浙教版八年级数学专项复习：三角形的初步认识（十三大题型综合归纳）（解析版）

第06讲三角形的初步认识（十三大题型综合归纳）

目录：

一、构成三角形的条件及其应用

二、三角形的稳定性、三角形的中线、高线和角平分线

三、三角形的分类

四、三角形的内角和

五、三角形的外角

六、三角形的内角和与外角综合

七、求与三角形的高线、中线有关的线段长、面积

八、定义与命题

九、尺规作图

十、角平分线、垂直平分线的性质

十一、全等图形、全等三角形的性质及其应用

十二、全等三角形的判定

十三、全等三角形的判定与性质综合

一、构成三角形的条件及其应用

i.下列各组线段为边，能构成三角形的是（）

A.2,3,6B.3,4,8C.2,7,9D.5,6,10

【答案】D

【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可.

【解析】解：A、：2+3<6,...不能构成三角形，不符合题意；

B、：3+4<8,不能构成三角形，不符合题意；

C、,.,2+7=9,...不能构成三角形，不符合题意；

D、：10-5<6<10+5,...能构成三角形，符合题意;

故选D.

【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于

第三边是解题的关键.

2.现有两根木棒，它们的长分别是80?cm和60?cm,若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选

取（）

A.20?cm的木棒B.60?cm的木棒C.&幽？的木棒D.西0?的木棒

【答案】B

【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，应满足三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和

大于三角形的第三边，任意两边之差小于三角形第三边.

【解析】根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于三角形的第三边，任意两边之差小于三

角形第三边

可得：（80-60）cm〈第三边长度<（80+60）cm

即：20cm（第三边长度<140cm.

根据第三边的长度的范围可以排除选项A,C,D

故选：B.

【点睛】此题考查三角形三边的关系定理，解题关键在于掌握三角形三边的关系.

3.如果三条线段长度的比是：①1：3：4,②1：2：3,③1：4：6,④336,⑤6：10：6,@3：4：6,那么其中可构成

三角形的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据三角形三边关系进行求解判断即可.

【解析】解：①中，设三边为a、3a、4a,由3a+a=4a可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；

②中，设三边为a、2a、3a,由2a+a=3a可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；

③中，设三边为a、4a、6。，由4a+a=5a<6a可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；

④中，设三边为3a、3a、6a,由3a+3a=6a可得，三边不能构成三角形，故不符合要求；

⑤中，设三边为6a、10a、6。，由6。+6。=12a>10a,10a-6a=4a<6a可得，三边能构成三角形，故符合要

求；

⑥设三边为3。、4。、6。，由3。+4。=7。>6。，6a-3a=3a<4a,6a—4。=2a<3。可得，三边能构成三角形,

故符合要求；

共有2个能构成三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系.熟练掌握三角形中三边关系满足：两边之和大于第三边，两边之

差小于第三边.

4.已知三角形的两条边长分别是3和5,且第三边的长为整数，那么第三边的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据

第三边是整数，从而求得第三边长的最大值.

【解析】解：设第三边为。，根据三角形的三边关系，得：5-3<a<3+5,即2<a<8.

。为整数，

二。的最大值为7.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，求不等式组整数解，关键知道三角形的任何一边大于其他两边之

差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形.

5.若三角形两条边的长分别是10,15,第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是.

【答案】24

【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行解答即可.

【解析】解：：15-10〈第三边<15+10,即：5(第三边<25.

•••第三条边的长是整数，

•••第三条边的长的最大值是24.

故答案为：24.

【点睛】本题考查三角形的三边关系.解答此题的关键是掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”.

6.已知a,b,c是三角形的三条边，则|。一“一可+|。+人一。|的化简结果为()

A.0B.2a+2Z?C.2bD.2a+2b—2c

【答案】C

【分析】根据三角形三边的关系得到c-a-〃v0,c+b-a>Of由此化简绝对值再合并同类项即可得到答案.

【解析】解：・・・〃，b,。是三角形的三条边，

a+b>c,b+c>a,

c—a—b<0,c+b—a>0,

|c_a_Z?|+1c+Z7-

=一(C—Q—Z?)+(C+Z?—Q)

=a+b—c+cJt-b—a

=2b,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值和合并同类项，熟知三角形中任意两边之和大于

第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键.

二、三角形的稳定性、三角形的中线、高线和角平分线

7.造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是根据三角形具有

【答案】稳定性

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.

【解析】解：利用三角结构，为了更加稳固，

是因为三角形具有稳定性，

故答案为：稳定性.

【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容.

8.下图为7x9的网格，每一小格均为正方形，已知ABC.

(1)画出..ABC中8C边上的中线A£>；

(2)画出./RC中边上的高CE.

(3)直接写出..ABC的面积为

【答案】(1)见解析；

(2)见解析;

(3)6.

【分析】(1)取3C的中点£>,连接AO,即为所求;

(2)取格点E,连接CE,CE即为所求；

(3)用直接利用面积公式进行求解即可.

【解析】(1)解：如图所示，AD即为所求；

(2)如图，CE即为所求;

⑶S^ABC=1x4x3=6；

故答案为：6.

【点睛】本题考查格点画三角形的中线和高线，求三角形的面积.熟练掌握中线和高线的定义，是解题的

关键.

9.下列说法正确的是()

A.三角形的三条中线交于一点

B.三角形的角平分线是射线

C.三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外

D.三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形

【答案】A

【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的定义和性质，逐一进行判断即可.

【解析】A、三角形的三条中线交于一点，说法正确，符合题意；

B、三角形的角平分线是线段，原说法错误，不符合题意；

C、三角形的高所在的直线交于一点，当三角形为锐角三角形时，交点在三角形的内部，当三角形为直角三

角形时，交点在直角顶点上，当三角形为钝角三角形时，交点在三角形的外部，原说法错误，不符合题意;

D、三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，原说法错误，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查三角形的三条重要线段.熟练掌握三角形中的中线，角平分线和高线是三条线段，三角

形的中线平分三角形的面积，以及高线所在的直线交于一点，该点可能在三角形的内部，外部和三角形上,

是解题的关键.

10.如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,则点C到AB的距离是（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】D

【分析】根据面积相等即可求出点C到A3的距离.

【解析】解：：在直角三角形ABC中，ZACB=90°,

：.-ACxBC=-ABxCD,

22

VAC=3,BC=4,AB=5,

-x3x4--x5xCr),

22

CO=£=2.4,

故选：D.

【点睛】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键.

11.在三边互不相等的三角形中，最长边的长为。，最长的中线的长为加，最长的高线的长为〃，则（）

A.a>m>hB.a>h>mC.m>a>hD.h>m>a

【答案】A

【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解.

【解析】解：如图，

中，AC>AB>BC,E为8c的中点，AD为BC边的高，

则AC是最长的边，AE是最长的中线，A。是最长的高，

由图可知AC>AE>AT>,

因此tz>zn>Zz.

故选A.

【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键.

三、三角形的分类

12.已知NA:N8:NC=5:2:7，则一ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定形状

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和定理求出最大角-C的度数，进行判断即可.

【解析】解：•••ZA：NB:NC=5:2:7,

ZA+ZB=ZC,

XZA+ZB+ZC=180°,

2ZC=180°,即NC=90。，

故该三角形是直角三角形.

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形的分类，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出最大角的度数.

13.关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）

甲乙

A.甲、乙两种分法均正确B.甲、乙两种分法均错误

C.甲的分法错误，乙的分法正确D.甲的分法正确，乙的分法错误

【答案】D

【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰

与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角

形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.

【解析】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角

形.

14.在1sAsc中，已知/3=3NA,NC=2NB,则这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】求出三个内角的度数进行判断即可.

【解析】解：设NA=x,则NB=3NA=3x,NC=2NB=6x,根据题意得：

x+3x+6x=180°,

解得：x=18。，

则NA=18°,ZB=54°,ZC=108°,

这个三角形是钝角三角形，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形分类，解题的关键是求出NA=18。，ZB=54°,

ZC=108°.

四、三角形的内角和

15.如图，已知在..ABC中，AE是NBAC的角平分线，AO是8c边上的高，NB=42。，/C=68。，求N7ME

的度数为（）

A

A.13°B.14°C.15°D.16°

【答案】A

【分析】在ABC中由三角形内角和定理可求得/BAC,由角平分线的定义可求得NB4石，再利用三角形

外角的性质可求得ZAED,在Rt^ADE中由直角三角形的性质可求得NDAE.

【解析】解：N3=42。，ZC=68°,

ZBAC=180°-ZB-ZC=180°-42°-68°=70°,

AE平分NBA。，

:.ZBAE=-ZBAC=35°,

2

NAED=NB+44E=42。+35。=77。，

AD^BC,

.•.ZZME=90°-Z/4ED=90o-77o=13o,

故选A.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和为180。是解题的关键.

16.如图，AB〃CD,点E为CD上一点,AE±BE,若NB=55。，则N1的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理求得/A的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出N1的度数，即可得

出答案.

【解析】解：VZA+ZB+ZAEB=180°,且NAEB=9O。，4=55°,

ZA=1800-ZAEB-ZB=35°,

,/AB//CD,

AZ1=ZA=35°,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键.

17.如图，在AABC中，点。在A3上，点E在AC上，DE//BC,若NA=70。，ZAED=60°,则的大

小为（）

A.50°B.60°C.70°D.55°

【答案】A

【分析】根据平行线的性质得到NC=NA£D=60。，根据三角形的内角和即可得到结论.

【解析】解:DE//BC,

:.ZC=ZAED=6O°,

ZA=70°,

ZB=180°-ZA-ZC=50°,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键.

18.如图AB〃CD,ZA=42°,NC=23。，则—E的度数为（）

A.18°B.19°C.22°D.23°

【答案】B

【分析】根据“两直线平行，同位角相等”皆可求出N1的度数，再根据“三角形的一个等于与它不相邻的两个

内角之和”即可求出答案.

【解析】解：如图所示：：AB〃CD,

•*.N1=ZA=42°,

•/Z1=ZC+Z£,

ZE=Z1-ZC=42°-23°=19°.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，属于基础题，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

五、三角形的外角

19.如图，/A的度数为°

【答案】80

【分析】根据三角形外角的性质可进行求解.

【解析】解：由图可知：/4=418-/3=110。一30。=80。；

故答案为：80.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.

Zl=55°,则N2的度数是（）

C.45°D.50°

【答案】B

【分析】由题意知，ZB=180°-ZS4C-Z1=35°,由。b,可得N2=NB,进而可得答案.

【解析】解：由题意知，ZB=180°-ZBAC-Zl=35°,

'/ab,

Z2=ZB=35°,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.

21.如图，AB//CD,且NA=40。，ZD=24°,则—E等于（）

A.40°B.32°C.24°D.16°

【答案】D

【分析】可求NACD=40。，再由=即可求解.

【解析】解：AB//CD,

.-.ZACD=ZA=40°,

ZACD^ZD+ZE,

.­.24°+Z£=40°,

二NE=16。.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键.

22.如图，将直尺与含30。角的三角尺摆放在一起，若N2=55。，则N1的度数是（）

【答案】C

【分析】根据直尺的两条边平行，得至1]/2=/3,根据三角形外角的性质，Z3=Zl+30°,即可得出结果.

【解析】解：：直尺的两条边平行，/2=55。

，Z3=Z2=55°,

Z3=Z1+3O°,

Zl=25°；

故选C.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角.熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的

关键.

23.已知ABC中，ZA=70°,8。是/ABC的角平分线，。是—ACB的外角角平分线，交点为则

ZD=°.

【答案】35

【分析】由角平分线的定义可得=NDCE=：NACE,再由三角形的外角性质可得

ZACE=ZA+ZABC,ZDCE=ZCBD+ZD,从而可求解.

【解析】解：：3。是,ABC的角平分线，。是—ACB的外角角平分线，

ZCBD=-NABC,ZDCE=-ZACE,

22

■:/ACE是ABC的外角，/DCE是ABCD的外角，

ZACE=ZA+ZABC=70°+ZABC,Z.DCE=ZCBD+ZD,

ZD=ZDCE-ZCBD

=-ZACE-ZCBD

2

=1(70°+ZABC)-ZCBD

=35°.

故答案为：35.

【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其

不相邻的两个内角之和.

六、三角形的内角和与外角综合

24.如图，在一ABC中，AD平分NBAC,EGLAD,分别交AB,AD,AC,3C的延长线于E,H,F,

G,已知下列三个式子：①/l=g（N2+N3）；②/4=g/l；③/4=；（/3-/2）.其中正确的是.（填

序号）

【分析】由AD平分，BAC,EG±AD,根据三角形的内角和定理得4=90。-g/BAC,而

ZBAC=180°-Z2-Z3,即可求得N1；再根据三角形外角性质得=22+2,得到N4,由此得到正确答

案.

【解析】解：如图：

AD平分/R4C,EG±AD,

ZBAD=-ZBAC,ZAHE=90°,

2

.­.Zl=900-ZBAD=90°--ABAC,

2

ZBAC=180°-Z2-Z3,

...Z1=90O-1(180°-Z2-Z3)=1(Z2+Z3)；

X-Z1=Z2+Z4,

Z4=Zl-Z2=1(Z2+Z3)-Z2=1(Z3-Z2)；

故①③正确，

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握

和运用基本图形的性质是解决本题的关键.

25.如图，在ABC中，AD是边上的高，且NACB=NR4D,AE平分/C4D,交BC于点E,过点E作

EF〃AC,分别交AB、AD于点歹，G.则下列结论：®ZBAC=90°；®ZAEF=ZBEF^③ZBAE=ZBEA；

@ZB=2ZAEF,其中正确的有（）

CEDH

A.①②③B.①③④C,①②④D,①②③④

【答案】B

【分析】证明/^，/"/。1^^^。即可判断①正确；无法判断NAEF=N3£F,即可判断②错误；利用三角

形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确，证明N3=NC4。即可判断④正确.

【解析】解：ADLBC,

:.ZADC^90°,

:.ZACB+ZCAD=90°,

ZACB=ZBAD,

ZBAD+ZCAD=90°,

ABAC^900■,

故①正确，

AE■平分NC4D,

:.ZDAE=ZCAE,

ZBAE=ZBAD+ZDAE,ZACB=ZBAD,

:.ZBAE=ZACB+ZCAE=ZBEA,

故③正确，

EF〃AC,

:.ZAEF=ZCAE,

ZCAD=2ZCAE,

;.NCAD=2ZAEF,

ZCAD+ZBAD=90°,ZBAD+ZB=90°,

NB=NCAD=2ZAEF,

故④正确，

无法判断NAEF=N3£F,故②错误；

故选：B.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

26.如图，在，ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点厂在C4的延长线上，交于G,交BC

于H,下列结论：①ZDBE=ZF；②2NBEF=NBAF+NC；③2NF=/BAC-NC；@ZBGH=ZABE+ZC,

正确的是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①根据3D_LAC,FH±BE,以及=/3GH即可推出NDBEn"；②根据角平分线的定

义和三角形外角的性质证明即可；③证明/45£>=90。-/84。，由①知：NDBE=Nb即可证明

2ZF=ZBAC-ZC；④由同角的余角相等证明/3G"=/BED,再根据三角形外角的性质及角平分线的性

质即可推出ZBGH=ZABE+ZC.

【解析】••,3DLAC,

NF+NFGD=90°.

•/FH±BE,

：.ZDBE+ZBGH=90°.

,?ZFGD=ZBGH,

：.ZDBE=NF.

故①正确；

BE平分，ABC,

ZABE=NCBE=-NABC.

ZBEF=ZCBE+ZC,

：.2NBEF=2（NCBE+NC）=ZABC+2NC.

"：ZBAF=ZABC+ZC,

：.2ZBEF=ZBAF+ZC.

故②正确；

BE平分，ABC,

ZABE=-ZABC=-（180°-ABAC-ZC）=90°--ABAC--AC.

22''22

BD±AC,

：.ZABD=90°-ZBAC.

：.ZDBE=ZABE-ZABD=190。-g/BAC-（900-ZBAC）=1（ZBAC-ZC）.

由①知：ZDBE=ZF,

：.ZF=1（ZBAC-ZC）.

2ZF=ZBAC-ZC.

故③正确；

VBDYAC,FH±BE,

：.ZBGH+ZDBE=90°,/BED+ZDBE=90°.

ZBGH=/BED=ZCBE+ZC.

郎平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

：.NBGH=ZABE+NC.

故④正确；

故选D.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知识，正确运用三

角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键.

七、求与三角形的高线、中线有关的线段长、面积

27.如图，点、B,C,。在一条直线上，CD=2BC,ABC的面积为12,则.ACZ）的面积为（）

A

【答案】D

【分析】过点A作于点8,根据三角形的面积公式结合8=25。即可求出ACD的面积.

【解析】解：过点A作于点”，

,/ABC的面积为12,

：.-BCAH=12,

2

CD=2BC,

、ACD的面积=LC£>-A8=2XLBC-A8=24.

22

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，掌握3ABe与，ACD有相同的高AH是解决问题的关键.

28.如图所示，AD,BF、CE分别是715c的三条高线，则下列M5C的面积表述正确的是（）

2222

【答案】B

【分析】根据三角形面积公式以及三角形的高的定义即可求解.

【解析】解：AD.BF、CE分别是‘ABC的三条高线，

求一ABC的面积正确的公式是5^^=32040=34。-囱7=

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积公式，关键是熟练掌握三角形面积公式.

29.如图，在一ABC中，E是3c上的一点，EC=2BE,点。是AC的中点，且5碑=18,则S®-3跖尸

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

221

【分析】由£C=23石得SAEC=§5ABe=§xl8=12,同理可得858=55^0=9,根据

S.ADFBEF~S皿+S四边形。石阳—（SBEF+S四边形原五口）=S-S屈。即可得到答案.

【解析】解：・・・EC=2BE,

22

,•SAEC=§S=—xl8=12,

•・,点D为AC中点，

•q-Av-Q

,・口BCD_2QABC~，

•・•q0AEC-v°BCD—~aJ，

=

即SADF_SBEF=S4）F+S四边形CMD_（sBEF+S四边形eMD）AEC~SBCD=3,

•Q-V—Q

,•°ADF©BEF~3•

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的面积计算，同高不等底的三角形面积之比为底之比，熟悉以上性质是解题关

键.

30.如图，AD是一ABC中线，AB=5,AC=4.若工人8的周长为10,则△ABD的周长为（）

A

【答案】D

【分析】根据中线的定义可得3D=CD,结合,ACD的周长可得AD+CD=6,进而得出AO+3£>=6,即

可求解.

【解析】解：：AD是,ABC中线，

BD=CD,

:一ACD的周长为10,AC=4,

：.AD+CD=10-4=6,

AD+BD=6,

：.△ABD的周长为AD+3D+Afi=6+5=11,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一个顶点到对边中点的连线是中线.

31.如图，AE是，ABC的中线，点。是BE上一点，^BD=5,CD=9,则CE的长为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】先求出BC的长，再根据中线的定义进行求解即可.

【解析】解：：m=5,8=9,

BC=BD+CD=14,

,/AE是一ABC的中线，

CE=BE=-BC=1,

2

故选：C.

【点睛】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.

32.如图，ABC的面积为30,BD=2CD,E为A3的中点，则VADE的面积等于（）

【答案】C

【分析】根据三角形的中线的性质与面积公式即可得到结论.

【解析】解：：ABC的面积为30,BD=2CD,

SABD=if?SABC=20,

又E为AB的中点，

,•SAOE=2S.钻。=1°・

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.

33.如图，在中，点。为8C上一点，E,尸分别为线段AO,的中点，连接BE,CE,EF,已

SAMC=

知32,SAg£D=7,则刀郎的面积为（）

【答案】D

【分析】根据根据中点可得到％BEC=；SAABC，SBEF=gsBEC，然后用面积作差计算即可.

【解析】解：:E为线段AO的中点，

1

.-CQ_1Q

,・SBDE二万SABD，SDEC=_SADC,

ABD

**SBDE+SDEC=SBEC=5S钻。+5SADC=5(S+SADC)=''ABC=16,

•・,尸分别为线段3C的中点,

,•S&BEF=3S&BEC=8，

SDEF=SBEF—SBED=8—7=1.

故选：D

【点睛】本题主要考查中线性质应用，掌握中线二等分三角形面积是解题的关键.

34.如图，点。、E分别是二ASC边3C、AC上一点，BD=2CD,AE=CE,连接49、BE交于点F,若

ABC的面积为12,则V3Z）尸与△AEF的面积之差等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由ABC的面积为18,根据三角形的面积公式和等积代换即可求得.

【解析】解：八…册也「9—2,

...Sjc=；(8O+CO)-4c=g(AE+CE)•包0=12,

=CE=—AC,SA.B=、AE,IIAC,S&BCE=3EC,卜人。,

L乙乙

SAEB=SCE5=/SABC=]X12=6,

即SAEF+SAB尸二6①,

同理：VBD=2CD,BD+CD=BC,

：.BD=-BC,

3

22

二,S诋=18ABe=]x12=8,

即SBDF+SABF=8②，

_

①-②得:SBDF-SAEF-(SBDF+SABF)(5,+SABF)=8—6=2

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形的面积，三角形中线、二元一次方程组的解法等知识点，掌握等积变换是解

答此题的关键.

八、定义与命题

35.下列句子中，属于命题的是（）

A.直线AB和CO垂直吗？B.过线段的中点C作AB的垂线

C.同旁内角不互补，两直线不平行D.已知求。的值

【答案】C

【分析】对一件事情作出判断的语句叫做命题，根据定义判断即可.

【解析】解：A.是问句，不是命题，故该选项不符合题意，

B.是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，

C.对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，

D.没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，，

故选：C.

【点睛】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键.对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，

假命题也是命题.

36.下列命题中真命题是（）

A.三角形的角平分线、中线、高线均在三角形的内部

B.三角形中至少有一个内角不小于60°

C.直角三角形仅有一条高

D.三角形的任意一个外角都大于任何一个内角

【答案】B

【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的概念，三角形的内角和是180。，三角形外角的性质逐项判断

即可解答.

【解析】解：A.锐角三角形的角平分线、中线、高线均在三角形的内部，故A选项错误，不符合题意；

B.根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60。.故B选项正确，符合题意；

C.直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上.故C选项错误，不符合题意；

D.钝角三角形的的一个外角都小于其中一个内角，故D选项错误，不符合题意.

故选：B.

【点睛】主要考查命题的真假判断、三角形的角平分线、中线、高的定义及性质、三角形外角的性质等知

识点，熟记定理与性质是解题的关键.

37.能说明命题“若〃>-2,则/>4”是假命题的反例是（）

A.n=4B.n=3C.n—\D.n=-4

【答案】c

【分析】根据当”=1时，/=1<4即可得到答案.

【解析】解：当”=1时，H2=1<4,

，若〃>-2,贝U“2>4”是假命题的反例是〃=1,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握假命题的概念是解题的关键.

38.将“对顶角相等”改写成“如果...，那么…”的形式___________________,

将“等角的余角相等”改写成“如果...，那么…”的形式_____________________.

【答案】如图两个角是对顶角，那么这两个角相等如果两个角相等，那么它们的余角也相等

【分析】根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可.

【解析】根据命题的定义，

将“对顶角相等”改写成：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等

将“等角的余角相等”改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等.

故答案为：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角相等，那么它们的余角也相等.

【点睛】本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果...，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的

部分是题设，“那么”后面接的部分是结论.

九、尺规作图

39.如图，已知/A5C,以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于，P；作一条射线正，以

点尸圆心，长为半径作弧I,交EF于点H；以”为圆心，尸D长为半径作弧，交弧/于点。；作射线歹。.这

样可得NQFE=ZABC,其依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【分析】根据题意得出==DP=QH,利用SSS证明△PBD2，根据全等三角形的性

质即可得出NQFE=ZABC.

【解析】解：如图，连接DP,QH,

G

根据题意得，BP=BD=FQ=FH,DP=QH,

BP=FQ

在MBD和-QFH中，,BD=FH,

DP=QH

：.APBr）之△QFH（SSS）,

/.ZABC=ZQFE,

故选：A.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.

40.用尺规作角平分线的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，连接NC,MC,根据SSS证△ONC/AOMC,即可推出答案.

【解析】解：连接NC,MC,

在,ONC和OMC中

ON=OM

'：INC^MC,

oc=oc

：.ONC^OMC（SSS）,

：.ZAOC=ZBOC,即CO是NAOB的平分线,

故用尺规作角平分线的依据是SSS.

【点睛】此题主要考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定，做题时要从作法中找已知，由己知选择

判定方法.

41.下列所给条件中，能画出唯一的ABC的是（）

A.AC=3,AB=4,BC=SB.ZA=50。,ZB=30。,AB=10

c.ZC=90°,AB=90D.AC=4,AB=5,ZB=60°

【答案】B

【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可.

【解析】解：A、3+4<8,不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意；

B、ZA=50°,=30°,AB=10,根据ASA能画出唯一，ABC,故此选项符合题意；

C、ZC=90°,AB=90,不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；

D、AC=4,AB=5,ZB=60°,不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题

关键.

42.如图，以的顶点2为圆心，以3。为半径作弧交边AD于点E,分别以点点E为圆心，8。长

为半径作弧，两弧相交于不同于点8的另一点尸，再过点8和点尸作直线即，则作出的直线是（）

A.线段AD的垂直平分线B.的中线所在的直线

C.的平分线所在的直线D.线段AD的垂线但不一定平分线段AD

【答案】D

【分析】根据尺规作图，可以得到直线正线段DE的垂直平分线，根据题意做出判断即可.

【解析】解:连接BE、EF、DF,

由作图得，BE=BD,EF=DF,

二点6、/在线段的垂直平分线上，

•••直线BF是线段DE的垂直平分线，

ZEBF=ZDBF,EM=DM,

.点A与E不一定重合，

:、A、B、C不一定正确.

【点睛】本题考查了尺规作图线段垂直平分线的做法，解题的关键是熟练掌握尺规基本作图.

十、角平分线、垂直平分线的性质

43.如图，在R3ABC中，ZC=90°,首先以顶点8为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、54上截取8£、

BD；然后分别以点。、E为圆心，大于3。足为半径作弧，两弧在NC2A内交于点尸；作射线8尸交AC于

点、G.若CG=4,尸为边A2上一动点，则GP的最小值为（）

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可.

【解析】解：过点G作GPLAB于点P,

由尺规作图步骤可得，8G平分

VZC=90°,GP'LAB,CG=4,

：.GC=GP'=4,

：尸为边AB上一动点,

GP^GP',

的最小值为4.

故选：B.

【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键.

44.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点〃，N,

再分别以点M，N为圆心，大于!长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线转交3c于点。，若CD=3,

AB=W,则△A3。的面积为（）.

C

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过。作DE工至于E,则DE=DC=3,

再根据三角形的面积公式即可求得.

【解析】根据题中所作，AD为N54C的平分线，

VZC=90°,ADC±AC,

过。作DEIAB于E,则DE=OC=3,

*/AB=10>SAABD-AB-DE=-yxl0x3=15.选B.

【点睛】本题的关键是根据作图过程明确4尸是角平分线，然后根据角平分线的性质得出三角形A3。的高.

45.如图，在_MC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点N,作直

2

线分别交BC,AC于点D,E.若AE=3,△ABD的周长为13,则，ABC的周长为.

AM

E,

Bj/Z)C

%

【答案】19

【分析】利用线段的垂直平分线的性质得出AD=DC即可解决问题.

【解析】解：由题意可知，DE垂直平分线段AC,

，DA=DC,AE=EC=3,

*/△AB。的周长为13,

；.AB+AD+BD=13,

AAB+BD+DC=13,

AABC的周长=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19,

故答案为：19.

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平

分线的性质，属于中考常考题型.

46.如图，在一ABC中，DE是AC的垂直平分线.若AE=3,的周长为13,贝的周长为.

【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AC=2AE,AQ=OC,从而可得答案.

【解析】解：DE是AC的垂直平分线.AE=3,

AC=2AE=6,AD=DC,

AB+BD+AD=13,

ABC的周长=AB+3C+AC=AB+&D+Ar>+AC

=13+6=19.

故答案为：19.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

十一、全等图形、全等三角形的性质及其应用

【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可.

【解析】（1）形状、大小不相等，不是全等形；

（2）大小不同，不是全等形；

（3）形状，大小都不相同，不是全等形；

（4）形状，大小都不相同，不是全等形；

（5）形状，大小都相同，是全等形；

故答案为：（5）.

【点睛】本题考查全等形的识别.熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的

关键.

48.下列说法正确的是（）

A.两个面积相等的图形一定是全等图形

B.两个正方形是全等图形

C.若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形

D.两个全等图形的面积一定相等

【答案】D

【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可.

【解析】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；

B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；

C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；

D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查了全等图形的性质和定义，掌握全等图形的性质和定义是解题的关键.

49.如图，将△ABC沿所在的直线平移得到△AEC,则NC的对应角为,AC的对应边为

AA

【答案】ZACB；A'C

【分析】根据平移的性质可直接得出结果.

【解析】解：:△ABC沿8C所在的直线平移得到

AABC=AA'B'C,

.•.NC的对应角为/ACB,AC的对应边为4C,

故答案为：①NAC8；②4C.

【点睛】题目主要考查平移的性质及全等三角形的性质，理解平移的性质是解题关键.

50.如图，AABC二&DEF,且N4=55。，ZB=75°,贝!]ZF=

【答案】50

【分析】根据三角形的内角和定理计算出NC的度数，再根据全等三角形的性质即可求解.

【解析】解：在MC中，？C180??A?B180?55?75?50?,

,?Z\ABC^Z\DEF,

：.ZF=ZC=50°,

故答案为：50.

【点睛】本题主要考查三角形的内角和，全等三角形的性质的综合，理解并掌握三角形的内角和等于180。,

全等三角形中对应角的度数相等是解题的关键.

51.如图，已知△ABC9△ZME,BC=2,DE=5,则CE的长为.

A

【答案】3

【分析】根据全等三角形对应边相等得到A£=3C=2,AC=DE=5,再由CE=AC-AE进行求解即可.

【解析】解：：AABC9△ZME,

AE=BC=2,AC=DE=5,

：.CE=AC-AE=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键.

52.如图，&\BC冬垃EF,且Nl=50°,贝ljN3FE=_____度.

【答案】50

【分析】根据全等三角形的性质得NC=/ME,然后根据三角形的外角性质即可得解.

［解析］解:AABC^AAEF,

:.NC=ZAFE,

ZBFA=Z1+ZC

即ZBFE+ZAFE=N1+NC,

:.ZBFE=Z1,

4=50。，

:.ZBFE=50°,

故答案为：50.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质，熟练运用全等三角形的对应角相等与三角形

的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解答此题的关键.

53.已知.ABC的三边长分别为3,5,7,△班万的三边长分别为3,3^-1,2y-3.若这两个三角形全等,

则孙的值为.

【答案】10或132

【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y,然后代入计算即可，注意分类讨

论.

【解析】解：.•二ABC,△DEP两个三角形全等,

，3x-l=5、/3x-l=7

12了-3=7或（2卜-3=5

8

x=2x=—

解得:尸5或3,

y=4

QQO

贝口孙=2x5=1。或孙=§x4=w,

故答案为：10或3半2

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

十二、全等三角形的判定

54.如图，已知AB=AC,添加一个条件,不能使△⑷如四△ACE的是（）

B.ZB=ZCC.ZAEC=ZAFBD.CE=BF

【答案】D

【分析】根据图形可知证明AWC/NIEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、

SAS、AAS证明两三角形全等.

【解析】解：Z4=NA,AB^AC,

.•.可以添加=此时满足SAS；

添加条件NB=NC,此时满足ASA；

添加条件NAEC=ZAFB,此时满足AAS,

添加条件CE=不能使丝△ACE；

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法.

55.如图，点尸，E在AC上，AD=CB,AD//CB,请你添加一个条件,使得可用“SAS”证

明VADE/VCM.（写出一个即可）