圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（原卷版）

专题34圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆罗摩笈多（定理）模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图1所示，48和8c是。。的两条弦（即/3C是圆的一条折弦），BOAB,M是ABC的中点，则从M

向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.

常见证明的方法:

1）补短法：如图2,如图，延长。8至R使BF=R4；

2）截长法：如图3,在CD上截取DG=DB；

3）垂线法：如图4,作〃，_L射线垂足为

例1.（2023•广东•统考一模）定义圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦

定理：如图1,AB和BC组成圆的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中点，MF1AB于F,则AF=FB+BC.

如图2,AABCNABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一点，BD=1,作DE1AB交aABC的外接圆于E,

连接EA,贝！kEAC=

例2.（2023•浙江温州•九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿

基米德折弦定理.如图2,已知8c为。。的直径，AB为一条弦（BOAB）,点用■是疵上的点，MD1BC

于点。，延长V。交弦48于点£,连接即若BM=a,48=4,则/£的长为（）

例3.（2023上•河南周口・九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,和3C是。。的两条

弦（即折线/8C是弦。。的一条折弦），BOAB,“是弧/3C的中点，则从M向2c所作垂线的垂足。

是折弦N8C的中点，即CZ）=/8+8。，下面是运用"截长法"证明CD=/8+8。的部分证明过程・

证明：如图2,在C3上截取CG=48,连接以4,MB,MC和MG.

是弧/8C的中点，

.-.MA=MC,

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

⑵实践应用：如图3,"8C内接于。。，BC>AB>AC,。是弧4c8的中点，DELBC于点、E,依据阿

基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为.

⑶如图4,等腰内接于AB=AC,。为弧上一点，连接。3,ZACD=45°,AC=6,BC=4,

求ABDC的周长.

例4.（2023・江苏•九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,43和8c是。。的两条弦（即

折线4BC是圆的一条折弦），8c>48,〃是疵的中点，则从M向8C所作垂线的垂足。是折弦N8C的

是疵的中点，•,•K4=MC

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

实践应用：⑵如图3,已知“8C内接于。。，BC>AB>AC,。是同的中点，依据阿基米德折弦定

理可得图中某三条线段的等量关系为—.

（3）如图4,已知等腰”8C内接于0O,AB=AC,D为上一点,连接DB,ZACD=45°,AELCD

于点£,ABOC的周长为4亚+2，BC=2,请求出/C的长.

例5.（2023•河南商丘•统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古

希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周

上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦.一个圆中一条由两长度不同的弦组成的

折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.

如图1,N2和2C是。。的两条弦(即/8C是圆的一条折弦)，BC>AB.”是弧48c的中点，则从M向

BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.

小明认为可以利用“截长法"，如图2：在线段C2上从C点截取一段线段CN=/8,连接

MA,MB,MC,MN.

小丽认为可以利用“垂线法"，如图3：过点M作于点X,连接他4,MB,MC

任务：⑴请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，

(2)就图3证明：MC1-MB1=BCAB.

模型2.婆罗摩笈多(定理)模型

【模型解读】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家。

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交,那么从交点向某一边所引垂线的反向延

长线必经过这条边对边的中点o

如图1,48co为圆内接四边形，对角线NC和AD垂直相交，交点为£,过点£作BC的垂线所，延长也

与40交于点G；则点G是/。的中点。

如图2,所示已知等腰R/A45C和等腰MA4EZ）,作交NG的延长线于点“，（1）SAACD=SAABE^

（2）若/尸18,则G为2E中点。

2、如图3,已知等腰R/ZU8C和等腰R/ZUE。，在/尸的延长线取点“，使得”=FH；⑴5AAeD=5AABE；

（2）若尸为CZ）中点，贝IJ/G18E。

例L（2023•浙江•九年级专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务.

布拉美古塔定理

婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定

理"，也称"布拉美古塔定理定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角

线交点的直线平分对边.

某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证.

已知如图，在圆内接四边形43CZ）中，对角线/C12。，垂足为尸，过点P作48的垂线分别交DC

于点”，M.求证：M是CD的中点.

任务：⑴请你完成这个定理的证明过程.（2）该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题:

若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是—命

题.（填"真"或"假"）。（3）若PZ>=2,HP=y/3,BP=3,求Affi■的长.

例2.（2023・重庆•统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务.婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、

天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了"婆罗摩笈多定理"，也称"布拉美古塔定理定理

的内容是："若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边

任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；

己知：求证：证明：

（2）如图（2）,在。。中，弦/8_LCO于连接/。,。氏80,。4£,尸分别是/。,8。上的点，EMA.BD

于G,尸于〃，当M是中点时，直接写出四边形EMFC是怎样的特殊四边形：.

课后专项训练

1.（2023•浙江温州•校考三模）在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏

格兰数学家罗伯特•西姆森（夫。拉MS加s。"）发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线

的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的‘西姆森线"（S加soM%e）.如图，半径为4的。。为“8C

的外接圆，C8过圆心。，那么过圆上一点P作。8C三边的垂线，垂足£、F、。所在直线即为西姆森线,

Ap

若“*"，33,则方的值为（）

3

CD.

I4

2.（2023山东•校考二模）阿基米德折弦定理如图1,和3c是。。的两条弦（即折线/BC是圆的一条

折弦），BC>AB,〃■是弧/3C的中点，则从〃•向3c所作垂线的垂足。是折弦N3C的中点，即

CD=/8+80.请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2,已知等边“BC内接于。O,N8=10,。为

。。上一点，ZABD=45°,AELBD于点、E,则△区DC的周长是

MA

图1图2

3.（2023春•山东威海•九年级校联考期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于

弦的直径平分弦.阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论.

某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1,ZC和2C是。。的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），

BOAC,M是初的中点，过点"作"DL3C,垂足为。，小明通过度量/C、CD、DB的长度，发

现点。平分折弦4CB,即=NC+CA.小丽和小军改变折弦的位置发现8。=/。+。仍然成立，于是

三位同学都尝试进行了证明：

小军采用了"截长法"（如图2）,在8。上液取BE,使得BE=4C,......

小丽则采用了“补短法"（如图3）,延长8c至尸，使CF=/C,......

小明采用了“平行线法"（如图4）,过〃点作M石〃3C,交圆于点E,过点E作EF/BC,......

⑴请你任选一位同学的方法，并完成证明；

（2）如图5,在网格图中，每个小正方形边长均为1,“8C内接于（/、B、C均是格点），点/、。关于

8C对称，连接AD并延长交。。于点£,连接CE.

①请用无刻度的直尺作直线/,使得直线/平分ABCE的周长；②求ABCE的周长.

4.Q023•浙江嘉兴•九年级校联考期中）阿基米德折弦定理如图1,和8c是。。的两条弦（即折线N3C

是圆的一条折弦），BC>AB,M是疵的中点，则从M向"所作垂线的垂足。是折弦NBC的中点，即

CD^AB+BD.下面是运用"截长法"证明CD=AB+BD的部分证明过程.

证明：如图2,在上截取CG=A8,连接〃Z,MB,和MG.•・・〃是疵的中点，：.MA=MC

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3）,已知等边"8C内接于。。，48=2,。为。。上一点，AABD=45°,AE1BD

与点E,则ABDC的周长是.

5\G

图⑴图⑵图(3)

5.（2023秋•山西阳泉•九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务:

阿基米德折弦定理

阿基米德｛Archimedes,公元前287〜公元前212年，

古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、

高斯并称为三大数学王子.

阿拉伯//-瓦电加（973年〜1050年）的译文中保存了

阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据

4-3九加译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题

就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：

如图1,N8和2C是。。的两条弦（即折线4BC是

固的一条折弦），BC>AB,M是弧NBC的中点，

则从M向所作垂线的垂足。是折弦48c的中

点，即CD=42+2。.

这个定理有根多证明方法，下面是运用"垂线法"证

明CD=+5D的部分证明过程.

证明：如图2.作W_L射线22,垂足为“，连接

MA,MB,MC.

•••”是弧/8C的中点，

:.MA=MC.

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

⑵填空：如图3,已知等边内接于。。，。为就上一点，AABD=15°,CELBD于点E,

AB=2也，则折弦的长是.

A

（图3）

6.（2023•山西•校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：

婆罗摩笈多^Brahmagupta'）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运

算规则、二次方程等方面均有建树.他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理"，该

定理的内容及部分证明过程如下：

古拉美古塔定理：如图1,四边形/BCD内接于。。，对角线垂足为点直线垂

足为点E,并且交直线4D于点尸，则//=£0.

证明：•••AC1BD,MELBC,ABMC=ZAMD=AMEC=90°

：.ZCME+ZECM=90°,ZCBD+ZECM=90°.：.ZCBD=ACME.

■.■CD=cb，:.ACBD=^CAD.（依据）

又•;NCME=NAMF,；.NAMF=NCAD.AF=FM....

任务：（1）上述证明过程中的依据是;（2）将上述证明过程补充完整；

（3）古拉美古塔定理的逆命题如图，四边形48。内接于。。，对角线垂足为点直线尸M

交BC于点、E,交4D于点厂.若AF=FD,则EEL3c.请证明该命题.

7.（2023・江苏宿迁•统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四

边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

证明：如图1所示内接于圆的四边形/3CD的对角线NC8。互相垂直，垂足为点G,过点G的直线垂直于

AD,垂足为点E1,与边3C交于点尸，由垂直关系得/EGD+/FGC=90°,ZEGD+ZEDG=90°,所以

NEDG=NFGC,由同弧所对的圆周角相等得/4D8=N4CB,所以/尸GC=NFCG,则尸G=/C,同理,

FG=FB,故BF=FC；

【思考】命题"若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边"为一

（填"真命题"，"假命题"）；

【探究】（1）如图2,A4G3和ADGC为共顶点的等腰直角三角形，ZAGB=ZDGC=90°,过点G的直线

垂直于垂足为点E,与边交于点尸.证明：点尸是8C的中点；

（2）如图3,A4G8和NDGC为共顶点的等腰直角三角形N4GB=ZDGC=90°,点尸是BC的中点，连接FG

交AD于点、E,若G尸=2,求40的长.

8.（2023・山西太原•九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算

规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献.他曾经提出了“婆

罗摩笈多定理"，该定理也称为“古拉美古塔定理该定理的内容及部分证明过程如下：

古拉美古塔定理：已知：如图，四边形/BCD内接于OO,对角线NC18D,垂足为直线垂

足为E,并且交直线4D于点?，则/尸=FD

证明："ACIBD,ME1BC.-.zCAffi,+zC=90o,zC5£>+zC=90°

：./.CBD=/.CME：.,乙CME=UMF；/CAD=UMF：.AF=MF...

任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为：;

（2）请用符号语言将下面"布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性：

已知：如图，四边形4BCD内接于。。，对角线NC1AD,垂足为尸为4D上一点，直线交于点

E,①.求证：②.证明：

8.（2023・广东佛山•统考三模）探索应用

材料一：如图1,在ZU8C中，AB=c,BC=a,ZS=0,用c和6表示BC边上的高为,用a.c和3

表示ZU2C的面积为

材料二：如图2,已知NC=LP,求证：CF»BF=QF»PF.

材料三蝴蝶定理＜iButterflyTheorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815年，由

W.G.霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶.

定理：如图3,M为弦尸。的中点，过M作弦和CD,连结4D和8c交尸。分别于点E和尸，则〃£=

MF.

证明：设乙4=z_C=a,z_B=乙。=0,

(DMP=cCMQ=v,Z-AMP—Z.BMQ=p,PM=MQ=a,ME=x,MF=y

S,B_]/M・Z—・sina।EM・CM・sinyED・AfD・sin0MF・MB・s\n6

S^ME—'即MC-CF-sina,EM-MD-siny,FB-BM-sin/3,MA-ME^m8

向右MF1CF-FB

化简得：MF2»AE»ED=ME2»CF»FB则有：——r=-----------

ME2AE-ED

又,:CF・FB=QF-FP,AE»ED=PE»EQ,

.MF?_QF*FPMF?_(a-y)(a+y)_/"222

即看=三一彳，从而x=y,ME=MF.

ME2PE'EQ'ME2(a-x)((z+x)a2-x2

请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题：

如图4,B、C为线段P0上的两点，且8P=C。，/为尸0外一动点，且满足乙8/P=N。。，判断△尸/。的

形状，并证明你的结论.

9.（2022•河南驻马店•统考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务：

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延

长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.如图1,已

知。3C内接于。。，点尸在。。上（不与点N、B、。重合），过点尸分别作48,BC,NC的垂线，垂足分

别为。，E,尸求证：点。，E,尸在同一条直线上

以下是他们的证明过程：

图1图2

如图1,连接尸2,PC,DE,EF,取尸C的中点。，连接。E,QF,

则P0=CQ=；PC=EQ=F。（依据1）,

.•£F,P,C四点共圆.•・•/尸CP+N五E尸=180。（依据2）.

又；ZACP+ZABP=180°,:"FEP=AABP.

•;/BDP=/BEP=9Q°,：.B,D,P,E四点共圆.尸=（依据3）.

•:NABP+/DBP=180°,.-.ZFEP+ZDEP=180°（依据4）.

.•.点D,E,尸在同一条直线上.

任务：（1）填空：①依据1指的的是中点的定义及;②依据2指的是；

③依据3指的是；④依据4指的是.

（2）善于思考的小英发现当点P是部的中点时，8。=6.请你利用图2证明该结论的正确性.

10.（2022•河南安阳・统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延

长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图（1）,已知“8C内接于。。，点尸在。。上（不与点/,B,C重合），过点尸分别作48,BC,AC

的垂线，垂足分别为•点。，E,尸求证：点。，E,尸在同一条直线上.

如下是他们的证明过程（不完整）：

图⑴

如图（1）,连接PB,PC,DE,EF,取尸C的中点。，连接。E,QF,则E。=/。=1■尸C=尸0=CQ,

（依据1）

:点E,F,P,C四点共圆，尸CP+NFE尸=180。.（依据2）

又•••NACP+NABP=180°,:"FEP=NABP.

同上可得点8,D,P,£四点共圆，......

任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及;②依据2指的是.

（2）请将证明过程补充完整.⑶善于思考的小虎发现当点尸是前的中点时，BD=CF,请你利用图（2）证

明该结论的正确性.

图⑵

11.（2023・山东济宁•统考二模）阅读与思考;

婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界

数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是

领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：己知：如图，四边形ABCD内接与

圆O对角线AC1BD于点M,ME1BC于点E,延长EM交CD于F,求证：MF=DF

ijEllvAClBD,ME1BC.-.ZCBD=ZCME

•••ZCBD=ZCAD,Z_CME=NAMF；.NCAD=NAMF；.AF=MF

•••NAMD=90°,同时NMAD+NMDA=90°.-.ZFMD=ZFDM

；.MF=DF,即F是AD中点.

（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定，理的证明:

已知：如图1,四边形ABCD内接与圆0,对角线AC1BD于点M,F是AD中点，连接FM并延长交BC于点

E,求证：ME1BC

(2)已知如图2,AABC内接于圆0,ZB=30°ZACB=45°,AB=2,点D在圆。上，ZBCD=60°,连接AD交

BC于点P,作0N1CD于点N,延长NP交AB于点M,求证PM1BA并求PN的长.

12.(2023•北京昌平•九年级统考期末)已知：对于平面直角坐标系xQy中的点p和。。，。。的半径为4,

交x轴于点4,B,对于点尸给出如下定义：过点C的直线与。。交于点N,点尸为线段的中点,

我们把这样的点P叫做关于"N的"折弦点".

⑴若C(-2,0),①点4(0,0),^(-1,1),乙(2,2)中是关于跖V的“折弦点”的是；

②若直线y=+6(左/0)上只存在一个关于初V的"折弦点"，求上的值；

(2)点C在线段N3上，直线＞=x+b上存在关于九W的"折弦点"，直接写出6的取值范围.

13.（2023•浙江•九年级专题练习）如图中所示，48和2c组成圆的折弦，AB>BC,。是说的中点,

DE1AB,垂足为E.连结AC,BD.（1）写出所有与ND?/相等的角（不添加任何线段）

（2）判断BE,之间的数量关系并证明.（3）如图，己知/。=7,BD=3,求N88C的值.

14.（2023.浙江九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在OO中，C是劣弧的中点，直线CC/8

于点E,则=请证明此结论；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,P8组成。。的一

条折弦.C是劣弧的中点，直线COLP/于点£,则=+可以通过延长D8、/P相交于点

F,再连接证明结论成立.请写出证明过程；

（3）如图3,PA.必组成。。的一条折弦，若C是优弧N8的中点，直线于点£,则PE

与尸3之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明.

D图1图2C图3

15.（2023.重庆九年级期中）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题.

命题：如图1,在正方形/8CD中，已知：ZEAF=45°,角的两边/£、4F分别与8C、CD相交于点E、

F,连接求证：EF=BE+DF.

证明思路：如图2,将A48E绕点/逆时针旋转90。至ZUDEL=/54D=90。，；.48与/。重

合.VAADC=ZS=90°):.NFDE'=180°,WF、D、E是一条直线.

根据S4S,得证A4E尸=,得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

（1）特例应用：如图1,命题中，如果B£=2,DF=3,求正方形/BCD的边长.

（2）类比变式：如图3,在正方形48co中，已知NEN尸=45。，角的两边/£、N尸分别与8C、CD的延

长线相交于点E、F,连接写出斯、BE、。厂之间的关系式，并证明你的结论.

（3）拓展深入：如图4,在。。中，48、是。。的弦，且=M、N是。。上的两点，

AMAN=-ABAD.①如图5,连接ACV、MD,求证：MH=BM+DH,DM1AN；

2

②若点C在彳丽（点C不与点N、D、N、M重合）上，连接C8、CD分别交线段NM、NN或其延长

线于点E、F,直接写出斯、BE、。尸之间的等式关系.

MM

图4图5

16.（2023•江苏盐城•九年级统考期中）【了解概念】

我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1,线段"0、”组成

折线段若点尸在折线段上，MP=PQ+QN,则称点尸是折线段的中点.

【理解应用】（1）如图2,。。的半径为2,取是。。的切线，A为切点，点8是折线段尸。/的中点.若

NAPO=30°,则尸8=；

【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3,和2C是。。的两条弦（即折线段28c是圆的一条折

弦），8c>/5,点M是疵的中点，从河向2C作垂线，垂足为D,求证：。是折弦/3C的中点；

【变式探究】（3）如图4,若点M是应的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、民4之间

存在怎样的数量关系？请直接写出结论.

【灵