浙教版八年级数学专项复习：认识三角形（解析版）

第01讲认识三角形

产知识点梳理

一、三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

要点：

(1)三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

(2)三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相

接”.

(3)三角形的表示：三角形用符号表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，

读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；4ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC

来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示.

二、三角形的内角和

三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.

要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系.

三、三角形的分类

1.按角分类：

〔直角三角形

三角形锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

要点:

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

四、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边.

要点：

(1)理论依据：两点之间线段最短.

(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长

线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.

(3)证明线段之间的不等关系.

五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或

角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从

不同的角度弄清这三条线段，列表如下:

线段

三角形的高三角形的中线三角形的角平分线

名称

三角形一个内角的平分线

从三角形的一个顶点向它的三角形中，连接一个顶

文字与它的对边相交，这个角

对边所在的直线作垂线，顶点和它对边中点的线

语言的顶点与交点之间的线

点和垂足之间的线段.段.

段.

AA

图形

语言工CC

L)DD

作图过点A作ADLBC于点D.取BC边的中点D,连接作NBAC的平分线AD,交

语言AD.BC于点D.

AA

标示Lc

图形B^^\c

LD

1.AD是△ABC的高.1.AD是AABC的中线.

2.AD是aABC中BC边上的2.AD是AABC中BC边LAD是△ABC的角平分线.

高.上的中线.2.AD平分/BAC,交BC

符号

3.AD_LBC于点D.1于点D.

语言3.BD=DC=-BC

4.ZADC=90°,ZADB=901

o23.N1=N2=—NBAC.

4.点D是BC边的中点.2

(或NADC=NADB=90°)

因为AD是4ABC的高，所以因为AD是AABC的中线，因为AD平分NBAC,所以

推理AD±BC.1

语言所以BD=DC=-BC.N1=N2=—/BAC.

(或NADB=NADC=90°)22

用途1.线段垂直.1.线段相等.

角度相等.

举例2.角度相等.2.面积相等.

注意1.与边的垂线不同.

一与角的平分线不同.

事项2.不一定在三角形内.

三角形的三条高（或它们的一个三角形有三条中一个三角形有三条角平分

重要

延长线）交于一点.线，它们交于三角形内线，它们交于三角形内一

特征

一点.点.

、：例1.下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（）

A.5cm,6cmf12cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cm,6cm,10cmD.3cm,4cm,8cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系"三角形的两边之和大于第三边"进行分析判断.

A、5+6<12,所以不能围成三角形；

B、3+4>5,所以能围成三角形；

C、4+6=10,所以不能围成三角形；

D、3+4<8,所以不能围成三角形.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的两边之和大于第三边.在运用三角

形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线

段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

一,一

、［例2.在AABC中，已知ZA:ZB:NC=1:2:3,则三角形的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定

【答案】B

【解析】

【分析】

设/A=x,/B=2x,/C=3x,根据三角形的内角和等于180。列方程求三个内角的度数，从

而确定三角形的形状.

解：VZA:ZB:ZC=1:2:3

设/A=x,/B=2x,ZC=3x.

则x+2x+3x=180。，

解得x=30。,

.-.ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

所以这个三角形是直角三角形.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了内角和定理.解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算.

I、1例9三角形的中线和角平分线都是（）

A.直线B.射线C.线段D.以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角形中线和角平分线定义可得答案.

解：三角形的中线和角平分线都是线段，

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角形的中线和角平分线，关键是掌握三角形一个内角的平分线与这个内角

的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.三角形一

边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

.下面四个图形中，线段BE是/ABC的高的图是（）

【答案】A

【解析】

解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合.

故选A.

【点睛】

根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察

各选项直接选择答案即可.

I、；例5.满足下列条件的三条线段0,瓦c能构成三角形的是（）

A.a:b:c-l:2'.3B.a+b=4,a+b+c=9

C.a—3,b—4,c=5D.a：/）：c=l：l：2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边.

A.设。涉,c分别为x,2x,3x（x>0）,则有a+b=c,不符合三角形的三边关系，故不能构成三

角形；

B.当a+b=4时，c=5,4<5,不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形；

C.当“=3,b=4,c=5时，3+4>5,符合三角形的三边关系，故能构成三角形；

D.设“,6,c分别为x,尤,2x(x>0),则有°+b=c,不符合三角形的三边关系，故不能构成三

角形.

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.

,例6.如图所示，以BC为边的三角形共有

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形的定义(由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形)找出图中的三角形.

解：以BC为边的三角形有△BCE,△BAC,ADBC,

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形的定义.注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找

“图中三角形的个数

例7.三角形的三条高所在直线的交点一定在

A.三角形的内部B.三角形的外部

C.三角形的内部或外部D.三角形的内部、外部或顶点

【答案】D

【解析】

【分析】

根据高的概念知：不同形状的三角形的高所在直线的交点位置不同.锐角三角形的三条高都

在内部，交点在其内部；直角三角形的三条高中，两条就是直角边，第三条在内部，交点是

直角顶点；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，所在直线的交点在外部.

A.直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；

B.直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；

C.直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，

错误；

D.锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三

角形的三条高所在直线的交点在其外部，正确.

故选D.

【点睛】

此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其性质定义性质.

'［例8.如图，AE是“BC的角平分线，是"EC的角平分线，若/B4C=80。，则

ZEAD=()

C.20°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角平分线的性质即可求解.

VZBAC=80°,

AE是△ABC的角平分线，

|NBAC=40°,

是△AEC的角平分线，

ZEAD=gZEAC=20°.

故选C.

【点睛】

考查了三角形的角平分线.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内

角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.

j例2在下列条件:@ZA+ZB=ZC；②ZA=ZB=2NC；@ZA=ZB=-ZC；

2

④4:ZB:NC=1:2:3中，能确定11ABe为直角三角形的条件有（）

A.2个B.3个C.4个D.0个

【答案】B

【解析】

【分析】

依据三角形内角和等于180。，即可得到/C或/A+NB的度数，进而得出结论.

ZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.-.2ZC=180°,ZC=90°,则ABC为直角三角形，①能确定；

ZA=ZB=2ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.'.ZC=36°,ZA=ZB=72°,

ABC不是直角三角形，②不能确定；

ZA=ZB=-ZGZA+ZB+ZC=180°,

2J

.-.4ZA=180o,ZA=45°,

ZC=90°,

则.ABC为直角三角形，③能确定；

ZA:ZB:ZC=1:2:3,则令ZA=x,NB=2x,ZC=3x,

/.x+2x+3x=180°,x=30°,

/.ZC=90°,

则ABC为直角三角形，④能确定，

故能确定,ABC为直角三角形的共有3个，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的判定以及三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是

180°.

例1°.已知三角形的一个内角是另一个内角的是第三个内角的;则这个三角形各

内角的度数分别为（）

A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°

C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°

【答案】B

【解析】

【分析】

设第一个内角的度数为x,则另一个内角的度数为三3x,第三个内角为5:x,再根据三角形的内

24

角和定理求出X的值即可.

设第一个内角的度数为X,•.•三角形的一个内角是另一个内角的彳2，是第三个内角4的.•.另

35

一个内角的度数为二工第三个内角为：x,

24

/.x+—x+—x=180°,

24

解得x=48。，

.•.三个内角分别为48°,72°,60°

故选B.

【点睛】

此题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°.

例U.如图，在AABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是AABC

的中线，则该线段是（）

A.线段DEB.线段BEC.线段EFD.线段FG

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可

得.根据三角形中线的定义知线段BE是AABC的中线，

其余线段DE、EF、FG都不符合题意，

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点

的连线叫做三角形的中线.

］例12.如图，A、B、C分别是线段AiB、BiC、QA的中点，若△ABC的面积是1,

那么△AiBiCi的面积是（）

sfG

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】

试题分析：连接ABi,BQ,CAi,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABBi,AA1AB1

的面积，从而求出△AiBBi的面积，同理可求△BiCCi的面积,△AiACi的面积，然后相加

即可得解.

解:如图，连接ABi,BCi,CAi,

■:A、B分别是线段AiB,BiC的中点，

••SAABB1=SAABC=1，

SAAIABI=SAABBI=1,

•'•SAAIBBI=SAAIABI+SAABBI=1+1=2,

同理：SABICCI=2,SAAIACI=2,

AAiBiCi的面积=SAAIBBI+SABICCI+SAAIACI+SAABC=2+2+2+1=，7.

故选D.

A

B：0,

考点：三角形的面积.

]例13.在如图所示的方格纸中，

1A1111111111

।A.•।i।।।।ii।

L-^1---I--------1---1----A---»---1-----1----1---J

111111111

1111111111

।L।1__11।1।1।1।1।J।

।।।、।।।।।।।

11I、1i111

riITki।1i1i

IIIIiitill

I[!I!iI：\：i!i:i:i

i)iiiiii

r----1----1--«-----•―i»।、八一i

iiiIifiiiI\Hi

iIiiiIiilIi

(1)在BBC中，作BC边上的高AD

⑵作AC边上的中线BE.

⑶求AABE的面积.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶4

【分析】(1)根据要求作出高即可.

(2)根据要求作出AC边上的中线即可.

(3)由三角形面积公式即可得出答案.

【解析】(1)如图所示AD即为所求.

(2)如图所示8E即为所求.

(3)BC=4,AD=4,

:.S。ABC=-3C,-J9=-X4X4=8,

2JJ2

BE为AC边上中线，

:.S：ABE=-S、ABC=-x8=4,

22

即Sq板面积为4.

【点睛】本题主要考查三角形高和中线的做法，以及三角形面积，熟练理解三角形面积的求

法是解决本题的关键.

、[例14.如图，3C,点E是胡延长线上一点，NE=NDCE.

E

A[—\-----1D

BC

⑴求证：ZB=ZD.

（2）若CE平分/BCD,NE=47。,求的度数.

【答案】（1）见解析

（2）86°

【分析】（1）根据AT>〃3c可得=根据ZE=ZDCE可得EB〃CD,进而可得

ZD=ZEAD,等量代换可得NB=ND；

（2）根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明.

【解析】（1）证明：AOBC,

:.ZB=ZEAD,

,ZE=ZDCE,

:.EB//CD,

:.ZD=ZEAD,

:.ZB=ZD；

(2)解：VZE=47°,ZE=ZDCE,

：.ZE=ZDCE=47°,

•/CE平%NBCD,

：.NBCE=ZDCE=47°,

：.ZB=180°-ZE-ZBCE=86°,

的度数为86。.

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定和性质、三角形内角和定理，解题的关键

是掌握平行线的判定定理和性质定理.

例15.如图，A。是一ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，EFJ.BC,垂

足为F.

⑴若/3=40。，ZC=60°,求NDEF的度数；

（2）若NC-NB=〃z。，请直接写出/。£户的度数一.（用含机的代数式表示）

【答案】⑴NDEF=10°

(2),

【分析】(1)在AABC中利用内角和定理易得：ABAC=80°,进而得出的度数，再

在AADB与ADE尸中利用内角和定理解答即可；

(2)同理(1)可得出/区>尸=90。-；4+:48,再在ADEF中利用内角和定理解答即可.

【解析】(1)NB=40。，ZC=60°,

:.ZBAC=80°,

•/AO是二ABC的角平分线，

ABAD=ADAC=-ABAC=40°,

2

ZADB=180o-40O-40o=100°,

:.ZADC=80°,

•；EFIBC,

：.NDFE=90°,

ZDEF=90°-80°=10°.

(2)是ABC的角平分线，

ABAD=(180°-ZB-ZQ,

:.ZADB=1SO0-ZB-ZBAD=9O°+-ZC--ZB,

22

ZEDF=90°--ZC+-ZB,

22

NDEF=90°-(90°-1zC+|zB),

.-.Z£>EF=1zC-1zB=1(ZC-ZB)=i/n°,

故答案为：—w°.

2

【点睛】本题侧重考查三角形的内角和、角平分线的定义，掌握三角形的性质是解题关键.

立例16.如图，点A,8分别在射线ON,ON上运动(不与点。重合),AC,BC分

别是NBA。和ZABO的平分线，BC交OM于点、G.

N

XGM

⑴若AMON=60,贝UNACB=°；若AMON=90°,则ZACB=°.

⑵若ZMON=rf,请求出NACG的度数.(用含"的代数式表示)

【答案】(1)120,135

(2)?ACG90?

【分析】(1)由三角形内角和定理得到NO&4+NQ4B的度数，由角平分线的定义可得

ZABC+Z&4c的度数，进而可求出—ACB；

(2)同(1)的方法求出NACB,从而求出/ACG.

【解析】(1)解：若NMON=60。，

ZOBA+ZOAB=120°,

ZOBA,的平分线交于点C,

ZABC+ABAC=-xl20°=60°,

2

ZACB=18O°-6O°=120°；

若ZMQV=90。，

:.ZOBA+ZOAB=90°,

NOBA、NOAB的平分线交于点C,

ZABC+ABAC=L90。=45°,

2

ZACB=180°-45°=135°；

故答案为：120,135；

(2)在AO3中，ZOBA+ZOAB=180°-ZAOB=180°-n°,

NOBA、NOAB的平分线交于点C,

ZABC+ABAC=-(NOBA+N0AB)=i(180°-n°),

22

即ZABC+ZBAC=90。」〃。，

2

ZACB=180°-(ZABC+ZBAC)=180°-(90°--n°)=90°+-n°,

22

ZACG=180°-(90°+-n°)=90°--n°.

22

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

金蹑踪酬瀛

一、单选题

1.下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是()

A.7cm,5cm,10cmB.8cm，6cm，4cm

C.10cm,10cm,5cmD.5cm,5cm,10cm

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行

分析.

【解析】解：A、5+7>10,则能构成三角形，不符合题意；

B、4+6>8,则能构成三角形，不符合题意；

C、5+10>10,则能构成三角形，不符合题意；

D、5+5=10,则不能构成三角形，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查的知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中

较小的两个数的和是否大于第三个数即可.

2.下列说法中，正确的是（）

A.三角形的高都在三角形内

B.三角形的三条中线相交于三角形内一点

C.三角形的一个外角大于任何一个内角

D.三角形最大的一个内角的度数可以小于60度

【答案】B

【分析】根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可.

【解析】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的

高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意；

B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意；

C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；

D、根据三角形内角和等于180。，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选

项错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握

这些知识点是解题的关键.

3.三角形的角平分线、中线和高都是（）

A.直线B.线段C.射线D.以上答案都不对

【答案】B

【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可.

【解析】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线

和高定义是解题关键.

4.如图，已知ACLCD,ZA=50°,则/。的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】利用两个三角形的内角和都为180。，结合相等的角即可求解.

【解析】'：ABLBD,AC±CD,

：.ZB=ZC=90°,

又；NBEA=/CED,且/BEA+/8+NA=/CEO+NC+/O=180°,

.•.NQ=NA=50。，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180。，熟记三角形的内角和公式是解题的关键.

5.如果三角形三个内角的比为1：2：3,那么它是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形

【答案】C

【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k.3k,然后根据三角形内角和等于180。列出方程

求出最小角，继而可得出答案.

【解析】解：•••三角形三个内角度数的比为1：2：3,

设三个内角分别为k,2k、3k,

；.k+2k+3k=180°

解得k=30°

该三角形最大角的度数为90。，即该三角形为直角三角形

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单.

6.如图，直线ACLAB,AC交直线b于点C,Zl=60°,则/2的度数是（）

A.30°B.35°C.45°D.50°

【答案】A

【分析】根据三角形的内角和得NB+N1=9O。，求出得度数，再利用平行线的性质即可

求解.

【解析】解：

?BAC90?,

：.7B?1180?90?90?,

,/?160?

AZB=90°-60°=30°,

ab,

：.Z2=ZB=30°,

故选：A.

【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180。是解题

的关键.

7.BP和CP是^ABC两个外角的平分线，则25PC为()

111

A.—NAB.90H—/AC.90—NAD./4

222

【答案】C

【分析】根据题意作出图形，根据由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得NP

与NA的关系，从而计算出NP的度数.

【解析】解：如图，:BP、CP是△ABC的外角平分线，

；.NPBC=；(ZA+ZACB),ZPCB=1(ZA+ZABC),

又,?ZPBC+ZPCB+ZP=180°,

.,.ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)

=180°-1(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-；(180+ZA)

=90。-；/A,

故选C.

B,

【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理.解决问题的关键是掌握：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

8.在下列条件：®ZA+ZB+ZC=180°;②NA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；

④==⑤==中，能确定ABC为直角三角形的条件有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案.

【解析】解：①ZA+/B+NC=180。不能确定ABC为直角三角形，故①错误，不符合题

思；

②.ZA+ZB+NC=180。，ZA：ZB：ZC=1:2:3,

/.ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

为直角三角形，故②正确，符合题意；

③ZA=ZB=2ZC,

设NA=28ZB=2x,ZC=xf

ZA+ZB+ZC=180°,

/.2x+2x+x=180°,

解得：％=36。，

,\ZA=ZB=72°,ZC=36°,

.1不是直角三角形，故③错误，不符合题意；

④ZA=-ZB=-ZC,

23

设NA=x,贝l|N3=2x,ZC=3x,

ZA+ZB+ZC=180°,

.,.x+2x+3x=180°,

解得：x=30。，

.-.ZA=30°,NB=60°,NC=90。，

ABC为直角三角形，故④正确，符合题意；

@ZA=ZB=-ZC,

2

设/A=/3=x,则NC=2x,

ZA+ZB+ZC=180°,

.,.%+%+2%=180°,

解得：l=45。，

/.ZA=45°,ZB=45。，ZC=90°,

ABC为直角三角形，故⑤正确，符合题意；

，②④⑤说法正确，

故选：C.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于

180。是解答此题的关键.

9.如图，,A5C中，AD是边上的中线，BE是△钿£＞中AQ边上的中线，若4ABe的

面积是24,贝UABE的面积（）

【答案】B

【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答.

【解析】解：•••AZ）是边上的中线

.q-q—J.Q

,,o自ABD一°4ACD_2^ABC，

•••跖是△ABD中AD边上的中线,

.C—cc

,,^AABE_UABE£>—=?24ABD，

"SABC=24，

双樨=；x24=6,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段

叫做三角形的中线,掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,是解答本题的关键.

10.如图，在4ABe中，ZA=90°,BE,CD分别平分/ABC和—ACB,且相交于尸，

EG//BC,CG_LEG于点G,则下列结论①NCEG=2/06；②/DFE=130。；

@ZDFB=^ZA；@ZADC=ZGCD；⑤C4平分/3CG,其中正确的结论是（）

A.①②③B,①③④C.①③④⑤D.①②③④

【答案】B

【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明

ZADC+ZACD=90°,ZGCD+ZBCD=90°,即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内

角和定理先推出NBFC=135。，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤.

【解析】解：：8平分NACB,

AZACB=2ZDCA,ZACD=NBCD

•/EG//BC,

：.ZCEG=ZACB=2ZDCA,故①正确；

VZA=90°,CGLEG,EG//BC,

：.ZADC+ZACD=90°,CG±BC,即N3CG=90°,

ZGCD+ZBCD=90°,

又•:Z.BCD=ZACD,

：.ZADC=Z.GDC,故④正确；

,/NA=90。，

ZABC+ZACB=90°,

,/BE,CD分别平分/ABC,ZACB,

：.ZFBC=-ZABC,ZFCB=-ZACB,

22

：./5尸。=180°—/尸3。一/尸。8=180°-3（/4。2+/筋。）=135°,

ZDFB=180°—ZBFC=45°,

AZDFB=^ZA,故③正确；

•/ZBFC=135°,

：.ZDFE=ZBFC=135°,故②错误；

根据现有条件，无法推出C4平分NBCG,故⑤错误；

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线

的性质，角平分线的定义是解题的关键.

二、填空题

11.如图，是八4"的边上的高；在△AEC中，CD是________上的高，CD

还是的高；EF是的边上的高.

【答案】EC/CEAE/EAADC^ECDEFCECICE

【分析】根据三角形高的定义进行求解即可.

【解析】解：

/.A3是ZXACE的CE上的高；

CDLAE,

8是△AEC的AE上的高，8是△ADC的AD上的高，。是ADCE的OE上的高；

,?EFLCE,

；.E尸是E尸C的CE边上的高，

故答案为：EC-AE；ADC或ECD；EFC■,EC.

【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟知该定义是解题的关键：过三角形一个顶点向

对边作垂线，该垂线即为该三角形中此顶点对边上的高.

12.如图，AD,CE分别是ABC的中线和角平分线，则：BD==|；

ZACE==-.

【答案】CDBCZBCE/ACB

【分析】根据CE分别是,ABC的中线和角平分线，得到。为线段BC的中点，CE平

%/ACB,进行作答即可.

【解析】解：是.ABC的中线,

。是线段3C的中点，

BD=CD=-BC,

2

：CE是一ABC的角平分线，

/.CE平分/ACB,

：.ZACE=NBCE=-ZACB；

2

故答案为：CD,BC,NBCE,/ACB.

【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义.熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶

点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的

顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键.

13.(1)在ABC中，ZA=40°,ZB=70°,则NC=；

(2)在ABC中，ZA=80°,ZB=ZC,则；

(3)..ABC中，若ZA+NC=3/3,则；

(4)ABC中，若ZA:ZB:/C=1:2:3,贝lJZA=,ZB=,

/C=,则它们的相应邻补角的比为；

(5)在ABC中，若/3—ZA=15。，ZC-ZB=60°,则ZA=,NB=,

zc=.

【答案】70。50°45°30°60°90°5:4:330°

45°105°

【分析】(1)根据三角形内角和为180度进行求解即可；

(2)根据三角形内角和为180度进行求解即可；

(3)根据三角形内角和为180度进行求解即可；

(4)先由NA:N3:NC=1:2:3,得至ZC=3ZA,再由三角形内角和定理和邻补

角的定义进行求解即可；

(5)由题意可得/3=NA+15。，ZC=ZA+75°,再由三角形内角和为180度进行求解即可.

【解析】解：(1):在一ABC中，ZA=40,48=70。，

ZC=180°-NA-ZB=70°;

(2)在一ABC中，ZA=80,ZB=ZC,

：.ZB=ZC=1(180°-ZA)=50°；

(3)：_ABC中，若ZA+NC=3ZB,ZA+NC+/B=180°,

4/3=180°,

：.ZB=45°；

(4),?ABC中，若ZA:NB:NC=1:2:3,

ZB=2ZA,NC=3ZA,

VZA+ZC+ZB=180%

6ZA=180°,

，ZA=30,

ZB=60,ZC=90,

AZA的邻补角为150°,ZB的邻补角为120°,ZC的邻补角为90°,

,它们的邻补角之比为150:120:90=5:4:3；

(5)在一ABC中，若/B-ZA=15°,ZC-ZB=60°,

/•ZB=ZA+15°,

/.ZC=ZA+75°,

'/NA+NC+NB=180°,

NA+ZA+15°+NA+75°=180°,

ZA=30°,

：.ZB=45°,ZC=105°,

故答案为：70;50；45;30,60,90,5:4:3；30,45,105.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握

相关知识进行求解.

14.三角形的三边分别为5,1-a,9,贝心的取值范围为.

【答案】-13＜。＜一3

【分析】根据三角形三边关系解答.

【解析】由题意得：9-5＜1-。＜9+5,

解得：—13＜。＜一3,

故答案为：一13＜。＜—3.

【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边.

15.已知a,b,c为,ABC的三边，化简：|a+b—c|-2|a—6-c|=

【答案】3a-b-3c

【分析】根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可.

【解析】解：：a，6，c为一ABC的三边，

a+b＞c,b+c＞a,

+Z?-c|-2|tz—Z?—c|=d+h—c—21一(a-b-c)]

—a+b—c—2(—a+Z7+c)

=a+b—c+2a—2Z7—2c

—3Q—h—3c；

故答案为：3a-b-3c.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值.熟练掌握三角形的三边关系，是解题的

关键.

16.如图，BD平分/ABC,ZADB=60°,ZBDC=80°,ZC=70°,所以△ABD是

三角形.

A

BC

【答案】直角

【分析】首先根据三角形内角和定理，可求得,DBC的度数，再根据角平分线的定义，即

可求得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得NA=90。，据此即可判定.

【解析】解:QZBDC=80°,NC=70。，

NDBC=180。一ZBDC-ZC=180°-80°-70°=30°,

又QBD平分/ABC,

:.ZABD=ZDBC=30°,

ZADB^60°,

ZA=180°-ZABD-ZADB=180°-30°-60°=90°,

.二ABD是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形形状的判定，结合三角形

内角和定理及角平分线的定义，得到乙4=90。是解决本题的关键.

17.如图，在，ABC中，A”是边BC上的高，且BH:CH=2:1,如果以48=2,那么

S.ABC=-

【分析】根据3"：C"=2：1,和SAACH=2,求出S4BH,利用S^ABC=+S^ACH,进行

计算即可.

【解析】解：,••在ABC中，是边8C上的高，且BH:CH=2:1,

-AHCH”[

。ACH2/H_1

SABH\BHAH2

S^ABH=2sAACH=2X2=4,

••SAABC=S^ABH+S^ACH=4+2=6;

故答案为：6.

【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算.熟练掌握同高的三角形的面积比等于底边比,

是解题的关键.

18.如图，在ABC中，AD是边上的中线，AWC的周长比的周长多4,

AB+AC=2A,则AC的长为.

【答案】14

【分析】由△ADC的周长比△ABD的周长多4可得AC—AB=4,AC+AB=24,然后问题

可求解.

【解析】解：•••AD是8C边上的中线，

:.BD=CD,

CAnr=A,D+CD+A,C,CARr)=AD+BD+AB,

CAnr—CARn-AD+CD+AC—A.D—BD—A.B-A.C—A,B—4,

：.AC+AB=24,

J2AC=28,

JAC=14；

故答案为14.

【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线得到相等的线段是解题的关键.

19.如图，在“WC中，NA=64。，05和OC分另()平分/ABC和/ACS,贝!|N5OC=°.

A

【答案】122

【分析】根据角平分线的定义得出/08C=!ZABC,/0C8=：/ACB,然后根据三角形内

22

角和定理即可求解.

【解析】解：：在B5c中，ZA=64°,

ZABC+ZACB=180。—NA=116。

,,,OB和OC分别平分/ABC和NACB,

/.ZOBC=-ZABC,NOCB=-ZACB,

22

/.NBOC=180°-(ZOBC+NOCB)=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°—58°

=122°.

故答案为：122.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的

关键.

20.如图，在,ABC中，NACB=60。，点尸是直线AC上一动点，将一AB尸沿所折叠，点

A的对应点为点D当时，N3E4的度数为.

【答案】75。/75度

【分析】首先求出NDPC,进而可得NAPD的度数，然后根据折叠的性质得出答案.

【解析】解：••,DPLBC,ZACB=60°,

：.ZDPC=90°-ZACB=30°,

ZAPD=180°-ZDPC=150°,

由折叠得：ZBPA=ZBPD,

：.NBPA=/BPD=-ZAPD=75°,

2

故答案为：75°.

【点睛】本题考查了折叠的性质，角的和差计算，求出NAPD的度数是解题的关键.

21.已知〃、。、c为三角形的三边，且贝!J4A+,则三角形的形状是