江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期阶段联测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期阶段联测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线与垂直，则（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】因为直线与垂直，所以，解得.故选：C.2.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】中，，故，故焦点坐标为，渐近线方程为，故焦点到渐近线的距离为，由对称性可知，双曲线的焦点到渐近线的距离为2.故选：B3.已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列（）A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项【答案】D【解析】根据数列1，，，，3，…，，又，,解得，故选:D.4.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为点为圆心到直线的距离为，所以圆的半径为，圆的方程为.故选：D.5.已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】已知抛物线上有一点Px0,y0，则又，故在抛物线的外部，则，因为抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，则，故．由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值，则的最小值为．故选：B6.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（）A.Q B.R C.S D.T【答案】A【解析】设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，因为，所以越小，越大，越大，所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.故选：A.7.将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当，时，，所以；当，时，，所以；所以数列的前2024项和为：，故选：B.8.已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心，半径，因为为弦的中点，所以，又因为，所以三角形为正三角形，所以，即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为，要使得为钝角恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，而在直线上，到直线的距离，所以以为直径的圆的半径的最小值为，所以的最小值为．此时为直角，所以的取值范围是,．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.9.已知曲线，下列说法正确的是（）A.若，则曲线C为椭圆B.若，则曲线C为双曲线C.若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2D.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1【答案】BCD【解析】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确；对于C选项，当时，椭圆长轴长，当时，椭圆长轴长，C正确；对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，双曲线的离心率为，且双曲线的离心率，故D正确.故选：BCD.10.已知数列满足，，则下列说法正确的是（）A. B.中存在连续三项成等差数列C.中存在连续三项成等比数列 D.数列的前项和【答案】ABD【解析】数列中，由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即，对于A，，A正确；对于B，，，即成等差数列，B正确；对于C，假定连续三项成等比数列，则，整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误；对于D，，则，两式相减得，因此，D正确.故选：ABD11.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（）A. B.的离心率为 C. D.【答案】ACD【解析】由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上，所以，即，A对；若，则，B错；，C对；设的内切圆半径为，则，，，，，即，D对.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）.①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；④焦点到准线的距离为；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为.【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在轴上，故①必选，②不选.若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为.若选①⑤，设焦点，，，，由，得解得，故抛物线的方程为.由④可知，故还可选择①④.故答案为：①③（答案不唯一）13.已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______.【答案】【解析】因为，且，所以，所以数列为等比数列，则数列，所以，因为，又因为，所以当或时，取最大值，所以故答案为:14.如图所示，已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，【答案】【解析】设另一个焦点，连接，设则再根据双曲线的定义可知：由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，所以由勾股定理得：，化简得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知双曲线的离心率，实轴长.（1）求的方程；（2）过右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求；解：（1）由题设，又，所以，则.（2）由右焦点为，则，联立双曲线方程，得，整理得，显然，则，，所以.16.在等比数列中，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；解：（1）设等比数列的公比为，则，化简可得，整理可得，由，则，由方程解得，由，则.由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.（2）由，则，，由数列是以为首项，以为公差的等差数列，则.17.如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.（1）当时，求的长；（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.（3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值.解：（1）当时，直线为，故，由圆的圆心为原点且半径为，则圆心到距离为，所以.（2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，连接，则，故，又，即，所以直线为，则.（3）记点到的距离分别为，有，又，，当且仅当时等号成立，综上，的最大值为.18.已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆的标准方程;（2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点,过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.（3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程.解：（1）由题意可知椭圆的半焦距，由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得，，故椭圆的标准方程为.（2）由已知得，由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数，可设直线的方程为，代入，消去得.设，所以，可得，因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数，所以在上式中以代替，可得，所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.（3）由（1）已得，,可设直线的方程为：，代入，整理得：，则，即，设，则，于是，，点到直线的距离为，则的面积为：，因，则，故当时，取得最大值，此时直线的方程为,即和.19.若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.（1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.（3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.解：（1）因为常