浙教版八年级数学专项复习：三角形的初步认识 单元综合检测（解析版）

第07讲三角形的初步认识单元综合检测

一、单选题

1.下列长度的各组线段能组成三角形的是（）

A.15cm,10cm,7cmB.4cm,5cm,9cm

C.3cm,8cm,5cmD.3cm,6cm,3cm

【答案】A

【分析】根据三角形的三边关系解答即可.

解：A,V7+10>15,/.15cm,10cm,7cm的三条线段能组成三角形，符合题意;

B>V4+5=9,/.4cm,5cm,9cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；

C>>.13+5=8,3cm,8cm,5cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；

D、：3+3=6,3cm,6cm,3cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题目，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两

边之差小于第三边是解题的关键.

2.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）

【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案.

【解析】解：ABC中AC边上的高即为过点2作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中

只有选项D符合题意，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段

叫三角形的高.

3.下面命题中，是假命题的为（）

A.三角形的中线、角平分线、高都是线段B.任意三角形的内角和都是180。

C.三角形的外角大于该三角形任意一个内角D.直角三角形中的两个锐角互余

【答案】C

【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质逐一进行

判断即可

【解析】解：A.三角形的中线、角平分线、高都是线段，是真命题；

B.任意三角形的内角和都是180。，是真命题；

C.三角形的外角大于该三角形任意一个和它不相邻内角，是假命题；

D.直角三角形中的两个锐角互余，是真命题；

故选：C

【点睛】本题考查了三角形的中线、角平分线、高的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，

熟练掌握相关的知识是解题的关键

4.如图，已知/A5C,以点8为圆心，适当长为半径作弧，分别交于。，P；作一条射线EE,以

点厂圆心，3。长为半径作弧I,交所于点H；以〃为圆心，PD长为半径作弧，交弧/于点。；作射线为2.这

样可得NQEE=ZABC,其依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【分析】根据题意得出3P=BO=尸Q=DP=QH,利用SSS证明以注根据全等三角形的性

质即可得出NQFE=ZABC.

【解析】解：如图，连接DP,QH,

根据题意得，BP=BD=FQ=FH,DP=QH,

BP=FQ

在△P3D和QFH中，＜BD=FH,

DP=QH

；.ZXPBD公△QFH(SSS),

ZABC=NQFE,

故选：A.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.

5.如图，△ACBZAA'CB',ZBCB,=30°,则NACA的度数为（）

【答案】B

【分析】根据全等三角形的性质得到ACS',结合图形计算，得到答案.

【解析】解：•••△ACBg/XACfi',

ZACB=ZACB',

：.ZACB-ZACB=ZACB'-ZACB,

：.ZACA^ZBCB=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

6.如图，AB与CD相交于点。，且。4=03,添加下列选项中的一个条件，不能判定‘AOC和BOD全等

的是（）

A.OC=OD

B./A=/B

C.AC=BD

D.AC//BD

【答案】C

【分析】已知AO=3O,由对顶角相等可得到—AOC=—3OD,根据全等三角形的判定方法依次判断即可.

【解析】解：题目隐含一个条件是/AOC=4。。，已知是AO=50,

A、OC=OD,根据SAS判定三角形全等，不符合题意；

B、=根据ASA判定三角形全等，不符合题意；

C、AC=BD,SSA无法判定三角形全等，符合题意；

D、AC//BD,

；./A=NB,ZC=ZD,根据ASA或AAS能判定三角形全等，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，灵活选用全等三角形的判定方法是解题关键.

7.下列所给条件中，能画出唯一的ABC的是（）

A.AC=3,AB=4,3C=8B.ZA=50。,ZB=30。,AS=10

C.ZC=90°,AB=90D.AC=4,AB=5,ZB=60°

【答案】B

【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可.

【解析】解：A、3+4<8,不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意；

B、ZA=50°,=30°,AB=10,根据ASA能画出唯一-ABC,故此选项符合题意；

C、ZC=90°,90,不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；

D、AC=4,AB=5,ZB=60°,不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题

关键.

8.如图，AD是ABC中/区4c的平分线，DE上AB于点、E,A5C的面积为7,DE=2,AB=4,则AC

的长是（）

【答案】A

【分析】作。F1AC于尸，证明止=DE=2,由面积可得［xABxDE+IxACxDFn7,从而可得答案.

22

【解析】解：作OF1AC于E

；AD是.ABC中,5AC的角平分线，DEJ.AB,DF1AC,

:.DF=DE=2,

：.-xABxDE+-xACxDF=y,

22

—x4x2H—xACx2=7,

22

解得AC=3,

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形面积公式的应用，熟记角平分线的性质并灵活应用是解本

题的关键.

9.如图，甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55。,60。,65。.记甲、乙、丙三个三角形的周长依

次为4、/乙、/再.已知AB=OE=G”,则%、/乙、/丙的大小关系为()

C.，甲＜，丙〈/乙D./丙＜^＜，甲

【答案】B

【分析】在甲三角形中，作459=65。，交AC的延长线于点尸，易证.ABF'乌瓦彳(SAS),即得出

CABF'=C_EDF•再根据CABF'＞CABC，即得出CEDF＞CABC，即/乙〉/甲；同理可证/丙＞I乙,即得出％〈/乙〈/丙.

【解析】解：如图，在甲三角形中，作NABP'=65。，交AC的延长线于点F,

ZABF'=ZEDF

在‘ABF'和一£D尸中，,AB=DE

ZBAF'=ZDEF

：.^ABF'^EDF(SAS),

•r—c

,,JABF'_JEDF•

1•c>c

・LABF'JABC，

即/乙＞/甲；

■■cEDF>cABC,

同理又可证/丙＞I乙,

..%〈/乙＜/丙.

故选B.

【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质.正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

10.如图，在一ABC中，/BAC和NA3C的平分线相交于点o,AE交BC于E,3F交AC于忆

过点。作OD，3C于。，下列四个结论：

®ZAOB=90°+ZC；②当NC=60。时，AF+BE=AB-,③若OD=a,AB+BC+CA=2b,贝1sAsc="，

其中正确的是（）

【答案】B

【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解NAO3和NC的关系，进而判定①；根据NC=60。

得N54C+NBC4=120。，根据角平分线和三角形内角和定理得NBOE=60。，在A2上取一点H,使BH=BE,

利用SAS证明△HBOdEBO可得ZAOH=ZAOF=60°,利用ASA可证明△HAg&AO得AF=AH,进

而可判定②；作O〃_LAC于X,OM_LAB于跖根据题意得a/=OM=OD=a,AB+BC+CA=2b,

利用三角形面积即可判断③，即可得.

【解析】解：和NABC的平分线AE,B尸相交于点。，

AZOBA=-ZCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

・•・ZAOB=180°-AOBA-ZOAB

=180°--ZCBA--ZCAB

22

=180°-1(180°-ZC)

=90°+-ZC,

2

故①错误;

ZC=60°,

JZBAC+ZBCA=120°,

VAE,砥分别是/B4C和/ABC的平分线,

ZOAB+/OBA=1(ZBAC+ZABC)=60°

/.ZAOB=120°,

JNAOb=60。，

JZBOE=60°,

如图所示，在AB上取一点区使BH=BE,

•・・斯是/ABC的角平分线,

:./HBO=/EBO,

在△HBO和乙防。中,

BH=BE

<ZHBO=ZEBO

BO=BO

：.△班O(SAS),

・•・ZBOH=ZBOE=60°,

：.ZAO"=60。，

ZAOH=ZAOF=60°,

在.和石40中,

ZHOA=/FAO

<AO=AO

ZAOH=ZAOF

/.△HAOdEAO(ASA),

・•・AF=AH,

:.AB=BH+AH=BE+AF,

故②正确；

如图所示，作。H_LAC于H,于",

・・・/BAC和/ABC的平分线相交于点O,

・••点。在NC的平分线上，

OH=OM=OD=a,

AB+BC+CA=2b,

：.5AARr=-AB-OM+-AC^OH+-BC.OD

△MC222

=1(AB+AC+BC).«

=ab，

故③正确；

综上，②③正确,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌

握这些知识点，添加辅助线.

二、填空题

11.木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的A3、。两

根木条，其数学依据是.

【答案】三角形具有稳定性

【分析】根据三角形的性质：三角形具有稳定性，即可进行解答.

【解析】解：木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图中的A3、

8两根木条，其数学依据是：三角形具有稳定性；

故答案为：三角形具有稳定性.

【点睛】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性.

12.如图，已知,ABC今。BE,AB=4,BE=10,则的长是.

【答案】6

【分析】根据全等的性质可得AB=3D=4,BC=BE=10,观察图形得8=3。一9.

【解析】解：AABC^ADBE,AB=4,BE=10,

AB=BD=4,BC=BE=10,

.-.CD=BC-BD=W-4=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的对应边相等是解题的关键.

13.如图，己知N1=N2,要说明6ABe/BAD，

(1)若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是；

(2)若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是

【答案】BC=ADZBAC=ZABD

【分析】(1)根据SAS可添加一组角相等，故可判定全等；

(2)根据ASA可添加一组角相等，故可判定全等；

【解析】解：⑴已知一组角相等和一个公共边，以“SAS”为依据，则需添加一组角，即=故答案

为：BC=AD-

(2)已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA”为依据，则需添加一组角，即/区4c=

故答案为：ZBAC=ZABD.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等.

14.如图，已知AEBD,4=63。，/2=37。，则/C=.

工/E

【答案】26726M

【分析】由平行线的性质可得NAEC=N2=30。，再利用三角形的外角性质即可求/C.

【解析】解：AEBD,Z2=37°,

:.ZAEC=Z2=3T,

Z1=63°,Z1=ZC+ZAEC,

ZC=Z1-ZAEC=26°.

故答案为：26°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行,

内错角相等.

15.在中，3。平分/ABC,CO平分/AC3,当NA=50。时，ZBOC=°.

【答案】115

【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求解即可.

【解析】解：・・•在一ABC中，30平分/ABC,CO平分/ACB,NA=50。,

180。—50。

ZOBC+ZOCB==65°

2

・•・ZBOC=180。-65。=115。；

故答案为：H5.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是解题的关键.

16.如图，在一ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于（AC长为半径画弧，两弧相交于点N,作直

线分别交8C,AC于点。，E.若AE=3,△ABD的周长为13,则,/1BC的周长为

【答案】19

【分析】利用线段的垂直平分线的性质得出AD=DC即可解决问题.

【解析】解：由题意可知，DE垂直平分线段AC,

；.DA=DC,AE=EC=3,

△ABD的周长为13,

.\AB+AD+BD=13,

；.AB+BD+DC=13,

AABC的周长=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19,

故答案为：19.

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平

分线的性质，属于中考常考题型.

17.如图，ABC的周长为18,BC=8,AD是边BC上的中线，△ABD的周长比ACD的周长大2,则AC

的长为.

【答案】4

【分析】依据一ABC的周长为18,的周长比一ACD的周长大2,可得AB-AC=2,由此即可解题.

【解析】解：：ABC的周长为18,BC=8,

AB+AC=18-8=10,

•.〔ABM的周长比△ACN的周长大2,

AB-AC=2,

AB=6,AC=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了三角形三角形中线的定义，解题时注意：中线分成的两个三角形周长差等于边长

差.

18.如图，ABC中，ZACB=90°,AC=8cm,3C=15aw,点〃从A点出发沿A—C—B路径向终点运

动，终点为B点，点N从2点出发沿B—CTA路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm

和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作/于E,

于尸设运动时间为f秒，要使以点E,C为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角形全等,

则f的值为.

【答案】M或7或8

【分析】先求出点M从点A到点C的时间和到点B的时间，点N从点B到点C的时间和到点A的时间，

然后根据M、N所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间t表示，然

后列出方程即可得出结论.

23

【解析】解：由题意可知：点M从点A到点C需要AC+2=4s,到点B共需（AC+BC）-2=ys

23

点N从点B到点C需要BC+3=5s,到点A共需（AC+BC）-3=ys

①当gt<4时，即点M在AC上，点N在BC上，如下图所示

EC

此时AM=2t,BN=3t,

；.CM=8—2t,NC=15-3t

NMEC=NCFN=NACB=90。，

ZMCE+ZNCF=90°,ZCNF+ZNCF=90°

ZMCE=ZCNF

若CM=NC时，利用AAS可得△MCE^ACNF

即8-2t=15-3t

解得：t=7（不符合前提条件，故舍去）；

②当4st<5时，即点M在BC上，点N在BC上，如下图所示

易知：当M、N重合时满足题意

此时CE=2t-8,CN=15-3t,CE=CN

；.2t—8=15—3t

23

解得：t=不；

23

③当5Wt＜了时，即点M在BC上，点N在AC上，如下图所示

.*.CM=2t-8,NC=3t-15

ZMEC=ZCFN=ZACB=90°,

ZMCE+ZNCF=90°,ZCNF+ZNCF=90°

ZMCE=ZCNF

若CM=NC时，利用AAS可得△MCE^ACNF

即2t-8=3t-15

解得：t=7；

④当时，即点M在BC上，点N与点A重合，如下图所示

，CM=2t-8,NC=8

ZMEC=ZCFN=ZACB=90°,

ZMCE+ZNCF=90°,ZCNF+ZNCF=90°

ZMCE=ZCNF

若CM=NC时，利用AAS可得AMCE0zXCNF

即2t-8=8

解得：t=8.

23

综上所述：要使以点M,E,C为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角形全等，则/的值为二或7

或8.

23

故答案为：1或7或8.

【点睛】此题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、行程问题公式和分类讨论的

数学思想是解决此题的关键.

三、解答题

19.写出下列命题的条件和结论.

(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

(2)绝对值等于3的数是3；

(3)如果那么OF是/OOE的平分线.

【答案】(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补

(2)条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3

(3)条件：/DOE=2/EOF；结论：。尸是/OOE的平分线

【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是己知事项，结论是由己知事项推出的事项；命题常常可以

写为“如果...那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论.

(1)解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的题设是两条直线被第三条直线所截，结论是同旁内

角互补；

(2)解：绝对值等于3的数是3的题设是一个数的绝对值等于3,结论是这个数是3；

(3)解:如果/。0E=2/E0凡那么。f是的平分线的题设是/OOE=2NE。凡结论是OF是/DOE

的平分线.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的题设和结论常常改写成“如果…那么…”的形式；熟

练地掌握命题的组成是解题的关键.

20.如图，在_ABC中，D,E分别是8C边上的点，连接BE,AD,相交于点尸.

(l)VBDF的三个顶点是什么?三条边是什么？

(2)AB是哪些三角形的边？

【答案】(DV瓦加的三个顶点是点5,D,F,三条边是8尸，BD,DF

(2)AB是&ABE,ZXABF,AABD,.ABC的边

【分析】(1)根据三角形的边和顶点解答即可；

(2)根据三角形的边解答即可.

【解析】(1)解：V3DF的三个顶点是点B,D,F,三条边是BF,BD,DF；

(2)解：AB是一ABE,ZxABF,△ABD,ABC的边.

【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念.

21.如图所示，己知A5c和。是AC上一点，AD=AB,DE//AB,DE=AC,求证：AE=BC.

【分析】由平行线的性质可得N4DE=Za4C,根据全等三角形的判定和性质即可找证明.

【解析】VDE//AB,

：.ZADE=ZBAC,

•.,在VAT见和一BAC中,

AD=BA

-NADE=ABAC,

DE=AC

：.ADE.BAC(SAS),

AE=BC.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由“SAS”证得丝△BAC是解答本题

的关键..

22.如图，在4ABe中，点。，点E分别在边45,边8C上，连接DE,A£）=AC,ED=EC.

（1）求证：ZADE=ZC.

⑵若ABJLOE,NB=30。，求—A的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）60°

【分析】（1）连接AE,利用SSS定理证出ADE=ACE,根据全等三角形的性质即可得证；

（2）先根据垂直的定义可得NADE=90。，再根据（1）的结论可得NC=90。，然后根据三角形的内角和定

理即可得.

【解析】（1）证明：如图，连接AE,

C

AD=AC

在VADE和AACE中，＜ED=EC,

AE=AE

ADE=ACE(SSS),

:.ZADE=ZC.

(2)解：AB±DE,

:.ZADE=90°,

由(1)己证：ZADE=ZC,

.-.zc=90°,

NB=30。，

ZA=180°-ZB-ZC=60°.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形

的判定与性质是解题关键.

23.在—ABC中，^CAE=25,ZC=40,NCBD=30,求ZAFB的度数.

【答案】95°

【分析】根据三角形的外角定理得出NA£B=NG4E+NC,再根据NAEB=/CBD+NAEB即可求解.

【解析】解：,.,/C4£'=25,ZC=40,

ZAEB=NC4E+NC=25°+40°=65°,

；NCBD=30,

ZAFB=ZCBD+ZAEB=30°+65°=95。.

【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角之和.

24.画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸中将.."C经过一次平移后得到

A'B'C,图中标出了点C的对应点C.

(1)请画出平移后的_AB'C'；

(2)若连接A4，，CC',则这两条线段之间的关系是:

(3)利用网格画出“WC中AC边上的中线8。；

(4)利用网格画出ABC中边上的高CE；

(5)A3'。面积为.

【答案】(1)见解析

(2)A4'〃CC,=CC

(3)见解析

(4)见解析

(5)10

【分析】(1)根据平移的性质找到A产的对应点A,",然后顺次连接即可求解;

(2)观察图形，根据平移的性质即可求解；

(3)根据网格的特点，中线的性质，画出.ABC中AC边上的中线8。；

(4)根据网格的特点，三角形高的定义，画出“ABC中A3边上的高CE；

(5)根据网格的特点，根据三角形面积公式即可求解.

【解析】(1)解：如图所示，A?C'即为所求;

(2)解：如图所示，A4,//CC,A4,=CC

（3）解：如图所示，3。即为所求;

（5）SA,B,C=^x5x4=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质，画三角形的中线，三角形的高线，求三角形面积，熟练掌握

以上知识是解题的关键.

25.如图，在.ABC中，AD,AF分别为ABC的中线和高，8E为△ABD的角平分线.

⑴若N3ED=60。，Za4D=40°,求的大小.

⑵若ABC的面积为40,BD=5,求AF的长.

【答案】（1）50°

(2)8

【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出NAfiE=20。，再利用角平分线定义得到加C=2ZABE=4O。,

然后根据高的定义和互余两角的性质求出/助尸的度数；

（2）先根据三角形中线定义得到BC=23D=10,然后利用三角形面积公式求AF的长.

【解析】（1）解：ZBED=ZABE+ZBAE,

ZABE=60°-40°=20°,

BE平分NABC,

ZABC=2ZABE=40°,

AF为高,

ZAFB=90°,

NBAF=90°-ZABF=90°-40°=50°；

（2）&£）为中线，

:.BC=2BD=1Q,

7

S/A\ArBHC.=2-^FBC,

10

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式.本题的关键是充分应用三角形

的角平分线、高和中线的定义.

26.如图，在中，AB>AC.

(1)用直尺和圆规作BC的中垂线，交于点。(要求保留作图痕迹)；

(2)连接CO,若AB=8,AC=4,求,ACD的周长.

【答案】(1)作图见解析

(2)ACD的周长为12

【分析】(1)直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN；

(2)利用线段垂直平分线的性质得出ZVIDC的周长为=AC+CD+4)=AC+A£>+B£)=AC+AB,进而得出答

案.

【解析】(1)解：如图所示：

直线即为所求；

(2)解：由(1)可知，直线是线段BC的垂直平分线，

DC=DB,

：.ACD的周长为=4。+。+/1£)=7^+71£)+8£)=4。+的，

•/AB=8,AC=4,

.ACD的周长为8+4=12.

【点睛】本题考查基本作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的

关键.

27.如图，为ABC的角平分线，E为AB上一点,BE=BC,连结OE.

A

（1）求证：△BDCt△BDE；

⑵若AB=10,CD=3,NC=90。，求的面积.

【答案】（1）证明过程见详解

⑵15

【分析】（1）根据SAS可证明

（2）由全等三角形的性质得出ZBEE>=NC=90。，OC=OE,根据三角形的面积公式可得出答案.

【解析】（1）证明：•••3D为的角平分线，

ZBCD=ZEBD.

在.皮）C和BDE中,

BC=BE,

"ZCBD=ZEBD,

BD=BD,

,BDC、BDE（SAS）.

（2）解：,:ABDC会ABDE,

：.ZBED=ZC=90°,DC=DE.

又：CD=3,

：.DE=3.

：.SAABD=^AB-DE=^X10X3=15.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

28.如图所示，AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=90°,且N£BD=42。，

R

(1)求证：NDBC=NEAC；

⑵求NAE3的度数.

【答案】(1)见解析

(2)132°

【分析】(1)利用SAS证明一ACE”BCD,根据全等三角形的性质，即可得出结论；

(2)由/D3C=NE4C推出NE4C+ZEBC=42。，再利用三角形内角和定理求得N£AB+N£BA,再次利用三

角形内角和定理，即可求解.

【解析】(1)证明：ZACB=ZECD=90°,

ZACB-ZBCE=ZECD-ZBCE,

:.ZACE=NBCD,

在"支和ABCD中

AC^BC

<ZACE=ZBCD,

DC=EC

AACE丝△BCD(SAS),

:.NEAC=NDBC；

(2)解：/DBC=NEAC,

ZDBC+ZEBC=ZEAC+NEBC=NEBD=42°,

在.ABC中，NEAB+ZEBA=180。-(ZACB+ZEAC+NEBC)=180°-(90°+42°)=48°,

在4ABE中，NAEB=180°-(Z£AB+ZEBA)=180°-48°=132°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解

题的关键，难点在于整体思想的运用.

29.在_钻(7中，ZACB=90°,AC^BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于，BELMN^E.

图1图2

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证:

①4ACDRCBE；

②DE=AD+BE.

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD—BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问OE、AD,鸵具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

【答案】(1)①见解析；②见解析

(2)见解析

⑶DE=BE—AD,证明见解析

【分析】(1)①由垂直关系可得Nl=N3,则由AAS即可证明ADC^CEB；②由ADC三CEB的性质及

线段和的关系即可证得结论；

(2)由垂直可得N1=NCBE,则由AAS可证明ACD^CBE,由全等三角形的性质及线段差的关系即可证

得结论；

(3)由垂直可得NACD=NCBE,则由AAS可证得..ACD三_CBE,由全等三角形的性质及线段的和差关系

即可得到三线段间的关系.

【解析】(1)如图

图1

①：ZADC=ZACB=90°,

・，・Zl+Z2=Z3+Z2=90°,

JN1=N3.

XVAC=BC,ZADC"CEB=90。,

：.ADC=CEB.

②・・•ADCtCEB,

ACE=AD,CD=BE,

：.DE=CE+CD=AD+BE.

(2)VZACB=ZCEB=90°,

：.Zl+Z2=ZCBE+Z2=90°,

JZ1=ZCBE.

又•：AC=BC,ZADC=ZCEB=90°,

ACD=CBE,

：.CE=AD,CD=BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE.

图2

(3)当MN旋转到图3的位置时，AD.DE、助所满足的等量关系是。石=5石-AD(或

AD=BE-DE,BE=AD+DE等).

•・•ZACB=ZCEB=90°f

：.ZACD+/BCE=NCBE+/BCE=9U。,

・•・ZACD=ZCBE,

又•；AC=BC,ZADCNCEB=90。,

：.ACD=^CBE,

：