中考数学专项复习：二次函数的图象及性质（10个高频考点）解析版

专题12二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三）

【考点1二次函数的定义】.....................................................................1

【考点2二次函数的图象与性质】..............................................................3

【考点3二次函数的图象与系数的关系】.........................................................6

【考点4二次函数的对称性】..................................................................11

【考点5二次函数的最值】....................................................................21

【考点6待定系数法求二次函数的解析式】.....................................................29

【考点7二次函数图象的平移】...............................................................42

【考点8二次函数与一元二次方程】...........................................................50

【考点9利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】.......................................58

【考点10二次函数与不等式】..................................................................65

»加芦,工二

【要点1二次函数的概念】

一般地，形如y=a/+bx+c（a、b、c是常数，aW0）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c

是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=a/+bx+c（a、b、c是常数，aWO）也叫做二

次函数的一般形式.

【考点1二次函数的定义】

【例1】（2022•安徽合肥•校考一模）已知y=（ni+2）浦加+2是关于x的二次函数，那么根的值为

【答案】2

【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2,系数不为0,列式计算即可；

【详解】解：••・y=（m+2）x㈤+2是y关于x的二次函数，

.,.|m|=2Jlm+2^0,

解得m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键.

【变式1-1]（2022•湖南怀化・中考真题）下列函数是二次函数的是（）

A.y=2x+1B.y=—2x+1C.y=x2+2D.y=|x—2

【答案】C

【详解】根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，axO)的函数叫做二次函数,

所给函数中是二次函数的是y=x2+2.

故选C.

【变式1-2](2022•重庆永川•统考一模)某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm,把

这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是()

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.反比例函数关系D.二次函数关系

【答案】D

【分析】设底面边长为xcm,则正方体的高为(x+50)cm,设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系,

根据关系式即可作出选择.

【详解】设底面边长为xcm,则正方体的高为(x+50)cm,设总费用为y元，

由题意得：y=16[2%2+4x(%+50)]=96x2+3200x,

这是关于一个二次函数.

故选：D.

【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式.

【变式1-3](2022■江苏徐州•统考一模)请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a*0)

的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减

小.这样的二次函数的解析式可以是.

【答案】答案不唯一，只要满足b=-4a,a<0即可，如y=-x?+4x+3,y=-2x?+8x—3等.

【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果.

答案不唯一，如y=—(x+l)2或y=—(x+1产-2.

考点：二次函数的性质

点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.

【要点2二次函数的图象与性质】

二次函数的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|。|越大,

抛物线的开口越小；|。|越小，抛物线的开口越大。

y=ax2y=ax2+/cy=a(x-h)2y=a(x~h)2+ky=ax2+bx+c

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx--------

la

(b4ac—b2

(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

I2a94a/

顶点。>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；。<0时，顶点是最高点，此时y有最大

值。最小值（或最大值）为0（k或--------）。

4a

1）

X<o（h或——）时，y随X的增大而减小；x>0（/7或——）时，y随X的增大而增大。

2a2a

增a>0

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。

减

Z?b

x<o（h或----）时，y随x的增大而增大；x>0（/）或-----）时，y随x的增大而减小。

性

a<02a2a

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。

【考点2二次函数的图象与性质】

【例2】（2022•湖北荆门•统考中考真题）抛物线y=1+3上有两点A（月，”），B（尤2,以），若”〈力,

则下列结论正确的是（）

A.0<x/<%2B.X2<Jr；<0

C.X2<X6O或0WX/C&D.以上都不对

【答案】D

【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定.

【详解】回抛物线y=/+3开口向上，在其图象上有两点A（尤/,”），B（尤2，>2），且以<>2，

回⑶I<|X2|,

EI0<X7<X2>或％2<尤60，或尤2>0,X/40且无2+X/>0,或无2<0,尤7>0且刈+彳/<0,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键.

【变式2-1]（2022•湖南郴州，统考中考真题）关于二次函数y=（久一1）2+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，是大值是5D.当刀>1时，y随尤的增大而增大

【答案】D

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可.

【详解】解：对于尸（X-1）2+5,

Elo=l>0,故抛物线开口向上，故A错误；

顶点坐标为（1,5）,故B错误；

该函数有最小值，最小值是5,故C错误；

当%>1时，y随x的增大而增大，故D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与

坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

【变式2-2］（2022•青海西宁・统考中考真题）如图，"BC中，BC=6,BC边上的高为3,点。，E,尸分别

在边BC,AB,AC上，且E脱BC.设点E到的距离为x,△£>£厂的面积为》则y关于x的函数图象大

致是（）

【分析】过点A向作AH02C于点X,所以根据相似三角形的性质可求出EF进而求出函数关系式，由

此即可求出答案.

【详解】解：过点A向2C作A/ffiBC于点

解得：EF=2(3-尤)，

则OZJEF的面积y=?2(3-x)x=-x2+3x=-(^-j)2+^,

故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(|,》的抛物线.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键.

【变式2-3](2022•江苏盐城•统考中考真题)若点P(w,①在二次函数y=/+2刀+2的图象上，且点P到y

轴的距离小于2,贝切的取值范围是.

【答案】1Wn<10

【分析】先判断一2<m<2,再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=(m+I)2+1,再利用二次

函数的性质求解n的范围即可.

【详解】解：•••点P到y轴的距离小于2,

—2<m<2,

•・・点在二次函数y=/+2%+2的图象上，

••・n=m2+2m+2=(m+l)2+1,

・,・当血=一1时，九有最小值为1.

当m=2时，n=(2+I)2+1=10,

・•.九的取值范围为1<n<10.

故答案为：1W荏V10

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握''二次函数的增减性〃是解本题的关键.

【要点3二次函数的图象与各系数之间的关系】

①二次项系数a：总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，。的正负决定开口方向，时的大小决定

开口的大小.

b

②一次项系数6：在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置，对称轴x=——在y轴左边则ab>。,

2a

在y轴的右侧则ab<0,概括的说就是“左同右异”

③常数项c：总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.

【考点3二次函数的图象与系数的关系】

【例3】（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）如图，二次函数（a为常数，且axO）的图象过点（-1,

0）,对称轴为直线尤=1,且2<c<3,则下列结论正确的是（）

A.abc>0B.3a+c>0

C.a2m2+abm<a2+ab（相为任意实数）D.-l<a<-|

【答案】D

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案.

【详解】解：A.抛物线的对称轴在y轴右侧，则仍<0,而c>0,

故a6c<0,不正确，不符合题意；

B.函数的对称轴为直线X=-2=L则6=-2a,

2a

团从图象看，当时，y=a-b+c=3a+c=0,

故不正确，不符合题意；

C.团当x=l时，函数有最大值为y=a+b+c,

0am2+bm+c<a+6+c（m为任意实数），

2

0am+bm<a+b9

团〃VO,

2

团a27n2_|_abm>a+ab（m为任意实数）

故不正确，不符合题意；

D.IE--=1,故氏-2”，

2a

取=-1，y=O,故a-b+c=O,

0c=-3a,

EI2<c<3,

02<-3a<3,

0-l<a<-I，故正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型.

【变式3-1]（2022•内蒙古・中考真题）如图，抛物线y=a/+6x+c（a片0）的对称轴为直线久=1,抛

物线与x轴的一个交点坐标为（一1,0））,下列结论：®abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，尤的取值

范围是—1《比<3；④点（―2,%），（2,%）都在抛物线上，则有其中结论正确的个数是（）

【答案】C

【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值彳=；可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上

方的图像，可判断③错误，求出乃=4a-2b+c,y2=4a+2b+c,结合①②的结论即可判断出④正

确.

【详解】回抛物线的开口向下，a<0,对称轴为x=l,

勖=—2a>0,

回抛物线交于y轴正半轴，

配>0,

回abc<0,故①正确；

团抛物线与％轴交于（-1,0）,

团当x=-l时，a—Z）+c=0,

勖=-2a,

团将b=—2a代入a—b+c=0,得3〃+c=0,故②正确；

根据图像可得，当>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点卜L。），对称轴为m1，

根据抛物线的对称性可得，抛物线过点⑶0）,

啦>0时，有一1<%<3,故③错误；

团抛物线与％轴的两个交点为：（-1,0）,⑶0）,对称轴为ml,

当x=-2时，yi=4a—2b+c,

当x=2时，丫2=4a+2b+c,

团b=-2a,3a+c=0,a<0,

团y】=4a—2（—2a）+（—3CL）—5aV0,y2—4a+2（-2a）+（-3a）=-3a>0,

0y1<O<y2>故④正确，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开U方向，b往往看对称轴,

c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等.

【变式3-2］（2022,湖北荆门•统考中考真题）抛物线y=a『+bx+c（a,b,。为常数）的对称轴为x=-2,

过点（1,-2）和点（孙yo）,且c>0.有下列结论：①a<0；②对任意实数机都有：am2+bm>^a-2i>；

③16a+c〉4b；④若x（）>-4,则y（）>a其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据抛物线>=加+次+。（a,b,c为常数）的对称轴为x=-2,过点（1,-2）且c>0,即可判

断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛

物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④.

【详解】El抛物线>=加+笈+。（a,b,c为常数）的对称轴为x=-2,过点（1,-2）,且c>0,

回抛物线开口向下，则。<0,故①正确；

团抛物线开口向下，对称轴为元=-2,

13函数的最大值为4a-2b+c,

团对任意实数7"者B有：am2+bm+c<4a-2b+c,BPam2+bm<^a-2b,故②错误；

回对称轴为x=-2,c>0.

El当x=-4时的函数值大于0,即16a-4Z?+c>0,

E116a+c>4i>,故③正确；

回对称轴为x=-2,点（0,c）的对称点为（-4,c）,

团抛物线开口向下，

团若-4<配<0,R0yo>c.若&20,My0<c,故④错误;

故选：B

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二

次函数的性质.

【变式3-3]（2022•辽宁丹东•统考中考真题）如图，抛物线y=d+bx+cQ/0）与无轴交于点A（5,0）,

与y轴交于点C,其对称轴为直线尤=2,结合图象分析如下结论：®abc>0；②b+3a<0；③当x>0时，

y随尤的增大而增大；④若一次函数y=fcr+6（麻0）的图象经过点A,则点Eb）在第四象限；⑤点M

。=半.其中正确的有（）

6

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得6=-4“，可得结论；③

错误，应该是x>2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出人>0,可得结论；⑤正确，设抛物线的解析

式为y=a（x+1）（x-5）=a（x-2）2-9a,可得M（2,-9a）,C（0,-5a）,过点M作轴于

点H,设对称轴交无轴于点K.利用相似三角形的性质，构建方程求出。即可.

【详解】解：回抛物线开口向上，

团〃〉0,

团对称轴是直线％=2,

团-2=2,

2a

勖=-4«<0

国抛物线交y轴的负半轴，

团cVO,

团〃bc>0,故①正确，

团Z?=-4〃，a>0,

HZ?+3«=-«<0,故②正确，

观察图象可知，当0<公2时，y随x的增大而减小，故③错误，

一次函数y=kx+b(bO)的图象经过点A,

Sb<0,

0A->O,此时£(k,b)在第四象限，故④正确.

回抛物线经过(-1,0),(5,0),

回可以假设抛物线的解析式为y=〃(x+1)(x-5)=a(x-2)2-9a,

0M(2,-9a),C(0,-5a),

过点M作MHSy轴于点H,设对称轴交x轴于点K.

HAM0CM,

SSAMC=SKMH=90Q,

^\CMH=^1KMA,

加必=90°,

^MHC^MKA,

^MHCH

团—MK=丁AK,

加2=工,

6

加〉0,

刖=渔，故⑤正确,

6

【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方

程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

【考点4二次函数的对称性】

【例4】(2022•四川自贡•统考中考真题)已知A(-3,-2),B(l,-2),抛物线y=a/+Zzr+c(a>0)顶点在线段

上运动，形状保持不变，与x轴交于C,。两点(C在。的右侧)，下列结论：

①C2-2;

②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABC。为平行四边形时，。=也

其中正确的是()

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】根据顶点在线段A8上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，可判断①；

根据二次函数的增减性判断②；先确定x=l时，点。的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求

出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0,利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达

式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得然后列出方程求出a的值，判断④.

【详解】解:回点A,8的坐标分别为(-3,-2)和(1,-2),

回线段与y轴的交点坐标为(0,-2),

又回抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与〉轴的交点坐标为(0,c),

团C-2,(顶点在y轴上时取故①正确；

回抛物线的顶点在线段A2上运动，开口向上，

国当尤>1时，一定有y随尤的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线x=-3,

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3,故③正确;

令y=0,贝!Ja^+bx+c=Q,

设该方程的两根为力，X2,则切+%2=-2,X]X2=-^

aa

0CZ)2=(X1-X2)2=(X7+X2)2-^XlX2=(--)2—4x-=--学,

aa

根据顶点坐标公式，与口=-2,

4a

聆士=_8,即匕丝£=8,

aa

回四边形ACDB为平行四边形，

SCD^AB^l-(-3)=4,

吟=42=16,解得故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系

数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况.

【变式4-1](2022・四川成都・统考中考真题)如图，二次函数丫=a/+bx+c的图像与x轴相交于4(-1,0),

B两点，对称轴是直线x=1,下列说法正确的是()

A.cz>0B.当x>—l时，y的值随x值的增大而增大

C.点B的坐标为(4,0)D.4a+26+c>0

【答案】D

【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可.

【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0,故该选项不符合题意；

B、根据图像开口向下，对称轴为x=l,当x>l,y随久的增大而减小；当x<l,y随x的增大而增大，故

当-1<X<1时，y随x的增大而增大；当x>l,y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；

C、根据二次函数y=a/+法+c的图像与x轴相交于力(-1,0),B两点，对称轴是直线x=L可得对称轴

x=还产=1,解得4=3,即B(3,0),故该选项不符合题意；

D、根据8(3,0)可知，当x=2时，y-4a+2b+c>0,故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴交

点4(-1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键.

【变式4-2](2022•北京昌平•统考二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a/+bx-l(a>0).

吁了

3-

2-

1

I________I________I________]__________I_____I_________I_______I_________I_______I_______I_________

-4-3-2-1O1234567x

-1

(1)若抛物线过点(4,—1).

①求抛物线的对称轴；

②当-1<%<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合

条件的图像，求出这个抛物线的表达式；

(2)若(-4,乃)，(-2,%)，(1,乃)为抛物线上的三点且为〉%>必，设抛物线的对称轴为直线"=3直接写

出t的取值范围.

【答案】⑴①x=2；@y=|x2--1

(2)-3<t<-|

【分析】①把(4,-1)代入解析式，确定6=-4〃，代入直线比=-/计算即可.

②根据对称轴为直线x=2,且2-(-1)=5-2,判定抛物线经过(-1,0)和(5,0),代入解析式确定a,b的

值即可.

(2)方法一：根据％=-5=3得到b=-2at,从而解析式变形为y=a/-2atx—l(a>0),把(―4,y1)，

(-2/2)，(1,%)分别代入解析式，根据丫3>%>%，列出不等式组，解不等式组即可.

方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小.

(1)

解：①把(4,-1)代入解析式y=a/+取一i(a>0),得

—1=16a+45—1,

解得。二-4a,

团对称轴为直线”=—2=--=2.

2a2a

回当-l<x<0时，图像在x轴的下方，

当5<x<6时，图像在久轴的上方，

对称轴为直线x=2,且2-（-1）=5-2,

回抛物线经过（-1,0）和（5,0）,

（a-b-1^0

125a+5b-1=0

解得15，

b=-54

14

By=-x£7--X—1.

⑵

^\x=——=t,

2a

助二-2”,

团解析式变形为y=ax2-2atx-l（a>0）,

把（一4,丫1）,（一2,丫2），（1,%）分别代入解析式，得出=。-2at-l,yi=16a+8at-1,丫2=4a+4at—1,

皿>>>2，

ct—2at-l>16a+8at—1

a—2at—1>4a+4at—1,

{16a+8at-1>4Q+4at—1

（3

t<--

2

解得（t<，

U-3

故t的取值范围是—3VtV—|.

方法二：若（一4,yJ,（-2,丫2），（1/3）为抛物线上的三点且丫3>丫1>为，对称轴为X=3

vy=i%2_-1,a=|>0,开口向上，

①当tv-4,则丫1〈丫2〈丫3，不符合题意，

②当一4<t<一2时，•・・y3>>y2

**•t—（—4）>—2—t

解得t>-3

，-3VtV—2

③当一2<t<1,vy3>yi>y2

・•・t-(-2)<1-1,1-1>t-(-4)

解得t<—I，t<—|

3

—2<t<——

综上所述，—3<tV—T

【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对

称性，与不等式的关系是解题的关键.

【变式4-3］(2022•吉林长春•统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=/一版(6是常数)经过

点(2,0).点A在抛物线上，且点A的横坐标为机(小70).以点A为中心，构造正方形PQMN,PQ=2\m\,

且PQ1x轴.

⑴求该抛物线对应的函数表达式：

(2)若点8是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C,连接8C.当

BC=4时，求点B的坐标；

⑶若根>0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求

相的取值范围；

⑷当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为［时，直接写出m的值.

【答案】(l)y=x2-2x

(2田(T3)

(3)0<m<［或zn>3

(4)m=—g或m=［或m=|.

【分析】(1)将点(2,0)代入y=/-bx,待定系数法求解析式即可求解；

(2)设以利病-2m),根据对称性可得。(2-犯病—2m),根据=4,即可求解；

(3)根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形PQMN点Q在久轴上时，此时M与。点重合，当PQ经过抛

物线的对称轴第=1时，进而观察图像即可求解；

(4)根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解.

(1)

解：回抛物线y=/-匕刀(6是常数)经过点(2,0)

回4-2b=0

解得b=2

y=x2—2x

(2)

如图,

则对称轴为直线x=1,

设B(m,巾2—2m),则C(2—m,m?—2小)

BC=2—m—m=4

解得m=-1

(3)

,・•点A在抛物线上，且点A的横坐标为加小*0).以点A为中心，构造正方形PQMN,PQ=2|m|,且PQlx

轴

MN=PQ=2\m\,且M,N在y轴上，如图,

①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形PQMN点Q在%轴上时，此

时M与。点重合，

•••PN=PQ

•••0P的解析式为y=x

・•・A(jn,m),将4(m,7n)代入y=x2-2x

即?^2—2m—m=0

解得血1=0,TH2=3

m>0

••.4(3,3)

观察图形可知，当山23时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；

②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴x=1时,

MQ=PQ=2\m\,m>0

2m=1

解得m=I，

观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随尤的增大而增大;

综上所述，"2的取值范围为0<爪W(或m23

(4)

①如图，设正方形与抛物线的交点分别为E,F,当yE-即=［时，则MN=：

4是正方形PQMN的中心，A(jn,m2-2m)

...|煤=|MW=|

NO

即m=—|

V

②如图，当4点在抛物线对称轴左侧，y轴右侧时,

•••A(m,m2—2m)

.・.MN=2m

199

•••=374+-MN=yAm=—2m+m=—m

•••交点的纵坐标之差为三，

4

尸的纵坐标为ZU?_m_2

4

F的横坐标为MQ=PQ=2m

・•・F(2m,m2—m—

・•,尸在抛物线y=x2-2x_t,

3

•­m7—m——=(2m)7—2x2m

4

解得Hl=I

③当4在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为。，S,设直线ZM交汇轴于点T,如图,

3

贝WN=7s=7

3

.・.OM=0T=-

4

即M（O，J，NG，O）

设直线MN解析式为y=kx+b

（~k+b=O

则3.

k=-l

解得,3

b=-4

・・・直线MN解析式为y--x+

联立y=x2-2x

解得Xi=|,x2=-|（舍去）

即4的横坐标为I，即m=|,

综上所述，m=-|或m=[或m=|.

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质

是解题的关键.

【考点5二次函数的最值】

【例5】（2022,浙江衢州•统考中考真题）已知二次函数y=a（x-—a（a力0）,当时，y的

最小值为一4,贝l]a的值为（）

A.［或4B.［或一］C.一］或4D.一］或4

【答案】D

【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答.

【详解】解：二次函数y=a(%-l)2-a(aW0)的对称轴为：直线久=1,

(1)当a>0时，当一14%41时，y随％的增大而减小，当1工久工4,y随汽的增大而增大，

当％=1时，y取得最小值，

・•・y=a(l—l)2—a=—4,

・•・a=4；

(2)当aVO时，当一14%<1时，y随汽的增大而增大，当14%工4,y随工的增大而减小，

.,・当％=4时，y取得最小值，

•••y=a(4—l)2—a=-4,

1

CL=---.

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键.

【变式5-1］(2022•浙江丽水•统考中考真题)如图，已知点M(Xi，yi),N(>2，y2)在二次函数V=双*一2)2-

⑴若二次函数的图像经过点(3,1).

①求这个二次函数的表达式；

②若％=%,求顶点到MN的距离；

(2)当/3久W久2时，二次函数的最大值与最小值的差为L点N在对称轴的异侧，求。的取值范围.

【答案】(D①y=2x2-8x+7；②］

14

(2/勺

【分析】(1)①将点(3,1)代入y=a(x-2)2-l(a>0)中即可求出二次函数表达式；

②当月=乃时，此时MN为平行x轴的直线，将M(Xi，yJ,N(X2，y2)代入二次函数解析式中求出小+%i=4,

再由犯-%!=3求出直线MN为y=最后根据二次函数顶点坐标即可求解；

(2)分两种情形：若M,N在对称轴的异侧，>y2；若M、N在对称轴的异侧，<y2,x,<2,分别求

解即可.

【详解】(1)解：①将点(3,1)代入y=a(x-2)2—l(a>0)中，

01=a(3-2)2-1,解得a=2,

回二次函数的表达式为：y=2(%—2)2—1=2%2-8%+7；

②当月=为时，此时"N为平行x轴的直线，

将M(X],%)代入二次函数中得到：-2xr2一8%I+7,

将N(>2，y2)代入二次函数中得到：丫2=2g2-8%2+7,

fflyi=y-i，

02/2-8尤1+7=2冷2—8%2+7,

整理得到：(X]+%2)(比1-42)-4(%-犯)=。，

-17

又回二2—=3,代入上式得到：％2+=4,解出％1=-,x2=5，

17

2\28

力Xzll-X-y--

-=-J222

v2

又•・•二次函数的顶点坐标为(2,-1),

回顶点(2,-1)到MN的距离为T+1=|；

(2)解：若M,N在对称轴的异侧，y1>y2,

以7+3>2,

耿>-1,

团股一%i=3

回%14p

0-K%!<

回函数的最大值为y产〃(xy-2)2-1,最小值为-1,

团y-(-1)=1,

1

加工;----,

(Xi-2)2

01-2）2<9,

4

0i<a<-；

99

若M、N在对称轴的异侧，yi<y2,xi<2,

团%1>

叱<%iV2,

回函数的最大值为y=a（乃-2）2-l,最小值为-1,

既（-1）=1,

i

团〃二;----,

屋<01+I）2<9,

回―<a<一,

99

综上所述，a的取值范围为2<a<.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当

开口向上（向下）时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大（越小）.

【变式5-2］（2022•山东济南•济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=/一

2尤—3与无轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点.连接AO交y轴于点E,点尸在第四象

限的抛物线上，连接ZP、BE交于点G,设卬=5447?6：54/?6「，则卬的最小值是（）

A“.—24B-.25—C〃.-5Dr.—145

2524816

【答案】A

【分析】根据已知条件设P（m,zn2一2m-3）,其中0V?nV3,求得直线/P的解析式，直线BE的解析式，

82

联立即可求得点G的坐标，根据w=i~2幺：1产——=__令z=-3m+8血+3=-3（nt-+

2

^B-\yp\-lAB\yG\-3m+8m+3\3）

根据二次函数的性质求得Z的最大值，即可求得W的最小值.

【详解】回点尸在第四象限的抛物线上，AP,8E交于点G,如图,

当y=0时，久2—2x—3=0,

解得%工=-1,X2=3,

即4(—1,0),8(3,0),

国。为抛物线顶点，

00(1,-4),

设直线2。的解析式为y=ax+b,

071(-1,0),£)(1,-4),

团

la+b=—4

解得：£=—3

lb=-2

团直线4)的解析式为y=-2%-2,

当％=0时，y=—2,

团E(0,-2),

设P(m,m2-2m—3),其中0VTHV3,

设直线/尸的解析式为y=ex+d,

l?L4(—1,0),P(m,m2—2m—3),

—c+d=0

回

m2—2m—3=cm+d

解得:㈡二

团直线4P的解析式为y=(m-3)x4-m-3.

设直线BE的解析式为y=ex+f,

M(3,0),E(0,-2),

3e+/=0

=-2

2

e=-

解得3

'=-2

回直线BE的解析式为y=|万一2,

y=(jn—3)x+m—3

联立方程组，得:

{y=|乂-2

3—3771

X=

3771-11

解得：<24-8m

y=

3m-ll

24-8m

0yG

00<m<3,

团24—8m>0,3m-11<0,

―24-8171„

IS-------------<0,

3m-ll

1.nl,8(m-3)

团W_S“BG_____2—B|yGl_____________37n-ll_______________________

m2+2m+3

S^BGP豺B|yp「豺8|泪3^-ii~-3m2+8m+3,

2

令z=—3m2+8m+3=—3(jn-+y,

团一3<0,

团当m=3时，z取得最大值g,w取得最小值为备=卷

团W有最小值，最小值为||.

故选：A.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法与三角形面积计算，二次函数的性质求最值问题，运

用转化思想是解题的关键.

【变式5-3](2022•天津滨海新•统考二模)己知：抛物线y=—紧2+9+。⑵。为常数)，经过点A(-

2,0),C(0,4),点B为抛物线与无轴的另一个交点.

⑴求抛物线的解析式；

(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当SP8C的面积最大时，求点尸的坐标；

(3)设点M,N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2,点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最

小值.

14

2++4

-%-X

【答案】(l)y33

(2)(3,5)

(3)275+2V10+2

【分析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；

(2)首先点B的坐标，再求出直线BC的解析式，过点尸作尸Mx轴于R交于点。，设点P(m,-1m2+

+4),Q(m,-|m+4),当m=3时，S”BC有最大值，即可求出点尸的坐标；

(3)由四边形AMNC的周长=4M+MN+CN+4C,得到当AM+CN最小时，四边形AMNC的周长最小,

得出AM+CN=AM+DM,求出力M+DM的最小值即可得到结论.

【详解】(])解：回抛物线y=—1/+b比+c经过点A(-2,0),C(0,4),

J-l-2b+c=O

Ic=4

解得F=3

Ic=4

国该抛物线的解析式：y=-jx2+^x+4

(2)解：回点B是抛物线y=+(x+4与光轴的交点，

14

0--xo2+-%+4=0,

33

回％1=-2,&=6,

团点3的坐标为(6,0),

设直线BC的解析式为y=kx+n,

团点5(6,0),C(0,4)

团(6k+n=0

In=4

解得尸号，

In=4

团直线BC解析式为：y=—1%+4,

如图，过点P作尸fWx轴于R