直角三角形、等腰三角形、等边三角形【考点巩固】（解析版）

专题14直角三角形、等腰三角形、等边三角形

（时间：60分钟，满分120分）

一、填空题（每题3分，共30分）

1.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.5,12,13B.9,40,41C.3,4,5D.2,3,4

【解答】解：A.52+122=132,

.•.以5,12,13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

B.92+402=412,

.•.以9,40,41为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

c.、32+42=52,

.•.以3,4,5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

D.22+32^42,

.•.以2,3,4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D.

2.如图，已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=1,在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个

三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A

CB

A.5条B.4条C.3条D.2条

【分析】根据等腰三角形的性质分别利用42为底以及48为腰得出符合题意的图形即可.

【解答】解：如图所示，当AB=AF=3,BA=BD=3,AB=AE=?>,BG=AG时，都能得到符合题意的等

故选:B.

3.（2022.黑龙江大庆）下列说法不无聊的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

【答案】A

【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分

析可得出正确答案.

【详解】解：A、设N1、/2为锐角，

因为：Zl+Z2+Z3=180°,

所以：/3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A

选项不正确，符合题意；

B、如图，在△ABC中，BE±AC,CDYAB,J.BE=CD.

\BELAC,CD±AB,

：./CDB=NBEC=90。,

在RtXBCD与Rt4CBE中，

[CD=BE

[BC^CB，

:.RmBCD"RtACBE(HL),

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,即△ABC是等腰三角形.,

故B选项正确，不符合题意；

C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，，

故C选项正确，不符合题意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，

故D选项正确，不符合题意；故选：A.

4.（2022•广西梧州）如图，在ABC中，AB=AC,AQ是,ABC的角平分线，过点。分别作

DE人AB,DF^AC,垂足分别是点E,F,则下列结论簿送的是（）

A.ZADC=90B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

【答案】C

【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即

可判断求解.

【详解】解：•••AB=AC,A。是,ABC的角平分线，

AADKBC,BD=CD,

，ZADC=90,故选项A、D结论正确，不符合题意；

又AD是NBAC的角平分线，DE^AB,DFAC,

:.DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；

由已知条件推不出AD=BC,故选项C结论错误，符合题意；故选：C.

5.（2022・湖北鄂州）如图，直线〃〃/2,点C、A分别在//、〃上，以点C为圆心，C4长为半径画弧，交

//于点8,连接A艮若4BC4=150。，则/I的度数为（）

C.20°D.30°

【答案】B

【分析】由作图得AABC为等腰三角形，可求出NABC=15。，由//〃心得Nl=/4fiC,从而可得结论.

【详解】解：由作图得，C4=CB,，AABC为等腰三角形，，/4BC=NC4B

VZBCA=150°,；.ZABC=g(180。-ZACB)=g(180O-15(F)=15°

'：h//h；.Zl=ZABC=15°故选B

6.(2021・辽宁九年级一模)如图，ABC是等边三角形，A£＞是BC边上的中线，点E在A。上，且OE=JBC,

则NAFE=()

A.100°B.105°C.110°D.115°

【答案】B

【分析】由ABC是等边三角形，可得/2=60。，由AD是3C边上的中线，可得BD=CD=LBC,AD±BC,

2

由。E=；BC,ED=CD,可求NEC£)=45。，由三角形外角性质可求NAFC=105。.

【详解】解：：ABC是等边三角形，.•./8=60。，AB=AC,

；AD是8C边上的中线，：.BD=CD=-BC,AD±BC,

2

VDE=-BC,：.ED=CD,ZEDC=9Q°,:./ECD=/DEC=45°,

2

•.•/4产。是八所。的外角，，/4/。=/8+/尸(；£)=60。+45。=105。.故选择：B.

7.(2021・广东九年级一模)如图，在ABC中，AS=AC=8,AO是角平分线，8E是中线，则DE的长

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性质推出再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得OE.

【详解】解：：AB=AC=8,AD是角平分线，

ADLBC,：.ZADC=90°,

,?8E是中线，AE=CE,：.D£=-AC=-x8=4,故选：B.

22

8.如图，点0是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、0C,并以0C为一边向外作等边三角形OCD,

连接AD.若/AOB=llO。，ZBOC=150°,则/OAD的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根据已知易证△ACD出BCO,得出/ADC=/BOC=150。，又因△OCD是等边三角形，易证

ZADO=90°,又由NAOB+NBOC+NAOC=360。，求出/AOC=100。，从而得/AOD=40。，再根据直角三角

形的两个内角互余即可求出/OAD的度数.

【解析】解：:△ABC和△OCD是等边三角形，；.AC=BC,OC=CD,ZODC=ZDCO=ZCOD=ZACB=60°,

ZDCO-ZACO=ZACB-ZACO即/ACD=NBCO.

AC=BC

在^ACD和^BCO中|ZACD=NBCO.*.△ACD^ABCO.?.ZADC=ZBOC=150°.ZADO=90°,

DC=OC

VZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,AZAOC=100°,AZAOD=40°,/.ZOAD=90°-40°-50°.故选B.

9.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形A8CD,点E为对角线8。

上任意一点，连接AE、CE.若A8=5,BC=3,则等于（）

D

/

C

AB

A.7B.9C.16D.25

【答案】C

【解析】

【分析】

连接AC,与8。交于点。，根据题意可得AC，3。，在在血与&*COE中，利用勾股定理可得

AE2-CE2=AO2-CO2,在在用与比.COB中，继续利用勾股定理可得AO之一"）2=,求

解即可得.

【详解】

解：如图所示：连接AC,与8。交于点O,

D

•••对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,

AC15D,

在曲.AOE中，AE2^AO2+OE2,

在RfCOE中，CE2=CO2+OE2,

，AE2-CE2=AO2-CO2,

在W*AO3中，AO2=AB2-OB2,

在历♦COB中，CO2=BC2-OB2,

：.AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16,

/.AE--CE-=16,

故选：C.

10.（2022•黑龙江）如图，ABC中，AB=AC,AD平分的C与8C相交于点Z）,点E是AB的中点，点

厂是DC的中点，连接所交A。于点P.若ABC的面积是24,PD=\.5,则PE的长是（）

A

A.2.5B.2C.3.5D.3

【答案】A

【分析】连接DE,取AO的中点G,连接EG,先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AOLBC,BD=CD,

再由E是AB的中点，G是AZ)的中点，求出SAEGO=3,然后证△EGP必△EDP(AAS),WGP=CP=1.5,

从而得OG=3,即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长.

【详解】解：如图，连接。£,取的中点G,连接EG,

,：AB^AC,A。平分ZBAC与8c相交于点。，

：.AD±BC,BD=CD,

101

:.S&ABD=-S=-x24=12,

2ABRCr2

是AB的中点，

.1c1

..SAAED=—SARn=—x12=6,

2ABD2

是AZ)的中点，

11,

/.SzEGD=-So=一x6=3,

2AEFDn2

是AB的中点，G是AD的中点，

：.EG//BC,EG=gBD=gcD,

：./EGP=/FDP=90°,

•.•/是CO的中点，

：.DF=^CD,

：.EG=DF,

'：ZEPG=ZFPD,

△EGPW/\FDP(AAS),

：.GP=PD=1.5,

:・GD=3,

•；SAEGD=LGD-EG=3,即工EGx3=3,

22

：.EG=2,

在R/AEGP中，由勾股定理，得

PE=y/EG2+GP2=V22+1.52=25,

故选：A.

二、填空题（每题4分，共24分）

11.如图，点C所表示的数是（）

【分析】根据勾股定理求出AB的长为石，根据弧的半径相等得AC=AB=根据两点之间的距离求得

点C表示的数.

【详解】解：根据勾股定理得：AB=VOA2+OB2=VfT?=V5-

.,.AC=AB=后,

.••点C表示的数是1-5/5.

故答案为：1-右

12.（2022・湖南岳阳）如图，在，ABC中，AB=AC,于点。，若3C=6,则CD=.

【答案】3

【分析】根据等腰三角形的性质可知。是BC的中点，即可求出8的长.

【详解】解：：AB=AC,AD1.BC,

CD=BD,

BC=6,

：.CD=3,

故答案为：3.

13.已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分

长2,则三角形的腰长是.

【分析】其中一部分比另外一部分长2,分两种情况：腰比底大2或底比腰大2,分别求出腰即可.

【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝

对值，

•••其中一部分比另外一部分长2,

.,.腰比底大2或底比腰大2,

腰为8或4.

故答案为：8或4.

14.（2022•湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证

明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形

的面积是25,小正方形的面积是1,则AE=.

【答案】3

【分析"艮据题意得出AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,设AF=DE=CH=BG=x,结合图形得出AE=x-\,

利用勾股定理求解即可得出结果.

【详解】解：•••大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,

根据题意，设AF=DE=CH=BG=x,

则AE=x-l,

在RrAAEZ）中，

AE2+ED2=AD2,

GP（x-1）2+x2=52,

解得：x=4（负值已经舍去）,

故答案为：3.

15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点、E,ZBDA=90，NCBE=30，NCEB=45，

AE=4EC,BC=2,则CD的长为.

【答案】V26

【分析】如图，过点。作CHLB。于点〃，根据30。角的直角三角形的性质可求出CH的长，然后根据等

腰直角三角形的性质、己知条件和勾股定理可依次求出EH、CE、AE、DE的长，进而可得DH的长，再根

据勾股定理即可求出答案.

【解析】解：如图，过点。作CHLBD于点

NCBE=30，BC=2,:.CH=-BC=l,

又・ZCEB=45，:.EH=CH=1,则CE=&.，AE=4EC=4V^，

在直角CAD石中，NEDA=90，ZAED=NCEB=45，贝UAD=DE,AD2+DE2=AE2,

；•AD=DE=£AE=4，:.DH=DE+EH=5,

2

在直角，。CH中，根据勾股定理可得：CD=y/DH2+CH2=752+12=726•故答案为：区.

16.（2022.辽宁锦州）如图，在.ABC中，AB=AC,NABC=30。，点。为BC的中点，将ABC绕点。逆

时针旋转得到VAEG,当点A的对应点A落在边A3上时，点C'在54的延长线上，连接班'，若

则ABB'D的面积是.

【答案】巫

4

【分析】先证明/'AD是等边三角形，再证明A'OLBC,再利用直角三角形30。角对应的边是斜边的一般

分别求出A®和A'O,再利用勾股定理求出。。，从而求得△BB7）的面积.

【详解】解：如下图所示，设A9与3。交于点。，连接AD和A。，

•••点。为BC的中点，AB=AC,NABC=30。，

：.AD±BC,A'D.LB'C',AO是/B'A'C'的角平分线，AD是ZBAC,

二ZB'A'C=120°,ABAC=120°

•・ZBAD=ZB,AfD=60°

.*A:D=AD,

9*AAD是等边三角形，

•・AA=AD=AD=l,

.*NBA®=180°—NB'A'C':60°,

ZBAB'=ZAAD,

\ABr//AD,

•・AO.LBC,

・.A!O=-A!D=-,

22

.*AB,=2AD=2

「ZABD=ZADO=3(f,

•・BO=OD

13i-

,•05,=2-5=5,BD=2OD=y/3,

S=LxBDxB'O=-xy/3x-=—.

BBD2224

三、简答题（共46分）

17.（7分）如图，点D是4ABe内部的一点，BD=CD,过点D作DELAB,DF±AC,垂足分别

为E、F,且BE=CF.

求证：一ABC为等腰三角形.

【答案】见解析.

【分析】欲证明AB=AC,只要证明NABC=NACB即可；

【解析】证明：DE±AB,DFLAC，.•.4ED=NCFD=90.

BE=CF

{BD=CD,-.RtBDE等RtCDF（HL），,/EBD=NFCD,

BD=CD,.•.〃BC=^DCB,^DBC+^EBD=^DCB+^FCD,

即NABC=/ACB,.-.AB=AC.

ABC为等腰三角形.

18.（7分）（2022泗川自贡•中考真题）如图，△ABC是等边三角形，D,E在直线BC上，DB=EC.求

证：ZD=ZE.

【答案】详见解析

【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证AAOB/△4EC,由全等三角形的性质可得ND=NE.

【详解】证明：：△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZABC=ZACB,

：.ZABD=ZACE,

在△和△AEC中，

AB=AC

<ZABD=ZACE

DB=EC

：./\ADB^AAEC（SAS）,

ND=NE.

19.（8分）（2022•浙江温州•中考真题）如图，5。是，ABC的角平分线，DE〃BC,交AB于点E.

D、

AEB

（1）求证：ZEBD=ZEDB.

（2）当AB=AC时，请判断8与ED的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析（2）相等，见解析

【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

（2）利用平行线的性质可得NAD£=NAED,贝！］AD=AE,从而有CD=BE,由（1）得，ZEBD=NEDB,

可知BE=DE,等量代换即可.

【详解】（1）证明：・・・5。是qABC的角平分线，

ZCBD=ZEBD.

■:DE〃BC,

：.ZCBD=ZEDB,

ZEBD=ZEDB.

⑵CD=ED.理由如下：

AB=AC,

：.ZC=ZABC.

■:DE//BC,

：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

:.ZADE=ZAED.

AD—AE,

AC-AD=AB-AE,即CD=BE.

由（1）得ZEBD=ZEDB,

:.BE=ED,：.CD=ED.

20.（12分）已知：AB±BD，ED±BD,AC^CE,BC=DE.

A

（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.

（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由.

（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由.

【答案】（1）AC±CE,见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】（1）先用判断出RtAABCgRtZ\CDE,得出NA=NDCE,进而判断出

ZDCE+ZACB=90。,即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即

可得出结论.

【详解】解：（1）4。，8理由如下：：43,3£）,ED±BD,：.ZB=ZD=90°

"AC=CE

在RtAABC和RtACDE中\；.RtAABC尔tZ\CDE（HL）,/.ZA=ZDCE

BC=DE

NB=90°,；•ZA+ZACB=90°,；•ZACE=180°—(ZDCE+ZACB)=90°,ACLCE；

(2)成立，理由如下：VAB±BD,ED±BD,：.ZB=ZD=90°,

AC】=CE

在RtABC和RtAQDE中<2：.RtAABQ名RtAC£>E(HL),NA=ZDC.E,

XBC】=DE2

•：ZB=90°,：.NA+ZACjB=90°，,ZDC2E+ZAQB=90°,

在4.GFC2中，ZQFC,=180°-(ZDQE+ZA^B)=90°,AC,1C2E.

（3）成立，理由如下：EDLBD，；.NABC[=ND=90°

AC〕=C,E

在RtABC和RtACDE中<：.RtAABC1gRtAC£>E(HL)，,NA=ZDCE,

r2BQ=DE22

'：NABG=90°,NA+ZAC,B=90°,

在,中，O

GFC2ZQFC2=180-(ZDC2E+ZAC1B)=90°,AC,±C2E.

21.（12分）（2021•重庆）在等边，ABC中，AB=6,BD±AC,垂足为点E为43边上一点,

点尸为直线3。上一点，连接EF.

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60。得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点8重合，且GF的延长线过点C时，连接。G,求线段。G的长；

②如图2,点E不与点A,3重合，GP的延长线交BC边于点H,连接E//,求证：BE+BH=y[3BF;

（2）如图3,当点E为AB中点时，点M为8E中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点尸从8。中点

。沿射线。。运动，将线段E尸绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,连接仪，当+最小时，直接

写出△DPN的面积.

【答案】（1）①历；②见解析；（2）半

【分析】

（1）①连接AG,根据题意得出△ABC和△GE/均为等边三角形，从而可证明△G8C丝Z\G4C,进一步求

出A£>=3,AG=BG=25然后利用勾股定理求解即可；②以点尸为圆心，心的长为半径画弧，与8"的

延长线交于点K,连接K居先证明出△是顶角为120。的等腰三角形，然后推出△尸£8名△尸HK,从而

得出结论即可；

（2）利用“胡不归''模型构造出含有30。角的直角三角形，构造出NP+，MP=NP+/V,当N、P、J三点

2

共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DV的长度，即可得出结论.

【详解】

（1）解：①如图所示，连接