浙教版八年级数学专项复习：图形的轴对称、等腰三角形（原卷版）

第08讲图形的轴对称等腰三角形

看知识点梳理

—＞轴对称图形

轴对称图形的定义

一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它

的对称轴.

要点：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称

轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

二、轴对称

i.轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线

对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.

要点：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对

称的两个图形一定全等.

2.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和

轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，

若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.

三、轴对称与轴对称图形的性质

轴对称、轴对称图形的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应

角相等.

要点：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

四、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在AABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,/A是顶角，/B、

/C是底角.

2.等腰三角形的作法

己知线段a,b（如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧,两弧相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的对称性

（1）等腰三角形是轴对称图形

（2）ZB=ZC

⑶BD=CD,AD为底边上的中线.

（4）ZADB=ZADC=90°,AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三

条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴.

要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45。，等腰三角形的底角只能为锐角，不能为

1QQO_/人

钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.NA=180°-2ZB,NB=NC=---------.

2

（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中

要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.

（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三

角形.

等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记

/?反

于心，比如边长为a的等边三角形它的高是面积是2—/.

24

委要倒曷尼幽

例1.下列说法中正确的是（）

①对称轴上没有对称点；②如果AABC与△关于直线L对称，那么5Mse=S«B。；③如果线段

AB=A;B,直线L垂直平分A4',则AB和A3关于直线L对称；④射线不是轴对称图形.

A.②B.①④C.②④D.②③

金2例2.下列说法中，正确的是（）

条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称

B.全等三角形是关于某直线对称的

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧

D.关于某直线对称的两个三角形是全等三角形

3.等腰三角形的对称轴是（

A.底边上的中线B.顶角平分线C.底边上的高D.底边的垂直平分线

4.列四个图案中，不是轴对称图案的是（）

A.

例5.有下列图形：角，线段，直角三角形，等边三角形，长方形.其中一定是轴对称图形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图，AABC中，。点在上，将。点分别以A8、AC为对称轴，画出对称点£、F,

并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求NE4F的度数为何？（）

C.129°D.134°

F例

7.如图，将△ABC沿直线OE折叠后，使得点3与点A重合.已知AC=10cm,△ADC的周

长为34cm,则8C的长为（）

C.24cmD.44。%

8.如图,△ABC与VAB'C'关于直线MN对称，尸为初V上任一点（尸不与AA共线），下列

A.AAA'P是等腰三角形B.垂直平分A4'

C.A47/CC,D.AP±AC

m例%等边三角形是特殊的.

三角形，因此它也是图形，有..条对称轴.

'.例10.等腰三角形的一腰上的中线将三角形的周长分成9和15两部分，则该等腰三角形的腰长是

，跟踪酬瀛

一、单选题

1.下列图案中是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，若AABC与AA'3'C'关于直线对称，BB'交MN于点、0,则下列说法中不一定正确的是（）

A.AC=AC'B.AB//B'CC.AAA.MND.BO=BO

3.如图，点尸在锐角—AOB的内部,连接OP,OP=3,点尸关于。4、所在直线的对称点分别是4、

鸟，则片、鸟两点之间的距离可能是（）

A.8B.7C.6D.5

4.如图，AC是四边形ABC。的对称轴，若AD〃BC,则下列结论中正确的有（）

@AB//CD；®AB=CD；®AB=BC；®AO=OC.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③

5.如图，RbASC中，NC=90。，NA=38。，点。在48上，且点。与点B关于直线/对称，则NACD的

度数为（）

A.10°B.14°C.38°D.52°

6.等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为3cm,则其腰长为（）

A.3cmB.3cvw或4.5C7?ZC.4.5cmD.以上都不对

7.若等腰三角形有一个角等于50。，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

8.如图，AD是AABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F,若BE=AC,BF=9,CF=6,则AF的长

度为（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

9.如图，在AABC中，/C=90°,点A关于BC边的对称点为A,点3关于AC边的对称点为9，点C关

于A3边的对称点为C',则AABC与AAB'C的面积之比为（)

D-I

10.如图所示，ZMON=45°,点尸为NMON内一点，点尸关于OM、ON对称的对称点分别为点＜、P2,连

接。尸、。斗尸片、尸鸟、PXP2,4G分别与OM、ON交于点A2,连接"、BP,则NAPB的度数为（）

M.

A.45°B.90°C.135°D.150°

二、填空题

11.等边三角形的边长为a,则它的周长为,等边三角形共有条对称轴.

12.等腰三角形周长为35,其中两边长之比为3：1,则底边长为.

13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60。，那么这个等腰三角形的顶角的度数为.

14.如图所示，点P为/AO3内一点，分别作出尸点关于0408的对称点6、P2,连接《巴交于M，

交OB于N,月鸟=15,则APMN的周长为

15.已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分

长2,则三角形的腰长是.

16.如图，在△ABC中，AC=BC,/B=42。，点。是边A8上一点，点8关于直线C£＞的对称点为当

BZ)〃AC时，则NBCZ)的度数为.

17.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形若等腰AA8C是“倍

长三角形"，底边BC的长为3,则腰A8的长为.

18.如图，点P是/A03内一点，点尸关于。4的对称点为C,点P关于。3的对称点为连结CO交

0A,08于点M和点N,连结PM、PN.若ZAOB=70。，则N7WPN的大小为度.

A

三、解答题

19.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.

(1)(2)(3)(4)(5)

20.燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线L为对称轴的轴对称图形.已知/1=/4=45。，求/2和N5

21.(1)已知等腰三角形的一边等于2cm,另一边等于4cm,求它的周长；

(2)一个等腰三角形的周长为18,若腰长的3倍比底边的2倍多6,求各边长;

(3)一个等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,求其它两边的长；

(4)一个等腰三角形的周长为12cm,一边与另一边的差是3cm,求三边的长；

(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是8,求它的各边长.

22.已知一个等腰三角形的周长为24cm.

(1)若一条边的长为10cm,求其余两条边的长；

(2)若一条边的长为4cm,求其余两条边的长.

23.如图，点尸为N493内一点，分别作出点尸关于。4,OB的对称点片，鸟，连接勺鸟，交。4于点

交OB于点、N,则APMN的周长等于图中哪一条线段的长？说明理由.

24.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm的两个部分，求这个等腰三角形底

边的长.

25.已已知a、b、c为△ABC的三边长，且6、c满足(6-5)2+(c-7)2=0,a为方程|。-3|=2的解，求△A8C

的周长，并判断△ABC的形状.

26.如图，点。在4c上，AB=AC,.你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三

角形的腰、底边和顶角.

27.如图，AABC的顶点A,B,C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图.

(1)画△ABC］，使它与44SC关于直线/成轴对称；

(2)在直线/上找一点P,使点P到点A,点8的距离之和最短；

(3)在直线/上找一点。使点。到边AC,3c的距离相等.

28.如图，AABC与/关于直线对称，其中/C=90。，AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm.

\M

AD

BE

IN

(1)连接A£),线段AD与MN的关系是什么？

(2)求NF的度数；

⑶求^ABC的周长和ADEF的面积.

29.如图，AABC和AADE关于直线对称，8C与。E的交点/在直线MN上.

(1)图中点C的对应点是点,/B的对应角是；

⑵若DE=5,BF=2,则B的长为；

⑶若/8AC=108°,ZBAE=30°,求/EAF的度数.

30.【定义】如图1,0M平分/AOB,则称射线。8,。4关于OM对称.

图1图2

(1)【理解题意】如图1,射线08,OA关于。加对称且NAOB=45。，

(2)【应用实际】如图2,若/AO8=45。，OP在/A08内部，OP,OP/关于对称，OP,0P2关于04对

称，求NB0P2的度数；

(3)如图3,若/AO8=45。，OP在/A0B外部，且0。＜/4。尸＜45。，OP,OP/关于。2对称，OP,0P2关

于。4对称，求/BOP2的度数；

(4)【拓展提升】如图4,若/AOB=45°,OP,。尸/关于NAOB的02边对称，ZA0Pi=4ZB0Pi,求/A。尸

(直接写出答案).

|］域真题演练、

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一、单选题

1.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（）

美帮。舟加

3.（2007•河南・中考真题）如图，AABC与关于直线1对称，则NB的度数为（）

C.90°D.100°

4.（2022・山东威海・统考中考真题）图1是光的反射规律示意图.其中，尸。是入射光线，。。是反射光线,

法线KOLMN,NPOK是入射角，/K。。是反射角，ZKOQ=ZPOK.图2中，光线自点尸射入，经镜面

EF反射后经过的点是（）

5.（2022秋.八年级课时练习）如图，将AABC沿着过的中点。的直线折叠，使点B落在AC边上的4处,

称为第一次操作，