中考数学专项训练：一次函数30道压轴题（解析版）

专题训练一次函数30道经典压轴题型专项训练

【题型归纳】

一次函数经典30道压轴题型专项训练

【重难点题型】

一、单选题

1.在平面直角坐标系中，一次函数％=m(x+3)-Kw^O)和力=a(x-D+2(awO),无论x取何值，始终

有%>必，m的取值范围为()

3333„

A.m>—B.m>—C.加V—且D.优〈—且加力0

4444

【答案】D

【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断.

【详解】由题意可知：•.一次函数M=M(X+3)-1(加W0)的图象过定点(-3,-1),

一次函数％=a(xT)+2(aW0)过定点(1，2),

,①。<0时，m=a,两直线平行时，始终有％>必，

:.m<0.

②当〃〉0时，设经过点(-3,-1),(1,2)的直线为为=近+6,有

{-l=-3k+b

[2=k+b'

3

K=—

解得：；4

b=-

[4

•・•一次函数%=加(％+3)—1(加wO)的图象过定点(—3,—1),

不论》取何值，始终有必,必

3

・••综上解得：m＜0或0＜加＜二.

4

3

即：加〈一且加。0

4

故选：D

【点睛】本题考查一次函数综合问题，充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键.

2.如图，已知直线歹=米+2左交X、y轴于A、8两点，以45为边作等边、B、C三点逆时针排

(-1,0),连接CD、CE,则CD+CE的最小值为(

C.6.5D.7

【答案】D

【分析】在无轴上方作等边A4OR证明A4OB三A4尸C(&4S),所以点C的轨迹为定直线CF,作点E关于

直线C尸的对称点£,连接C£,CE=CE',当点。、C、E在同一条直线上时，Z)E=CD+C£的值最小，再

根据勾股定理，即可解答.

【详解】解：••・点8在直线歹二丘+2左上,

二.左(1+2)=0,

•・•左w0,

x—2=0.,

.•.5(-2,0),

■.■£(-1,0),。(-6,0),

在x轴上方作等边A/O尸，

•1•ZCAB=ZFAO=60°,

ZCAB+ZBAF=ZBAF+ZFAO,即ZCAF=ZBAO,

又；CA=BA,AF=AO,

:.^AOB^^AFC(SAS),

ZAFCZAOB=90°,

•・•点C的轨迹为定直线CF,

作点E关于直线CF的对称点户，连接CELCE=CE',

:.CD+CE=CD+CE',

当点。、C、?在同一条直线上时，WCD+CE的值最小,

AF=AO=2,ZFAO=60°,ZAFG=90°,

ZAGF=30°,NG=2x2=4,EG=3,

•••£关于”的对称El

(CD+CE)的最小值=，=j(-6-1)2+(0-|V3)2=7

【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件好

问题作出辅助线

3.如图①，在A43C中，NC=90。，乙4=30。，点。是48边的中点，点尸从点/出发，沿着/C-C2运

动，到达点8停止.设点P的运动路径长为x,连DP,记△/尸。的面积为H若表示y与x有函数关系的

图象如图②所示，则&45C的周长为（）

图①图②

A.6+2V3B.4+2V3C.12+4为D.6+4右

【答案】A

【分析】设2C=x,在用A45C中根据zJ=30。，可得/3=25C=2无，即有/C=6x,由图②可知尸的最

大面积为百，由图①易知，当P点行至C点时，AADP的面积最大，此时根据40=区0,可得

^ADP=-SVABC,再在&A48C中,有SV®=5X4CX3C,即有r，=26，解得02,即有8C=2,

48=4,AC=2^3,则问题得解.

【详解】设8C=x,在RMU8C中，有乙4=30。，zC=90°,

•-AB=2BC=2x,

・•・利用勾股定理可得：/C=^AB2-BC2=J（2x）2一股=6X,

由图②可知A4D尸的最大面积为V3,

■■D点、AB中点，

-'-AD=BD,

由图①易知，当P点行至C点时，A4DP的面积最大，

此时根据AD=BD,可得SvADP=~SyABC，

即有Sv.c=2Sv的=26，

又••・在放AA3C中，=-xACxBC=-x^xxx=—x2,

V/BC222

即有@/=2百，

2

解得x=2（负值舍去），即8c=2,48=4,AC=2^3,

贝IJZU5C的周长为：AB+BC+AC=2x+x+^x=6+2^>

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质等知识，数形结合得出

^xACxBC=2^3是解答本题的关键.

4.如图，/（再,必）,8（%2，%）分别是直线>=2x+l/=-x+4上的动点，若|演-x21Kl时，都有卜-必归4,

C.W2

A.—]4再《0B.00X]42D.—W再W2

31

【答案】B

【分析】将4（再，必），向右平移1个单位得到点C,过点C作X的垂线，交y=-x+4于点3,交y=2x+l于

点。，当5CW4时，符合题意，同理将点A向左平移一个单位得到C,进而即可求解.

【详解】解：如图，将/（占,必），向右平移1个单位得到点C,过点C作工的垂线，交歹+4于点5,交

C（再+1,22+1）,8（石+1,—（再+1）+4）即5（玉+1,—X]+3）,

/.BC—2石+1—（―再+3）=3%]—2

3玉—2«4

解得再W2

如图，将点A向左平移一个单位得到C,

。(项—1,2%+1)，5(再—1,—(项—1)+4)即B(X]—1,—X]+5)9

BC——X]+5—(2玉+1)=—+4<4

解得再NO

综上所述，0«国《2,

故选B

【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，根据题意作出图形分析是解题的关键.

5.如图，直线加，〃相交于点直线加交x轴于点。(-2,0),直线〃交x轴于点8(2,0),交了轴

于点4下列四个说法：®m±«；②AAOB必DCB；@AC=BC；④直线加的函数表达式为

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】直接运用待定系数法求出函数解析式，再运用一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的

判定求解此题.

【详解】解：设直线加的解析式为y=Kx+4,直线”的解析式为＞=《x+a.

由题意得，匕I，。或

.k=-V3

bt=--x/31仇=2百

I3

①由左=/x(-百)=T得加_L〃，那么①正确.

②由。(-2,0),点8(2,0)得。8=2,BD=4.对于直线"，当x=0,>=-Gx0+2g=26,那么

04=26.根据勾股定理，WAB=yjo^+OB-=7(273)2+22=4.

由①得，机_1〃，得NDCB=90°,那么=由/DCB=ZAOB,NB=NB,DB=AB,得

\AOB=NDCB,那么②正确.

由题得，BE=1,CE=y/3,SC=VCE2+BE2=7（V3）2+12=2.由②得N2=4,那么/C=2,推断出

AC=BC,故③正确.

④由分析知，直线加的函数表达式为y=*x+罕，那么④正确.

综上，正确的有①②③④，共4个.

故选：A.

【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定,

解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判

定.

6.如图，在平面直角坐标系中，点/（3,。）是直线＞=2x与直线y=x+6的交点，点8是直线＞=x+6与y

轴的交点，点尸是x轴上的一个动点，连接PN,PB,则尸N+P5的最小值是（）

D.3厢

【答案】D

【分析】作点/关于X轴的对称点4,连接48,则P/+P8的最小值即为43的长，先求出点4坐标，再

待定系数法求出6的值，根据轴对称的性质可得点H的坐标，进一步求出的长，即可确定尸/+尸3的最

小值.

【详解】解：作点/关于x轴的对称点连接45,如图所示：

则PA+PB的最小值即为48的长，

将点/(3,a)代入y=2x,

得a=2><3=6,

二点/坐标为(3,6),

将点”(3,6)代入尸c+6,

得3+36,

解得b=3,

.•.点8坐标为(0,3),

根据轴对称的性质，可得点4坐标为(3,-6)

A'B=732+(-6-3)2=3屈,

.-.PA+PB的最小值为3VHi.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最

短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键.

7.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形。/2C的顶点。在坐标原点，点E是对角线/C上一动点(不

包含端点)，过点£作成吆BC,交N8于尸，点尸在线段砂上.若。4=4,0c=2,乙40c=45。，EP=3PF,

P点的横坐标为m,则m的取值范围是（）

A.4<m<3+^2B.3->/2<m<4C.2-^2<w<3D.4<m<4+^2

【答案】A

【分析】先求确定/、C、8三个点坐标，然后求出和NC的解析式，再表示出所的长，进而表示出点

P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：由题意可得。（行，收）,/（4,0）,川4+应,忘）,

设直线AB的解析式为y=kx+b

0=4k+b[k=1

则,（AK解得：]7

A/2=14+V2\k-\-b\b=-4A

・•・直线45的解析式为：1-4,

.••x=y+4,

设直线AC的解析式为

6

m=

0=4m+nV2-4

人」V2=42m+n解得:

4®

n=-

V2-4

V24V2

・•・直线4C的解析式为:

-'-x=4+y-2y[ly,

・,・点方的横坐标为：歹+4,点E的坐标为：4+丁-2正夕,

，斯=（y+4）_（4+y_20）=2。，

,:EP=3PF,

,,PF=—EF-y，

42

二点尸的横坐标为：y+4-^-y>

4<y+4-y<3+6.

4<zw<3+y/2

故答案为：A.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示

出点P的横坐标是解答本题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为（4,0）,点0是直线上的一个动点，以为边,

在工。的右侧作等边&4尸。，使得点尸落在第一象限，连接。P,则。尸+/尸的最小值为（）

A.6B.4百C.8D.673

【答案】C

【分析】根据点。的运动先证明点尸在直线尸河是运动，再根据轴对称最值问题，作点尸关于直线PW的

对称点8,连接求出N2的长即可.

【详解】解：如图，作NCMM=60。，边交直线。。于点作直线尸”，

由直线可知，AMOA=6Q°,

-^MOA=^OAM=60°,

・•.△Q4M是等边三角形，

^OA=OM,

-AAPQ是等边三角形，

：.AQ=AP,^PAQ=60°,

・•・ZJJAQ=cMAP,

••△OAQm4MAP(&4S),

：.£.QOA=Z.PMA=60°=/.MAO,

・・.？M|x轴，即点尸在直线上运动，

过点。关于直线尸M的对称点2,连接4B,48即为所求最小值，

此时，在RtZiO/8中，ON=4,NA4O=60。，

.♦ZOA4=30°,

.•./8=2CM=8.

故选：C.

【点睛】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质

与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线尸河是运动.

9.己知：如图①，长方形48c©中，E是边40上一点，且4E=6cm,AB=8cm,点尸从B出发，沿折

线BE—ED-DC匀速运动,运动到点C停止，尸的运动速度为2cm/s,运动时间为t(s),△APC的面积为

y(cnr),丁与f的关系图象如图②，则。、6的值分别为()

A匚ED：4

图①图②

A.6,10B.6,11C.7,11D.7,2

【答案】c

【分析】先通过Z=5,尸40计算出长度和2C长度，根据2E+OE长计算c，的值，6的值是整个运动路程

除以速度即可.

【详解】解：当尸点运动到E点时，面积最大，结合函数图象可知当Z=5时，△BPC面积最大为40,

也就是△2CE面积为40,

由勾股定理可得：BE=W.

X-.-SMS=-xBCxAB=40,

.-.-xBCx8=40

2

.-.5C=10.

.■.£,£>=10-6=4.

当尸点到。点时，

所用时间为：。=(10+4)+2=7,

P点运动完整个过程需要时间p(10+4+8)-2=lls,

即6=11.

故选:C.

【点睛】本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点(一般是函数

图象的折点)，对应数据转化为图形中的线段长度.

10.如图，AA8C中，/C=BC=13,把放在平面直角坐标系xQy中，且点8的坐标分别为(2,

0),(12,0),将△/3C沿x轴向左平移，当点。落在直线V=-x+8上时，线段/C扫过的面积为()

A.66B.108C.132D.162

【答案】C

【分析】过点C作。lx轴于点。，由点N、8的坐标利用勾股定理可求出点。的坐标，再利用一次函数

图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段/C扫过的面积.

【详解】过点C作CDlx轴于点。，如图所示.

.-.AD=BD=^AB=5,

CD=y]AC2-AD2=12•

.・•点C的坐标为(7,12).

当y=12时,有12=-x+8,

解得：x=—4,

二点C平移后的坐标为(-4,12).

-.AABC沿x轴向左平移7-(-4)=11个单位长度，

二线段/C扫过的面积S=11CD=132.

故选：C.

【点睛】此题考查坐标与图形变化-平移，等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构

造直角三角形是解题关键.

11.已知动点〃以每秒x厘米的速度沿图1的边框(边框拐角处都互相垂直)按从N-3-。-。-石-尸的

路径匀速运动，相应的△出厂的面积S(cm2)关于时间f(s)的关系图象如图2,已知/尸=8cm,则下列

说法正确的有几个()

图1图2

①动点〃的速度是2cm/s；

@BC的长度为3cm；

③当点〃到达。点时AHAF的面积是8cm2；

@b的值为14；

⑤在运动过程中，当△/£4尸的面积是30cm2时，

点H的运动时间是3.75s和9.25s.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】先根据点〃的运动，得出当点〃在不同边上时△必尸的面积变化，并对应图2得出相关边的边长,

最后经过计算判断各个说法.

【详解】解：当点〃在42上时，如图所示，

AH=xt(cm),

2

SAHAF=yx4F*AH=4xt(cm),

此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，

当点”在8c上时，如图所示，HP是△H4F的高,且HP=4B,

：.SAHAF=I义AFxAB,此时三角形面积不变,

当点"在CD上时，如图所示，〃尸是尸的高，c,D,尸三点共线,

S&HAF=gxAFxHP,点H从点C点、D运动,〃尸逐渐减小，故三角形面积不断减小,

当点，在。£上时，如图所示，“P是△E4尸的高，且HP=EF,

H

A4--------IB

H

SAHAF=^XAF^EF,此时三角形面积不变,

当点H在即时，如图所示，

SAHAF=?AFXHF,点”从点£向点/运动，斯逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零,

对照图2可得0<Z<5时，点〃在上，

2

SAHAF=4xt=4»5x=40(cm),

：.x=2,48=2x5=10(cm),

・•・动点H的速度是2cm/s,

故①正确，

5W也8时，点H在BC上,此时三角形面积不变，

二动点，由点8运动到点C共用时8-5=3(s),

；.BC=2x3=6(cm),

故②错误，

运出12时，当点打在CD上，三角形面积逐渐减小,

二动点H由点C运动到点。共用时12-8=4(s),

.,.CD=2x4=8(cm),

:.EF=AB-CD=l0-8=2(cm),

在。点时，/的高与EF相等，即印三所,

：.SAHAF=；xAFxEF=g乂8乂2=8(cm2),

故③正确，

n<t<b,点H在DE上,DE=AF-BC=8-6=2(cm),

•••动点〃由点。运动到点£共用时2+2=1(s),

.•.6=12+1=13,

故④错误.

当△41尸的面积是30cm2时，点〃在22上或CD上，

2

点，在上时，SAHAF=4xt=St=?>0(cm),

解得t=3.75(s),

点〃在CD上时，

2

SAHAF=^X-AF^HP=\x8x7ff>=30(cm),

解得印三7.5(cm),

:.CH=AB-HP=10-75=25(cm),

・•・从点C运动到点〃共用时2.5+2=1.25(s),

由点/到点C共用时8s,

此时共用时8+1.25=9.25(s),

故⑤正确.

故正确的有①③⑤，共计③个，

故选：B.

【点睛】本题是动点函数的图象问题.考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点

表示的意义，是解决本题的关键.

12.如图1,RM/BC中，点P从点C出发，匀速沿C8-A4向点A运动，连接/P,设点尸的运动距离为x,

/尸的长为丁，》关于x的函数图象如图2所示，则当点尸为中点时，/尸的长为()

A.5B.8C.5&D.2而

【答案】D

【分析】通过观察图2可以得出NC=6,BC=a,AB=a+2,由勾股定理可以求出。的值，从而得出

BC=8,48=10,当尸为BC的中点时C尸=4,由勾股定理求出/P长度.

【详解】解：因为尸点是从C点出发的，C为初始点，

观察图象X=O时＞=6,则NC=6,P从C向8移动的过程中，/尸是不断增加的,

而产从B向A移动的过程中，4P是不断减少的，

因此转折点为8点，尸运动到3点时，即x=a时，BC=PC=a,此时y=a+2,

AP=AB=a+2,AC=6,BC=a,AB=a+2,

ZC=90°,

由勾股定理得：(a+2)2=62+a2,

解得：a=8,

AB=10,BC=8,

当点尸为2c中点时，4P=4,

AP=^AC2+CP2=A/62+42=2而，

故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以

提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

13.图1,在RtA48c中，€)3=90°,AB=9,点。是NC上一定点，点P沿边2C从点2运动到点C,连

接P4,PD,设5尸=无，PA+PD=y其中y关于x的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的

纵坐标m的值为()

图2

27

C.6D.~6

【答案】A

【分析】由图2数据可求/C、CD,作AABCMABCE,EF1AC,连接££),交BC于点、P,

ED=PA+PD,可由=求ER从而可求加;

【详解】：由图2,当8尸=尤=12时，尸与C重合,

：.BC=12

••AC=NAB?+BC?=A/92+122=15

96

止匕时尸Z+P0=/C+CD=不

96r21

.*.CD=------15=—

55

如图，作AABC=ABCE,EF1AC,连接即，交BC于点P,ED=PA+PD

此时尸4+尸。=加最小

SI.X/,L匕FLC^ABBC=2-AC-EF

72

.•・£尸=—

5

.•/与点。重合

72

:.ED=EF=——

5

故选：A

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关知识，结合图象数据判断特殊点位置，求

出相关量，并合理构造辅助线是解题的关键.

14.甲，乙两车在笔直的公路43上行驶，乙车从45之间的C地出发，到达终点B地停止行驶，甲车从起

点A地与乙车同时出发，到达3地休息半小时后，立即以另一速度返回C地并停止行驶，在行驶过程中，两

车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程了（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，下列

说法错误的是（）

A.乙车行驶的速度为每小时40千米B.甲车到达B地的时间为7小时

C.甲车返回C地比乙车到3地时间晚3小时D.甲车全程共行驶了840千米

【答案】D

【分析】A、根据第三段函数图象甲车到达8地后休息半小时乙车行驶的路程和时间计算；B、根据第一段

函数图象计算两车的速度差，第二段函数图象计算甲车从相遇至甲车到达2地用时；C、根据第四段函数图

象算出甲车返回速度，算出两车到达目的地的时间；D、借用C选项数据N8=420,8c=360计算即可.

【详解】解：A、乙车行驶的速度为每小时40千米，

80-60“八

---------=40

乙车速度1（千米/时），正确；

2

B、甲车到达8地的时间为7小时，

两车速度差，y=20（千米/时），

QQ

第一次相遇后甲车到达3地时间，—=4（小时），

甲车全程用时间，3+4=7（小时），正确；

C、甲车返回C地比乙车到B地时间晚3小时，

以、C两地相距60千米，甲车去时速度，40+20=60（千米/时）

:.A、2两地距离，60x7=420（千米），

；.B、C两地相距，420-60=360（千米），

竺-40=80

甲车返回时速度，1一（千米/时），

2

甲车返回c地用时，婴=3（小时），

802

乙车比甲车晚到达2地时间，—=2（小时），

40

19

甲车比乙车晚到达目的地时间，-+--2=3（小时），正确；

D、甲车全程共行驶了840千米

由C知，420+360=780（千米），错误,

故选D.

【点睛】本题考查了一次函数应用的行程问题，解决问题的关键是熟练掌握一次函数的性质，路程与速度、

时间的关系.

15.已知直线小》=丘+无+1与，2：了=（左+l）x+左+2（其中人为正整数），记4与x轴围成的三角形面积

为凡，则&+S2+S3+…+与。=.

【答案】—

【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（T，l），即可证出无论左取何值，直线4与4的交点均为定点

（T，l）；先求出y=晨+上+1与x轴的交点和y=（左+l）x+左+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求

出见，求出4=；＞＜丁，=；,52=1X（1-1）,以此类推”=前片，相加后即可求解.

Z1xz*4223Z^K\K।1）

【详解】解：•.■直线小了=履+左+1,

二直线ll-.y=kx+k+l经过点(-1,1)；

=

I?：y(k+l)x+左+2=k(x+1)+(x+1)+1=(左+l)(x+1)+1f

・•・直线，2：＞=（左+1）1+左+2经过点（一1，1）.

二无论k取何值，直线4与12的交点均为定点（-1,1）.

•.•直线lx-.y=kx+k+\^x轴的交点为(一空,0),

k

直线4-"+】）…+2与X轴的交点为（一,,0）,

k+2-1

・•.SK=xl

k+\2k(k+1)

S,=-x------=一

121x24

S[+S,+Sq+...+Sen=------1--------F••,-----------

1231002|_lx22x3100x101

1八1、J1、

=3”/，)+...+(------—)

100101

八、

=-1x(l-----1-)

2101

1100

=—X--------

2101

50

-ioi,

故答案为：

【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x

轴的交点的纵坐标为0,与y轴的交点的横坐标为0.

16.在平面直角坐标系中，已知。(-1,3),40,4),点尸为x轴上一动点，以。P为腰作等腰RS0PH,

【分析】作ON、府垂直于x轴于N、M,证明尸三”W，推出RV=77M,QN=PM,设

。尸=x，得”(x+3,x+1),求出点a的运动轨迹y=x-2,找到最小值的情况，求出。尸的解析式，再和kx-2

联立，即可求出点〃坐标.

【详解】解：作纱、而垂直于x轴于N、M,

则ZQPN+ZPQN=90°,

尸〃为等腰直角三角形，

ZQPH=90°,

即ZQPN+ZHPM=90°,

ZPQN=Z.HPM,

在和△/M/中，

ZPQN=ZHPM

<ZPNQ=APMH,

PQ=PH

.•.△QVPwmMH(AAS),

:.PN=HM,QN=PM,设=得"(x+3,x+l),

.•.7/点在直线V=x-2上运动，作A点关于直线y=x-2的对称点尸，连。尸交于点E,

当H点与E点重合时OH+AH最小，

此时产(6,-2),设直线。方的解析式为丁二京，将尸代入，得：

6=—2k,解得：k=——,

OFy=—x,

3

3_

y=x-2x=

2

~2

【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

17.如图长方形45CD的边长45=5,BC=L刚开始时45与天轴重合.将长方形45CD沿x轴以每秒1

-31

个单位长度向右平移，在平移过程中，边48与直线歹=一片+5交于点跖与直线y=交于点N,边CD

31

与直线歹=-a%+5交于点p与直线交于点。，设运动时间为/(秒).

（1）当0WW4时，用含，的表达式表示儿W的长

（2）当|斯-尸。|为定值时，时间t的取值范围为.

517

【答案】--Z+50Vt<3或3</<4或

【分析】（1）先求得两直线的交点，根据点在直线上，分别求得新声的坐标,根据纵坐标之差即可求解；

7

（2）同理求得尸。的坐标，计算=进而求得特殊位置1=3,4时,初匕夕。重合，，=:时，点

尸位于x轴，与点C重合，即可求解.

-3「

y=——x+5

【详解】⑴解：J

y=­x

I2

解得（4,2）,

Q1

・・・直线了=-：彳+5与直线》=；%的交点为（4,2）

•••当OS二4时，〃■在N点上方，

•••将长方形N8CD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，

313

边与直线y=-：x+5交于点与直线>=彳》交于点N,边CD与直线y=+5父于点尸'与直线

42

尸;X交于点0,

・•.M,N的横坐标为乙

...A/1%,—a，+5）,N[，/]

315

：,MN=——1+5——1=——/+5

424

故答案为：-1^+5

（2）当0二<4时，

•••BC=\

317

44

n八31711

PQ=一一/+------1一一

442244

5

：.MN-PQ=--t+5+-t-—=

4444

皿31711

当1H-----=-t-\——

4422

解得片3

.•・当，=3时P,Q两点重合,

同理，当£=4时，/W两点重合,

31717

当一三+丁=0时，即”丁时，点尸在x轴上，

443

175

.•.当4<不（时洞理可得pW-尸0|="为定值,

175

综上所述，04f<3或时，|肱V-尸。卜

17

故答案为：04<3或3<£<4或4<区了.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，求得的坐标是解题的关键.

18.如图1,在中，点尸从点4出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段/尸的长，丁表示线

段6尸的长，y与x之间的关系如图2所示，则边5C的长是

【答案】V33

【分析】由图象可知，8PlNC时，AP=\,由勾股定理求出8P,再求尸C求8c即可.

【详解】解：由图象可知，48=3,AC=6,当x=l,即4P=1时，BP1AC,如图,

在RtAABP中,

BP7AB2—AP2=打-F=2V2，

••-PC=6-1=5,

:.RtACBP中,

BC=^BP2+PC2=+52=V33-

故答案为：V33.

【点睛】本题以动点的函数图象为背景，考查了数形结合思想.解答时，注意利用勾股定理计算相关数

据.

19.如图，已知点/（2,-5）在直线：：了=2无+6上，4和=的图像交于点8,且点8的横坐标为8,

将直线4绕点A逆时针旋转45。与直线4相较于点Q,则点Q的坐标为.

即可求出直线人的表达式，令尸8,即可求出点8的坐标，将点8

的坐标代入直线小、=履-1,即可求出直线4的表达式，将直线4绕点/逆时针旋转45。与直线4相较于点

Q,过点0作。£1/。交N3于点E,过点0作尸G〃夕轴，过点N作/尸1尸G于点尸，过点E作EG1FG于

点G,根据全等三角形对应边相等，即可将点E的坐标表示出来，最后将点E的坐标代入4的函数表达式,

即可求解.

【详解】解：把点/仅-5）代入直线4：y=2x+6得：-5=2X2+6,解得：4-9,

二直线4的表达式为：y=2x-9,

当x=8时，y=2x8-9=7,

：.B(8,7),

把点B(8,7)代入直线小歹=履-1得：7=8上1,解得：k=l,

・,・直线，2的表达式为：歹=X-1,

将直线4绕点4逆时针旋转45。与直线，2相较于点。，过点。作0EL40交于点£,过点。作

bG〃歹轴，过点4作/足L/G于点R过点E作EG1bG于点G,

vzG=Z-F=Z-AQE=90°,

：^EQG+Z.AQF=9G0,乙乙EQG+QEG=90。,

'.^AQF=QEG,

•・2E/0=45。，44QE=90。,

・•.A4QE为等腰直角三角形，贝IJ4Q=0E,

在—O厂和△Q£G中，

UQF=QEG,乙G=CF,AQ=QE,

••.△AQF三AQEG

・・.AF=QG,FQ=EG,

设点。(a,b),

•・•点。在直线(上，

'-y=x-1,即点0(a,a-1),

'-A(2,-5),

-，-AF=QG=2-a,FQ=EG=(a-1)-(-5)=a+4,

・••点E的横坐标为：a+(a+4)=2a+4,

点E的纵坐标为：(a-1)+(2-a)=1,

则£(2a+4,1)

将点E的坐标代入直线4的表达式为：1=2(2a+4)-9,解得：a=y,

[111

^=2-1=~2f

【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的表达式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，

熟练掌握相关内容是解题的关键.

20.2019年春，在一次长跑拉力赛中，小明和小赵运动的路程S（千米）随时间分）变化的图象（全程）

如图所示.当两人行驶到离出发点4.5千米时第一次相遇，请问两人比赛开始后分钟时第二次相

【分析】根据甲8-28分钟运动了2.5千米，可求出甲这段时间的速度，也可求出4.5千米时，对应的时间为

24分，设直线。。的解析式为尸履，将点（24,4.5）代入可得出发的值，继而将产48代入可得出比赛的全程

从而得出点C坐标，即求出直线3c的解析式，联立直线。。与8C的解析式即可得出第二次相遇的时

间.

【详解】解：根据甲8-28分钟运动了525=2.5（千米），

251

所以可得甲这段时间的速度为：——=-（km/^）,

2o-oo

故从2.5千米运动至4.5千米需要2+：=16（分钟），

O

即4.5千米对应的时间为16+8=24（分钟）;

设直线OD的解析式为尸丘，将点(24,4.5)代入可得：2必=4.5,

解得：k=三3,

16

3

故直线OD的解析式为尸

16

当x=48时，y=9,

即这次比赛的全程是9km；

二点C的坐标为(44,9),点5的坐标为(28,5),

设直线8C的解析式为夕=办+6,则

44。+b=9

28。+6=5'

1

a=——

解得：4,

b=-2

即直线BC的解析式为产;x-2,

联立直线OD与直线BC的解析式可得:

3

y=­x

,,解得:x=32

y=6

y=­x-2

4

即第二次相遇的时间是第32分钟.

故答案为：32.

【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意

义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.

21.如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=上，轴，垂足为8,将绕点A顺时针

旋转到的位置，使点B的对应点区落到直线y=gx上，再将V/4a绕点⑸顺时针旋转到“即2

的位置，使点0的对应点仪落到直线y=[x上，以此类推，L.若点8的坐标为(0,1),则点Q的坐标

为

【答案】（6+6屈6+2⑹

【分析】根据题意可知。2、。4、落在直线V=上，因此。8也落在直线上，只要求出。。8的长

O

度，即可求出。8坐标，而。而。。2可以根据直角三角形求出.

【详解】解：在RtA4OB中，05=1,4切0=30。，

:・AB=6,OA=2.

由旋转得：OB=OXBX=RA=…=1,

OA=OXA=O2Ai=...=2,

AB=ABX=AXBX=...二A/3,

=l+2+G=3+G

观察图象可知，Q在直线y=gx时，

。。8=4・。。2=4（3+V3）=12+4A/3,

■■-08的纵坐标=[OR=6+2如，08的横坐标=—OO8=6+673

22

••O8的坐标为（6+66,6+2省）.

故答案为：（6+6月,6+2g）.

【点睛】考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化——旋转以及直角三角形的性质，解题的

关键是学会从特殊到一般的探究方法.

22.如图，在长方形48C。中，点。为坐标原点，点B的坐标为（8,6）,点A,C在坐标轴上，直线y=2x-6

与48交于点。，与丁轴交于点£.动点尸在3c边上，点。是坐标平面内的点.当点。在第一象限，且在

直线y=2x-6上时，若△/尸0是等腰直角三角形，则点。的坐标为

【分析】分别以△/尸0的三个顶点为直角顶点分情况讨论，设出点。的坐标，通过作辅助线得到全等三角

形，再根据全等三角形的等边建立关系，求出。坐标中的未知数，从而求得。的坐标.

【详解】(1)当点/为直角顶点时，点0在第一象限，

如图1,过点。作交AS所在直线于点”，

则Rt\AQH=RtAPAB

，QH=AB=8,AH=BP

设Q{x,2x-6),贝［|QH=2x-6-6=8

解得x=10

。(10,8),/〃=2尸=10

又；BC=6<10与点尸在8c边上相矛盾，

此种情况下不存在满足题意的点.

(2)当P为直角顶点时，点。在第一象限，

如图2,过点。作。交C3的延长线于点

贝URtNABP=RtAPHQ

AB=PH=8,HQ=BP

设0(x,2x-6),贝！］0”=2x-8

2x—6=8+6—(x—8)

解得x=?

(3)当0为直角顶点时，点0在第一象限,

如图3,过点0作。'GUO/于点G，，交CB于点H,

则Rt\AG'Q'二RtAQ'H'P

4B=PH=8,HQ=BP

设。G,2x-6),

则/G'=Q'〃'=6—(2x—6)

.e.x+6—(2x—6)=8

解得x=4

设。"(x,2x-6),

同理，得x+2x—6-6=8

解得x=g

综上所述，点0的坐标可以为(？",与■),(―,~),(4,2).

图1图2

【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的性质以及分类讨论思想，解决本题的关键是合理利用全

等三角形的等边进行分类讨论.

23.甲、乙两人沿相同路线同时从/地出发去往2地，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，甲发现

自己有物品落在/地，于是立即以之前