浙教版八年级数学专项复习：全等三角形的判定（解析版）

第04讲全等三角形的判定

产知识点梳理

一、全等三角形判定1——“边边边”

全等三角形判定1——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点：如图,如果要‘5'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC,则AABC之△43'。.

二、全等三角形判定2——“边角边”

1.全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点：如图，如果AB=A'B',ZA=ZA',AC=A'。，则AABC2△A'B'。.注

意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，AABC与4ABD中，AB=AB,AC=AD,NB=NB,但AABC与4ABD不完全重合，

故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

三、全等三角形判定3——“角边角”

全等三角形判定3------“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点：如图，如果/A=N4,AB=A'B',NB=NB',则△ABC四△A'B'。.

四、全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由

“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前

者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在AABC和4ADE中，如果DE〃BC,那么/ADE=/B,ZAED=ZC,又/A=/A,

但4ABC和4ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

A

五、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SASAASASA

两角对应相等ASAAAS

两边对应相等SASSSS

2.如何选择三角形证全等

(1)可以从求证出发，看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能

全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

(2)可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

(3)由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

(4)如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

一、“SSS”证明三角全等

.如图，44BC中，AB=AC,BE=EC,直接使用“SSS”可判定()

A.AABD^AACDB.AABE/AACE

C.泾△CE。D.AABE'EDC

【答案】B

【分析】根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可.

【解析】解：根据AB=AC,BE=EC,AE=AE■可以推出/WE丝△ACE,理由是SSS,

其余△ABD0AAC。，△BED丝不能直接用SSS定理推出，A4BE和△EDC不全等,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS,AAS,ASA,

SSS,题目比较好，难度适中.

例2.如图，在八4。石和V3Z)尸中，AE=BF,CE=DF,要利用“SSS”证明

NACE^BDF,需增加的一个条件可以是()

A

A.AB=BDB.DC=ACC.AB=CDD.AC^BC

【答案】C

【分析】sss证明三角形全等是通过证明两个三角形的三条边对应相等，已知两条边相等,

还需增加第三条边相等即可.

【解析】解：：AE=3/，CE=DF,

因此还需增加AC=BD,

A：AB=BD,无法证明AC=3。，不符合题意；

B：DC=AC,无法证明AC=3。，不符合题意;

C：AB=CD,可证得AC=3。，符合题意；

D：AC=BC,无法证明AC=3D,不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键正确理解“SSS”的判定方法.

3.如图，木工师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，在-403的边

0A,03上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得

到-AO3的平分线0P.做法中用到的三角形全等的判定方法是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【答案】A

【分析】根据题意可得ON=ON,OP=OP,=由此即可利用SSS证明

APON^APOM,得到ZPON=/POM.

【解析】解：在△2附和APQM中，

ON=OM

OP=OP,

PN=PM

，APON^APOM(SSS),

ZPON=ZPOM,

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解

题的关键，全等三角形的判定定理有SSS,SAS,AAS,ASA,HL.

已知/A03.下面是“作一个角等于已知角，即作的尺规作

图痕迹.该尺规作图的依据是()

D.ASA

【答案】B

【分析】根据“作一个角等于已知角，即作/4O®=/AO8”的尺规作图痕迹，结合两个三

角形全等的判定定理即可确定答案.

【解析】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作NAO7T=/AO3”的尺规作图的依

据是SSS,

故选：B.

【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及

两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键.

例5.一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角形的三边长为5,10,V,如

果由“SSS”可以判定两个三角形全等，贝口+y的值为()

A.15B.19C.24D.25

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定方法SSS,即可解答.

【解析】解：••,由“SSS”可以判定两个三角形全等，

.■.x=10,v=14,

x+y=10+14=24,

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

AD.BC交于点O,AC=BD,BC=AD.求证：NC=/D.

cD

A

【答案】证明见解析

【分析】只需要利用SSS证明AAB8ABAD即可证明ZC=ZD.

【解析】证明：在AABC和△区4£＞中,

AB=BA

AC=BD,

BC=AD

VABC^VR4D（SSS）,

，ZC=ZD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解

题的关键，全等三角形的判定定理有SSS,SAS,AAS,ASA,HL等等.

7.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE,

图1图2

【答案】48。

【分析】根据题意，直接根据SSS证明再根据全等三角形对应角相等,

即可求解.

【解析】解：在AABC和△AED中,

AB=AE

BC=DE,

AC=AD

AABC均AED(SSS),

ZD=ZC=48°.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方

法以及全等三角形对应边相等，对应角相等.判定三角形全等的方法有

SSS,SAS,ASA,AAS,HL.

二、“SAS”证明三角全等

.如图，已知N1=N2,AC^AB,则经△ACD的依据是（）

A.ASAB.AASC.SSSD.SAS

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解.

【解析】解：在△ABD和AACD中，

AC=AB

<Z1=Z2,

AD=AD

：.四△ACD（SAS）；

故选D.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

例9.如图，与C。相交于点。，且。是AB,CD的中点，则AAOC与全

等的理由是（）

【答案】A

【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可.

【解析】解：是AB,C。的中点，

OA—OB,OC=OD,

在AAOC和△005中，

OA=OB

<ZAOC=ZBOD

OC=OD

：.AAOC=ADOB（SAS）,

故选：A.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

•1例10.如图，若AB=DE,BC=EF,ZB=ZE,则判定△ABC2△DEF的方法

A.AASB.ASAC.SASD.SSS

【答案】C

【分析】直接利用SAS即可求解.

【解析】解：：=BC=EF,ZB=ZE,

：.△ABC四△DEF(SM).

故选：C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

、1例U.如图，若已知A£=AC,用“SAS”说明△MC丝AWE,还需要的一个条件

A.BC=DEB.AB=ADC.BO=DOD.EO=CO

【答案】B

【分析】找到根据“SAS”判定AABC四需要条件，作出证明即可.

【解析】解：还需添加的条件是AB=4),理由是：

在AABC和VADE■中，

AB=AD

ZA=ZA,

AE=AC

：.AABC之△ADE(SAS),

故选：B.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

12.如图，点A、B、C、。在同一直线上，AF=DE,ZA=ZD,AC=DB.求

证：AABF当ADCE.

【答案】见解析

【分析】利用线段的加减证得AB=OC,即可用“&4S”证明三角形全等.

【解析】证明：：AC=DB,

AC—BC=DB-BC,

即AB=Z)C,

在AABF和4DCE中,

AF=DE

•：<AA=AD,

AB=DC

：.AABF公△DCE(SAS).

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键.

13.如图，已知点8,E,C,P在同一直线上，BE=CF,ZABC=ZDFE,AB=DF.求

证：△ABC/△DFE.

【答案】见解析

【分析】只需要利用SAS证明A4BC/△DEE即可.

【解析】证明：•.•BE=CF,

:.BE+EC=CF+EC.即BC=FE.

•;AABC=NDFE,AB=DF,

AAB8ADFE(SAS).

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

0pl例14.如图，在.。中，AB=AC,点。、E都在边2C上，且3E=CD,求证:

AD=AE.

【答案】见详解

【分析】利用等腰三角形的性质可得NB=NC,再由SAS证明△树丝△ACD(SAS),从而

得=

【解析】证明：：AB=AC,

NB=NC,

在和AACD中，

AB=AC

<ZB=ZC,

BE=CD

：.AABE^AACD(SAS),

/.AD=AE.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是

解题的关键.

15.如图，AD,BC相交于点。，OB=OC,OA=OD,延长到F延长D4到

E,AE=DF,连接CEBE.求证鹿〃CF.

E

【答案】见解析

【分析】根据等式的性质得出OE=O/，再利用&4s证明△3OE%COb,再利用全等三角

形的性质和平行线的判定解答即可.

【解析】证明：•.•。4=8,AE=DF,

:.OA+AE=OD+DF,即OE=OF,

,;NEOB=NFOC,OB=OC,

:.ABOE2ACOF(SAS),

:.ZE=ZF.

:.BEl/CF.

【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用边角边证明两个.三角形全等.

三、“AAS、ASA”证明三角全等

例16.如图，已知/1=/2,NB=NC,不正确的等式是()

BDEC

A.AB^ACB.ZBAE=Z.CADC.BE=DCD.BD=DE

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解析】解：=

/.AB=AC,故A选项正确，不符合题意；

在△ABE和AACD中，

ZB=ZC

</I=/2,

AB=AC

：.AABE^AACD(AAS),

:.BE=CD,ZBAE=ZCAD,

•/BE=CD,

：.BE—DE=CD—DE,

：.BD=CE,

故B选项、C选项正确，D选项错误，

故选：D.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是

解题的关键.

△71例17.小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完

全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

A.带①去B.带②去C.带③去D,带①和②去

【答案】C

【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可.

【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块

均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则

可以根据ASA来配一块一样的玻璃，应带③去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

[^21例18.已知。是“WC的边A3上一点，。b交AC于点E,DE=EF,FC//AB,

若BD=2,CF=5,则A3的长为（）

【答案】D

【分析】利用ASA证明VADE和△（?£1/全等，进而得出AZ>=CB=5,即可求出A2的长.

【解析】解：

:.ZADF=ZF.

•;ZAED=NCEF,DE=EF,

;.AADE%CEF（ASA）.

:.AD=CF=5.

又•；BD=2,

:.AB=AD+BD=5+2=1,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等

是解此类题的常用方法.

.已知，如图,AB=AE,AB//DE,ZACB=ZD,求证：△ABC之△EAD.

【答案】见解析

【分析】利用平行线的性质证明=再利用AAS证明即可.

【解析】证明：:AB〃DE,

ZCAB=ZE,

ZACB=ZD

在AABC和AEW中，＜ZCAB=ZE,

AB=AE

：.△ABC四△EW(AAS).

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，关键熟练应用判定来求解.

求证AC=AD.

A180°-=180°-

ZABD=ZABC.

z=z

在△ABD和44BC中，‘=

Z=N

AAABD=AABC().

【答案】Z3,Z4,ZABD=ZABC,AB^AB,Z1=Z2,ASA,AC=AD

【分析】用ASA证明△ABD三△ABC即可得到结论.

【解析】证明：：/3=/4,

180°-Z3=180°-Z4,

:.ZABD=ZABC9

/ABD=ZABC

在△AB。和中，［AB=AB

Z1=Z2

・•・Z\ABD=Z\ABC(ASA).

・•・AC=AD.

故答案为：Z3,N4,ZABD=ZABCfAB=AB,N1=N2,ASA,AC=AD

【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

21.已知：如图，A,E,F,8在同一条直线上,

0例

CELAB,DF±AB,AE=BF,ZA=NB.求证：CE=DF.

【答案】见解析

【分析】根据AE=8£EF=£7"得到AF=3E,利用ASA证明△AED二△3EC,即可得

证.

【解析】证明：-：AE=BF,EF=EF,

：.AE+EF=BF+EF,即：AF=BE,

•：CE±AB,DFLAB,

：.ZAFD=ZBEC=90°,

在和"EC中，

ZAFD=ZBEC

<AF=BE,

/A=NB

△AFD四△BEC(ASA),

CE=DF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.熟练掌握ASA的判定方法，证明三角形全等,

是解题的关键.

22.如图，在四边形ABCO中，AD〃3C,点E为对角线8。上一点，ZA=NBEC,

且=求证：AABD'ECB.

【答案】见解析

【分析】根据AD〃3c得到/AD6=NCBE即可.

【解析】证明：：AD〃3C,

ZADB=NCBE,

在△ABD和AECB中，

ZA=NBEC

<AD=BE,

ZADB=ZCBE

：.AAB*AECB(ASA).

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，能够熟练运用判定定理是解题关键.

修蹑踪钏瀛

一、单选题

1.如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是

()

①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角.

A.①②③B,①②④C.①③④D.②③④

【答案】A

【解析】

【分析】

三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据以上内容判断即可.

解：：三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,

根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合题意，

根据A4s定理可知能作出唯一三角形，故②符合题意，

根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合题意，

根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故④不符合题意，

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键.

2.如图，在AABC与AAOC中，ABACADAC,则下列条件不能判定AA8C与A4OC全

等的是（)

A.ZB=ZDB.ZBCA^ZDCAC.BC=DCD.AB=AD

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定方法逐一进行判断即可.

A.根据“AAS”，可以推出△故A不符合题意；

B.根据“ASA”，可以推出△ABCg△AOC,故B不符合题意；

C.根据“SSA”，不能判定三角形全等，故C符合题意；

D.根据“SAS”，可以推出△ABCg△AOC,故D不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中

考常考题型.

3.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，

那么最省事的方法是（）.

A,带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理判断即可.

带③去，理由如下：

:③中满足ASA的条件，

...带③去，

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.

4.如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB=FC,AC//DF,再添一个条件仍不能证

明AABC0△。跖的是（）

£BFC

A.AB//EDB.DF^ACC.ED=ABD.NA=/D

【答案】C

【解析】

【分析】

SEB=CF,可得出EF=BC,又有AC，可得/DFE=/ACB,,本题具备了一组边、

一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明那么添加的条件与原来的

条件可形成SSA,就不能证明AABC0△。跖了.

解：A、添加A8〃EQ,可得/E=/ABC,根据ASA能证明"8C空△/）环,故A选项不符

合题意；

B、添力口。F=AC,根据SAS能证明△ABCgZYDEF,故B选项不符合题意.

C、添加与原条件满足S&4,不能证明AABC会ADER故C选项符合题意.

D、.添加NA=N。，根据A4S能证明△ABC0ZVJEF,故D选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.注意：A44SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与,

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

5.如图，在AABC和ADEC中，已知AB=DE,添加两个条件仍不能使△ABC-XDEC的是

（）

D

E<\A

B

A.BC=EC,ZB=NEB.BC=EC,AC=DC

C.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD

【答案】C

【解析】

【分析】

利用全等三角形的判定，逐项判断即可求解.

解：A、添加8C=EC,ZB=ZE,可利用边角边证得△ABC之△£>£■（7,故本选项不符合题

思；

B、添加3C=EC,AC=DC,可利用边边边证得△ABC短△DEC,故本选项不符合题意；

C、添加BC=DC,ZA=ZD,不能证得zMBC短△DEC,故本选项符合题意；

D、添力口NB=NE,ZA=ZD,可利用角边角得△ABC之ZWEC,故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

6.如图，AB=AC,点。、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定AA3E与

△ACD全等的是（）

'B

A.ZB=NCB.AD=AE

C.BE=CDD.ZAEB=ZADC

【答案】C

【解析】

【分析】

按照补充后的条件，利用全等三角形的判定方法逐个分析即可求解.

解：A、添加ZB=/C后，AABE与△AC。中，ZCAD=ZBAE,AB=AC,ZB=NC,

利用ASA可以证明小ABE与△AC。全等；

B、添加AD=AE后，AABE与△AC。中，AB=AC,ZCAD=ZBAE,AD=AE,利用

SAS可以证明△ABE与△AC。全等；

C、添加BE=CD后，△ABE与△ACD中,一组角相等,且非夹角的两边相等,不能证明小ABE

与△AC。全等；

D、添加Z4EB=ZADC后，AABE与△ACD中，ZCAD=ZBAE,ZAEB=ZADC,AB^AC,

利用A4S可以证明4ABE与△ACD全等；

故答案为：C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定方法，需要注意：SSA不能判定两个三角形全等.

7.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则N1与N2的和为（）

A.45°B.60°C.90°D.100°

【答案】C

【解析】

【分析】

首先证明AABC四△AED,根据全等三角形的性质可得再根据余角的定义可得

ZAED+Z2=90°,再根据等量代换可得/I与/2的和为90°.

解:「在AABC和△AED中

AC=AD

<NA=NA,

AE=AB

：.AABC^AAED(SAS),

：.Z1=ZAED,

'：ZAED+Z2=9Q°,

.,.Zl+Z2=90°,

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质.

8.在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△。所全等的是（）

A.AC=DF,BC=DE,ZB=ZDB.ZA=ZF,ZB=ZE,ZC=ZD

C.AB=DF,ZB=ZE,ZC=ZFD.AB=EF,ZA=ZE,ZB=ZF

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定条件进行逐一判断即可.

解：A、"：AC=DF,BC=DE,ZB=ZD,

又不是AC与8c的夹角，而/。是。/与。E的夹角，即与不是对应角,

；・不能证明443。和小DEF全等,故A选项不符合题意；

B、VZA=ZF,ZB=ZE,ZC=ZD,

.••不能由A4A证明△人2。和4DEF全等,故B选项不符合题意；

C、'：AB=DF,ZB=ZE,ZC=ZF,

与/E不是对应角，

二不能证明448。和4DEF全等,故C选项不符合题意；

D、'：AB=EF,/A=/E,/B=/F,

可由ASA证明△ABC和△DEF全等，故D选项符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件.

9.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）

A.AB-3cm,BC-7cm,AC=4cmB.AB-3cm,BC-7cm,AC=8cm

C.ZA=30°,A8=3cmD.ZA=30°,ZB=100°,ZC^50°

【答案】B

【解析】

A、不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形，错误；B、符合全等三角形判定中的

SSS,正确；C、只有两个条件，不足以构成三角形，错误；D、三个角不能画出唯一的三

角形，错误，

故选B.

10.如图，在方格纸中，以AB为一边作AABP,使之与△ABC全等，从Pi,P2,P3,P4

四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

要使△ABP与4ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长

度，所以点尸的位置可以是P,P2,尸4三个，故选C.

11.如图，在AABC与AAE/中，AB=AE,BC=EF,ZABC=ZAEF,Z£AB=40°,AB

交EF于点D,连接E8.下列结论：①/以C=40。；®AF^AC；③/EBC=110°；④AO=

AC；⑤NEFB=40°,正确的个数为（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据已知条件证明△AEF^AABC,从中找出对应角或对应边，然后根据角之间的关系即

可解答.

解：在AABC与AAEF中，

AB=AEZABC=ZAEFBC=EF,

AAABC^AAEF(SAS),

；.AF=AC,ZEAF=ZBAC；

②正确，

/EAB=NFAC=40。；

.♦•①正确

VZABC=ZAEF,ZADE=ZFDB,

；.NEFB=NEAB=40。,

⑤正确

VAF=AC,ZFAC=40°；

.,.ZAFC=ZC=70°；

VZEFB=40°,

ZEFC=140°

/.NEFA=/AFC=70°

：/BAF不一定等于40°,

；./ADF不一定等于70。

ZADF不一定等于NEFA

/.AD不一定等于AF

.•.④不正确

连接BE'."AE=AB,ZEAB=40°

ZAEB=ZABE=70°

ZABC=ZAEF不一定等于40°,

；.NEBC不一定等于110°

...③不正确

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形

的判定与性质是解决问题的关键.

12.如图1,已知AB=AC,D为/BAC的平分线上一点，连接BD、CD；如图2,己知

AB=AC,D、E为/BAC的平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3,已知AB=AC,

D、E、F为NBAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；依次规律，

第n个图形中全等三角形的对数是()

BBB

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件可得图1中仆ABD04ACD有1对三角形全等；图2中可证出^ABD^AACD,

ABDE^ACDE,AABE^AACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数

据可分析出第n个图形中全等三角形的对数.

解：：AD是/BAC的平分线，

ZBAD=ZCAD.

在4ABD与AACD中,

AB=AC,

ZBAD=ZCAD,

AD=AD,

AAABD^AACD.

；•图1中有1对三角形全等；

同理图2中，△ABE0Z\ACE,

；.BE=EC,

VAABD^AACD.

；.BD=CD,

又DE=DE,

AABDE^ACDE,

...图2中有3对三角形全等；

同理：图3中有6对三角形全等；

由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是吗3.

2

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几

对三角形全等，然后寻找规律.

二、填空题

13.如图，已知AC=D3.要使AABC三ADCB.只需添加的一个条件是

【答案】AB=DC（答案不唯一）

【解析】

【分析】

要使△ABCgZXZJCB,由于8c是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等.

解：添加A2=£）C,

'：AC=DB,BC=BC,AB=DC,

：.^ABC^ADCB（SSS）,

加一个适当的条件是AB=DC,

故答案为：AB=DC（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA,AAS.

HL.添加时注意：444SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判

定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键.

14.三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是

【答案】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.

【解析】

【分析】

角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，根据公理直接作答即可.

解:三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是：

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.

故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定，掌握角边角公理是解题的关键.

15.如图，要测量水池宽A3,可从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC_LAB,再从

点C观测，在54的延长线上测得一点。，使NA8=/ACB,这时量得AD=120m,则水

池宽AB的长度是_m.

【答案】120

【解析】

【分析】

利用全等三角形的性质解决问题即可.

・.・AC八BD,

.\ZCAD=ZCAB=90°f

\-CA-CA,ZACD—XACB,

..^ACD^AACB(ASA),

AB=AD=120m,

故答案为120.

【点睛】

本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题.

16.如图，点。是AABC的边上一点，FC//AB,连接。尸交AC于点E,若CE=AE,AB=1,

CF=4,则8。的长为.

【答案】3

【解析】

【分析】

先由全等三角形的判定定理ASA证明△AED^ACEF,然后根据全等三角形的对应边相等知

AD=CF,从而求得3。的长度.

解：'：FC//AB,

：.ZA=ZECF,

在△A£D和ACEF中，

一NA=NECF

<AE=CE,

NAED=NCEF

：.AAED^ACEFCASA),

：.AD=CF（全等三角形的对应边相等）,

又,：AB=7,CF=4,AB=AD+BD,

：.BD=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

17.填表.

已知两个对应相等的边或角应寻找的条件证明三角形全等的依据

SAS

两边

SSS

一角及其对边AAS

SAS

一角及其邻边

AAS或ASA

两角ASA或AAS

【答案】依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边

【解析】

试题解析：依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.

故答案为夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.

18.在与中，ZB=ZE,BC=EF,AB=3cm,AC=5cm,那么

DE=cm.

【答案】3

【解析】

【分析】

先画好图形，再利用A4s证明AABC丝A£＞砂，再利用全等三角形的性质可得答案.

解：如图:

在A4BC与△DEF中,

ZA=ZZ)

<ZB=ZE,

BC=EF

:.AABC'DEF(A4S),

.e.AB=DE，

AB=3cm,

DE=3cm,

故答案为：3.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答

本题的关键.

19.如图，在AABC中，CE平分ZACB,。£，4£>于点£,若AABC的面积为12cmz,则阴

影部分的面积为cm2.

【答案】6

【解析】

【分析】

证点E为AQ的中点，可得与△ACD的面积之比，同理可得△A8E和的面积

之比，即可解答出.

解：如图，CE平分ZACS,CE_L")于点E,

ZACE=NDCE,ZAEC=ZDEC=90°,

•/CE=CE,

：.AACE0ADCE

：.AE=DE,

：.S/\ACE：SAACD=1：2,

同理可得，SAABE：SAABD=l：2,

•.,SAABC=12cm2,

/.阴影部分的面积为S^ACE+S^ABE=|SAABC=1X12=6cm2.

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形

的中线将三角形分成面积相等的两部分.

20.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点，点E、F分别在边AB

和边AC上，且/EDF=90。，则下列结论一定成立的是

©△ADF^ABDE

②S四边形AEDF=；SAABC

③BE+CF=AD

@EF=AD

【答案】①②

【解析】

【分析】

根据全等三角形性质和三角形中位线性质进行分析即可.

VZBAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点，

；.AD=BD=CD,ZADB=ZADC=90°,ZB=ZC=ZBAD=ZCAD=45°,

ZEDF=90°,

ZBDE+ZADE=ZADE+ZADF=90°,

ZBDE=ZADF,

在AADF与△BDE中，

ZB=ZDAF

<AD=BD,

NADF=NBDE

AAADF^ABDE,

••SAADF=SABDE,

,•*S四边形AEDF=SAADE+SAADF=SAADE+SABDE-SAABD,

•S△ABD=SAABC>

••S四边形AEDF=5SAABC,

•/AADF^ABDE,

；.AF=BE,

BE+CF=AF+CF=AB>AD,

VAD=|BC,

当EF〃BC时，EF=；BC,

而EF不一定平行于BC,

•1.EF不一定等于《BC,

.♦.EFRAD,

故答案为①②.

【点睛】

考核知识点：全等三角形的判定和性质，三角形的中位线性质.

三、解答题

21.已知：如图，A、2、C、。四点在一条直线上，且AB=a),ZA=ZZ),NECA=NFBD.求

证：AE=DF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先根据A2=C。，得出AC=O8,利用“ASA”证明△ACE会AD8凡即可证明结论.

证明：

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=DB,

ZECA=NFBD

:在△ACE与△O5F中，AC=DB,

ZA=ZD

；.AACE必DBF(ASA),

：.AE=DF.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两个角对应相等，且这两个角所夹的边

也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键.

22.如图，在△ABC中，己知NA2C=/AC2,BD、CE分别平分/ABC、ZACB,那么aBOC

与^CEB全等吗？为什么？

解：因为B。、CE分别平分N4BC、ZACB(已知)，

所以3c(),NECB=W().

由NA8C=NACB(已知)，

所以/OBC=/ECB().

在48。(7与4CEB中，

(),

().

所以△BOCgZ\C£'B(ASA).

【答案】/ABC；ZACB；等量代换；NDBC=NECB；BC=CB；公共边；ZACB=ZABC；

已知

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义可证得ND2C=NEC8,再证明△BDC^/XCEB.

解:4BDC与4CEB全等,

因为20、CE分别平分/ABC、ZACB(已知)，

所以(ZABC),NECB=W(ZACB),

由NA8C=NAC8(已知)，

所以NOBC=/ECB(等量代换)，

在小BDC与4CEB中，

ZDBC=NECB

<BC=CB,

ZACB=ZABC

所以△BD84CEB(ASA),

故答案为：ZABC；ZACB；等量代换；/DBC=/ECB；BC=CB；公共边；ZACB=ZABC；

已知.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

23.如图，两车从路段A,8的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C,

。两地，两车行进的路线平行.那么C,。两地到路段AB的距离相等吗？为什么？

【答案】C,。两地到路段的距离相等，理由见解析

【解析】

【分析】

要判断C,。两地到路段的距离是否相等，可以由条件证明△AEC丝△跳Z）,再根据

全等三角形的性质就可以的得出结论.

解：C,。两地到路段的距离相等.理由如下：

VCEYAB,DFYAB,

ZAEC=/BFD=90°,

:AC\\BD,

：.ZA=ZB,

:两车从路段A,8的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C,O两地,

AC=BD

在△AEC和△瓦明中，

ZAEC=NBFD

<ZA=ZB,

AC=BD

：.Z\AEC^Z\BFD（AAS）,

CE=DF.

：.C,D两地到路段AB的距离相等.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质，点到直线的距离的理解，平行线的性质.解答时弄清

判断三角形全等的条件是关键.

24.已知：如图，A、F、。、。在同一直线上，AB//DE,AB=DE,AF=CDf求证:

D

(1)BC=EF；

(2)BC//EF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.

(2)根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可.

(1)

证明：(1)-/AB//DE,

/.ZA=ZD，

\AF=CD,

:.AC=DF,

在△ABC与△。所中

AB=DE

<ZA=ZD,

AC=DF

:.AABC三ADEFCSAS),

:.BC=EF.

(2)

(2)・.FABC=ADEF,

.\ZBCA=ZEFD,

:.BC//EF.

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题

的关键.

25.如图，在AABC和中，边AC,DE交于点、H,AB//DE,AB=DE,BE=CF.

(1)若NB=55。，ZACB=100°,求NCHE的度数.

(2)求证：AABC-DEF.

【答案】(1)NC”E=25°

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据三角形内角和定理求出NA,再根据平行线的性质得出/C»E=NA即可；

(2)根据平行线的性质得出NB=NZ)所，求出BC=ER再根据全等三角形的判定定理推

出即可.

⑴

解：VZB=55°,ZACB=100°,

NA=180°-ZB-ZACB=25°,

'：AB//DE,

；./CHE=/A=25。；

(2)

证明：\'AB//DE,

:./B=/DEF,

；BE=CF,

：.BE+EC^CF+EC,

即BC=EF,

itADEF中

AB=DE

■NB=ZDEF,

BC=EF

：.AABC^ADEF(SAS).

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理，三角形内角和定理和平行线的性质，注意：全等三角形

的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL

26.已知：如图，在和中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=5Q°.

(2)求NAPB的度数.

【答案】(1)见解析；

(2)50°

【解析】

【分析】

(1)通过证明AAOC丝力。£>,即可求证；

(2)利用三角形外角的性质可得ZAPD=ZACD+NPDC=ZACO+NOCD+ZPDC,由(1)可

^ZACO=ZODP,从而得到N4PZ)=NC©C+NOCD,利用三角形内角和的性质即可求解.

(D

证明：VZAOB=ZCOD=50°,

：.ZAOC=Z.BOD,

y.'：OA=OB,OC=OD,

：.△AOC也△BOD(SAS),

：.AC=BD；

(2)

解：由(1)可得，ZACO=ZODP

由三角形外角的性质可得ZAPD=ZACD+NPDC=ZACO+NOCD+ZPDC

：.ZAPD=ZODC+Z.OCD=180°-Z.COD=130°,

ZAPB=180°-ZAPD=50°,

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角的性质以及三角形外角的性质，解题的关

键是熟练掌握相关基本性质.

27.如图，A。为△ABC的中线，DE平分。尸平分NAOC,BE±DE,CF±DF.

(1)求证；DELDF-,

(2)求证：ABDE”ADCF；

(3)求证：EF