湖北省腾云联盟2025届高三上学期12月联考(一模)数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省腾云联盟2025届高三上学期12月联考(一模)数学试卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，因为，所以，所以，解得，即的取值范围是，故选：C.2.已知椭圆，则下列结论正确的是（）A.的焦点在轴上B.的焦距为4C.的离心率D.的长轴长是短轴长的倍【答案】C【解析】在椭圆中，，，，对于A选项，椭圆的焦点在轴上，A错误；对于B选项，椭圆的焦距，B错误；对于C选项，椭圆离心率为，C正确；对于D选项，椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，的长轴长是短轴长的倍，D错误.故选：C.3.展开式中含项的系数为（）A.40 B. C.20 D.【答案】B【解析】展开式的通项为，所以令，解得，所以展开式中含项的系数为，故选：B.4.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：）A.7 B.17 C.27 D.37【答案】B【解析】经过天后，张三超过李四的100倍，所以，两边取以10为底的对数得，所以，又，所以,所以大约17天后，张三超过李四的100倍.故选：B5.已知函数是减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，因为函数是减函数，所以对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.故选：D.6.已知实数满足，则最大值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】解法（1）：由，令，即，，，即最大值为2；解法（2）：当且仅当，即时取等号，，即最大值为2，故选：A.7.已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记数列公比为且，则，故，所以公比也为，则前9项和.故选：D8.设双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点为，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因双曲线C:x2a2由双曲线的对称性不妨设，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.，两边平方得，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列关于向量与复数的说法正确的有（）A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.若，则或D.若，则或【答案】BD【解析】对于A，，满足，但，显然，故A错误；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，若是两个单位向量，有，但两个单位向量的方向可以任意，即可不共线，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，所以或，故D正确.故选：BD.10.已知函.（）A.的最小值为B.在区间上单调递减C若当时，取得极大值，则D.若在区间恰有3个零点，则【答案】ACD【解析】对于A，易知，由二次函数性质可得当时，取得最小值为，即A正确；对于B，当有正负，可知B选项错误，对于C，由B可知当时，单调递增，当时，单调递减；所以当时，取得极大值时，即C正确；对于D，易知，当时，由正弦函数图象性质可得有3个零点时满足，解得，即D正确.故选：ACD11.已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（）A.函数为周期函数B.C.的图像关于点中心对称D.【答案】ACD【解析】对于A，由可得，即的周期为2，A正确.对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误，对于C，因为为偶函数，所以，可得，因此关于点中心对称，即C正确；对于D，，，累加可得，所以，即D正确.故选：ACD三､填空题：本题共13小题，每小题5分，共15分.12.已知直线，若，则__________.【答案】【解析】易知直线的斜率存在且为，由可知，且，所以.故答案为：13.已知三棱锥的四个顶点都在球体的表面上，若，且，则球体的表面积为__________.【答案】【解析】如图所示：取的中点，连接，因为，所以，又，，所以，因为，，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又是的外心，所以三棱锥的外接球球心在直线上，设，则，所以，解得，所以外接球的半径为，所以球体的表面积为.故答案为：.14.已知中，①__________；②为边的中点，若，则__________.【答案】①.②.【解析】，即由正弦定理角化边可得由余弦定理可得；设由余弦定理结合①得在中，在中，所以，即，，等式两边同时除以可得，解得或（舍去），所以.故答案为：；.四､解答题：本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，求数列的前项和.（1）证明：因为，所以，所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列.（2）解：由（1）可知令对照系数可得（其中），16.已知.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间内存在极小值点，求的取值范围.解：（1）当时，，可得所以，又，所以切线方程：，即.（2）由已知得1.若，，当时，，上单调递减，当时，，在上单调递增，所以在取得最小值，符合题意.2.若，i）若即，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调递增，所以在取得最小值，ii）当，，所以无极值，不符合题意，iii）当即，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调递增，所以在取得极小值符合.3.若，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，在取得极小值，符合题意；综上所述：的取值范围为.17.如图，在平行四边形中，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥为上一动点.（1）若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面；（2）若，①证明：平面平面；②记四棱锥体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离.（1）证明：取PA中点G，连FG，EG，因为分别为的中点，则∥，且，由题意可知：∥，且，则∥，且，可知四边形CFGE为平行四边形，则∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）①证明：在四边形中，连接，由题意可知：是以边长为2的等边三角形，则，且，则，可知，即，且，若，且，则，可知，且，平面，可得平面，又因为平面，所以平面平面；②解；取中点，中点，连，则，∥，可得，因为为等边三角形，则，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平行四边形的高即为等边的高，设点到平面的距离为，若，则，解得，即，可知为中点，以为原点，OA，OH，别为轴建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，所以点到平面的距离.18.如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点.（1）求抛物线的方程；（2）若，证明：；（3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.（1）解：当时，，联立消去，可得，设，拋物线C方程为：.（2）证明：由题知，设，，代入抛物线可得，，又，同理.（3）证明：因为，所以，代入点得①，设，同理，过点②，结合①②可得又因为所以，整理得所以直线过定点.19.在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表：学生编号12345678910数学成绩11613112412612111010699118117数学名次71324891056物理成绡80787981746563707384物理名次35426910871（1）从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；（2）已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值.（3）设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关