中考数学复习重难点突破：二次函数的最值

数学中考复习重难点突破——二次函数的最值

一'单选题

1.二次函数y^ax2-4x+l有最小值一3,贝Ua的值为（）

1

A.1B.-1C.±1D.-

一2

2.抛物线y=2（x+3『—4的顶点坐标是（）

A.（3,4）B.（3,T）C.（-3,4）

D.（—3,-4）

3.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y=-

2x2+60x+800,则利润获得最多为（）

A.15元B.400元C.800元D.1250

元

4.设a,b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2,则下列结

论：

①若a@b=0,贝!Ja=0或b=0

（2）a@（b+c）=a@b+a@c

③不存在实数a,b,满足a@b=a?+5b2

④设a,b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大.

其中正确的是（）

A.②③④B.①③④C.①②④

D.①②③

5.抛物线y=（x+l）2-4（-2<x<2）,如图所示，则函数y的最小值和最大值分别

B.-4和5C.-4和-3D.-1和5

6.二次函数y=ax?+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表:

X-5-4-3-2-10

y40-2-204

下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下B.当x>-3时，y随x的增大而

增大

C.二次函数的最小值是-2D.抛物线的对称轴是x=--

2

7.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希

腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a,b,C,记

^_a+b+c,则其面积s=[p（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦

九韶公式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为（）

A.75B.4C.275D.5

8.如果函数y=2x2-3ax+l,在自变量x的值满足l<x<3的情况下，与其对应的函数值

y的最小值为-23,则a的值为（）

A.—B.3点C.百-或不口•5

9.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点M为对角线AC上的一个动点（不与

端点A,C重合），过点M作MELAD,MF1DC,垂足分别为E,F,则四边形

C.18D.24

10.如图，已知点A（4,0）,O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点

O,A）,过P、O两点的二次函数yi和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向

下，它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时，这两个

二次函数的最大值之和等于（）

y

D

O］钛A\x

I'力

A.逐B.C.3D.4

3

二、填空题

11.某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h=-

5t2+160t+10表示.经过s,火箭到达它的最高点.

12.当x=0时，函数y=2x2+4的值为.

13.飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是

S=80t-2t2,飞机着陆后滑行的最远距离是m.

14.已知二次函数y=f-2/九双〃7为常数），当一1〈无＜2时，函数值V的最小

值为—2，则加的值是.

15.如图，在矩形OABC中，点A在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴.抛物线

y=yx2-yx+4经过点B,C,连接OB,D是OB上的动点，过D作DE〃OA

交抛物线于点E（在对称轴右侧），过E作EFLOB于F,以ED,EF为邻边构造

°DEFG,贝U口DEFG周长的最大值为.

三、解答题

16.已知二次函数y^^+bx+c的图像经过点（4,3）和点（2,-1）,求该函数的

表达式，并求出当旗/3时，y的最值.

17.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时

出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向

以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.

⑴求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)求4PBQ的面积的最大值.

18.函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,

请解决下面的问题.

2

(1)分别求出当2WxW4时，三个函数：y=2x+l,y=—,y=2(x-iy+l的最大值和

x

最小值.

(2)对于二次函数y=2(x-m)2+m-2,当2WxW4时有最小值为1,求m的值.

19.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正

半轴上，0A=4,OC=2.点P从点。出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀

速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点

绕点P按顺时针方向旋转90。得点D,点D随点P的运动而运动，连接DP、DA.

(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标；

(2)求t为何值时，ADPA的面积最大，最大为多少？

(3)在点P从。向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的

值.

若不能，请说明理由；

(4)请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

20.已知二次函数y=x?+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:

X-101234

y830-103

(1)求该二次函数的解析式;

(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

(3)若A(m,yi),B(m+2,y2)两点都在该函数的图象上，计算当m取何值时,

%>%?

21.如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B

(0,3),抛物线y=-x?+2x+l与y轴交于点C.

(I)求直线y=kx+b的函数解析式；

(II)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+l上的任意一点，设点P到直线AB的

距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

(III)若点E在抛物线y=-x2+2x+l的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求

CE+EF的最小值.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】16

12.【答案】4

13.【答案】800

14.【答案】-3或拒

2

243

15.【答案】--

40

16.【答案】解：•・,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0),

.jl6+4b+c=3

9+3/?+c=0'

b=-4

解得,

。=3

...函数解析式为：y=x2-4x+3,

y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

.♦.当x=0时，y有最大值是3.

17.【答案】解：(1)：SAPBQ=：PB-BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,

.\y=y(18-2x)x,即y=-x2+9x(0<x<4)；

28]

H+了，

9

•.,当0<xW]时，y随x的增大而增大，

而0<x<4,，当x=4时，y最大值=20,

即小PBQ的最大面积是20cm2.

18.【答案】（1）解：...在函数y=2x+l中，k=2>0,.•.函数y随x的增大而增大,

2

；.y=2x+l的最大值为9,最小值为5；在函数y=—中，k=2〉0,.♦.函数y随x的增

x

21

大而减小，则函数y=一的最大值为1,最小值为一；

x2

y=2（x+l）2-l的最大值为19,最小值为3.

（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1,代入解析式，解得m=（舍

去）或m=l.,.m=l②当时，m-2=l,m=3

③当m>4时，当x=4时，y最小值为1,代入解析式，无解.综上所述：m=l或m=3

19.【答案】解：（1）•.•点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀

速运动，

，OP=t,而OC=2,

：.P（t,0）,

设CP的中点为F,则F点的坐标为（!，1）,

2

，将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90。得点D,其坐标为（t+1,-）；

2

（2）S=-PA-DE=-（^-t^=--t2+t=--（t-V+

22Vy244V7

，当t=2时，S最大，最大值为1

（3）ZCPD=90°,AZDPA+ZCPO=90°,ZDPA#90°,故有以下两种情况：

①当NPDA=90。时，由勾股定理得。£）2+.2=%2,

产t2

XPD-=PE2+DE2=1+—,DA2=DE2+EA2=-+（3-tV,

44V7

22

府=（4—）2,1+:+；+（3­）2=（4T）2

即t2-4t-12=0,解得ti=2,t2=6（不合题意，舍去）

②当/PAD=90。时，点D在BA上，故AE=3—t,得t=3

综上，经过2秒或3秒时，△PAD是直角三角形；

（4）•.•根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2下,

，点D运动路线的长为2石.

20.【答案】(1)由表格得：二次函数与x轴的两交点分别为(1,0),(3,0),

设二次函数解析式为y=a(x-1)(x-3),

将x=0,y=3代入得：3=3a,即a=l,

则二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

(2)由(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

则当x=2时，ymin=-l.

将A坐标代入二次函数解析式得：yi=m2-4m+3；

B坐标代入二次函数解析式得：y2=(m+2)2-4(m+2)+3=m2-l,

若yi>y2,则m2-4m+3>m2-l,

解得：m<l.

(^k+b=0\k=-

21.【答案】解：(I)由题意可得〈，.，解得<4,

[b=3[b=3

,3

直线解析式为y=-x+3；

(II)如图1,过P作PHLAB于点H,过H作HQLx轴，过P作PQLy轴，两垂

贝！|NAHQ=NABO,且/AHP=90°,

，ZPHQ+ZAHQ=ZBAO+ZABO=90°,

.\ZPHQ=ZBAO,且NAOB=NPQH=90。,

/.△PQH^ABOA,

.PQHQPH

"OB~OA~AB'

33

设H(m,—m+3),则PQ=x-m,HQ=—m+3-(-x2+2x+l),

44

VA(-4,0),B(0,3),

，OA=4,OB=3,AB=5,且PH=d,

x-m%+3-(Td_

4'

3