指对幂等函数值大小比较的深度剖析（讲义）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题03指对幕等函数值大小比较的深度剖析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

m占nt口马囱.田摊己I白?rq

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破...........................................................11

题型一：直接利用单调性11

题型二：引入媒介值13

题型三：含变量问题15

题型四：构造函数18

题型五：数形结合22

题型六：特殊值法、估算法26

题型七：放缩法29

题型八：同构法34

重难点突破：泰勒展开'帕德逼近估算法38

差情;奏汨•日标旦祐

指、对、幕形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以

选择题为主.每年高考题都会出现，难度逐年上升.

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考趋

2024年北京卷第9题，5分

势，指对幕比较大小或以

2024年天津卷第5题，5分

掌握指对塞大小2022年新高考I卷第7题，5分小题压轴，预计：

指对孱比较大小比较的方法与技2022年天津卷第5题，5分(1)以选择、填空题型呈

巧2022年甲卷第12题，5分现，侧重综合推理。

2021年H卷第7题，5分

(2)构造灵活函数比较大

2021年天津卷第5题，5分

小将成为考查热点。

牛nt口偏孑里・二注怙工亏

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,6,c的大小.

（2）指、对、幕大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如a%和谟2,利用指数函数y=谟的单调性；

②指数相同，底数不同，如久£和琰利用募函数y=*a单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如logMi和联鹏2利用指数函数loga久单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小

关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式:

v2vnpfix

①e*=1+x+_+...+_+xn+1

x2n+1

②sinx=x-^+^---+(-l)n,-+o(x2?l+2)

(2n+l)!'

_r2y4v6Y2n-

@cosx=l--+-『••+(T』+°P)

@ln(l+x)=x-y+y--••+(-l)n^+o(xn+1)

=1+x+X2+—Fxn+o(xn)

(6)(1+x)n=1+71%+吗!1，%2+o(%2)

0

//慎题砒如糖\\

1.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数f(x)的定义域为R,/(x)>f(x-1)+/(x-2),且当x<3

时/(*)=x,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因为当x<3时/(x)=%,所以/(I)==2,

又因为f(x)>/(x-l)+/(x-2),

贝次(3)>f(2)+/(I)=3/(4)>f(3)+f(2)>5,

/(5)>"4)+/(3)>8/(6)>〃5)+/(4)>13/(7)>/(6)+/⑸>21，

f(8)>f(7)+f(6)>34/(9)>f(8)+f(7)>55,/(10)>f(9)+f(8)>89，

/(ll)>/(IO)+/(9)>144/(12)>/(ll)+/(IO)>233,”13)>/(12)+/(ll)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选:B.

2.(2024年天津高考数学真题)设口=4.2-。汽6=4.2。汽c=log420.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因为y=4.2工在R上递增，且一0,2<0<0.2,

所以0<4.2-02<4.2°<4.20-2,

所以0<4,2-62<1<4,20-2,即0<a<1<6,

因为y=log4.2%在(0,+8)上递增,且0<0.2<1,

所以log4.20.2<log4,2l=0,即c<0,

所以c<a<b,

故选：D

3.(2024年北京高考数学真题)已知(修,力)，。2，%)是函数丫=2*的图象上两个不同的点，则()

A.log?❷B.log?生

2222

C.Iog2"产<均+%2D.Iog2笠^>久1+%2

【答案】B

【解析】由题意不妨设%1<&，因为函数y=2,是增函数，所以0<2右<2犯，即0<丫］<先，

对于选项AB：可得号>>42%•2到=2™,即左/>2™>0,

根据函数y=log2%是增函数，所以log?左产>Iogz2中=空，故B正确，A错误；

对于选项D：例如％1=0,%2=D则yi=l,y2=2,

可得log2第=10g2|e（0,l）,即10g2左产<1=X1+久2,故D错误；

对于选项C：例如％1=-1,%2=-2，则丫1=7，丫2=7

24

可得log2在手=log2|=log23-3C（-2,-1）,即log2左/>一3=X1+%2，故c错误，

ZoZ

故选:B.

4.（2023年天津高考数学真题）设。=1.01。5/=1.01。-6,。=0.6。5,则a,2c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=1.01%在R上递增，则。=1,O105<b=1,0106,

由y=在［0,+8）上递增，则a=1.O105>c=O.60-5.

所以力>a>c.

故选：D

5.（2022年新高考天津数学高考真题）设a=2&7,b=c=log21,贝b,6,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

x0.7-i

【解析】因为20,7>Q）>0=log2l>log2->故a>b>c.

故选：D.

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9m=10,。=10血一11/=8加一9,贝1J（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:（指对数函数性质）

由9巾=10可得m=log"。=胃>1,而lg91gli〈（喏U）2=（等丫<1=（lgW）2；所以置>需，即

m>Igll,所以a=10m-11>10电11-11=0.

又lg81gl0-y=（等y<（lg9）2,所以假>需BPlog89>m,

所以b=8m-9<8i°g89-9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9m=10,可得m=OgglOe(1,1.5).

根据a,b的形式构造函数/(x)=万山一x->1),则/(x)=-1,

令/'(x)=0,解得X。=疝=，由6=log910G(1,1.5)知Xo6(0,1).

/(%)在(1,+8)上单调递增，所以/(10)>f(8),BPa>b,

又因为/'(9)=910^10-10=0,所以a>0>b.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用a,b的形式构造函数〃久)=%巾-根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是

该题的最优解.

7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知a=||,b=cos1c=4sini贝|()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］：构造函数

因为当％G<tanx

故(=4tan：>l,故所以c>b；

设/(%)=cos%+|x2—l,xE(0,4-oo),

/(%)=—sinx+x>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，

故/(?>〃0)=0,所以COS：-II>0,

所以b>a,所以c>b>a,故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当％6(0,Jsin%<x,

取久=:得：cos'=1—2sin2>1—2(焉)=||,故b>a

4sin|+cos：=V17sin(：+0)，其中9E(°，9，且sing=-^=,cos(p=总

当4sin工+cos工=时，-+(»=-,R.(p=---

444*2,24

止匕时sin；=cos(p=备，cos：=sin(p=意

故cos［=今<=sin：V4sini,故b<c

所以力>a,所以c>b>a,故选A

［方法三］:泰勒展开

、几cCLm.l31Y0.252.1Y0.252,0.254

设％=0.25,则。=—=1--------,b=cos-«1--------+——，

322424!

.1„.

4-1sm70.252,0.254、-L咨/日、7、4A、4A

c=4sin-=-14------—+——>计算得c>b>a,故选A.

43!5!

4

［方法四］:构造函数

因为£=4tani,因为当％Gfo,-Ysinx<x<tan第，所以tan工>,即£>1,所以c>b；设f(%)=cosx+-%2—

l,xe(0,4-oo),//(x)=—sin%+%>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，则/>/(0)=0,所以cos］-||>0,

所以力>a,所以c>b>a,

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan工，因为当％E(0；),sin%<%<tan%,所以tan^>；即£>1,所以c>b；因为当第€

fo,-Ysinx<x,取％=工得cos工=1—2siM工>1—2(工)=—,故b>a,所以c>b>a.

\2/848\8/32

故选:A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式％6(0,9，$!1%<%<121«放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

8.(2022年新高考全国I卷数学真题)设a=0.1ea1,b=，c=-ln0.9,贝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：构造法

设/'CO=ln(l+x)-x［x>-1),因为/''(>)=*一1=一士，

当第£(一1,0)时，/'(%)>0,当％e(0,+8)时尸(%)vo,

所以函数/(%)=ln(l+久)一%在(0,+8)单调递减，在(一1,0)上单调递增，

所以/(g)Vf(。)=0，所以In谭—-<0>故g>ln£=—ln0,9,即b>c,

所以/(一百Vf(0)=0,所以1%+总<。,故卷VeF所以1

故a<b,

设g(X)=xqX+ln(l—x)(0<%<1),贝1=(x+l)ex+―1~)e+1,

x—1x—1

令h(%)=ex(x2—1)+1,〃(%)=ex(x2+2%—1),

当0<x<V2—1时，h!(x)<0,函数<%)=ex(x2—1)+1单调递减,

当企-1<%<1时，"(%)>0,函数h(%)=ex(%2一1)+1单调递增,

又以0)=0,

所以当0<x<0—1时，ft(%)<0,

所以当0<%V鱼一1时,g<x)>0,函数g(%)=xex+ln(l—%)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO.le01>-ln0.9,所以a>c

故选：C.

方法二：比较法

a=O.le01,b=,c=-ln(l—0.1),

①Ina-Info=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=%+ln(l—x),x6(0,0.1］,

则f(x)=1一=/<0,

故/(x)在(0,0.1］上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—\nb<0,所以aV力；

(2)a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令g(x)=xex+ln(l—%),xG(0,0.1］,

则70)=xex+ex--=(i+x)d)eJ,

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—%2—2x)ex>0,

所以fc(x)在(0,0.1］上单调递增，可得fc(x)>k(0)>0,即g'(%)>0,

所以9(T)在(OOI］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,BPa-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

9.(2021年天津高考数学试题)设a=log2()3力=log工04c=0.4。汽则〃，9c的大小关系为()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】log20.3<log2l=0,•e-a<0,

logi0.4=—log0.4=log->log2=1,Ab>1,

22222

•••0<O.403<0.4°=1,0<c<1,

a<c<b.

故选：D.

10.(2021年全国新高考n卷数学试题)已知a=logs2,fa=log83,c=|,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【解析】a=log52<log5V5=|=log82V2<log83=b,即a<c<b.

故选：C.

11.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设a=21nl.01,b=lnl.02,c=VOT-1.贝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以6<a；

下面比较c与a,b的大小关系.

W(x)=21n(l+x)-VfT4^+l,W(0)=0,/⑺—=2雷片),

由于1+4%—(1+x)2=2x—x2=x(2—x)

所以当0<x<2时，1+4%—(1+>0,即+4汽>(1+汽),/(%)>0,

所以/(%)在［0,2］上单调递增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即21nl.01〉1,即a>c；

令g(x)=ln(l+2x)—V1+4%+1,贝叼(0)=0,g'(%)=---------^==

由于1+4久一(1+2汽)2=-4%2,在心>0时，1+4X-(1+2%)2<0,

所以9'(久)<0,即函数或式)在［0,+8)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0,即lnl.02<Vh04-1,即b<c；

综上，b<c<a,

故选：B.

［方法二］:

令/(%)=In(~~~^)—x—1(%>1)

尸(“)=-§券<O'即函数/CO在(1，+◎上单调递减

/(V1+0.04)</(I)=0”.b<c

令g(x)—2In—x+1(1<%<3)

g'(x)=>°,即函数9(x)在(1，3)上单调递增

g(V1+0.04)(^(1)=0,・•・a)c

综上，b<c<a,

故选：B.

核心蜡出・

题型一：直接利用单调性

【典例1・1】设a=2i?,b=lg3,c=In],贝！Ja、b、c的大小顺序为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】由函数y=ln%,y=lg%在(0,+8)上单调递增，可得ln：Vlnl=0,0=Igl<lg3<IglO=1.

因函数y=2%在R上单调递增，则A?>21=2.故In：<Ini=0=Igl<lg3<1<21-2,

即a>b>c.

故选：A

【典例1-2】(2024•高三•黑龙江鸡西•期中)已知函数/(%)=2"+%,g(%)=log2%+%,/1(%)=j十%的零

点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.

"(0)=2。+0=1>0,/(-I)=2-1-1=一]<0,故一1<a<0,

'-'9Q)—log21+|——1<0>或1)=log21+1=1>0,故。<b<1,

/i(0)=0,故。=0,

••-a<c<b.

故选：B.

巧

利用指对募函数的单调性判断

【变式1-11已知a=logstb=logo.52,c=e-2,比较a,b,c的大小为()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【解析】因为函数y=logs%在(0,+8)上单调递增，

所以a=log56<logs5=1,

又cVl,所以a>c,又因为函数y=logo,5%在(0,+8)上单调递减，

所以b=log052<log05l=0,因为c>0,

所以bVc,综上，a>c>b.

故选：C.

【变式1.2］已知a=0.33兀，b=G)(e为自然对数的底数)c=tanl,比较a,b,c的大小()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】由三角函数线可得：不等式tanx>x>sinx,xG(0,§,

则c=tanl>1,

又函数y=%e为增函数，y=0.33%为减函数，

则1>(J)'>Q)e>0,33e>0.33">0,

所以1>b>a,

综上所述：c>b>a,

故选D.

I命题预测］

_53

1.(2024•江西新余•一模)故a=0-b=Qy,c=log3号，则〃，b,c的大小顺序是()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

_553

【解析】a=0，=(J>b=Qy>1=log3y>C=log3y,

所以c<b<a,

故选：D

2.已知实数a,6满足2a+a=2,b=logi63,贝U()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小无法判断

【答案】A

【解析】函数f(%)=2%+%在R上单调递增，且/(}=鱼+[<2,则由2。+。=2,得

又b=log163<log164=I，所以a>b.

故选：A

题型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024・高三・江西•期中)已知a=ln2,b=cos2,c=\则a,b,c的大小顺序为()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【解析】CL=ln2>InVe=$b=cos2<0,c=(1)=22=4,贝！Jc>a>b.

故选：A

q1

【典例2-2】三个数a=sin-,b=2"c=ln3一ln2的大小顺序是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】a=sin|E(0,1),b=2^>1,c=ln3—ln2=ln|G(0,1),

所以b最大，

因为g<|<p所以?<sin|<1,

因为2Ve,所以五，则In]Vin五=±所以sin1>In。,

422222

即c<a<b,

故选：B

国in

寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

2

【变式2-1]已知Q=log23,b=(|))c=cos(-1兀)一sin(-3，比较a,b,c的大小为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解析】易知c=cos(_|%)-sin-cos|+sin|=|,

a=log23>log2(2应)=|=(|)=c>b=(|)\

故选：B

2

【变式2.2］已知a=ln4,b=lg4,c=则()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

21

【解析】因为ln4>Ine=1,lg4<IglO=1,lg4>IgVlO=&『<g)5=|,

2

所以GJV恒4<In%所以c<b<a.

故选：A.

LI--命--题---预--测-J

1.已知a=logo,48,b=log060.5,c=log23,则()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】a=log048<log041=0,而0.65=V0.216<A/0.25=0.5<0.6,

则1=log060.6<log0,60.5<log0,60.65=|,又©=log23>log22V2=|,

所以c>b>a.

故选：D

2.已知a=(,b=粤，c=*则()

ln4ln22

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

==loe3

【解析】由题意可得：a='^S2»^=^|=log2»c=|=log222=log2V8,

因为3>%>e,且y=log2》在定义域(0,+8)内单调递增，

可得logz3>log2V8>log2e,所以力>c>a.

故选：D.

3.已知二二*&7,b=1.40-7,c=0.714,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

1407

【解析】由于Q=log140.7<log14l=0,0<c=0,7<0.7°=1=1.4°<1,4-=b,

所以a<c<b.

故选：B

题型三：含变量问题

bd2a2a

【典例3-1][新考法]若0<2aVbV1,xr=a,x2=(2a),x3=b,x4=(2h),贝!!()

A.gV的V<上B.<x2<x3<x4

C.x2<<x4<x3D.x3<x4<xr<x2

【答案】B

【解析】方法一：因为b>0,所以函数、=/在(0,+8)上单调递增.

因为a>0,所以a。<(2a)%即汽i<%2・

2a

同理，由函数y=久2a在(0,+8)上单调递增，得炉。<(2h),即％3<%4・

因为0<2aVb,所以(2a)2avb2a.

因为0V2aVI,所以y=(2a)%在R上单调递减，

所以(2。)匕V(2a)2%所以(2。)匕V炉气即泡<X3，

所以久1<x2<x3<x4.

方法二：

由0<2a<b<1,令a=b=-,

82

X

因为乎<9(等<L所以乂1<x2<^3<4-

4ZZ

故选：B.

mn

【典例3-2](2024・高三・河北邢台•期中)已知1<7nV?i<2,a=n,b-m,c=lognm,则a,hc的大小

关系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】因为1<mV荏V2,所以y=nx,y=mx,y=log^%在(0,+8)上均单调递增,

m1n1

所以a=n>n>1,b=m>m>1,c=lognm<lognn=1,即a>c,b>c,

对于a,b,构造函数/(%)=等=>,(%)=

易知e>x>0时，/'(x)>0,即此时函数单调递增，则/(m)</(九)今若<黑，

所以nImn<mlnn=>lnmn<lnnm,

因为y=In%在(0,+8)上单调递增，所以血九<nm,

综上a>b>c.

故选：A

对变量取特殊值代入或者构造函数

【变式3・1](多选题)已知正数a,b满足—lnb)=l,贝lj()

A.e<b<e2B.ea+^->2

ea

C.ea>bD.ea-\nb>1

【答案】BCD

【解析】对于A中，因为a>0,可得0<e<1,又因为1—ln6=2，所以0<l—Inb<1,

可得0<lnb<l,解得l<6<e,所以A不正确；

对于B中，由a>0,则e。>1,贝Ue。+^>2卜/=2,

当且仅当ea=:即a=0时，等号成立，因为a>0,所以6。+2>2,所以B正确，

对于C中，由函数/(%)=ex—x—1,可得/'(%)=ex—1,

当久<0时，/'(%)<0,/(%)单调递减；

当％>0时，/<(%)>0,/(%)单调递增，

所以丁(%)min=f(0)=0，则f(%)=ex-%-1>0,即e%>x+1,

当且仅当％=0时，等号成立，

因为a>0时，因为ea(l—lnb)=1,可得1-Inb=«一。>—a+1,

所以Q>lnb,即/>乩所以C正确；

对于D中，由l—lnb=e-。，所以e。+1—Inb=e。+。>2,可得e。—lnb>l,所以D正确.

故选：BCD.

【变式3-2](2024•陕西西安•统考一模)设a>b>0,a-l-b=1且％=-弓),y=logia,z=log/i+i\a/?,则

x,y,z的大小关系是()

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

【答案】A

【解析】由a>b>0,。+b=1,可得0<bV：Va<l,

则z=logg+工产力=loga+fett/?=logj_ab=-1

因为0Vb<1,所以log。。<logbb=1,则'=logz。=~^°Sba>Tog匕b=-1,

因为X=-<-1，所以x<z<y.

故选：A.

命题预测

1LJ

--------------------A

1.(多选题)若0Va<b<c,且Iga+Igb+Ige=0,则下列各式一定成立的是()

A.2a+2”>4B.ab<1C.a+c2>2D.a2+c>2

【答案】BC

【解析】因为Iga+Igb+Ige=0,所以Igabc=0,则abc=1,

又由于0<a<b<c,所以0<a<l,c>1,ab=+贝!JQ/JV1,故B正确；

因为：>1,所以a+c2>2芯7=2H>2,故C正确；

bW

当a=±b=1,c=2时，可2。+2匕=&+2<4,故A错误；

当a=看b=叁,c=弓时，a2+c=|+|<2,故D错误.

故选：BC.

2.(多选题)若0Va<b<1,贝IJ()

A.ab<baB.ab+1<a+b

ra

C.<b-D.loga(l+b)>logb(l+a)

【答案】AC

【解析】A选项中，因为0Va<l,故丫=a”在R上单调递减，故a。Va。，

因为y=久。在(0,+8)上单调递增，故於<b。，综上，0b<a。<b。,A正确；

B选项中，由于a+b—ab—1=(a—1)(1—6)<0,而已知0Va<bV1,所以B不正确;

C选项中，a1-/?<h1-a<=>(1—h)lna<(1—a)lnhQ

设"X)=粤(0<X<1)，则尸口)=^?(0<x<1)，

设g(%)=Inx+：-1(0<x<1),

则g'(久)=妥<o=>g(%)>g(l)=0=>/'(久)>0,

所以/(%)在(0,1)上递增,这样f(a)Vf(b),故C正确；

D选项中，取a=gl=g则logaQ+b)=log』=log工零，log>。+。)=1唯?

又2=逋〉u>1,故loga(l+b)=log]<log6(l+a)=log!^,所以D错误.

3999§39

故选：AC.

题型四：构造函数

【典例4-1】(2024•陕西咸阳・模拟预测)已知口=绊,6=竽,c=；,则a,6,c的大小为()

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因为。=竽=?=¥1Ine

C=­2e2e

设/(X)=臂中＞

「•(2%)-21n%_—in%

则/(%)=

3)22x2

所以当%€(0,e)时,/'(%)>0,/(%)单调递增;

当％W(e,+8)时,/\x)<0,/(%)单调递减;

所以a=f(2)</(e)=c,b=/(3)</(e)=c,

31n2ln8,ln921n3ln3

又因为a=?—=—V—=———=7b，

4121212126

所以C>b>a.

故选：D.

【典例4-2](2024.全国•模拟预测)若。=坐，b=-,c=—,则a,b,c的大小顺序为()

ez2e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】构造函数/(x)=臂，则a=/(9),b=f(e),c=/(2),

由f'(x)=詈,令尸(x)>0得0<x<e,令<。得x>e,

则f(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

因为2<e,所以f(2)<f(e),所以c<b；

因为e<所以f(e)>f(D，所以6>a；

2

令%1冷=e,Ml<Xi<e<x2,则/(尤1)-/(%2)=~f(3)=署-0-署)*1,

令9(乃=皆一读空xc(l,e),

1-lnx1-lnx02T2

则g'。)=0,

2x2=(ln龙)声〉

所以g(x)在(l,e)上单调递增,

又g(e)=0,所以g(x)<0,所以/(xj<f(x2)>

因为]x2=e2,JEL1<2<e<y,所以a=f(])>f(2)=c,所以c<a<b.

故选：B

构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。

“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若

函数g(x)单调递增，则%2为2Og(%)»g(x2)；若函数/(X)单调递减，%2X2Og(xjwg(x2)”

判断.

“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数.

【变式4-1］［新考法］设函数/0)=x+Inx,5(x)=xlnx-1,h(x)=1-(+；+■在(0,+8)上的零点分

别为a,b,c,则a,4c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】因为/'(x)=x+Inx,f'(x)=1+>0,所以/(%)在(0,+8)上单调递增，

又因为/G)=>E20<0/(1)=10>0,所以存在Q€&1)使得/(a)=0,

所以a€G，1),

因为g(%)=xlnx—1,g’(x)=In%+1,令“(%)=0,解得％=

当久e(o,g)时，“(%)V。，则g(%)在(0,,上单调递减，

当汽GG，+8)时，g'(x)>0,则g(x)在(0*)上单调递增，

又因为g(l)=—1<0,g(2)=21n2-1>0,be(1,2),

又h(x)=1_1+：+?xE(0,+oo),所以"(x)=g+1+[>0,所以h(x)在(0,+8)上单调递增,

又八©)<0,h(l)>0,所以存在ceg,1)使得Me)=0,所以b最大，

因为？=e=,=7^〉为所以In?>1吟=IneF=_|>

8—1.6V2.56Ve8Ve2

/f->)=ln-+->-0.5+->0,aep,-\

J\87888\28/

又=l冶+卷+曰<5•,・，€61)

a<c<b.

故选：B.

【变式4・2]已知a=遮，b=ln(V5+1),c=试比较a,b,c的大小()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】设m(%)=Inx-x+1,

则当%>1时m'(%)=(—1V0,m(%)单调递减，

故6(遮+1)=ln(V5+1)—(V5+1)+1<m(l)=0,

故ln(V5+1)<逐,进而b<a,

设九(%)=41nx+x—6,

由于函数y=Inxfly=久均为定义域内的单调递增函数，

所以几(%)=41nx+%-6为(3,+8)上的单调递增函数，

因此几(6+1)=41n(V5+1)+(V5+1)-6>n(3)=41n3-3>0,

故41n(麻+1)+(有+1)—6>0nln(V5+l)>弋机=千，

故b>c,

因此a>b>c,

故选：B

命题预测

1.已知a=ln(sinl.O2),b=―:—,c=lnl.02,贝!j()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】c

【解析】因为y=sinx在(0彳)内单调递增，

则0=sinO<sinl,02<sin]=1,即sinl.02G(0,1),

又因为y=In%在(0,+8)内单调递增，

则a=ln(sinl.O2)<Ini=0,c=lnl.02>Ini=0,可得a<c；

令％=0.02,贝帕=~7=fc=1n(l+x),

构建/(%)=ln(l+x)--^=,x>0,

则:（%）=土Vl+X——(yiT7_i)2

l+x2(l+x)Vl+x

可知/（%）在（o,+8）上递减,则y（o.o2）<y（o）=o,即c<司

综上所述：a<c<b.

故选：C.

2.若a=gb=cos(1—c=-,则a、b、c满足的大小关系式是().

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