辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，故.故选：D.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的意义，则，解得，所以原函数的定义域为.故选：D.3.是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】由，，得，由，，三点共线，得，又，不共线，则，所以.故选：A.4.命题，为真命题的一个充分不必要条件是（）A B. C. D.【答案】C【解析】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得，因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是.故选：C.5.已知幂函数是定义域上的增函数，则（）A.或2 B. C.2 D.【答案】C【解析】由幂函数是定义域上的增函数，得，所以经检验适合题意.故选：C.6.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为对数函数为增函数，则，即，且对数函数为增函数，则，即，又因为函数为增函数，则，故，故选：D.7.已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（）倍.A. B. C. D.【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，则，，上述两个等式作差可得，解得，因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍.故选：B.8.已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象如图，不妨令，观察图象，得，且，，由，得，因此，设，函数在为增函数，，则，所以的取值范围是.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分的分.9.以下命题正确的选项是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】对于A选项，由，可得，又因为，则，A对；对于B选项，取，，，显然有，，但，B错；对于C选项，因为，则，因为，但由于，故，从而有，所以，，即，C对；对于D选项，因为且，由不等式的性质可得，D对.故选：ACD.10.设，为两个随机事件，以下命题正确的是（）A.若与对立，则B.若与互斥，，，则C.数据，，，，，，，，，的分位数是7.8D.若与相互独立，，，【答案】BD【解析】对于A选项，因为与对立，，则，所以A错误；对于B选项，，则，因为与互斥，所以，所以B正确；对于C选项，这组数据一共有10个数，所以分位数为第8个数与第9个数的平均数，为，所以C错误；对于D选项，若与相互独立，则与也相互独立，因为，，所以，，所以，所以D正确.故选：BD.11.已知函数、的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（）A. B.的图象关于点对称C. D.【答案】ABC【解析】对于A选项，因为函数y=gx的图象关于直线对称，则，A对；对于B选项，因为，则，又因为，联立可得，即，所以，y=gx的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为，所以，即，因为，代入得，即，因为，所以，因为，所以，所以，C对；对于D选项，由B选项可知，，因为，所以，因为，所以，，，因此，，D错.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是______.【答案】，【解析】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.13.不等式对恒成立，则______.【答案】【解析】由，即或，解得或，由，即，解得，因为不等式对恒成立，当或时，，则，当时，，则，由上可知，关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，，可得，，因此，.14.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______.【答案】【解析】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为，因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论：若，则中位数为，此时，，解得；若，则中位数为，此时，，解得；若，则中位数为，此时，，解得.综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求集合；（2）已知，，是否存在实数，使是的必要不充分条件，若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，，因为，故.（2）由可得，即，因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，所以，解得，因此，实数的取值范围是.16.如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，.（1）用，表示；（2）求的最小值.解：（1）由，得，所以.（2）由，，，，得，又、、三点共线，因此，则，当且仅当，即时取等号，所以取最小值.17.某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄；（2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率；（3）若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差.附：解：（1）这些人的平均年龄（岁）.（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1，从这三组中分层抽取6人，则第三组抽3人，记为；第四组抽2人，记为；第五组抽1人，记为，样本空间，共15个样本点，设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，，共11个样本点，所以抽取的2人年龄在不同组的概率.（3）设第四组、第五组年龄平均数分别为，方差分别为，则，第四组有20人，第五组有10人，设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为，则，.所以这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为34.18.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；（3）设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点.解：（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，即，整理得，而不恒为0，所以.（2）由（1）知，，函数在区间上单调递减，任意，，由，得，因此，即，所以函数在区间上单调递减.（3）由（1）知，函数，则函数，由（2）知，函数在上单调递减，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，而，则存在唯一，使得，所以函数在区间上有且只有一个零点.19.定义一种新的运算“”：、，都有.（1）对于任意实数、、，试判断与的大小关系；（2）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围；（3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.解：（1）因为、，，，，所以，.（2）因为，所以，原不等式可化为，即，为满足题意，必有，解