正六棱柱的性质知，，且，取中点P，连接OP，则平面ABCDEF．以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．因为，M，N分别为，的中点，所以，，，，则，，．设平面CMN的一个法向量为n=则令，则．设，则．由，解得，又，所以．点A到平面CMN的距离．故答案为：4，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点,,点C在x轴上,且是直角三角形，．（1）求点C的坐标；（2）求的面积；（3）求斜边上的中线所在直线的方程．解：（1）设．因为，所以，显然，则．因为，，所以，解得，则．（2），，的面积为．（3）记AC的中点为E，则．直线BE的斜率为，直线BE的方程为，即，所以斜边上的中线所在直线的方程为．16.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.（1）求AE的长度；（2）求二面角的正弦值.解：（1）设，则，该四棱锥的体积为，解得，即，．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1,0,0，，，，，，，设，则，．若，则，解得，即E为PC的中点．连接AC，在中，；（2）由（1）得，，．设平面ABE的法向量为，则即取，得n=0,1,-1．设平面PBE的法向量为，则即取，得．设二面角的大小为，则，所以，所以二面角的正弦值为．17.已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，抛物线的焦点与F重合，是与的一个公共点．（1）求与的标准方程；（2）过点A的直线l与交于D，E两点，若E是AD的中点，求直线l的斜率．解：（1）因为，所以，解得，所以的标准方程为．因为抛物线的焦点与F重合，所以，．又，解得，所以的标准方程为．（2）由（1）知．设直线l的方程为，，．因为E是的中点，所以①．联立，得，则，②，．由①②解得，，所以，解得，即，经验证，此时满足，所以直线的斜率为．18.已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．解：（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．故椭圆C的标准方程为．（2）设直线的方程为，，Px1,y由得，，，所以，，即点，所以直线的方程为．令，得．又，所以直线的方程为．令，得．延长交于，延长交于．由，得，则．同理由，得，则．因为，，显然，所以．19.空间直角坐标系中，任意直线l由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为.若平面以为法向量且经过点,则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为．特殊地，平面xOy的一般式方程为，其法向量为．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为（1）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积；（2）已知点，直线．若平面，，求的一般式方程；（3）已知三棱柱的顶点,平面ABC的方程为，直线的方程为，平面的方程为．求直线与直线BC所成角的余弦值．解：（1）由条件知，S