湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（）A.9 B.10 C.16 D.18【答案】D【解析】由题意，设等差数列，因为，可得，因为，解得，又由.故选：D.3.设，，若，则m的值为（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】因为，则，即，所以，得.故选：C.4.已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（）A.（） B.C.（） D.（）【答案】A【解析】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为，设动圆圆心，半径，则根据题意有,根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：.故选：A5.已知两点,,若直线上存在点满足，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设，则，，因为，所以，即，又因为点在直线上，故直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，所以.故选：D6.已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，由余弦定理可得：，化简得：②，由①式两边平方再减去②式，得：，于是的面积为.故选：D.7.已知抛物线（），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线与抛物线交于点A，B,直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D,则为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，由抛物线，可得，准线方程为，则过抛物线C的焦点F作斜率为的直线方程为，联立方程组，整理得，设，则且，则，根据抛物线的定义，可得，又由，所以直线的方程为，令，可得，因为，可得，所以，同理可得，所以，所以.故选：A.8.已知等比数列的前n项和为，公比为q，则“”是“数列是递减数列”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，即，又，所以递减数列，若是递减数列，则，所以，所以“”是“数列是递减数列”充要条件.故选：B.二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】CD【解析】A选项，若，，则可能异面，A选项错误.B选项，若，，则可能相交，B选项错误.C选项，若，，则（线面垂直的性质定理），C选项正确.D选项，若，，则（垂直于同一条直线的两个平面平行），D选项正确.故选：CD10.已知数列的前项和为，，且数列即是等差数列又是等比数列，则（）A.是等比数列 B.是等差数列 C.是递增数列 D.是递减数列【答案】ABC【解析】令，则，设数列的公差为，又数列是等比数列，则，即，解得，即数列为常数列，①，当时，②，①②得，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，当时仍成立，AC说法正确；令，则是常数，所以是等差数列，B说法正确；令，因为当时，，即，当时，，即，所以不是递减数列，D说法错误；故选：ABC11.已知抛物线C：焦点为F，点P在抛物线上，则下列结论正确的是（）A.的最小值为2B.若点，则周长最小值为C.若点Q在圆上运动，则的最小值为D.若点Q在直线上运动,且P到y轴距离为,则最小值为【答案】ABC【解析】易知，设，则，又，所以，当时取得最小值，故A正确；如图所示分别过向准线作垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义可知，则周长为,当且仅当在与抛物线的交点时取得等号，故B正确；如图所示，设，则，又，所以，当时取得最小值，此时的最小值为，即Q在线段上时，故C正确；如图所示，分别过向直线作垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可知：，当且仅当重合且P在线段上时取得最小值，由点到直线的距离可知，所以最小值为，故D错误.故选：ABC12.已知椭圆C：（，）右焦点为F，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，且不在坐标轴上，线段FM、FN的中点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率可以为（）A B. C. D.【答案】AC【解析】设椭圆短轴一个端点为P，左焦点为，连，，因为M，N是椭圆上关于原点对称的两点，关于原点对称，则为平行四边形，∵，由三角形中位线定理，可知∴，则，由椭圆得，当且仅当，即为短轴的端点时，取最小值，又因为余弦函数在上为减函数，所以为短轴的端点时，最大，所以，∴，∴，则，∴，所以A、C正确.故选：AC三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.点到直线的距离最大值是____________．【答案】【解析】由题意得，直线过定点，则，如图所示，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大值，且最大值为.故答案为：.14.设，为椭圆C：的左右焦点，M为椭圆C上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则线段的长为____________．【答案】2【解析】依题意，，由椭圆定义，知，由为等腰三角形，知，所以.故答案为：215.已知等比数列的前3项和为7，若，则的值为____________．【答案】【解析】设等比数列的公比为，因为等比数列的前项和为，且，可得，解得，所以的值为.故答案为：.16.已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为____________．【答案】【解析】设正三棱锥的底面中心为点，连接，则面，连接并延长，交于点，连接，如图所示，因为底面是正三角形，则为的中点，，，又，面，面，所以面，又因为面，所以，又因为，，因为，所以，故面，又因为面，所以面，因为面，面，所以，因为三棱锥是正三棱锥，且底面是边长为2的正三角形，所以两两垂直，且，将其补形成棱长为正方体，如图：所以正三棱锥外接球的半径为.故答案为：四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆心为圆经过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过直线上一点作圆的两条切线,切点分别为,当最小时，求的值．解：（1）因为圆心为的圆经过点，，所以圆心在线段中垂线上，因为，线段中点为，所以圆心在直线，即上，联立得圆心，圆的半径为，所以圆的方程为.（2）由题意可知，所以，所以当取最小值时最小，此时，所以此时．18.已知数列{}的首项．（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1），则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即（2）由（1）可知，，则利用分组求和以及错位相消的方法可得，19.如图,平行六面体的底面是菱形,且,，．（1）求的长．（2）求异面直线与所成的角的余弦值．解：（1），所以，即的长为.（2），又由余弦定理得，所以设所求异面直线所成角为，.20.已知数列满足，，（1）证明：是等差数列；（2）设，求前10项的和．解：（1）∵∴，又，，是以3为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，，∴∴前10项的和为.21.如图，已知四棱锥,面，四边形中，，，，,,点A在平面内的投影G恰好是的重心．（1）求证：平面⊥平面；（2）求线段的长及直线与平面所成的角的正弦值．解：（1）∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又面，平面⊥平面.（2）如图，过作的平行线交于E，则两两垂直，以A为原点，以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，则，，由可得：，解得：，即，则，取中点H，则，易得，又，平面，∴面，又，故为平面的法向量，设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角正弦值为.22.已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为．（1）求椭圆E的方程；（2）设点在椭圆E的