中考数学专项复习：勾股定理（六大题型60题）（解析版）

专题04勾股定理（六大题型，60题）（解析版）

目录

一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题.......................................

二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题..................6

三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题...............................14

四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题...............................25

五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题.............................36

六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题.......................44

一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题

1.（23-24八年级•甘肃张掖•阶段练习）下列各组数中是勾股数的是（）

A.2,3,4B.10,14,15C.8,11,12D.6,8,10

【答案】D

【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理逐项分析即可解答.

【详解】解:A.因为2?+32W42,则A选项不是勾股数，不符合题意；

B、因为IO?+14?2152,则B选项不是勾股数，不符合题意；

C、因为82+112/122,则C选项不是勾股数，不符合题意；

D、因为6+8?=102,则D选项是勾股数，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股数、勾股定理逆定理等知识点，已知三角形ABC的三边满足/+廿=02,

则三角形ABC是直角三角形；若a、b、c为正整数，则a、b、c为勾股数.

2.（23-24八年级•广东佛山•阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（）

A.0.3,0.4,0.5B.4,5,6C.0.5,1.2,1.3D.10,24,26

【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义解答即可；掌握勾股数是正整数，同时还需

验证两小边的平方和是否等于最长边的平方成为解题的关键.

【详解】解：A、0.32+0.42=0.52,但不是正整数，故选项错误；

B、42+52^62,不能构成直角三角形，故选项错误；

C、0.52+1.22=1.32,但不是正整数,故选项错误；

D,102+242=26\能构成直角三角形，是整数，故选项正确.

故选D.

3.（22-23八年级•广东茂名•期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）

A.5,12,13B.6,8,10C.12,16,20D.32,42,52

【答案】D

【分析】利用勾股数的定义进行分析即可.此题考查了勾股数，关键是掌握满足〃+62=02的三个正整

数，称为勾股数.

【详解】解：A、52+122=132,是勾股数，不符合题意；

B、62+82=102,是勾股数，不符合题意；

C、162+122=202,是勾股数，不符合题意；

D,162+92^252,不是勾股数，符合题意；

故选：D.

4.（23-24八年级•四川巴中•期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察

下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相

差1,柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；若此类勾股

数的勾为2加（机＞0,旭为正整数），则弦是（结果用含加的式子表示）（）

A.m2+1B.m2-1C.2m+2D.2m+3

【答案】A

【分析】本题考查勾股数，勾股定理，根据题意得为偶数，设其股是。，则弦为（。+2）,根据勾股定

理列方程即可得到结论.解题的关键是熟练掌握勾股定理.

【详解】解：：，"为正整数，

为偶数，设其股是a,

***弦为（a+2）,

根据勾股定理得：3）2+/=（〃+2）2,

解得：a=m2—If

・••弦是：6r+2=m2-l+2=m2+l.

故选：A.

5.（23-24八年级.山东枣庄.阶段练习）下列各组数是勾股数的是（）

A.4,5,6B.0.5,1.2,1.3C.1,2,3D.5,12,13

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定

理是解决问题的关键.

【详解】解：A、由42+52=41/36=62,该组数不是勾股数，不符合题意；

B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5,1.2,1.3不是勾股数，不符合题意；

C、由仔+22=5W9=32,该组数不是勾股数，不符合题意；

D、由52+122=169=132,该组数是勾股数，符合题意；

故选：D.

6.（23-24八年级•河南洛阳•阶段练习）下列各组数中，不是勾股数的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.6,8,10D.9,12,15

【答案】B

【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是

正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可.

【详解】解：A、32+42=52,能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意；

B、42+52^62,不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；

C、62+82=102,能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意；

D、92+122=152,能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意.

故选：B.

7.（23-24八年级•广东佛山•阶段练习）下列各组数是勾股数的是（）

A.1.5,2,2.5B.—,—,—C.3,4,5D.丛,^/4>卡）

【答案】C

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长

边的平方.

【详解】解：A、1.5,2,2.5都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；

B、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；

C、32+42=5"能构成直角三角形，所以是勾股数，故符合题意；

D、百,在，石都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义.

8.（21-22八年级•河南郑州•期末）下列各组数中，是勾股数的是（）

A.0.6,0.8,1B.-C.6,8,10D.1,2,下

345

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键.

根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可.

【详解】A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；

B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；

C、62+82=10\是勾股数，符合题意；

D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；

故选：C.

9.（23-24八年级.河北承德•期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1,一个边长为。的正方

形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8,且三个正方形所围成的三角

形是直角三角形，则a的值为；再经过一次“生长”后变成了图2.如此继续“生长”下去，第2024次

“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为（填数字）.

【答案】y/14：28350

【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直

角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键.

根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生长

后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可.

图1图2

•••第一个正方形的边长为a,

...第一个正方形的面积为

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

：.AC2+BC2=AB2=a2,即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为二,

."2=8+6,即a=J五，“生长”第1次后所有正方形的面积和为2/,

同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为3a2,

则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为2025〃=2025x14=28350,

故答案为：旧,28350.

10.（23-24八年级•湖北恩施・期末）观察下列表格中数组的规律.

组别数字等式

13,4,532=4+5

25,12,1352=12+13

37,24,2572=24+25

49,40,4192=40+41

根据上表的规律，写出第〃组的三个数字满足的等式：.

【答案】（2n+l）2=4n2+4n+l

【分析】根据题意，找出规律列式表示即可；本题主要考查勾股数，找规律，准确得出规律并列式是解

题的关键.

【详解】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2,第三列比第二列大1,

且三个数成勾股数

根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1

...第九组第一列数字为2力+1,

设第二列数为x,则第三列数为x+1,由勾股定理得：

（2w+l）2+x2=（x+1）~

解得：x=2//+2n

x+l=2rr+2/1+1

第n组的三个数字满足的等式是：（2及+1）?=（2/+24+（2〃2+2〃+1）=4n2+4w+1,

故答案为：（2"+1）2=4"2+4〃+1.

二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题

11.（23-24八年级•浙江宁波・期末）如图，在ABC中，ZACB=90,以,ABC的各边为边作三个正方

形，点G落在印上，若AC+3c=7,空白部分面积为10,则的长为（）

A.723B.721C.MD.726

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，解题的关键是证明

BAN"AFM（ASA）,得到四边形月VCN的面积=ABC的面积，得出空白部分的面积=正方形ABGF

的面积—2x,ABC的面积，AB2-2X|AC-BC=100,AC+BC=1,AB2+2ACBC=49@,由①和②得

AB2=23,即可得出答案.

【详解】解：四边形A3G厂是正方形，

:.AB=AF,ABAN=NF=90。,

:.AMAF+ABAC=90°,

ZACB=90。,

ZABN+ABAC=90°,

:.ZABN=ZMAF,

AB=AF,ZBAN=ZF,

BAN^AFM（ASA）,

：.54N的面积—AFM的面积，

•••四边形月VCN的面积=ABC的面积，

二空白部分的面积=正方形ABGV的面积-2x.ABC的面积,

AB2-2X-AC-BC=10@,

2

AC+BC=1,

.-.（AC+BC）2=72,

AC~+BC~+2ACBC=49,

AB2=AC2+BC2,

.-.AB2+2ACBC=49②，

由①和②得AB?=23,

AB=V23（舍去负值）.

故选：A.

12.（23-24八年级•江苏南通•阶段练习）分别以Rt^ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC,BG,

若设AEBC正方形BCH则之间的关系为（）

S=S[,5ABCG=S2,S/=S3,S],S2,S3

A.251+25,=S3B.3S|+3S2=S3

C.1+邑=33D.2St+2S2=3S}

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得AB2+AC2=BC2,再由正方形、三角形面积公式可得

S正方形ABED=钻2，S正方物CGF=AC~，$3=S正为彩BCIH=BC~,AB"=2S,,AC?=2S?，即可得出答案.

【详解】解：如图，过点A作AK_LHI于点K,交BC于点J,

RtZXABC中，ZBAC=90°,

AB2+AC2=BC2,

四边形筋团、四边形ACG/、四边形BCfflr均为正方形,

-S正方物4sH,=AB,S正方形ACGF=AC，S3=S正方形BC/H=BC,

:正方形ABED与ESC同底等高，

S正方形ABED=2sEBC=2S],

AB2=2S],

正方形ACGP与EBC同底等高，

S正方衫ACGF=2S,BCG=2s2,

2

AC=2s2,

S正方影BCIH=S3，

2St+2S2=S3,

故选：A.

13.（21-22八年级下.浙江杭州・期末）如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的

面积分别记为1,邑，则百+s2的值为（）

A.6B.12C.16D.17

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质.由图可得，S,的边长为3,由AC=/C，

BC=CE=限口，可得AC=2CE>,CD=2,EC=2应;然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答.

【详解】解：如图:

设正方形Sj的边长为x,

_ABC和CAE都为等腰直角三角形,

:.AB=BC,DE=DC,ZABC=Z£>=90°,

:.AC=6BC，同理可得：BC=CE=-JiCD，

AC=y/2BC=2CD>又AD=AC+CD=6,

:.CD=2,

:.EC2=22+22,即EC=2夜；

.・.\的面积为£。2=（2&）2=8；

ZMAO=ZMOA=45°,

:.AM=MO,

MO=MN,

:.AM=MN,

.1M为AN的中点，

；•邑的边长为3,

'，'S］的面积为3x3=9,

Sx+S2=8+9=17.

故选：D.

14.（22-23八年级下•贵州遵义・期中）有一个边长为1的大正方形，经过2次“生长”后，在它的左右肩上

生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如

图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方

形的面积和是（）

A.2024B.2023C.22002D,22002-1

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形

中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到

的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键.

【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1,

B

由勾股定理得，正方形8的面积+正方形C的面积=1,

“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

二“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024,

故选：A.

15.（23-24八年级•浙江宁波・期末）如图，在ABC中，CDJ_AB于点O.分别以AC、BC、AD.BD为

边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为15、30、38,那么最小的正方形面积为（）

A.5B.6C.7D.7.5

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得

AC2=15,BD2=30,BC2=38结合勾股定理即可求解.

【详解】解：在ABC中，CD1AB,

ZADC=ZBDC=90°,

•••三个正方形的面积分别为15、30、38,

AC2=15,BD2=30,BC2=38,

在RtACD及Rt,BOC中，由勾股定理可得：

AC2=AD2+CD2,BC2=BD2+CD2,

=8,

AD2=7,

故选：C.

16.（2024八年级•全国・竞赛）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为

“SQS3,则外S]、S3之间的关系正确的是（）

A.S]+S?>S3或S[+邑<S3B.+=

C.S,+S2=S3D.S；+S；=S；

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半

圆的面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键.

（1hc

【详解】解：设直角三角形的三边分别为。，"C,则三个半圆的半径分别为

由勾股定理得：即

S]+S2=S3

故选：C.

17.（23-24八年级・浙江湖州•期末）如图，在直角三角形A3c中，ZACB=90°,以AB,AC,BC为边

作正方形ABDE,正方形3CGV,正方形AC脑V.设ABC的面积为a，V3DE的面积为S?,△DHG的

面积为S3,四边形CHET的面积为S”四边形A7MV的面积为S5,则下列结论正确的是（）

A.S,+S4=S2+S3+S5B.S2+S5=Sj+S3+S4

C.Sj+S5=S2+S3+S4D.S4+S5=S,+S2+S3

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理，根据图形列出面积的等量关系是解题的关键.设四边形的面积为

222

S6,2XCLA的面积为S7,AB=AC+BC,列出等式即可求解.

【详解】解：设四边形038的面积为$6，△C7X的面积为S’,

ZACB=90°,以A3,AC,BC为边作正方形正方形BCGF,正方形ACW,

根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

Sj+S6+S4+S7=S7+S5+S2+S3+Sf,

Sj+S4-S2+S3+s5.

故选：A.

18.(21-22八年级下•广西桂林•期中)如图，直线/上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为4和

9,则6的面积为.

【答案】13

【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，同角的余角相等等知识.证明

出一BAC空ECD(AAS)是解题关键.根据正方形的性质得出AB=2,DE=3,AC=CD,

ZABC=ZCED=ZACD=90°,再根据同角的余角相等可得出/A4c=/DCE,即可证

BAC丝AECD（AAS）,最后结合全等三角形的性质和勾股定理可求解.

【详解】解:如图，

,•a,6,c都为正方形，a,c的面积分别为4和9,

:.AB=n=2,DE=-J^=3,AC=CD,ZABC=ZCED=ZACD=90°,

ZBAC+ZBCA=90°,Z.DCE+NBCA=90°,

•*.NBAC=NDCE,

：...BAC^ECD(AAS),

CE=AB=2,

；•CD=yJCE2+DE2=A/13,

：.b=CD2=13.

故答案为：13.

19.(23-24八年级•广东梅州•期末)如图，RtAABC,ZC=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影

部分在数学史上称为“希波克拉底月牙"，当AC=4,3C=7时，则阴影部分的面积为一.

B

【答案】14

【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面

积是解此题的关键.根据勾股定理求出AB,分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=7,

由勾股定理得：AB=^AC-+BC1=A/42+72=765-

••・阴影部分的面积+gx4x7-g"亨］=14,

故答案为：14.

20.（23-24八年级•山东枣庄•期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图

1),后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

ba

图3图4

(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1,图2,图3的证明方法中任选一种来证明

该定理.

(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分

别为S-S。,直角三角形面积为S3,请判断S-邑，S3的关系并证明.

【答案】(1)任选一个即可，证明见解析

⑵-3,理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理.

(1)根据图中面积关系即可得证；

(2)根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证.

【详解】(1)解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的

222

和.即c2=gabx4+(b-a)2,化简得：a+b^c^

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.即

(tz+b)~—c+—abx4,化简得：cr+b2=<?',

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.即:(a+6)(a+6)=gabx2+；c2,化简得：

/+/=C2;

(2)解：，，s2,S3满足的关系是H+邑=邑，

S]+S?SR—ab,

2

“2+廿=。2,

：.sr+s2=s3.

三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题

21.(23-24八年级下.山东德州.阶段练习)将长方形纸片A3CD如图折叠，B,。两点恰好重合在AD边上

的同一点P处折痕分别是MH,NG,若NMPN=第0,PM=3,MN=5,分别记PHM,PNG,_PMN

的面积为邑，邑，则岳，邑，邑之间的数量关系是（）

B.383=25+2s2

C.83=582-5S]D.2S=3s2—

【答案】C

【分析】

本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，通过勾股定理得「N=F芋=4，再证明

PG=PN=4,PH=PM=3,进而即可求解.

【详解】解：：将长方形纸片A3CD如图折叠，B,C两点恰好重合在AD边上的同一点P处,

：.BM=PM,CN=PN,

'：ZMPN=90°,PM=3,MN=5,

...在RtzXAWP中，由勾股定理得PN=j52_3?=4,

,/PDBC,

，Z3=Z1,

又：Z2=Z1,

，N2=N3,

：.PG=PN=4,

同理：PH=PM=3,

设纸片宽为〃，

S|=；x3"S2=1x4/bS3=)x5〃，

S3=5s2—5S],

故选：C.

22.（23-24八年级•江苏徐州•阶段练习）如图，在直角坐标系中，及△"<7的顶点A在x轴上，顶点B在

y轴上，ZACB=90°,OBAC,点C的坐标为（1,2）,点。和点c关于AB成轴对称，且AD交>轴于

点E.则点E的坐标为

【答案】[o,|j/（O,O.75）

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，根据平行线的性质得出

ZABE=ZBAC,再根据轴对称的性质得出NS4c=/54£>,则NABE=/S4D,进而得出设

OE=x,则BE=AE=2-x,在RtAAOE中，根据勾股定理可得OA1+OE2=AE2,列出方程求解即可.

【详解】解：AC,

ZABE=NBAC,

:点。和点C关于AB成轴对称,

：.ABAC=ABAD,DB=CB,

/•ZABE=ZBAD,

：.BE=AE,

VC（1,2）,

OA—1,OB=2,

设OE=x,贝!JBE=AE=2-%,

在RtAAOE中，根据勾股定理可得Ol+OE2=4£2,

BP12+X2=（2-X）2,

解得：％=[3,

4

点E的坐标为

故答案为：

23.(23-24八年级•吉林长春•阶段练习)如图，在.中，AB=20,AC=12,BC=16,把ABC折

叠，使AB落在边AC所在的直线上，且点B的对应点为点折痕为AD,则重叠部分(阴影部分)的

【答案】36

【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BO=Z?O=16-x,=8是解题

关键.利用勾股定理求出8=6,然后利用三角形面积公式求解即可.

【详解】解：VA5=20,AC=12,BC=16,

•*.AC2+BC2=122+162=202=AB2,

ZACB=90°,

设CD=x,

•••翻折，

/.BD=Biy=16-x,AB'=AB=20,

：.B'C=AB'-AC=8,

在RtZ\B'CD中，CD1+B'C2=B'D2,

A%2+82=(16-X)2,

解得尤=6,

阴影部分面积为:x6xl2=36.

故答案为：36.

24.(23-24八年级•四川成都•阶段练习)如图，一次函数广乙+万分别与坐标轴交于A(8,0),8(0,15),点

“为,轴上一点，把直线沿AM翻折，点8刚好落在无轴的负半轴上，则点M的坐标为.

【分析】本题综合考查了翻折变换以及一次函数图象上点的坐标特征，题中利用折叠知识与直线的关系

以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.

设沿直线AM将折叠，点2正好落在无轴上的C点，则有AB=AC,而AB的长度根据己知可以求

出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到=在直角△CWO中根据勾股定理可以求出

OM,也就求出河的坐标.

【详解】解：如图所示，当点M在y轴正半轴上时，

设沿直线AM将AB折叠，点2正好落在龙轴上的C点,

则有AB=AC,

A（8,0）,B（0,15）,

.\OA=8,OB=15,

AB=V82+152=17=AC，

:.CO=AC-AO=n-8=9,

点C的坐标为（—9,0）.

设M点坐标为（0,6）,贝l]OM=6,CM=BM=15-b,

CM2=CO1+OM2,

.•.（15-Z?）2=92+Z?2,

，〃吟.

25.（22-23八年级•浙江绍兴•期中）如图，ABC是一张直角三角形的纸片，ZC=90°,AC=6,

8c=8,现将../IBC折叠，使点8与点A重合，折痕为DE,则DE的长为.

D

E.........B

【答案我

【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题;

设CD=x,则AD=3D=8-x,在RtaACD中，利用勾股定理求出x,可得AD的长，然后求出AE,再

利用勾股定理求出DE即可.

【详解】解：由折叠得：AD=BD,AE=BE,

设8=尤，贝UAD=3D=8—x,

在Rt^ACD中，AC2+CD2=AD2,

：.62+X2=（8-X）2,

7

解得：x=J，

4

25

：.AD=S-x=—

4

又「AB=VAC2+BC2=10，

：.AE=BE=5,

故答案为：*

26.（23-24八年级•河南郑州•阶段练习）如图，在_ABC中，AB=AC=10,BC=16,。是BC边上的动

点，点8关于直线AD的对称点为连接A8'交3c于E,当△DE3'为直角三角形时，8。的长

是

A

【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质.当/?即=90。时，先求

出AE及3Z的长，再在Rt△aDE中利用勾股定理求出30；当NBZ)E=90。时，作AHL3C,证明出

皿/为等腰直角三角形即可求出3。即可.

【详解】解：当N3'ED=90。时，如图，

:.BE=CE=8,

AB=10,

AE=6,

由折叠得班＞=3'D，AB'=AB=10,

.-.B'E=4,

设=

:.DE=S-x,

在RtAB'DE中，(8-x)2+42=x2,

;.x=5,即BD=5；

当NBN〉E=90。时，如图，作AHJLBC,

ZB'DE=9Q°,

ZADB=ZADB'=135°,

:.ZADH=45°,

：.DH=AH=6,

BD=BH-DH=8-6=2.

故答案为：5或2.

27.（23-24八年级•宁夏中卫•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形A3CO的边OC、分别在

x轴、y轴上，AB=6,点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点8的对应点尸恰好是边0C

的三等分点，则点E的坐标是.

【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得AF=AB=6,

BE=EF,ZAFE=ZB=90°,再分当点尸靠近点C时，CF=2,OF=4,当点F靠近点。时，贝|

CF=4,OF=2,两种情况利用勾股定理先求出Q4的长，进而得到3C的长，设出CE的长，进而得到

E尸的长，在Rt^EFC中，由勾股定理建立方程求解即可.

【详解】解:在长方形ABCO中，CO=AB=6,ZBCO=ZB=ZAOC=90°,

由折叠的性质可得AF=AB=6,BE=EF,ZAFE=NB=90。，

歹恰好是边OC的三等分点，

；•当点P靠近点C时，CF=2,OF=4,

在RtVAFO中，OA=/67=2小，

：.BC=OA=2y[5,

设CE=x,则BE=EF=26-尤，

在RtZXEFC中，由勾股定理得到跖2=。尸+6£2,

二（2君一尤『=2?+尤2,

・••点E1的坐标是

当点F靠近点。时，则CF=4,OF=2,

在RtVAFO中，OA=46。-展=44,

BC=OA=4夜，

设CE=x,则BE=EF=4>/^_x，

在RtAEFC中，由勾股定理得到EF-=CF2+CE2,

A（4A/2-X）2=42+X2,

解得X=&,

•e•点E的坐标是卜6,0）；

综上所述，点E的坐标是卜，华）或卜6,夜），

故答案为：或卜6,虚）.

28.（23-24八年级.河南郑州.期末）如图，RtaACB中，ZACB=90°,AB=IO,BC=8,点。为线段CB

上一个动点，将一AD3沿直线AD翻折得到VADE,线段AE交直线CB于点凡若..DEF为直角三角形，

则3。的长是.

【答案】2或5

【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分/FDE=90。和NDEE=90。，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：•.,NACB=90°,AB=10,BC=8,

•*-AC=A/102-82=6：

:折叠，

/.AB=AE^10,BD^DE,

当一DE尸为直角三角形时，分两种情况，

①当/FDE=90。时，过点E作EGJ.AC,交AC的延长线于点G,

则四边形。CGE为长方形，

.・.EG=CD,CG=DE=BD,

设3£>=x,贝！J：CG=x,CD=S-x,

:.AG=AC+CG=6+x,

在Rt.AG石中，AE2=AG2+EG2,

：.102=（6+X）2+（8-X）2,

解得：x=0（舍去）或x=2；

/.BD=2；

②当NDFE=90。时，此时点尸与点C重合，如图:

EF=AE-AC=4,

设BD=x,则：CD=S-x,

由勾股定理，得：X2=42+（8-X）2,

解得:x=5；

BD=5,

综上：BD=2或3。=5；

故答案为：2或5.

29.（23-24八年级•四川成都•期末）如图，长方形纸片A3CD中，已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角

线AC重合，点B落在点尸处，折痕为AE,且3E=3.

(1)求CF的长；

(2)求A3的长.

【答案】⑴C尸=4

(2)AB=6

【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键.

(1)根据折叠的性质，得到==/8=90。，进而得到NEFC=90。，利用勾股定理进行求解

即可；

(2)根据折叠的性质，得至=设AB=Ab=x,在RtaABC中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】(1)解：：长方形纸片ABCD中，AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，

/.BE=EF=3,ZAFE=NB=90°,BC=AD=8,

；.NEFC=90°,CE=BC-BE=5,

CF=y/CE2-EF2=4；

(2)♦.•折叠，

：.AB=AF,

^AB=AF=x,贝I：AC=AF+CF=x+4,

在RtA4BC中，AC2=AB2+BC2,

(X+4)2=X2+82,

x=6,

：.AB=6.

30.(23-24八年级•山东青岛•阶段练习)如图，已知RtZXABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm,点。为

3C上一点，现将Rt^ABC沿AD折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求CO的长.

【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性

质求得AE,BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长，熟记性质并表示出RtDEB的三边,然后利用

勾股定理列出方程是解题的关键.

【详解】解:设CD=xcm,

AC=6cm,BC=8cm,

AB=10cm,

根据翻折的性质可得，

CD=DE=无cm,AC=AE=6,

BD=（8-x）cm,

BE=10cm-6cm=4cm,

在Rt中，BE2+DE-=BD2,

：.42+X2=（8-X）\

解得:x=3（cm）,

CO的长为3cm.

四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题

31.（23-24八年级•陕西榆林•期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，

已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两条直角边长（x>y）,下

列四个说法：①x+y=9；②y-x=2；③2孙+4=49；@x2+y2=49.其中正确的是（）

A.①②B.②④C.③④D.①②③④

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解

题的关键.

根据勾股定理和正方形的性质即可得到无2+丁=A¥=49,即可判定④；根据图形可知X-y=CE=2,

即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得2孙+4=49,

即可判断③；进而得到（x+'）2=94,即可判断①.

【详解】解：如图所示，

正方形ABGF的面积为49,

：-AB2^49,

B

：,是直角三角形，

根据勾股定理得：x2+y=AB2=49,故④正确；

正方形CDHE的面积为4,

：.CE=CD=EH=DH=2,

•.x—y=CE=2,故②错误；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，

列出等式为4x；移+4=49,

即2个+4=49,故③正确；

由2孙+4=49可得2xy=45,

22

又：X+y=49,

两式相加得：X2+2xy+y2=49+45,

整理得：（尤+y）~=94,

x+y—5/94丰9,故①错误；

故正确的是③④.

故选：C.

32.（23-24八年级.河北石家庄.期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用

面积验证勾股定理/+62=°2的是（）

甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形

乙：如图2,分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形

A.甲、乙均可以B.甲可以，乙不可以

C.乙可以，甲不可以D.甲、乙均不可以

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，掌握数形集合思想是解题的关键.

甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否

满足/+匕2=°2即可判断.

【详解】解：甲：大正方形的面积可以表示为：C?或4*；濡+3_°）2=/+62,即

先根据正方形的面积计算出片、b\即可/+从=。2；

所以甲、乙均可验证/+62=°2.

故选A.

33.（23-24七年级•浙江宁波•期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正

方形AC/G沿分割线用，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形ABED拼成大正方形

BCHI.若AB=2.BC=回，则AL的长为.

【答案】43

【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出AG-A£=OP+ON是解题的关键.

【详解】解：如图,

G

J

在直角ABC中，由勾股定理得，

AC=sjBC2-AB2=J(^)2-22=5,

；.AG=AC=5,

将正方形AC尸G沿分割线JK,LM分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形ABED拼成大

正方形BCHI,

:.OP=ALNP=GL,

:.AG-AL^OP+ON,

5—AL=AL+2,

/.AL=-.

2

3

故答案为：—.

34.(23-24八年级•福建泉州•期末)把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A,E,。在同

一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于。，b,c的代数恒等式，则这个恒等式

是.

【答案】a2+b2^c2

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问

题是解题的关键.先证3EC是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论.

【详解】Y^ABE与ZXDEC,

：.ZABE=ZDEC,BE=CE,

,?ZABE+ZAEB^90°,

ZAEB+NCED=90。,

/.ZBEC=90°,

HEC是等腰直角三角形，

・s,

,・MBEC-万，

,**SBEC=S梯形MCD―2S钻后,

.c2_(〃+')(〃+1)ab

••—=-----------2x—,

222

a2+b2=c2•

故答案为：〃+〃=/.

35.(23-24八年级•浙江温州•期中)图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面

积转化证明勾股定理(/+/=°2).如图2,小明连结”,GK,"G后发现m=HG.

(2)当四边形。"KG的面积为22时，正方形的面积为.

【答案】340

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性

质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键.

(1)过点H作于点根据7/D=HG得到M)=MG,四边形4瓯＞是矩形，继而得到

MD=AH.证明，ZMHqOCE得到CE=AH,结合正方形的性质，得至I]6=4/=。6=。0=朋3,计算

即可.

(2)根据(1),设CE=AH=CG=DM=MG=x,则ZM=DC=AB=3C=3x,BH=2x,

根据DCE四EKT得至"KE=DC=3x,继而得到38=CK=2x,BK=CE=x,利用图形面积分割法计

算即可.

【详解】(1)过点H作H拉，8于点

HD=HG,

：.MD=MG,四边形AHMD是矩形，

/.MD=AH.

•・•四边形A5CD,四边形DHIE,四边形EFGC都是正方形，

：.DA=DC=AB=BCfDM=DE=HI=IE,FG=GC=CE=EF,

ZDAH=NDCE=ZDEI=90°,

..’DH=DE

*[DA=DC，

；・DAH玛DCE(HL),

:.CE=AH,

：.CE=AH=CG=DM=MG,

：.CD=CG+DM+MG=3CG=3CEf

.••区=3,

CE

(2)根据(1),谡CE=AH=CG=DM=MG=x,则DA=OC=AB=5C=3x,BH=2x,

根据DCE^EKI

:.KE=DC=3x,

：.BH=CK=2x,BK=CE=x,

•・・四边形DHKG的面积为22,

g(2x+3%)x3x-gx2%xx-；x2xx%=22,

解得％=2,%=—2(舍去)，

；・CE=2,CD=6

・•・正方形DHIE的面积为DE2=CD2+CF2=62+22=40,

故答案为：40.

36.（22-23八年级•四川成都・期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”,

后人称之为"赵爽弦图如图，AB=c,BE=a,AE=b(b>a).

(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：a2+b2=c\

(2)若直角三角形ABE的面积为54,c=15,求小正方形瓦G8的边长.

【答案】(1)/+/==2

(2)小正方形EFGH的边长为3

【分析】

本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，整体思想，面积法，掌握面积法以及整体思想是解题的关键

(1)将正方形A3co的面积用四个全等的直角三角形的面积加正方形历6〃的面积表示，再整理即可；

(2)根据直角三角形ABE的面积为54,c=15列出等式，再求出(方-。)？即可.

【详解】(1)

解：，正方形A3CD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB=c,BE=a,AE=b(b>a),

c~—4x—ab+(b-a)~,

2

整理,得"庐一；

(2)

「直角三角形ABE的面积为54,c=15,

.二"=54,=,2=