中考数学函数专项复习：函数解析式的求解方法（含答案及解析）

专题31函数解析式的求解方法

.

'知识对接

考点一、函数解析式的求解方法

函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。

以下主要从这几个方面来分析。

（一）待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、

反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的

解析式，再根据题意列出方程组求出系数

（二）换元法

换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用

另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，

最后结果要注明所求函数的定义域。

（三）配凑法

已知复合函数Hg（x）］的表达式，要求/（＞）的解析式时，若Hg（x）］表达式右边易配成g（x）的运算形式,

则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

（四）解函数方程组法。

适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数/（X）混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立

方程组消去其余部分

（五）赋值法

赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

考点补充：

①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已

知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析

式。

③总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等。如果已知函数解析

式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的

表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程

组消元的方法求解析式

专项训练

一、单选题

1.将抛物线y=V-4彳+8向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（

A.y=(x+l)~+5B.y=(x+l)2+3

C.y=(x-5)2+5D.y=(尤-57+3

2.已知二次函数的解析式为y=（尤-机）（尤-1）（心机V2）,若函数图象过（。㈤和（a+6,6）两点,则。的取值

范围是（）

33

A.-2<a<——B.-2<a<-lC.-3WaW——D.-3<«<0

22

3.把抛物线>=炉+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A.y=（x+3）2+1B.y=（x+1）2+3

C.y=（x-1）2+4D.y=（x+1）2+4

4.在平面直角坐标系中，如果点尸的横坐标与纵坐标相等，则称点尸为和谐点，例如：点尸（1,1）、（-

2,-2）>（0.5,0.5）都是和谐点，若二次函数y=ox2+7X+c（存0）的图象上有且只有一个和谐点（-

1,-1）,则此二次函数的解析式为（）

A.y=3N+7x+3B.y=2x2+7x+4C.y=N+7x+5D.y=4N+7x+2

5.如图，抛物线y=f-4x+3与X轴交于A,B两点，将抛物线向上平移加个单位长度后，点A,8在新

抛物线上的对应点分别为点C,D,若图中阴影部分的面积为8,则平移后新抛物线的解析式为（）

X

A.y=X2-4x+3B.y=x2-4x+5C.y=x2-4x+7D.y=x2+

6.把二次函数>=。无2+云+c(a>0)的图象作关于无轴的对称变换，所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,

则。与6满足的关系是()

A.b=aB.b=2aC.a+b=0D.2i+/?=0

7.抛物线经过点A(2,0),3(-1,。)，且与>轴交于点C.若OC=2,则该抛物线解析式为()

A.y=x2-x-2B.y=-x2-x—2^y=x2+x+2

C.y——+%+2D.y—x2—x—2y=-+x+2

8.抛物线y=(x-1)2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是()

A.y=-(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3

C.y=(x-1)2-3D.y=-(x-1)2-3

9.已知二次函数的解析式为y=〃%2+陵+。(♦、b、c为常数，awO),且/<(),下列说法：

®b2-4ac<0；@ab+ac<0；③方程依？+6x+c=0有两个不同根X、x2,且(人一1)。一声)>0；④二次

函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是().

A.1B.2C.3D.4

10.把抛物线y=N+fev+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y

=(x-1)2-4,则6,c的值为()

A.Z7=2,c=-3B.b=4,c=3C.b--6,c=8D./?=4,c=-7

二、填空题

11.如果将抛物线y=N先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式

是一

12.已知二次函数y=a%2+6x+c(a,6,c为整数且右0),对一切实数x恒有烂烂2x?+；,则其解析式为.

13.将二次函数)=产+2%-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是.

14.在平面直角坐标系中，点O(0,0),点4(1,0).已知抛物线(相是常数)，顶点为P.无

论机取何值，该抛物线都经过定点当NAHP=45。时，求抛物线的解析式是

15.已知二次函数y=a?+bx+c(a#O)的部分图象如图所示，则下列结论：

①关于》的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1,3；

②函数的解析式是、=一尤2+2了+3；

③a+2Z?=c；

其中正确的是.(填写正确结论的序号)

三、解答题

16.如图，抛物线工：>=-炉+云+。经过点4(0,2),与它的对称轴直线x=2交于点艮

(1)求抛物线L的解析式;

(2)在平面内是否存在点使得以A、B、O、。为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足

条件的点。坐标；若不存在，请说明理由;

(3)过定点的直线、=依-2k+8/<0)与抛物线L交于点/、N.若的面积等于2,求人的值.

17.已知二次函数y=ax2+bx+c(。力0)的顶点坐标为(1,1),且当x=3时，y=3,求该二次函数的解析式,

并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象.

18.如图，抛物线>=/+尿+°经过4(0,3),3(4,3)两点，与x轴交于点E,F,以48为边作矩形ABCD,

其中C£>边经过抛物线的顶点点尸是抛物线上一动点(点尸不与点A,8重合)，过点P作了轴的平行

线与直线交于点G,与直线8。交于点H,连接AF交直线于点N.

(1)求该抛物线的解析式以及顶点服的坐标;

(2)当线段P”=2G”时，求点P的坐标;

(3)在抛物线上是否存在点P,使得以点P,E,N,尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

19.抛物线的图象如图所示，

(1)当y>0时，直接写出尤的取值范围;

(2)求此抛物线的解析式.

20.如图，已知抛物线y=d+6x+c的图象经过点A(l,0),B(-3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为。,

对称轴与x轴相交于点E,连接BD.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在抛物线上点B和点。之间是否存在一点”使得四边形OBHC的面积最大,若存在求出四边形OBHC

的最大面积，若不存在，请说明理由.

(3)直线2。上有一点P,使得PE=PC时,过P作轴于R点M为x轴上一动点，N为直线PF

上一动点，G为抛物线上一动点，当以点RN,G,M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标.

21.如图，抛物线》="2+a+3(存0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,过点C

作CD〃无轴交抛物线于点。，连接BC,BD.

(1)a=,b=.

(2)点D的坐标为；直线BC的函数解析式为；直线BD的函数解析式

为.

(3)将ABOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，当点。与点台重合时，ABOC停止运

动，记平移后的三角形为△皮。'。.在平移过程中，ABOC与ABC。重叠的面积记为S,设平移的时间为

/秒，试求S与，之间的函数关系式.

22.已知抛物线的顶点A(-2,0)且图象经过点B(-3,-4).

(1)求抛物线解析式；

(2)若C在抛物线上，且C的横坐标为-3：,在直线尤=-2上是否存在一点D使ABC。的周长最小？

若存在，请求出。的坐标，若不存在，请说明理由.

23.如图，二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),直线y=2x-2与无轴、y轴交于

点。，E.

(1)求该二次函数的解析式.

(2)判断△ABE是否为直角三角形，说明理由.

(3)点M为该二次函数图象上一动点.

①若点M在图象上的8,C两点之间，求△的面积的最大值.

②若NMED=NEDB,求点M的坐标.

专题31函数解析式的求解方法

含1知识对接

考点一、函数解析式的求解方法

函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。

以下主要从这几个方面来分析。

（一）待定系数法

待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、

反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的

解析式，再根据题意列出方程组求出系数

（二）换元法

换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用

另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，

最后结果要注明所求函数的定义域。

（三）配凑法

已知复合函数Hg（x）］的表达式，要求/（＞）的解析式时，若Hg（x）］表达式右边易配成g（x）的运算形式,

则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

（四）解函数方程组法。

适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数/（X）混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立

方程组消去其余部分

（五）赋值法

赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

考点补充：

①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已

知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析

式。

③总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等。如果已知函数解析

式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的

表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程

组消元的方法求解析式

;项训练

一、单选题

1.将抛物线y=V-4彳+8向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是(

A.y=(x+l)~+5B.y=(x+l)~+3

C.y=(x-5)2+5D.y=(尤-57+3

【答案】A

【分析】

先把二次函数点解析式一般式化成顶点式,根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案.

【详解】

解：j=x2-4X+8=(X-2)2+4

把y=(x-2)2+4向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，抛物线解析式为y=(x-2+3y+4+l,

化简得y=(x+iy+5

故选A

【点睛】

本题考查二次函数图象点平移，正确将抛物线化为顶点式并熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解

题关键.

2.已知二次函数的解析式为y=(x-m)(x-l)(lW〃?W2),若函数图象过㈤和(a+6,b)两点,则。的取值

范围是()

33

A.-2<a<——B.-2<4Z<-1C.-3WaW——D.-3<a<0

22

【答案】A

【分析】

先将原二次函数整理得一般式，当工=竽时取最小值，根据函数过(“⑷和(。+6,6)两点，得x=a+3时取

最小值，根据1—”42,进而可得。的取值范围.

【详解】

解：Vy=(x-m)(x-r)(l<m<2),

y=尤？一(//I+l)x+m,

，当》=-3-=丝3时，y取最小，

2a2

•・•函数图象过3刀和(。+6,b)两点，

二•X="+=〃+3时,y取最小值，

.・・〃+3="，

2

m=1a+5,

l<m<2,

3

1V2a+5V2,解得一2<fl<—,

2

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题.

3.把抛物线y=N+l向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为()

A.y=(尤+3)2+1B.y=(x+1)2+3

C.y—(x-1)2+4D.y—(x+1)2+4

【答案】D

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】

解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+l向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=(x+l)2+l,

由“上加下减”的原则可知，将抛物线丁=(x+1)2+1向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=(x+1)

2+1+3,即y=(x+1)2+4.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的平移，熟悉掌握平移的规律是解题的关键.

4.在平面直角坐标系中，如果点尸的横坐标与纵坐标相等，则称点尸为和谐点，例如：点尸（1,1）、（-

2,-2）、（0.5,0.5）都是和谐点，若二次函数y=〃x2+7x+c（存0）的图象上有且只有一个和谐点（-

1,-1）,则此二次函数的解析式为（）

A.y=3N+7x+3B.y=2x2+7x+4C.y=N+7x+5D.y=4x2+7x+2

【答案】A

【分析】

设和谐点为（"0,把（t,t）代入y=〃N+7%+c得以2+7什c=b则4=6?-4〃。=0,所以ac=9,再把（-

L-1）代入y=ax2+7%+c得。=6-〃，然后解关于。、。的方程组即可.

【详解】

解：设和谐点为。，/）,

把（/,t）代入y=〃N+7x+c得〃/2+7什。=/,

整理得以2+6什c=0,

・・丁有且只有一个值，

A=62-4ac=0,即ac=9,

把（-1,-1）代入y=cu^+7x+c得a-7+c=-1,即c=6-a,

把c=6-〃代入ac=9得〃（6-〃）=9,解得〃=3,

，c=6-3=3,

・••此二次函数的解析式为y=3N+7x+3.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点6/）代入y=〃N+7x+c得到关于/的方程有

两相等的实数根是解题关键.

5.如图，抛物线y=%2-4x+3与X轴交于A,B两点,将抛物线向上平移机个单位长度后，点A,8在新

抛物线上的对应点分别为点C,D,若图中阴影部分的面积为8,则平移后新抛物线的解析式为（）

A.y=x2-4x+3B.y=x2-4x+5C.y=x2-4x+lD.y=x2-4x+ll

【答案】C

【分析】

利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形ABCD的面

积可求出AC的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出平移后新抛物线的解析式.

【详解】

解：当y=0时，有/一4工+3=0,

解得：%=1,%=3,

/.AB=2.

S阴影=AC-AB=8,

・・・AC=4,

；•平移后新抛物线的解析式为y=x?-4x+3+4=V-4X+7.

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的

面积等于矩形ABC。的面积是解题的关键.

6.把二次函数>=办?+云+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,

则。与b满足的关系是()

A.b=aB.b=2aC.a+b=0D.2a-\-b=Q

【答案】D

【分析】

先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为y=/-法-c,再根据对称轴公式可求出

b=-2a,即可得出结论.

【详解】

由二次函数图形的变换规律得：把二次函数y=o?+6x+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象

的解析式为y=~ax2-bx-c,

则y=-a(x—+4a与y=-ax2——c相同，

b

由对称轴得：x=--=l,解得b=_2a,

2a

即:2a+b=0,

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，依据二次函数的图象与性质求出b、。与。的关系等式是解题关键.

7.抛物线经过点A(2,0),8(-1,。)，且与>轴交于点C.若OC=2,则该抛物线解析式为()

A.y=x2-X-2B.y=-Y-x-2或y=Y+x+2

C.y——x~+A*+2D.y=x2—x—2y=-x2+x+2

【答案】D

【分析】

抛物线和y轴交点的为(0,2)或(0,-2),根据A、B两点坐标设出抛物线解析式为y=o(x-2)(x+l)(awO),

代入C点坐标即可求解.

【详解】

设抛物线的解析式为y=a(x—2)(x+l)(“R0)

,/OC=2

...抛物线和y轴交点的为(0,2)或(0,-2)

①当抛物线和y轴交点的为(0,2)时，得2=。(0—2)(0+1)

解得a=-\

抛物线解析式为y=-l(^-2)(x+l),即y=一/+X+2

②当抛物线和y轴交点的为(0,-2)时，-2=a(O-2)(0+1)

解得。=1

抛物线解析式为y=（尤一2）（尤+/）,即y=/7一2

故选D.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫

双根式）较为合适.

8.抛物线y=（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）

A.y—-（x-1）2+3B.y—（尤+1）2+3

C.y=（x-1）2-3D.y=-（x-1）2-3

【答案】D

【分析】

先确定原抛物线的顶点坐标（1,3）,根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1,-3）,且开

口向下，即可列出函数关系式.

【详解】

''y—（x-1）2+3的顶点坐标为（1,3）,

.••关于X轴对称的抛物线顶点坐标为（1,-3）,且开口向下，

...所求抛物线解析式为：y=-（x-1）2-3.

故选：D.

【点睛】

此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐

标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式.

9.已知二次函数的解析式为＞=62+版+。3b、c为常数，0片0）,且"+"+也＜（）,下列说法：

@b2-4ac＜0;@ab+ac＜0；③方程ox?+fcr+c=O有两个不同根占、xi，且（％-1乂1一z）＞。；④二次

函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一分析，找出所有情况下都正确的

结论即可.

【详解】

解：当a>0时，即抛物线的开口向上

,•*a2+ab+ac<0

,,a+》+c<0,cib+etc<—a2

即当x=l时，y="+b+c<0

・•・此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示

b2-4ac>0，故①错误；

・・•-a2<0

ab+ac<0,故此时②正确；

由图象可知：X1<1,X2>1

I.Xy—1<0,1—x2<0

/.(^-l)(l-x2)>0,故此时③正确；

当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误;

当a<0时，即抛物线的开口向下

a2+ab+ac<0

••a+6+c>0,ab+etc<—a-

即当x=l时，y=a+b+c>0

此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示

b2-4ac>0,故①错误;

,/-a2<0

ab+ac<0,故此时②正确;

由图象可知：X1<1,X2>1

Xy—1<0,1—x2<0

A(AJ-1)(1-X2)>0,故此时③正确；

当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；

综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个

故选B.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和分类讨论的数学思

想是解决此题的关键.

10.把抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y

=(x-1)2-4,则6,c的值为()

A.b=2,c=-3B.b=4,c=3C.b=-6,c=8D.6=4,c=-7

【答案】B

【分析】

直接利用二次函数图象平移规律计算得出答案.

【详解】

解：:把抛物线〉=尤2+质+。的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为

产(x-1)2-4,

.,.y=x2+bx+c=(x-1+3)2-4+3=(x+2)2-l=N+4x+3,

故1=4,c=3,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键.

二、填空题

11.如果将抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式

是一

【答案】y=(x-1)2+3

【分析】

根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】

解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=N先向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=(x-1)

2.

由“上加下减”的原则可知，将抛物线产(X-1)2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：产(X-1)2+3,

故答案为：产(X-1)2+3.

【点睛】

本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是

解题的关键.

12.已知二次函数>=⑪2+法为整数且存0),对一切实数x恒有x<y<2x2+^,则其解析式为.

【答案】尸N+x

【分析】

根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，通过变形，数形结合，可以分别求出。、。、。的

值，从而可以得到二次函数的解析式.

【详解】

・.・y=〃N+bx+c,对一切实数x恒有烂产2N+；,

,对一切实数x恒有X<6ZX2+/?X+C<2X2+—,

4

・,•当％=0时，0<c<—,

4

,.7为整数，

.,.c=0,

立把2N+:,

当aj»?+bx>x时，可得ax2+(/?-1)x>0,

(a>Q

**[(&-1)2-4(7x0<0>

解得。=1,

«x2+%<2x2+—，

4

(2-a)x2-x+—>0,

4

.•.当。=2时，-x+^K)不是对于一切x成立，故不符合题意；

4

2—〃>0

当今2时，,1,

(-l)2-4(2-a)x-<0

I4

解得a<l,

又・・・。>0且为整数，

・•a=1,

二次函数的解析式为y=x2+x,

故答案为：y=N+x.

【点睛】

本题考查二次函数与不等式组，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是明确题意，一

(a>0一

般地：对一切实数X恒有欠2+法+c>0,则应满足：\.对一切实数X恒有办2+法+”0,则应满

[b-4ac<0

(a<0

足：小,八；注意数形结合，有助于理解.

[b--4ac<0

13.将二次函数)=产+2%-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是.

【答案】y=(x-l)2-2

【分析】

根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函

数解析式.

【详解】

解：,.,y=N+2x-1=(x+1)2-2,

.•.二次函数产/+〃-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：

y=(x+L2)2-2=(x-1)2-2,

故答案为：y=(无-1)2—2.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，

注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移.

14.在平面直角坐标系中，点。(0,0),点A(l,0).已知抛物线>=炉+7加-2机(机是常数)，顶点为P.无

论相取何值，该抛物线都经过定点*当NAHP=45。时，求抛物线的解析式是

・小2、1428f2244

[答案]y=x22-—x+—^y=x2---—x+—

【分析】

发现当x=2时，y=4,所以定点8(2,4).过点A作ABLPH于点S过点3作DCLx轴于点C,过点H

作协_LCO于点。，构造△ABC0Z^B/TO,利用对应边AC=B。，求点2坐标，再求直线解

析式，把用机表示的点P坐标代入解析式即求得加的值.由于满足/AHP=45。的点尸可以在A”左

侧或右侧，故需分情况讨论.

【详解】

解：当x=2时，y=4+2优-2加=4.

...无论根取何值，该抛物线都经过定点H(2,4).

过点A作AB±PH于点B,过点B作DC,无轴于点C,过点H作HDLCD于点D.

：.ZABH=ZACB=ZBDH=9Q°.

：.NABC+NDBH=ZABC+ZBAC^90°.

:./BAC=/DBH.

"：NAHP=45。.

.•.△AB”是等腰直角三角形，AB=BH.

ZACB=ZBDH

在△ABC与△8"。中，＜ZBAC=NHBD,

AB=BH

:.△ABC@4BHD(A4S).

：.AC^BD,BC=HD.

设点B坐标为(a,b).

①若点尸在AH左侧，即点3在AH左侧，如图1.

图1

.\AC=1-a,BC=b,BD=4-b,DH—2-a.

1

a=——

l—a=4—b2

,解得,

b=2—a

b=-

2

・,•点3(-；

设直线3H解析式为y=kx+h.

k=。

——k+h——5

22,解得，＜

714.

2k+h=4n=——

5

314

・,•直线3H：y=~x+—.

9•y—j^+mx-2m,

,抛物线顶点尸为(-£,--2m).

•・•点P(苫，在直线8H上,

解得：m\=--,mi=-4.

：根=-4时，P(2,4)与点以重合，舍去,

，抛物线解析式为y=x2_甘.

②若点尸在A”右侧，即点B在A”右侧，如图2.

图2

.\AC=a-1,BC=b,BD=4-b9DH=a-2.

7

a———

a—l=4—b2

=a-2,解得,

bb/

2

73

・,•点3（；,—）.

22

设直线3H解析式为》=依+用.

73k=--

-k+h=-3

22,解得，

,22,

2k+h=4n=——

3

522

，直线5"：y=------XH-------.

33

m2

点尸「三-2m）在直线上,

22

十一M-2m.

34

/22

角军得：mi=-—,m2-4（舍去）.

2244

.•.抛物线解析式为＞=/_yX+y.

综上所述，抛物线解析式为y=N-葭14尤+98/或尸龙2-『99+三44.

故答案为：尸/-骨14+?/8或尸炉-会2,+三44.

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点.确定

定点H的位置是解题的基础，构造全等三角形将线段长转化为点坐标是求函数解析式的关键.

15.已知二次函数〉=0?+版+。（。#0）的部分图象如图所示，则下列结论:

①关于X的一元二次方程ax2+bx+c=o的根是一1,3；

②函数的解析式是y=——+2%+3；

③a+2Z?=c；

其中正确的是（填写正确结论的序号）

【答案】①③

【分析】

根据图象可知：抛物线的对称轴为直线X=l,抛物线与X轴的一个交点为(3,0),从而求出抛物线与X轴的

另一个交点坐标，即可判断①；将(-1,0)和(3,0)代入解析式中，即可判断②；将②所得正确结论代入即

可判断③.

【详解】

解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的一个交点为(3,0)

.,.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1x2-3,0)=(-1,0)

二关于》的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1,3,故①正确；

将(-1,0)和(3,0)代入解析式中，得

[Q=a-b+c

[0=9a+3b+c

故求不出a、b、c的值，故②错误；

a+2b=a+2x(-2a)=-3a=c,故③正确；

综上：正确的结论有①③.

故答案为：①③.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质和各项系数的关系是解决此题的关键.

三、解答题

16.如图，抛物线E:>=-/+6x+c经过点4(0,2),与它的对称轴直线x=2交于点艮

(1)求抛物线L的解析式；

(2)在平面内是否存在点。，使得以A、B、O、。为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出所有满足条件的点。坐标；若不存在，请说明理由；

(3)过定点的直线、=依-2左+8也＜0)与抛物线L交于点M、N.若的面积等于2,求人的值.

2

【答案】(1)y=-x+4x+2;(2)(2,4),(2,8)或(-2,-4)；(3)k=-26

【分析】

(1)把4。，2)代入解析式中，再利用对称轴即可得解；

(2)分三种情况，如下图1,当。4平行且等于8。尸2时，四边形A0R8是平行四边形，根据04平行且

等于82=2求解即可；当Q4平行且等于8〃2=2时，四边形AO82是平行四边形，同样求解；当AQ平行

且等于02时，四边形AB。。,是平行四边形，作。轴于“点，证明出AAA"三ABOGIAIS),即可得

出坐标；

(3)先求出直线的定点R(2,8),如图2,设直线与抛物线的交点联立方程得到根与

系数关系，作，对称轴与P点，作NQ，对称轴于。点,利用SEN=S网N—S网乂=LRB.NQ-LRB.MP,

还有韦达定理求解即可.

【详解】

解：(1)把A(0,2)代入L:y=-x2+6x+c中，

解得：c=2,

对称轴为直线x=2,

...b=4,

•••抛物线上的解析式为y=-f+4x+2；

(2)如下图1,当Q4平行且等于BR=2时，四边形AORB是平行四边形,

■.•顶点5(2,6),.••刀(2,4)；

当Q4平行且等于82=2时，四边形AOB2是平行四边形，

二2(2,8)；

当A2平行且等于02时，四边形4BO2是平行四边形，

作2"，y轴于H点，

AD3=OB,ZAHD3=NOGB=90°,

ND3AH=NAD[B=NOBG,

:.^AD3H=^BOG(AAS),

AH=BG=6,

D3H=OG=2,

:.OH^AH-AO=4,

D3(-2,-4),

综上，。的坐标为(2,4),(2,8)或(-2,-4)；

图1

(3)Vy=kx-2k+8=k(x-2)+8,

二直线过定点R(2,8),

如图2,设直线与抛物线的交点加&,%),N(9,%),

将两个方程联立，得:

[y=-x2+4%+2

[y=kx-2k+8'

-+（4-%）x+2k-6-0

作MP，对称轴与P点，作NQ，对称轴于。点，

MP=石_2,NQ=x2-2,

BMNRBNRBM，，

S△DM=/VS△AD—/VS^KD=M—R2BNQ—2•RB•MP,

=^RB（NQ-MP）=^RB（<x2-2-xi+2）

=^RB（x2-xl）,

•/xi+x2=4-k,石工2二6一2k,

2—

x2-Xj=%+%）—4项%2=J（4-k）-4（6_2k）=k8,

・.・RB=8—6=2,

.-.-X2.VF-8=2,

2

.•A=2®&=-2®

k<0,

k=26舍去,

k=—2A/3•

【点睛】

本题考查二次函数的综合问题，涉及和几何的结合，难度比较大，属于压轴题，熟练掌握二次函数的性质，

利用数形结合的思想是解题的关键.

17.已知二次函数＞=办2+区+。(。大0)的顶点坐标为(1,1),且当x=3时，y=3,求该二次函数的解析式,

并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象.

12

【答案】y=-1)+1,图形见解析

【分析】

根据题意可设二次函数解析式为y=a(x-l)2+l,将x=-3,y=3代入，求出。,即可得到解析式，再

根据解析式画出图形.

【详解】

解：根据题意可设二次函数解析式为y=a(x-iy+l,

•.•当x=-3时，y=3,

・，.3=a(3-1)+1,

解得：a=g,

12

二该二次函数的解析式为：y=-1)+1,

列表得：

X-10123

3_2

y313

22

画出图形:

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确

求出函数解析式是解题的关键.

18.如图，抛物线＞=/+云+°经过4(0,3),3(4,3)两点，与x轴交于点E,F,以AB为边作矩形ABCD,

其中CO边经过抛物线的顶点〃，点P是抛物线上一动点(点尸不与点A,8重合)，过点尸作y轴的平行

线与直线A3交于点G,与直线8。交于点连接A户交直线于点N.

(1)求该抛物线的解析式以及顶点〃的坐标；

(2)当线段P"=2G”时，求点P的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点尸，使得以点尸，E,N,歹为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

督•用图

【答案】(1)y=x2-4x+3,顶点M的坐标为(2,—1)；(2)点p的坐标为尸(一1,8)或尸(3,0)；(3)存在,

点尸(2,—1)

【分析】

(1)根据抛物线y=N+bx+c经过A(0,3),B(4,3)两点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶

点式，即可得到顶点M的坐标；

(2)根据题意，可以表示出线段P8和GH的长，然后即可得到点P的坐标；

(3)根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标.

【详解】

解：⑴,••抛物线y=#+6x+c经过4(。,3),5(4,3)两点,

(c=3/曰J"=-4

jl6+46+c=3'将jc=3

即该抛物线的解析式为y=V-4x+3,

:y=f-4X+3=(X-2)2-1,

顶点M的坐标为(2,-1)；

(2)•.•四边形ABCD是矩形，且CO边经过抛物线的顶点“(2,-1),

/.0(0-1),

设直线的解析式为>=反+8，

•••直线瓦)经过点3(4,3),£>(0,-1),

14左+6=3\k=\

•1•,,-解得〃］，

［匕=-1］匕=一1

，直线8。的解析式为y=x-i,

:点P为是抛物线上一动点

.,.设P(q,q2-4a+3),则G(a,3),H(6Z,a-l),

/.PH=|a2-4a+3-(a-l)|=|a2-5a+4|,GH=|3-(G-1)|=|4-a|,

PH=2GH,

\u--5ci+4|-2|4-6/|r

解得，％=T,g=3,a3=4,

.•.《(-1,8),£(3,0),4(4,3),

:点P不与点A,8重合

.•.月(4,3)不符合要求，

当线段PH=2GH时，点P的坐标为尸(-1,8)或P(3,0)；

(3)当y=0时，0=--4了+3,得%=3,x2=1,

则点E的坐标为(1,0),点尸的坐标为(3,0),

•••4(0,3),尸(3,0),

...直线AF的解析式为y=-x+3,

，N（2,1）,

如图1所示，当点P在直线跳下方时，

V,N（2,l）,E（1,O）,尸（3,0）,

/.MN与斯互相垂直平分，

，当点尸在点知的位置时，四边形PENF是平行四边形，此时P（2,-l）；

如图2所示，当点P在点E的左侧时，

若四边形PE7W是平行四边形，则网0,1）,

:抛物线经过点A（0,3）,

二P（0,l）不符合实际，舍去；

如图3所示，当点P在点尸的右侧时，

若四边形PEEN是平行四边形，则P（4,l）,

•••抛物线经过点3（4,3）