湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在等比数列中，若，则（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】设的公比为，则，所以，所以故选：D.2.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数在上单调递增，又，，故的取值范围是.故选：C3.已知曲线的焦距为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，该曲线的半焦距为，若该曲线为椭圆，则或，可得(舍去)或，若该曲线为双曲线，则，可得(舍去)，综上，故选：B4.若抛物线的焦点到直线的距离为，则的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知的焦点坐标为()，则，解得（负值舍），所以的准线方程为，即.故选：D5.已知向量，且，则（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】，因为，设，则，解得，所以故选：C6.我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍.如图，今有一刍甍，四边形为平行四边形，平面，且，点在棱上，且.设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得.又因为，所以.故选：A7.已知实数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】可化为，表示圆心为，半径为的圆，的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，设，则，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，由，整理得，解得或，故的最小值为.故选：B.8.已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，两式作差可得，因为，又，所以，所以的离心率为.故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等，又的中点为，则过点的直线为AD选项；又的斜率为，则B选项符合条件.故选：ABD10.已知均是公差不为0的等差数列，且，记的前项和分别为，则（）A. B.C.为递增数列 D.【答案】AD【解析】对于A，由，得，故A正确；对于B，设的公差分别为，均不为0，所以，即，所以，所以，所以无法确定的通项公式，故B错误；对于C，由B，不妨取，因此，则为递减数列，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：AD11.已知为抛物线的焦点，直线过点且与交于两点，为坐标原点，则（）A.的最小值为B.以线段为直径的圆与的准线相离C.的面积为定值D.【答案】BD【解析】设.对于A，若，则与坐标原点重合，直线为轴，与不可能有两个交点，故A错误；对于B，如图，设的中点为，过分别向准线引垂线，垂足分别为，则，因此以线段为直径的圆与的准线相离，故B正确；对于C，的面积为为定值，显然不是定值，故C错误；对于D，由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，联立与，得，从而根据根与系数的关系得此时，因此，故D正确.故选：BD.12.已知四棱台的底面为正方形,棱底面,且，则下列说法正确的是（）A.直线与平面相交B.若直线与平面交于点，则为线段的中点C.平面将该四棱台分成的大､小两部分体积之比为D.若点分别在直线上运动，则线段长度的最小值为【答案】ACD【解析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.对于A，由，可知为平面的一个法向量，又，所以，因此与不垂直，即直线与平面相交，故A正确；对于B，连接、、,设正方形的中心为，正方形的中心为，则为中点，为中点，连接，可得平面，、平面，故与的交点即为点，由，故，且，故与相似，故，故是的一个三等分点，故B错误；对于C，如图，延长至，使得，则，又，所以，从而平面分四棱台所成的大､小两部分的体积之比为：，故C正确；对于D，设，其中，因此，则，因此，当时取等号，所以长度的最小值为，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的一条渐近线方程为__________.【答案】（或，答案不唯一）【解析】由得，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：（或答案不唯一）14.直线所过定点的坐标为__________.【答案】【解析】由得，联立方程得解得即定点坐标为.故答案为：15.已知公比的等比数列满足成等差数列，设的前项和为，则__________.【答案】【解析】解析由成等差数列得，即，因为，所以，解得（舍去）或，易知成等比，所以，所以.故答案为：16.如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为__________.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以为直径，且.设，则，解得（舍去）或，设，由，得，解得，过点的圆，是以为直径的圆，所以其圆心为，半径为故答案为：.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）已知等差数列满足，求的通项公式；（2）已知等比数列的公比，且，求的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以；（2）因为等比数列的公比，且，所以，所以，所以.18.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为.（1）求的方程；（2）设直线与交于两点，求的周长.解：（1）由题意知的半焦距，因为离心率，所以，，所以的方程为.（2）联立方程得解得所以.由对称性可知，所以的周长为.19.已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切.（1）求圆的方程；（2）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程.解：（1）根据题意设圆方程为，其中.将两点的坐标代入方程得，解得.因此圆的标准方程为；（2）因为圆与圆关于对称，所以两个圆的圆心关于对称，半径相等.由（1）知圆的圆心为，设圆的圆心坐标为，则，解得：，，即所以圆的方程为.20.如图，在四棱锥中,平面,且，.（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）因为平面，平面，所以，，又，故两两垂直，根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以.因此，所以又因为，平面，所以直线平面.（2）根据（1）知，为平面的一个法向量.因为，设为平面的法向量，则，令，则，则.因为.所以平面与平面夹角的余弦值为.21.已知在数列中，的前项和.（1）证明：为等差数列；（2）已知，求数列的前项和.解：（1）因为，所以，两式相减得，整理得，所以，两式相减整理得，即为等差数列.（2）由条件及（1）知是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为.所以，则，两式相减得，整理得.22.已知曲线上的动点满足，且.（1）求的方程；（2）已知直线与交于两点，过分别作的切线，