圆的综合练习（基础）-2021年中考数学几何专项复习（解析版）

专题32圆的综合练习（基础）

选择题

1.如图，OO的半径为1,弦/8=1,点P为优弧疝上一动点，交直线收于点C,则的最

【分析】连接。/、OB,如图1,由。/=。8=/8=1可判断△0/8为等边三角形，则乙4。3=60°,

1

根据圆周角定理得//必=万//。8=30°,由于所以NC=60°,因为/8=1,则要使△4BC

的面积最大，点C到42的距离要最大；由NZC8=60°,可根据圆周角定理判断点。在O。上，且/

ADB=12O°,如图2,于是当点C在优弧N8的中点时，点C到N8的距离最大，此时△43C为等边三

角形，从而得到△48C的最大面积.

VCM=05=1,48=1,

：.AOAB为等边三角形，

/.ZA0B=60°,

1

ZAPB=~ZAOB=30°,

'JACLAP,

AZC=60°,

'：AB=\,要使△/8C的面积最大，则点C到的距离最大,

VZACB=60°，点。在o。上,

AZADB=120°，

当点。在优弧的中点时，点。到的距离最大，此时△/BC为等边三角形，且面积为—52=

4

V3

AABC的最大面积为

4

故选：D.

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的

面积公式.

2.如图，△48C中，CA=CB,AB=6,CD=4,E是高线CD的中点，以CE为半径OC.G是OC上一动

点，尸是NG中点，则。尸的最大值为（）

C.2V3

1

【分析】根据等腰三角形的性质可得点。是的中点，然后根据三角形中位线定理可得。P=/G,然

后利用两点之间线段最短就可解决问题.

【解答】解：连接8G,如图.

'JCA^CB,CDLAB,48=6,

1

:.AD=BD=]4B=3.

又：CD=4,

：.BC=5.

是高线CD的中点，

1

：.CE^~CD=2,

：.CG=CE=2.

根据两点之间线段最短可得：3GWCG+C8=2+5=7.

当B、C、G三点共线时，8G取最大值为7.

•.•尸是NG中点，。是42的中点，

1

：.PD^~BG,

7

:.DP最大值为5.

故选：A.

【点评】本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点

之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题的关键.

3.如图，在△48C中，NC=90°,4C=BC=4,。是48的中点，经过C、。两点的圆交/C、3c于点

【分析】连接C。、DE、DF,如图，根据等腰直角三角形的性质得N/=45°,CDLAB,CD=AD=

BD,/DCB=45：易证得△/£>£T四△C。尸，则DE=DF,再判断△£1/）尸为等腰直角

三角形，得到。£=苧斯，由于=所以当所越小，S^DEF越小，力口上S.CEKS4

1

EDF=Sm=4,4BC，则当即越小，越小，而SACEF越大，此时点。到砂的距离越大，即所

最小时，点C到斯的距离最大，设点。到斯的最大距离为〃，根据圆周角定理，由NECF=90°得

EE为。0的直径，所以当。。的直径等于CD时，OO的直径最小，即EF最小,此时可判断四边形CEDF

为正方形，根据正方形和等腰直角三角形的性质易得h=V2.

【解答】解：连接C。、DE、DF,如图，

VZC=90°,AC=BC=4,

AABC为等腰直角三角形，

/.ZA=45°,

:D是AB的中点，

：.CD±AB,CD=AD=BD,ZDCB=45°,

在中，

'AE=CF

乙4=Z.DCF,

AD=CD

：.AADE^ACDF(S/S),

:./ADE=/CDF,DE=DF,

■：ZADF+ZCDE=9Q°,

：.ZCDF+ZCDE=90°,即/尸=90°,

△成甲为等腰直角三角形，

：.DE=^EF,

1、1°

S^DEF=5,DE?=-EF-,

Z4

当£尸越小，S.DEF越小，

..1

,：SACEF+SAEDF=SACDdSACDF=SACED+SAADE=SAADC=5s△/BC=4，

...当£尸越小，鼠加尸越小，而S.CE尸越大，此时点。到£尸的距离越大，

即EF最小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h,

■：ZECF=90a,

；.£尸为。。的直径，

当O。的直径等于CD时，。。的直径最小，即EF最小,此时/。£。=/。尸。=90°,则四边形CEDF

11111ll

为正方形，h=-CD==->—*472=V2,

乙乙乙乙乙

即点C到线段EF的最大距离为方.

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质；会运用三角形全等解

决线段相等的问题；记住三角形的面积公式.

4.如图，点尸为正方形的边CD上一点，BP的垂直平分线即分别交BC、AD于E、尸两点，GP

尸交/。于点G,连接8G交£尸于点”，下列结论：®BP=EF；@ZFHG=45°；③以A4为半

径02与GP相切；④若G为40的中点，则DP=2CP.其中正确结论的序号是（）

A.①②③④B.只有①②③C.只有①②④D.只有①③④

【分析】先作MU8c于N,根据正方形的性质和垂直平分线的性质证明△BCPg△■年就可以得出2P

=£/，作3M_LPG于MGPLEP,通过证明两次三角形全等就可以得出/尸5G=45°,从而求出/尸”G

=45°,由切线的判定定理就可以求出以R4为半径05与GP相切，当G为4D的中点时，设/G=G。

=x,CP=y,则GM=x,PM=y,PD=2x-y,运用勾股定理就可以求出。P与CP的关系.

【解答】解：作NF上BC于N,

:.NFNE=90°.

;四边形48co是正方形,

ZABC=ZBCD=ZADC=ZBAD=90°,AB=BC=CD=DA.

:.NF=AB,

：.NF=CB.

尸垂直平分AP,

.\Z2=Z3,Z2+ZNEF=90°.

•：/\+/NEF=90°,

AZ1=Z2,

在?和△MVF中，

(Z2=Z1

\BC=FN,

[z.C=Z.FNE

：.ABCP^AFNE(ASA),

:・BP=EF；故①正确；

作5M_LPG于M,GPLEP,

：.BM//EP,ZBMP=ZBMG=90°

・・・N3=N5,ZBMP=ZC.

AZ2=Z5

在ABPC和△5PM中

NC=ZBMP

z_2=z5,

BP=BP

:•△BPC"ABPM(AAS),

；・BC=AB=BM,

・••以R4为半径。8与G尸相切.故③正确；

在RtAWG和RtA^G中，

[BG=BG

IBM=ABf

：.(也)，

：.Z6=Z7.

VZ2+Z5+Z6+Z7=90°,

・・・2N5+2N6=90°,

・・・N5+N6=45°

即NPBG=45°.

AZ8=45O.

AZFHG=45°故②正确；

当G为/。的中点时，设4G=GD=x,CP=y,则GM=x,PM=y,PD=2x-y,

在Rt△尸GO中由勾股定理，得

(x-Fj)2=x2+C2x-y)2,

2

2

即=F

24

:・PD=2x—pr=F，

・・.Z)P=2C尸故④正确.

・•・正确的有：①②③④.

【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及垂直平分线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性

质的而运用、圆的切线的判定方法的运用、勾股定理的性质的运用等知识，在解答中运用作辅助线制造

全等三角形是关键.

5.如图，45是半圆。的直径，射线4M、3N为半圆的切线.在4M上取一点C,连接交半圆于点

连接过。点作5c的垂线QN,与5N相交于点N.过。点作半圆的切线CE,切点为与5N相

BF

交于点凡当。在⑷/上移动时（4点除外），设右7二九，则〃的值为（）

D1M

1

C."<H<1D.无法确定

【分析】作于〃，如图，设BN=3则%半圆的半径为小根据切线的性质得NA^B=N

NBA=90°,易得四边形45切为矩形，所以RF=2r,AH=BF=n,再根据切线长定理得到CE=C4,

FE=FB=n,设C/=3贝1JCH=t-AH=t-n,在RtZkCHF中利用勾股定理得（L〃）2+（2r）

厂21

2=（什几）2,解得，=一,接着证明RtZ\5ONsRtZ\/C5,然后利用相似比得可计算出〃=不

n2

【解答】解：作于，，如图，设8N=1,则8尸=〃，半圆的半径为r,

,JAM,3N为半圆的切线，

AZMAB=ZNBA=90a,

四边形/以阳为矩形，

：.HF=2r,AH=BF=n,

尸切半圆于K点，

：.CE=CA,FE=FB=n,

设C4=/,贝UCE=f,CH—t-AH—t-n,

在RtZkC〃F中，:C*Flf=CF2,

丁2

/.(t-n)2+(2r)2=(/+几)2,解得Z=一,

n

,・Z8是半圆。的直径，

/.ZADB=90°,

•：ONLBD,

C.AD//ON,

：./BON=/BAD,

VZBAD+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,

JZBAD=ZACD,

：.ZBON=ZACB,

:•△BONsRAACB,

OBBN二1

•••就=7P即日

1

/.九=万.

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和切线长定理；会运用相似比和勾

股定理计算线段的长.

6.如图，NMAN=45°，B、C为4V上的两点，且/8=8C=2,。为射线上的一个动点，过8、C、

。三点作。。，贝ijsin/ADC的最大值为（）

【分析】当O。与/初相切于。时，O。与有唯一的公共点，则N2DC最大，此时sin/ADC的最

大，如图，作3〃，/。于，，可判断为等腰直角三角形，贝Ij//Z）B=45°,/〃=争8=应，

再根据切割线定理得/r>2=/g./c=8,计算出“。=2应，于是可判断88为△/CD的中位线，贝lj3H〃

CD,所以CD_L4M,得到N8DC=45°,于是有sin/ADC=孝.

【解答】解：当。。与相切于。时，NBDC最大,此时sin/ADC的最大，如图，

作BHLAD于H,

•；//=45°,

...△48〃为等腰直角三角形，

V2r-

408=45°,AH=^AB=y[2,

为O。的切线，

：.ADZ=AB*AC=2(2+2)=8,

:.AD=2也

：.DH=AH=y[2,

；.BH为AACD的中位线,

J.BH//CD,

J.CDLAM,

：.ZADC=90°,

：.ZBDC=45°,

smABDC=^―.

2

故选：C.

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用

勾股定理计算线段的长.

7.如图，AD为O。的直径，点/是弧2c的中点，AD交BC于E点、,。尸是。。的切线与2C的延长线交

于点尸，AE=2,ED=4,下列结论：©AABE^^XABD；②48=2禽；③tan//DB=字；@^DEF

是正三角形；⑤弧的长=字1.其中正确的个数为（）

【分析】①由于/是弧2c的中点，故再加上公共角即可证得所求的三角形相

似.

②根据△4BESA4D&可知其对应边成比例，再由NE=2,研）=4即可求出答案.

③由（1）的相似三角形所得比例线段，可求得N8的长，进而可在RtZX/m中，求得N/8D的正切

值.

④连接CD,由的边可得/ND8=30°,再由点/是弧8C的中点，可得N4DB=NEDC=

30°,从而得出/CED=60°；再利用。尸是O。的切线，得出NED尸=60°,即可得出是正三

角形.

⑤由RTA84D的边角关系，可得出8。=4禽，从而得出圆的半径，由N5O/=60°,根据弧长公式即

可求解.

【解答】证明：①：点/是弧8C的中点，

ZABC=ZADB,

又：/BAE=/BAE,

:.AABEsAADB.故①正确,

@VLABEsLADB,

.ABAE

••布

:,AB2=AD・AE=(4E+ED)・AE=(2+4)X2=12,

：.AB=2y/3,故②正确,

③•：AB=2g

AB岁=等.故③正确

在RtAADB中，tan/4DB=~r^

63

④如图，连接CD,贝IJN2C0=9O°；

由NB=2禽，AD=6,ZBAD=90°,得N4DB=30°,

.点/是弧3c的中点,

ZADB=ZEDC=30°,

；.NC矶＞=60°；

产是OO的切线,

；.NEDF=60°,

ZEFD=60°,

...△OEF是正三角形；故④正确，

@'：AB=2y/3,AD=6,NBAD=90°,

:.BD=4用,

**•F—2V^»

■:NBO4=60°,

.,607TX2V32A/3

・・/=--------------=------故⑤错误.

1803

正确的个数为4个.

故选：C.

【点评】此题主要考查了圆的综合题,涉及相似三角形的判定和性质、圆周角定理、圆心角、弧的关系、

等边三角形的判定和性质等知识，难度适中.

8.如图，在平面直角坐标系xS中，直线NB经过点/(-4,0)、B(0,4),。。的半径为1(O为坐标

原点)，点P在直线48上，过点尸作。O的一条切线尸0，。为切点，则切线长尸。的最小值为()

A.V6B.V7C.2V2D.3

【分析】连接OP根据勾股定理知尸2-。02,当时，线段。尸最短，即线段尸0最

短.

【解答】解：连接。尸、OQ.

是。。的切线，

：.OQLPQ；

根据勾股定理知尸尸2-。02,

•.,当时，线段尸0最短；

又•.[(-4,0)、B(0,4),

：.OA=OB=4,

：.AB=4y/2

1厂

：.OP=-AB=2y/2,

：.PQ=yJPO2-OQ2=V7；

故选：B.

【点评】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点.运用切线的性质来

进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题.

9.如图，正方形/BCD的边长为4,点E是N2上的一点，将△2CE沿CE折叠至△FCE,若C凡CE恰

好与以正方形/BCD的中心为圆心的O。相切，则。。的半径为()

Dc

A.1B.V2-1C.V3-1D.—^―

【分析】连接NC交于点。，设EC与。。相切于点N,连接。N,由。为正方形的中心，得到/DCO=N

BCO,又CF与CE为圆。的切线，根据切线长定理得到C。平分/ECF,可得出NDC尸=4BCE,由折

叠可得/BCE=NFCE,再由正方形的内角为直角，可得出NEC8为30°,在直角三角形CON中，求

出CO的长，再利用sin/OCN=sinl5°=Jlzf"迎,即可得到川。的长.

【解答】解：连接NC交于点。，设EC与OO相切于点N,连接ON,

,?O为正方形ABCD的中心，

ZDCO=ZBCO,

又：C尸与C£都为圆。的切线，

：.CO平分NECR即/FCO=ZECO,

：.ZDCO-ZFCO=ZBCO-ZECO,即ZDCF=ZBCE,

又；ABCE沿着CE折叠至△网?£,

NBCE=ZECF,

1

/.ZBCE=ZECF=ZDCF=~ZBCD=3Q°,

；./OCN=\5°,

\'BC=AB=4,

1「

：.CO=-AC—2y/2,

..■/CCNT一■1Il—cos30°V2—V3

・sinZOCTV—sinl5=--------------=-----------,

N22

.竺

"co~——，

即=2鱼=—2旧=J(V3-1)2=V3-b

故选：c.

【点评】此题考查了切线的性质，正方形的性质以及折叠的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练掌握

定理及性质由半角公式求出半径是解本题的关键.

10.如图，△/8C的三个顶点都在上，AD.2E是△Z8C的高，交于点H,3E的延长线交于尸，

下列结论：

①/BAO=NCAD；②AO=AH；③EH=EF；©DH=DC,

其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

1

【分析】作OGL48于G,连接。2、AF,如图，0GL48,根据等腰三角形的性质得

1

Zl+Z5=90°,BG=AG,再根据圆周角定理得/。=5乙4。8,则N5=NC,由于N2+NC=90°,则

Nl=/2,则可对①进行判断；

1

要证明而/1=/2,则要证明RtZ\/GOgRtzX/EH,所以要证明/G=N£,即证明/£=,

1_

AG,而N/8E不能确定为30°,所以不能证明于是可对②进行判断；利用等角的余角相等

得/2=/4,再利用圆周角定理得到/4=/3,则/2=/3,加上根据等腰三角形的判定方

法得到△/"F为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质对③进行判断;要证明DH=Z）C,由于N2=/

4,则要证明RtAAD&RSDH,

所以呀哦证明30=40,由于不能确定/4BD=45°,不能确定2。=40,于是可对④进行判断.

【解答】解：作。G_L/8于G,连接。8、AF,如图，

OGLAB,

1

：.Z5=~ZAOB9Zl+Z5=90°,BG=AG,

1

*：ZC=~ZAOB,

：.Z5=ZCf

U：ADLBC,

：.Z2+ZC=90°,

・・・N1=N2,所以①正确；

*：BE.LAC,

而N45E不能确定为30°,

：・AB¥2AE,

而45=24G,

:.AGrAE,

而N1=N2,

・••不能判断RtZXZGO和RtLAEH全等,

・••不能确定所以②错误；

VZ2+ZC=90°,Z4+ZC=90°,

・・・N2=N4,

而N4=N3,

・・・N2=N3,

■:AELHF,

为等腰三角形，

；.HE=EF,所以③正确；

由于不能确定N45D=45°,

・••不能确定3。=/。

VZ2=Z4,

・••不能判断RtA^DC和RtdBDH全等,

・••不能确定QH=C。，所以④错误.

故选：B.

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；灵活运

用三角形全等的判定与性质；合理作辅助线是解题的关键.

11.如图，△NBC内接于O。，于P,交。。于。，E为NC的中点，EP交BD于F,的直径

为d.下列结论：

1

①EFLBD；②NC2+AQ2的值为定值；@OE=-BD；④4B・CD=2S四边形也明

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】先利用PE为Rt^/PC的斜边上的中线得到PE=CE,则/ECP=/EPC,再根据对顶角相等得

ZEPC=ZDPF,根据圆周角相等得于是有NDPF+NPDF=N4CP+/C4P=90°,则

可对①进行判断；

作尸于“，连接CM、OC、OB、OD,如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得N/OE=/

ABC,ZDOH=ZBCD,由于N/5C+/8CD=90°,则N/OE+NDO8=90°,然后根据等角的余角相

等得到/胡0=/。0〃，于是可根据“44S”证明得至再根据垂径定理由

1

OH上BD得到BH=DH,所以0月=万5。，则可对③进行判断；

11

在RtZXOZE中，利用勾股定理得45+0£2=042,加上/月二/。，OE=-BD,则402+502=4042,于

是可对②进行判断；

利用S四边形△/和三角形面积公式可对④进行判断.

【解答】解：・・・CQUB,

AZAPC=90°,

•・・£为4C的中点，即尸E为RtA4PC的斜边上的中线,

：.PE=CE,

：.ZECP=ZEPC,

而/EPC=/DPF,NCAP=/CDB,

：.ZDPF+ZPDF=ZACP+ZCAP=90°,

；・EF_LBD,所以①正确；

作PH_LBD于H,连接CM、OC、OB、OD,如图,

•・・£为4C的中点，

：.OELAC,

11

AAAOE=~AAOC,ZDOH=-ZBODf

11

VZABC=-ZAOC,ZBCD=~ZBODf

：.ZAOE=AABC,ZDOH=ZBCD,

而N45C+N5CD=90°,

AZAOE+ZDOH=90°,

而N4QE+NK4O=90°,

・•・NEAO=/DOH,

在△40月和△OQH中，

(ZAEO=ZOHD

\^EAO=/-HOD,

[OA=DO

：./\AOE^^ODH(AAS)f

OE=DH,

9：OHLBD,

：.BH=DH,

1

：.OE=-BD,所以③正确；

在RtZXCUE中，\9AE2+OE2=OA2,

11

而=OE=—BD,

：.AC2+BD2=4OA2,

而04为圆的半径，为定值，

.•./。2+342的值为定值，所以②正确;

•；S四边形

11

=-AB-CP+~AB*DP

1

=~AB(PC+DP),

1

=-AB-CD,

'-AB*CD—2SADBC,所以④)正确•

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和直角三角形斜边上的中线性质；会

运用勾股定理和三角形面积公式计算；能运用全等三角形的知识解决线段相等的问题.

12.如图，己知/、3两点的坐标分别为（-4,0）、（0,2）,OC的圆心坐标为（0,-2）,半径为2.若

。是OC上的一个动点，射线AD与y轴交于点£,当△48E的面积最大值时，△0/）£的面积为（）

【分析】当射线与OC相切时，△4BE面积的最大.设即=x,由切割线定理表示出OE,可证明△

CAEs△ZOE,根据相似三角形的性质可求得x,然后求得面积.

【解答】解：当射线40与OC相切时，△4BE面积的最大.

如图，连接4C

点的坐标为（-4,0）,OC的圆心坐标为（0,-2）,半径为2.

：.AO=4,OC=2,即OC为OC的半径，则/。与OC相切.

,・ZO、4。是。。的两条切线,

：.AD=AO=4.

连接C。，设跖=x,

:・DE2=EF・0E,

•：CF=2,

:・DE=Jx(4+%).

CDCE22+x

易证ACDESAAOE,则而=有，即L4+所由,

4

解得x=§或x=0(不合题意，舍去)，

1148

:.S&CDE=-DE'CD=~x-x4=-.

故选：C.

【点评】本题是一个动点问题，考查了圆的综合题，解题时，涉及到了切线的性质和三角形面积的计算,

解题的关键是确定当射线AD与OC相切时，A4BE面积的最大.

二.填空题

13.已知：如图，AB=BC,ZABC=90°,以为直径的OO交。。于点。，的延长线交3C于点E,

过。作。。的切线交8c于点尸.下列结论：①CD2=CE,CB：②4EF2=ED-EA；（3）ZOCB=ZEAB；

【分析】先连接8。，利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出。尸=EB,进而分别得出△CD£s

丛CBD以及丛CDFs丛CBO,再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案.

【解答】解：①连接班），

•・,/B为直径，

AZADB=90°,

AZDBE+Z3=90°,

VZABC=90°,

：.Z\+ZDBE=90°,

AZ1=Z3,

又•：DO=BO,

AZ1=Z2,

・・・N2=N3,

:・/CDB=/CED,

*.*/DCB=/ECD,

:•丛CDEs丛CBD,

:・CI^=CE*CB,故①C£>2=c£・C5正确；

②,・,过。作。。的切线交BC于点F,

・•・/加是。。的切线，

VZABC=90°,

・・・C5是。。的切线，

：・FB=DF,

：./FDB=/FBD,

Z1=ZFDE,

：.ZFDE=Z3,

:・DF=EF,

:・EF=FB,

：.EB=2EF,

•・•在RtZ\Z5E中，BDLAE,

；・EB2=ED*EA,

：・4EF2=ED・EA,故②4£尸=瓦>区4正确；

③•：AO=DO,

：・/OAD=/ADO,

假设③N0C5=AEAB成立，

1

则NOCB,NCg

：.ZOCB=30°,

BOBO1V3

而GT7=73=5，与tan3O°=二-矛盾，

LJC«D乙J

故③NOCB=N£45不成立，故此选项错误;

©•：/CDF=/CBO=90°,

/DCF=/OCB,

:.△CDFs^CBO,

.DFCD

••茄=而’

.DFBO

**CD=cF>

•；AB=BC,

.DFBO1

**CD=CB=2?

11

：.DF=-CD；故④二58正确.

综上正确的有①、②、④.

故答案为：①②④.

【点评】此题主要考查了圆的切线性质与判定、圆周角定理性质及三角形相似的判定等知识，熟练根据

相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键.

14.如图，45为半圆直径，ACLAB,BFLAB,BF=2,AB=3,C4=4,连接力/交半圆于。，连接CZ),

1

作DELCD交直径AB于E,贝ljtanN/CE=_77_

BD2

【分析】首先利用圆周角定理得出/4D8=90°,进而得出△/£>5s△/AF,求出,=茄=不再利用

71JD

BDBE2

已知得出N1=N2,即可得出△/CZ)sg切，进而求出：有=/3=孑，得出5E的长，即可求出/£的长,

jADZ1Co

得出tanZACE的值即可.

【解答】解：连接8。，

・,48为半圆直径，

*.ZADB=90°,

JBFLAB,

\ZABF=90°,

ZBAF=ZDAB,

\dADBsAABF,

.BFBD

•布=布’

:BF=2,AB=3,

.BFBD2

tAB='AD=3,

・Z5为半圆直径，ACLAB,

\Z4+ZFAB=90°,

：Z3+ZDAB=90°,

,・N3=N4,

：Z\+ZADE=90°,Z2+ZADE=90°,

•・N1=N2,

*.AACDSBED,

.BDBE2

•茄=前=§'

：AC=4f

8

:,BE=5,

81

•••"『亍E'

1

/.tanZACE=­.

1

故答案为：—.

【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及圆周角定理和相似三角形的判定与性质，在综合题中经常利

用相似性解决有关圆的问题，同学们应有意识尝试应用.

15.在四边形45CD中，NBAD=/BCD=90°,N45C=45°,点E为对角线5。的中点，连接并延

长交线段8c于点尸，AE=2或,BF=3,则ND的长为2版.

【分析】由于/340=/2。。=90°,点E为对角线2。的中点，根据圆周角定理的推论得点/和点C

在以点E为圆心，AD为直径的圆上，如图，所以2D=2/E=4瓶，连接EC、AC,作于X,

再根据圆周角定理得到44EC=2N/8C=90°,可判断△口（7为等腰直角三角形，所以NC=Vl4E=2

V10,NE4c=45°,然后证明△C/FS^CB/,利用相似比得2回：（3+CF）=CF：2V10,可求得CF

=5,则5。=。尸+时=8；在RtZi4DC中，根据勾股定理计算出CD=4,接着根据圆内接四边形的性质

得NCDH=NABC=45°,则△CD"为等腰直角三角形，则CH=DH=曰CD=2近,于是可在RtZU"C

中，利用勾股定理计算出/8=4鱼，所以AD=AH-DH=2钝.

【解答】解：,.•/24D=/2Cr>=90°，点E为对角线的中点，

.,.点/和点C在以点片为圆心，2。为直径的圆上，如图，则2。=2/石=4痣,

连接EC、AC,作CHLAD于H,

,：ZAEC^2ZABC^90°,

...△E4c为等腰直角三角形，

:.AC=&AE=82m=2回,ZEAC=45°,

：.ZCAF=ZCBA,

而N/CF=ZBCA,

：./\CAF^/\CBA,

：.CA：CB=CF：CA,即2VIU：(3+CF)=CF：2V10,

整理得CF2+3CF-40=0,解得CF=5或CF=-8(舍去)，

:.BC=CF+BF=8,

在RtZUDC中，CD=y/BD2-BC2=J(4V5)2-82=4,

'：ZCDH=ZABC=45°,

；.△CDH为等腰直角三角形，

CH=DH=号CD=孝x4=2V2,

在RtZ\//fC中，AH=yjAC2-CH2=J(2V10)2-(2V2)2=4V2,

：.AD=AH-DH=4y/2-2近=2夜

故答案为2&.

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等腰直角三角形的性质;

会运用勾股定理和相似比进行几何计算.

16.如图，在等腰RtZ\/5C中，NA4c=90°,AB=AC,BC=4VL点。是/C边上一动点，连接5D,

以4D为直径的圆交于点E,则线段CE长度的最小值为2痣一2.

A

【分析】连接如图1,先根据等腰直角三角形的性质得到/5=/C=4,再根据圆周角定理，由

为直径得到/4ED=90°,接着由N/E8=90°得到点K在以为直径的。。上，于是当点。、E、C

共线时，CE最小，如图2,在Rt&40C中利用勾股定理计算出0C=2逐，从而得到CE的最小值为2痣

一2.

【解答】解：连接如图1,

VZBAC^9Q°,AB=AC,BC=4也

：.AB=AC=4,

'：AD为直径，

AZAED=90°,

AZAEB=90°,

...点E在以N8为直径的。O上，

：O。的半径为2,

当点。、E、C共线时，CE最小，如图2,

在Rt/X/OC中，\'OA=2,AC=4,

：.OC=70A2+4C2=2V5,

：.CE=OC-OE=2y[5-2,

即线段CE长度的最小值为2乖—2.

故答案为2近一2.

D

E

-------------------------

图1

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算

线段的长.解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离

问题.

17.如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于4、3两点，OC的圆心坐标为（2,0）,半径为2,若。

是OC上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则△A8E面积的最小值和最大值分别是8-26和8+2

V2_.

【分析】求出6M、08值，根据已知求出的最大值和最小值即可，过/作OC的两条切线，连接

OE'

OD',OD,求出/C,根据切线性质设夕O=E'D'=x,根据sin/C4。'=—,代入求出x,即

AE

可求出BE的最大值和最小值，根据三角形的面积公式求出即可.

【解答】解：y=x+4,

,当x=0时，y=4,当y=0时，x=-4,

：.OA=4,08=4,

AABE的边上的高是。4,

AABE的边BE上的高是4,

要使△N8E的面积最大或最小，只要8E取最大值或最小值即可，

过工作OC的两条切线，如图，

当在。点时，BE最小,即△/BE面积最小；

当在。'点时，BE最大,即△/8E面积最大；

•.”轴，夕轴，0c为半径，

:.EE，是OC切线,

'：AD'是OC切线,

：.OE'=E'D'，

设E，O=E'D'=x,

•；/C=4+2=6,CD'=2,AD'是切线,

ZAD'C=90°,由勾股定理得：AD'=4企,

D'COE'

1

J.smZCADAC—肃，

2_

64V2—x)

解得：x=V2,

：.BE'=4+V2,BE=4-V2,

L

.•.△/BE的最小值是5x(4-V2)X4=8-2近,

ILL

最大值是：-X(4+V2)X4=8+2位，

【点评】本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识点，解此题的关键

是找出符合条件的。的位置，题目比较好，有一定的难度.

18.如图，点C在以48为直径的半圆上，AB=8,/CA4=30°,点。在线段上运动，点E与点。关

于NC对称，DFLDE于点、D,并交EC的延长线于点尸.下列结论：

①CE=CF；

②线段EF的最小值为2g；

③当/。=2时，与半圆相切；

④若点尸恰好落在弧2C上，则AD=2^；

⑤当点。从点/运动到点8时，线段£尸扫过的面积是16V3.

其中正确结论的序号是①⑶⑤.

【分析】（1）由点E与点。关于/C对称可得CE=CD,再根据DFLOE即可证到CE=C/.

（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CDL/5时CO最小，由于防=2CD,求出。的最小

值就可求出斯的最小值.

（3）连接OC,易证△49C是等边三角形，AD=OD,根据等腰三角形的“三线合一”可求出/NCD,

进而可求出NECO=90°,从而得到斯与半圆相切.

（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△D8歹是等边三角形，只需求出8尸就可求出。8,进而求出

长.

（5）首先根据对称性确定线段即扫过的图形,然后探究出该图形与△/BC的关系，就可求出线段所

扫过的面积.

【解答】解：①连接CD,如图1所示.

.点E与点。关于/C对称，

：.CE=CD,

：./E=/CDE,

'：DFLDE,

:.NEDF=90°,

AZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°,

：.ZF=ZCDF,

:.CD=CF,

：.CE=CD=CF,

结论“CE=CF"正确;

②当CDL48时，如图2所示;

ZACB^9Q°,

：/3=8,ZCBA=30°,

：.ZCAB=60°,AC=4,8c=4禽.

'JCDLAB,NCBA=30°,

1「

：.CD^~BC=2y/3；

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：

点D在线段48上运动时，CD的最小值为2g,

"：CE=CD=CF,

:.EF=2CD,

线段所的最小值为4V3,

结论“线段斯的最小值为2遍”错误.

...△O/C是等边三角形,

：.CA=CO,ZACO=60°,

・.・/O=4,4)=2,

：.DO=2,

：.AD=DO,

：.ZACD=ZOCD=30°,

•・•点E与点。关于4C对称，

・•・NECA=/DCA,

：.ZECA=30°,

AZECO=9