中考数学函数专项复习：函数与圆的综合（含答案及解析）

专题33函数与圆的综合

.

'知识对接

考点一、圆

1、求圆的前提：根据已知条件做辅助线：

(1)作与要证明的切线互相垂直的半径；

(2)作所有直径所对应的圆周角为90度的辅助线

2、常见求证：

(1)证切线：

①告诉有线段中点，考虑用中位线定理证明

②告诉有线段平分角或者有一组角相等，考虑用等量代换+间接法

③告诉有一组平行线，考虑相似或者先找出对应的内错角和同位角，观察同位角是否等于内错角，实现等

量代换

④如果圆中已经有一条已知切线，证另一条切线，则把这两条切线放在两个三角形中证相似

(2)证线段相等：

①证明两条线段所对应的三角形全等☆圆周角定理，同弧所对应的弦相等

(3)角相等或平分一个角：

①证两个角所对应的三角形相似或全等

②圆周角定理+等量代换，同弧或等弧对应的圆周角相等

考点二、函数

1、求解析式

(1)顶点在原点：y=ax2

(2)图像过原点：y=ax2+bx

(3)对称轴在y轴：y=ax2+c

(4)对称轴在x轴：y=a(x-h)2

(5)一般式：y=ax2+bx+c

2、求两点间的距离表达式(即线段)及最值：

(1)先设点，观察两个点分别属于哪两个函数之中，求出两个点的横坐标和纵坐标的表达式；

(2)用两个点的横坐标或者纵坐标相减的方式求出线段长的表达式；

(3)转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标

3、求三角形的面积表达式及最值：

(1)先设点，用点的坐标把三角形的面积表示出来；(直接表示法：当所求三角形有一条边与x轴或者y

轴重合；间接表示法：三角形的三边都不与x轴或者y轴重合，可采用几个图形的面积相加再相减求出表

达式)

(2)转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标

4、求在某直线上找一点使线段之和最值

(1)首先将其中一点做关于该直线的对称点，连接对称点与另一点的连线与该直线的交点即为所求点

(2)通过对称性求出对称点的坐标，求出连线的一次函数表达式，与原直线的表达式解方程组即可求出改

点

5、求是否存在一点使图形为直角三角形，等腰三角形，或者为平行四边形，求该点坐标

(1)直角三角形：首先把可能的情况都要想到，利用两垂直直线的斜率之积为-1,分别求出两条直角边的

一次函数表达式，解方程组求公共点即为所求

(2)等腰三角形：首先把可能的情况都要想到，利用等腰三角形两腰相等及点与点之间的距离公式求点的

坐标

(3)平行四边形：一般情况下，都会告知平行或者相等，只需要利用一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形即可求出坐标

专项训练

一、单选题

1.下列命题正确的是()

A.在函数>=中，当x>0时，y随x的增大而减小

2x

B.若a<0,则l+a>l—a

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.各边相等的圆内接四边形是正方形

2.如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是()

D

A.相切B.相交C.相离D.相似

3.如图，在矩形ABC。中，AB=12,AD>AB,以点A为圆心裁出扇形E4B（点E在边A。上），将扇形加汨

围成一个圆锥（和AE重合），则此圆锥底面圆半径是（）

A.3B."C.2括D.12

4.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成

圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x,则y与x的函数图象大致是（）

A•点（1,3）关于x轴的对称点是（-1,3）

B.函数y=-2x+3中，V随x的增大而增大

C.若一组数据3,%,4,5,6的众数是3,则中位数是3

D.同圆中的两条平行弦所夹的弧相等

6.如图，点P是定线段上的动点，点尸从。点出发，沿线段运动至点A后，再立即按原路返回至点

。停止，点P在运动过程中速度大小不变，以点。为圆心，线段0P长为半径作圆，则该圆的周长/与点P的

运动时间f之间的函数图象大致为（）

7.在圆，平行四边形、函数y=Y的图象、＞=一」的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有

A.0B.1C.2D.3

8.下列命题中哪一个是假命题（）

A.8的立方根是2

B.在函数y=3x的图象中，y随x增大而增大

C.菱形的对角线相等且平分

D.在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等

9.半径为3的圆，如果半径增加2%,则面积S与％之间的函数表达式为（）

A.S=2万。+3)2

B.S=9TT+X

C.5=4%/+12工+9

D.S=4〃■尤2+12?rx+9兀

10.如图，NBAC=60。，点O从A点出发，以2m/s的速度沿/BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，

以。为圆心的圆始终保持与NBAC的两边相切，设。。的面积为S（cn?）,则。。的面积S与圆心。运动

的时间t（s）的函数图象大致为（）

二、填空题

11.如图，圆0的半径为2.C1是函数y=x2的图象C是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是

2

12.如图，已知反比例函数y=—(x>0)的图象绕原点。逆时针旋转45。，所得的图象与原图象相交于点

x

2

A,连接OA,以。为圆心，OA为半径作圆，交函数y=—(x>0)的图象与点B,则扇形AOB的面积为

x

13.如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点(一3,0)出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半

径为1的圆与函数y=[x的图像相切时，点A的坐标变为.

14.在边长为16cm的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S(cm2)与圆的半径r(cm)之间的

函数表达式为(不要求写自变量的取值范围).

2

15.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，上面分别画有下列图形：①线段；②函数y=—的图像；③

x

圆；④平行四边形；⑤正六边形.将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图

形，又是中心对称图形的概率是—.

三、解答题

16.已知：如图所示，P是NMAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以必为半径作圆P

交射线⑷V于点C,过B作直线/使/〃AN交圆与。、E两点(点£＞、点E分别在点8的左侧和右侧),

3

联结CE并延长，交射线AM于点尺联结FP,交DE于G,cosZBAP=-,AB=5,AP^x,BE=y,

(1)求证：BG=EG；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当A8EF是以为腰的等腰三角形时，求经过8、E两点且半径为■的圆。与圆尸的圆心距.

17.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,加)，且〃?H0,点3的坐标为(",0),将线段A3绕点3顺

时针旋转90。，得到线段24,称点4为点A关于点2的“伴随点”，图1为点A关于点8的“伴随点”的示意

图.

(1)已知点4(0,4),

①当点8的坐标分别为(2,0),(-1,0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为,；

②点A(%，)是点A关于点8的“伴随点”，探究点4的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；

(2)如图2,点C的坐标为(4,-3),以C为圆心，血为半径作圆，若在。C上存在点A关于点3的“伴随

点”，则A的纵坐标机的取值范围__________.

18.己知：如图1,△ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,动点?从点。出发沿线段以2cm/s的速

度向点8运动，同时动点Q从点8出发沿线段54以lcm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时

另一个动点也随之停止，设运动时间为f(单位：s)以点。为圆心，8。长为半径的圆。与射线54,线段

分别交于点。，E.

(1)当是等腰三角形时，求f的值；

(2)设防=y,求把与/的函数解析式，且写出1的取值范围；

(3)如图2,连接DP,当f为何值时，线段。尸与。。相切？

(4)如图2,若。。与线段。尸只有一个公共点，求f的取值范围.

19.如图，在矩形ABC。中，A5=4,BC=8,点尸在边8C上(点尸与端点8、C不重合)，以P为圆心，

为半径作圆，圆尸与射线80的另一个交点为点E,直线CE与射线AD交于点G.点M为线段BE的中

点，联结PM.设==

(1)求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(2)联结AP,当AP〃CE时，求尤的值；

(3)如果射线EC与圆尸的另一个公共点为点E当AC叩为直角三角形时，求ACPr的面积.

20.问题提出：

平面内有两点尸、。，以点尸或点。为圆心，PQ长为半径的圆称为点P、Q的伴随圆，如图①②所示，。尸、

。。均为点尸、。的伴随圆.

o

图①图②

初步思考：

(1)若点尸的坐标是(1,4),点。的坐标是(-4,3),则点尸、。的伴随圆的面积是.

(2)点。是坐标原点，若函数了=-：尤+6的图象上有且只有一个点A,使得。、A的伴随圆的面积为167，

求b的值及点A的坐标.

推广运用：

(3)点A在以尸(“30)为圆心，半径为1的圆上，点B在函数y=：x+3的图象上，若对于任意点A、B,

均满足A、8的伴随圆的面积都不小于16万，则根的取值范围是.

21.在平面直角坐标系x0y中，动点A(a,6)为函数>=?%>0)图像上的任意一点，点3和点C的坐标分别

为(0,6),(0,-a).现给出如下定义：以线段BC为直径的圆。称为点A的“反比例伴随圆”，

⑴在图中，点A坐标为(2,|｝请画出点A的“反比例伴随圆”。。，并写出。。与x轴的交点坐标；

(2)在点A运动过程中，直接写出其“反比例伴随圆"半径厂的取值范围；

(3)点A由4(30-3抱)运动到4(3友+3也)的过程中，直接写出其对应的“反比例伴随圆”扫过的面积S.

22.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交无轴于点A(-LO),5(3,0),交，轴于点C,顶点为Af,直线y=x+d

经过C,〃两点，并且与x轴交于点£).

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)若四边形CZMN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为；

(3)平面内是否存在点尸，使以点尸为圆心的圆经过A、2两点，并且与直线8相切？若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.已知：二次函数-2办-3(tz>0),当2W烂4时，函数有最大值5.

(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；

(2)将函数>=加-2ax-3(a>0)图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线>="恒有四

个交点，从左到右，四个交点依次记为A,B,C,D,当以为直径的圆与x轴相切时，求”的值.

(3)若点P(无o,州)是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于机的一元二次方程

2

m~yom+卜4+%=0恒有实数根时,求实数k的最大值.

专题33函数与圆的综合

含1知识对接

考点一、圆

1、求圆的前提：根据已知条件做辅助线：

(1)作与要证明的切线互相垂直的半径；

(2)作所有直径所对应的圆周角为90度的辅助线

2、常见求证：

(1)证切线：

①告诉有线段中点，考虑用中位线定理证明

②告诉有线段平分角或者有一组角相等，考虑用等量代换+间接法

③告诉有一组平行线，考虑相似或者先找出对应的内错角和同位角，观察同位角是否等于内错角，实现等

量代换

④如果圆中已经有一条已知切线，证另一条切线，则把这两条切线放在两个三角形中证相似

(2)证线段相等：

①证明两条线段所对应的三角形全等☆圆周角定理，同弧所对应的弦相等

(3)角相等或平分一个角：

①证两个角所对应的三角形相似或全等

②圆周角定理+等量代换，同弧或等弧对应的圆周角相等

考点二、函数

1、求解析式

(6)顶点在原点：y=ax2

(7)图像过原点：y=ax2+bx

(8)对称轴在y轴：y=ax2+c

⑼对称轴在x轴：y=a(x-h)2

(10)一般式：y=ax2+bx+c

2、求两点间的距离表达式(即线段)及最值：

(1)先设点，观察两个点分别属于哪两个函数之中，求出两个点的横坐标和纵坐标的表达式；

(2)用两个点的横坐标或者纵坐标相减的方式求出线段长的表达式；

(3)转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标

3、求三角形的面积表达式及最值：

(1)先设点，用点的坐标把三角形的面积表示出来；(直接表示法：当所求三角形有一条边与x轴或者y

轴重合；间接表示法：三角形的三边都不与x轴或者y轴重合，可采用几个图形的面积相加再相减求出表

达式)

(2)转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标

4、求在某直线上找一点使线段之和最值

(1)首先将其中一点做关于该直线的对称点，连接对称点与另一点的连线与该直线的交点即为所求点

(2)通过对称性求出对称点的坐标，求出连线的一次函数表达式，与原直线的表达式解方程组即可求出改

点

5、求是否存在一点使图形为直角三角形，等腰三角形，或者为平行四边形，求该点坐标

(1)直角三角形：首先把可能的情况都要想到，利用两垂直直线的斜率之积为-1,分别求出两条直角边的

一次函数表达式，解方程组求公共点即为所求

(2)等腰三角形：首先把可能的情况都要想到，利用等腰三角形两腰相等及点与点之间的距离公式求点的

坐标

(3)平行四边形：一般情况下，都会告知平行或者相等，只需要利用一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形即可求出坐标

।专项训练

一、单选题

1.下列命题正确的是()

A.在函数>=-，-中，当x>0时，y随x的增大而减小

2.x

B.若a<0,贝!+—a

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.各边相等的圆内接四边形是正方形

【答案】D

【分析】

分别根据相关知识点对四个选项进行判断即可.

【详解】

A、当人=-《<。时，反比例函数在x>0时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误；

B、当。<0时，-a>0,故-a>a,从而l-a>l+a,故此选项错误；

C、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项错误；

D、由于圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为360。+4=90。，由此可得四边形的对角

线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题分别考查了反比例函数的性质，不等式的性质，切线的定义，圆与正多边形等知识，关键是要对这些

知识熟练掌握.

2.如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（）

D

A.相切B.相交C.相离D.相似

【答案】C

【分析】

根据直线与圆的位置关系进行判断即可.

【详解】

解：•••地平线在太阳的外面，与太阳没有交点，

所呈现的直线与圆的位置关系式相离，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3.如图，在矩形A8CD中，AB=U,AD>AB,以点A为圆心裁出扇形（点E在边4。上），将扇形山龙

围成一个圆锥（和AE重合），则此圆锥底面圆半径是（）

n

D

A.3B.76C.2出D.12

【答案】A

【分析】

根据弧长公式求出BE的长，根据圆的周长公式计算即可.

【详解】

解：设圆锥底面圆半径为R,

则2%R=6%，

解得，R=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关

键.

4.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成

圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x,则y与尤的函数图象大致是（）

【答案】A

【分析】

从丫-鼻等于该圆的周长，即列方程式再得到关于y的一次函数，从而得到函数图象的大体形

状.

【详解】

解：由题意得，

X71

y—=-x

22

即>=g+g）x，

所以该函数的图象大约为A中函数的形式.

故选：A.

【点睛】

本题考查了一次函数的综合运用，由y-楙得出该圆的周长是解题的关键.

5.下列命题正确的是（）

A•点（1,3）关于x轴的对称点是（-1,3）

B.函数y=-2x+3中，）随了的增大而增大

C.若一组数据3,x,4,5,6的众数是3,则中位数是3

D.同圆中的两条平行弦所夹的弧相等

【答案】D

【分析】

根据关于x轴的对称点的特征，一次函数的性质，众数、中位数的定义，圆的性质矩形判断即可.

【详解】

A、点（1,3）关于无轴的对称点是（1,-3）,故错误；

B、函数y=-2x+3中，>随x的增大而减小，故错误；

C、若一组数据3,无，4,5,6的众数是3,则户3,则中位数是4,故错误；

D,同圆中的两条平行弦所夹的弧相等，正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设

是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性

是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个

命题是假命题，只需举出一个反例即可.

6.如图，点尸是定线段上的动点，点尸从。点出发，沿线段。4运动至点A后，再立即按原路返回至点

。停止，点P在运动过程中速度大小不变，以点。为圆心，线段0P长为半径作圆，则该圆的周长/与点P的

运动时间f之间的函数图象大致为()

A

-XkcR心

【答案】B

【分析】

根据题意，分点P从。点出发，沿线段运动至点A时，与点P按原路返回至点。，由这两种情况进行分

析可得答案.

【详解】

解：由题意可知：

当点P从。点出发，沿线段Q4运动至点A时，0P匀速增大，则根据圆的周长公式，可得圆的周长也开始

匀速增大；

当点P按原路返回至点0,。尸开始匀速减小，其周长也开始匀速减小，

由匀速可知图象为直线，且前半段圆的周长/随时间t上升，后半段圆的周长/随时间t下降，分析可得B符

合.

故选：B.

【点睛】

本题考查动点问题的函数图像，化动为静是解决动点问题的关键，根据题意确定横轴与竖轴所表示的实际

意义结合函数图像进行分析是解答此题的关键.

7.在圆，平行四边形、函数y=V的图象、＞=一’的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形又是中心对称图形的定义和函数图象，可得答案.

【详解】

解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

函数y=x2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；>=-'的图象是中心对称图形，是轴对称图形；

X

故选：C.

【点睛】

本题考查了反比例函数和二次函数的图象，利用了轴对称，中心对称的定义.

8.下列命题中哪一个是假命题（）

A.8的立方根是2

B.在函数y=3x的图象中，y随x增大而增大

C.菱形的对角线相等且平分

D.在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等

【答案】C

【分析】

利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

A、8的立方根是2,正确，是真命题；

B、在函数y=3x的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题；

C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；

D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，

故选C.

【点睛】

考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是

解题关键.

9.半径为3的圆，如果半径增加2x,则面积S与％之间的函数表达式为（）

A.S=2万（x+3）2

B.S=9TT+X

C.5=4万/+12》+9

D.S=4%x?+12万x+9万

【答案】D

【分析】

直接利用圆的面积计算公式建立函数即可.

【详解】

由题意，得

S=TI(3+2x)2=4兀x?+12兀x+9兀.

故选：D.

【点睛】

考查由实际问题列二次函数关系式，掌握圆的面积计算公式是解决问题的关键.

10.如图，ZBAC=60°,点O从A点出发，以2m/s的速度沿NBAC的角平分线向右运动，在运动过程中，

以O为圆心的圆始终保持与/BAC的两边相切，设。O的面积为S(cn?),则。。的面积S与圆心。运动

的时间t(s)的函数图象大致为()

【答案】D

【详解】

试题分析：：/BAC=60。，AO是/BAC的角平分线,

ZBAO=30°,

设。。的半径为r,AB是。。的切线，

；A0=2t,

；.r=t,

S=7it2,

AS是圆心O运动的时间t的二次函数，

：兀>0,

抛物线的开口向上，

故选D.

考点：动点问题的函数图象.

二、填空题

11.如图，圆。的半径为2.C是函数y=x2的图象C是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是

【答案】2万

【分析】

根据圆和二次函数图象的对称性，用割补法和圆的面积公式，即可求解.

【详解】

把x轴下方阴影部分关于x轴对称后，原图形阴影部分的面积和，变为一个半圆的面积，即心生=2万

2

【点睛】

利用图形的对称性，把不规则的阴影部分，补成规则的图形，再用圆的面积公式求解.

2

12.如图，已知反比例函数y=—(x>0)的图象绕原点O逆时针旋转45。，所得的图象与原图象相交于点

x

2

A,连接OA,以。为圆心，OA为半径作圆，交函数y=—(x>0)的图象与点B,则扇形AOB的面积为

【答案】正兀.

2

【分析】

如图，作AD，y轴于D,由题意NAOD=22.5。，根据对称性可知，ZAOB=90°-2x22.5°=45°,在OD上

取一点F,使得OF=OA,推出/FOA=/FAO=22.5。，推出/AFD=/DAF=45。，设DA=DF=a,贝！J

OF=AF=,A[a,(1+5/2)a],由点八在、=—上，推出(1+)a?=2,推出=2(A/2—1j,由OA?

=a2+(1+0)2a2=(4+20)a?=4后，根据扇形AOB的面积=丝需眩计算即可.

【详解】

解：如图，作ADLy轴于D,由题意/AOD=22.5。，

根据对称性可知，ZAOB=90°-2x22.50=45。，

在OD上取一点F,使得OF=FA,

二ZFOA=ZFAO=22.5°,

7

.,-ZAFD=ZDAF=45°,设DA=DF=a,则OF=AB=缶，A[a,(1+72)a],丁点人在丫=一上,

x

(1+应)a2=2,

a2=2(V2-l)

VOA2=a2+(1+V2)2a2=(4+20)a2=4V2，

■0K

扇形AOB的面积=

3602

故答案为:3.

【点睛】

本题考查坐标与图形的变化-旋转、反比例函数的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型.

13.如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点(一3,0)出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半

径为1的圆与函数y=^x的图像相切时，点A的坐标变为.

【答案】(-2,0)(2,0)

【解析】

试题分析：根据直线的函数解析式可得：直线与x轴的夹角为30。，当圆与直线相切时，AO=2,则圆心的

坐标为(2,0)和(-2,0).

考点：直线与圆相切.

14.在边长为16cm的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S(cm2)与圆的半径r(cm)之间的

函数表达式为(不要求写自变量的取值范围).

【答案】即-鬻感，7蹿

【解析】

试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-7tr2=256-7tr2

故答案为S=256-二「

考点：函数的表达式.

2

15.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，上面分别画有下列图形：①线段；②函数y=4的图像；③

X

圆；④平行四边形；⑤正六边形.将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图

形，又是中心对称图形的概率是一.

【答案】0.8

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：①线段；②函数｝=2的图像；③圆；④平行四

X

边形；⑤正六边形中，①线段；②函数的图像；③圆；⑤正六边形既是轴对称图形，又是中心对称

X

图形，所以将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形

4

的概率是y=0.8.

考点：1.轴对称图形；2.中心对称图形；3.简单事件的概率.

三、解答题

16.已知：如图所示，P是/肱4N的边AN上的一个动点，8是边AM上的一个定点，以融为半径作圆P,

交射线AN于点C,过B作直线/使/〃AN交圆与。、E两点(点。、点E分别在点B的左侧和右侧)，联

3

结CE并延长，交射线AM于点足联结"，交DE于G,cosZBAP=-,AB=5,BE=y,

(1)求证：BG=EG；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当△2所是以B尸为腰的等腰三角形时，求经过2、E两点且半径为：血的圆。与圆尸的圆心距.

【答案】(1)见解析；(2)y=x-3+GTN，定义域是x>§；(3)圆。与圆P的圆心距为典或回.

622

【分析】

(1)证明△■FBGs△必p,得出比例线段处=生，同理可得△FEGs/YFCP,得出生="，则可得出

APFPCPFP

结论；

(2)过点P作尸KLOE于K,过点A作于点。，连接PE,由锐角三角函数的定义及勾股定理可

求出答案；

(3)由等腰三角形的性质得出y+5=2x,解方程求出x=5,分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案.

【详解】

(1)证明：-：BG//AP,

:.NFBG=/FAP,/FGB=/FPA,

：.^XFBG^/\FAP,

,BGFG

••一,

APFP

■:GE/1PC,

：.ZFEG=ZFCP,ZFGE=ZFPC,

△FEGS^FCP,

,EGFG

••百一而‘

.EGBG

••一，

CPAP

9

：AP=PCf

：.BG=EG；

(2)解：过点尸作尸于K,过点A作AQLDE于点Q,

・•・ZAQK=ZQKP=90°,

9：DEHAP,

：.AQ±AP,

：.ZQAP=ZAQK=ZQKP=90°,

・・・四边形APKG为矩形，

：.PK=AQ,AP=QK,

3

cosXBAP=cosXABQ=—,AB—5,

3

BQ=AB・cosZABQ=—x5=3,

JAQ=^AB^-BQ1=A/52-32=4,

・・・PK=4,

'：AP=x

：.PE=AP=xf

KE=y/pE2-PK2=J九2—16，

又•：BK=QK-QB=x-3,

:.BE=BK+EG=无一3+J尤2—16，

・”=X-3+A/X2-16，

当圆尸过点2时，点。与点2重合，过2作BHLAP于X,

'：AQ±AP,QBI/AH,

：.Z2=ZQAH=ZBHA=9Q°,

四边形Q4H2为矩形，

：.AH=QB^QD=3,AQ=BH=4,

在放AgHP中，由勾股定理

BP-=BN2+HP1即x2=42+(x-3)2

25

解得

6

25

：.AP=

~6

*,•定义域是x>；

6

(3)当ABE尸是以3尸为腰的等腰三角形时，连结0G,直线0G交AC于V,

当3尸二石厂时，点。与点5重合，不成立,

；,BF=BE,

：・NBFE=/FEB,

•：BEIIAC,

：./ACF=/BEF,

：.ZAFC=ZACF,

：.AF=ACf

.•.y+5=2x,

・y=x-3+y/x2-16，

2

；.2尤-5=x—2+y/x—16，

整理得7二名小,

两边平方得（彳白丫才一16,

整理得4x=20,

•・x=5，

：・BE=5,

:.BG=EG=，,

2

..•圆。的半径为

在RfA20G中，BO=-yf2,

2

EK=yJpE2-PK2=452—42=3

PV=KG=3-GE=3--=I,

22

当圆心。在BE下方时，在放△尸02y中，由勾股定理

当圆心。在BE上方时,

.••8=也已+尸已=卜||+出=1#70.

综合以上可得OP的长为®或回.

22

【点睛】

本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与

性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等

腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键.

17.在平面直角坐标系宜为中，点A的坐标为(0,加)，且加W0,点8的坐标为(〃,0),将线段绕点B顺

时针旋转90。，得到线段84,称点4为点A关于点8的“伴随点”，图1为点A关于点8的“伴随点”的示意

图.

(1)已知点4(0,4),

①当点B的坐标分别为(2,0),(-1,0)时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为,；

②点A(x»)是点A关于点B的“伴随点”，探究点A的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；

(2)如图2,点C的坐标为(4,-3),以C为圆心，及为半径作圆，若在。C上存在点A关于点2的“伴随

点”，则A的纵坐标m的取值范围__________.

【答案】(1)①(6,2),(3,-1)；②y=x-4；(2)5<m<9

【分析】

(1)①作4M_Lx轴于构造AABO丝△B4M,可得。OB=AiM,再分别求解；

②取N(4,0),则OA=ON,作轴于首先说明4的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解

析式即可解决问题；

(2)利用(1)②的结论，A(0,m)关于5的“伴随点”4(%,y),y与x之间的关系式：y-x-m

,由题意可知，当直线产x-%与。C有交点时，在。C上存在点4关于点3的“伴随点”，求出这两条直线

和。C相切时的根的值，即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图，作轴于M.

ZABAi=90°,

：.ZABO+ZAiBM=ZAiBM+ZAi,

：.ZABO=ZAi,

'：AB=BAi,ZAOB=ZAiMB=90°,

：./\ABO^/\BAiM(A4S),

/.OA=BM,OB=AiM,

当A(0,4),B(2,0)时，BM=4,AiM=2,OM=6,

AAi(6,2),

当A(0,4),B(-1,0)时，同法可得4(3,-1).

故答案为(6,2),(3,-1).

②取N(4,0),则O4=0N,作4M_Lx轴于M.

同理可证：AABO四

OA=BM=ON,OB=AiM,

：.OB=MN=A[M,

：./\AiMN是等腰直角三角形，

/.ZAiNM=45°,

...点4在经过点N,与x轴的夹角为45。的直线上，

设4N的表达式为产履+6,则上1,将(4,0)代入,

则0=4+6,解得：6=-4,

/.这条直线的解析式为y=x-4,

.'•Ai(x,y)是点A关于点2的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4；

(2)如图，由(1)可知，A(0,m)关于8的“伴随点”4(x,y),

y与尤之间的关系式：y=x-m,

由题意可知，当直线y=x沏与。C有交点时，在。C上存在点A关于点8的“伴随点”,

当直线y=xr九与。C相切时，如图，

VC(4,-3),0c的半径为血，尸为。C的切点，过C作CE〃x轴，点E在上,

在y=x-/w中，令尸0,则>=-加，令y=0,贝!|x=7",

则C(0,-m),D(m,0),

...△OC。为等腰直角三角形，OD=OC,

VOFLEF,CE〃x轴，

ZECF=45°,即△CEF为等腰直角三角形，

,:CF=®,

：.EF=42,CE=2,又C(4,-3),

:.E(2,-3),代入〉=%-初中，

解得：根=5,

同理，当直线产龙-〃2与。C相切于另一点时，

同理可得："2=9,

综上：满足条件的根的范围为：5<m<9.

【点睛】

本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发

现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题.

18.己知：如图1,AABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速

度向点8运动，同时动点。从点B出发沿线段54以lcm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时

另一个动点也随之停止，设运动时间为/(单位：s)以点。为圆心，8。长为半径的圆Q与射线出，线段

3C分别交于点£>,E.

(1)当是等腰三角形时，求t的值；

(2)设8E=y,求的与f的函数解析式，且写出？的取值范围；

(3)如图2,连接。尸，当t为何值时，线段。尸与。。相切？

(4)如图2,若。。与线段DP只有一个公共点，求/的取值范围.

95Qa?3740

【答案】(1)(=—,5,和8秒；(2)y=-Z(0<r<8);(3)t=—^；(4)0<"三或2U<8

85999

【分析】

_CM525

(1)①如图26-1,当AP=C尸时，过点尸作PMJLAC,在直角△CPM中，cosC=——=——，CP=——，

CPCP4

25

t=—(S),②当AC=PC时，如图26-2,t=5(S)③当P点运动到8点时，BC=16,此时2r=16,t=8

8

(2)如图26-3,连接OE,过点A作4V_LBC,ABDE^ABAN,"=些，即

BABN-108

42t2tz

(3)如图26-4,当。P与。Q相切时，BP=16-2f,BO=2f,又cosB=-，cosB=--------，可列方程------=-

516-2f16-27f

解得："三(s)即可

OOO

(4)①由题意得，当0</<三时，。。与DP只有一个公共点；②当E点与P点重合时，则有*+2/=16,

40

结合图形可知§</<8时，。。与OP只有一个公共点.

【详解】

解：(1)①如图，当AP=CP时，过点尸作RWLAC,

：AP=PC,

.-.AM=MC=-AC=5,作⑷VJ_BC,

2

:.CN=BN=8,

:.AN^6,

在直角△CPM中,

4_5

~5~~CP

:动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点8运动,

②当AC=R7时，如图

A

・・•AC=10,

/.FC=10,

：.2t=l0

：.t=5(S)

③当月点运动到5点时，BC=16,此时2/=16

：.t=8(5)

25

・・・当，=5,和8秒时，是等腰三角形

O

(2)如图，连接OE,过点A作ANLBC,

'：AB=ACf

：.AN=BN=6,

Q8Q是直径，

ABED=90°,

：./DEB=NANB=90。,ZDBE=NABN,

:.ABDE^ABAN,

BDBE

.•法一丽’

BD=2BQ=2t,

•,•生一一工,

108

Q

.­.y=|r(0<r<8)；

(3)如图,

当QP与0Q相切时，BP=16—2t,BD=2t,

「cBN84cBD2t

乂cosB=---=—=—,cosB=---=------.

BA105BP16-2/

.2t_4

解得：”刀⑸

:•当。=§(s)时，OP与0。相切

(4)①由题意得，当0＜云132•时，。。与。尸只有一个公共点;

Q

②当E点与P点重合时，则有1+2/=16,

解得”?；

40

结合图形可知＜8时，

。。与DP只有一个公共点；

C

综上当0＜/豆或豆＜，＜8时，。。与0P只有一个公共点.

【点睛】

本题考查三角形中动点问题，分类考虑等腰三角形，三角形相似判定与性质，利用相似构造函数，用圆的

切线的性质求动点运动时间，分类考虑动直线与圆的位置关系，掌握本题考查三角形中动点问题，分类考

虑等腰三角形，三角形相似判定与性质，利用相似构造函数，用圆的切线的性质求动点运动时间，分类考

虑动直线与圆的位置关系是解题关键.

19.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点尸在边BC上(点尸与端点8、C不重合)，以P为圆心，

PS为半径作圆，圆尸与射线3。的另一个交点为点E,直线CE与射线交于点G.点M为线段BE的中

点，联结PM.设==

(1)求y关于X的函数解析式，并写出该函数的定义域;

(2)联结AP,当"〃CE时，求x的值;

(3)如果射线EC与圆尸的另一个公共点为点R当AC叩为直角三角形时，求ACP歹的面积.

!<x<8j；(2)2A/14-4;(3)6

【答案】(1)y

【分析】

(1)勾股定理求出BD长，利用三角函数求解析式，根据点P和点G的位置确定该函数的定义域;

(2)设EH=4k,则BH=8k,PH=8k-x,PE=x,根据勾股定理列方程即可；

(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可.

【详解】

解：(1)由勾股定理，BD=A/82+42=475-

•点M为线段BE的中