中考数学复习：轴对称中的翻折、旋转问题专训（原卷版+解析）

专题08轴对称中的翻折、旋转问题专训

旨【题型目录】

题型一轴对称中的翻折问题专训

题型二轴对称中的旋转问题专训

重难点专训

轴对称中的15道翻折问题专训

轴对称中的15道旋转问题专训

【知识梳理】

知识要点一：翻折（对折）的定义

一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,

则两部分完全重合，这个过程就叫做对折.

知识要点二：翻折（对折）的特点

1、翻折问题实际上就是对称变换；

2、翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折痕所在直线）是对应点的连线的垂直平分线,翻折

前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；

3、教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。

知识要点三：翻折（对折）的基本图形及图形特点

1、翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻折

前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想

进行解题。

2、翻折特点：有翻折一一就有重合一一就有全等——对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、

等面积法结合图形特点进行解题。

41经典例题一轴对称中的翻折问题专训】

【例1】（2023春.陕西榆林.八年级校考期末）如图，在等腰.ABC中，AB=AC,ABAC=50°,/的

平分线与A3的垂直平分线交于点。，点C沿E尸折叠后与点O重合，则/CEF的度数是（）

A.

O

BEC

A.55°B.50°C.45°D.40°

■【变式训练】

1.（2022秋•四川泸州•八年级统考期末）如图，ABC中Zfi4C=60。，将一ACD沿折叠，使得点C落在AB

上的点C'处，连接CD与C'C,ZACB的角平分线交AD于点E；如果因7=OC；那么下列结论：①Nl=N2；

②垂直平分C'C；®ZB=3ZBCC；④DC'〃EC；其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

2.（2023春•湖北武汉•七年级统考期末）如图，在三角形A3C中，点，E是边AC上两点，点尸在边上，

将三角形BDC沿折叠得三角形的，OG交于点H,将三角形EFA沿EF折叠恰好得到三角形EFH,

且HE〃BD.下列四个结论：®ZEHD=ZHED；®ZA^ZADH；③NEHD=2NHBD；④若

4N/RC=3NAHE>,则NA5D=4NABG.其中正确的结论是（填写序号）.

3.（2023秋•江西南昌•八年级南昌市外国语学校校联考期末）【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页

第10题，如图的三角形纸片中，AB=8an,BC=6cm,AC5cm.沿过点8的直线折叠这个三角形，使

点C落在A3边上的点E处，折痕为80.求△AED的周长.

解：3DE是由.BDC折叠而得到，

:.一BDE=BDC.

BC=BE=6cm,DC=DE.

AB=8cm,

AE=AB—BE=Scm—6cm=2cm.

AC=5cm,

二・VADE1的周长为：AD+DE+AE—AC+AE=7cm.

(1)【知识应用】在Rt/VIBC中，NC=90。沿过点3的直线折叠这个三角形，使点。落在3边上的点E处,

折痕为BD,过点£作NBED的平分线交BD于点尸连接AP.如图1,若CD=3cm,AB+3C=16cm，求」WC

的面积；

图2

(3)【拓展应用】如图3,在Rt^ABC中，NC=90。沿过点5的直线折叠这个三角形，使点C落在A3边上

的点E处，折痕为应),过点E作N3ED的平分线交8。于点连接针，过点尸作若AB=10cm,

(4)若AC2+BC2=AB2,求证AHBH=^ACBC.

A【经典例题二轴对称中的旋转问题专训】

【例2】（2023•辽宁沈阳•模拟预测）如图，在中，ABAC=90°,AB=AC,直角的顶点P

是BC的中点，将NEP尸绕顶点尸旋转，两边PE,PP分别交AB,AC于点E,尸.下列四个结论:①AE=C「；

②！PEF是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四边形的尸在NEPb旋转过程中，上述四个结论始

终正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

/【变式训练】

1.（2022秋.广西贵港.八年级统考期中）如图，在ABC中，AB^AC,ABAC=90°,直角NEP尸的顶点尸

是3c的中点，两边PE、尸尸分别交A3、AC于点£、F.当NEP产在一MC内绕点P旋转时，对于下列结

论：①PE=PF；®AE=CF,®EF=AP;④S四边形AEPF=g5ABc，其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2022秋•广东惠州•八年级惠州一中校考期中）在ABC中，ZC=90°,AC=BC；将一块三角板的直角

顶点放作斜边的中点尸处，将此三角板绕点尸旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点、D、点、

E,图①，②，③是旋转得到的三种图形.当是等腰三角形时，NPEB的度数为（写出所有

可能的值）.

3.(2023春•全国•八年级专题练习)阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.如图①，等腰

ABC和等腰VADE中，AB^AC,AD=AE,将VADE绕点A旋转，连接3D、CE,利用上面结论或所学

解决下列问题：

图①图②图③

(1)^ZBAC=Z2ME=35°,求证：BD=CE；

(2)连接BE,当点。在线段BE上时.

①如图②，若44c=/D4E=60。，则/BEC的度数为二线段8。与CE之间的数量关系是二

②如图③，若NBAC=NZME=9O。，AM为VADE中3E边上的高，判断/3EC的度数及线段A"、BE、CE

之间的数量关系说明理由.

【重难点训练】

轴对称中的15道翻折问题专训

1.（2023秋•浙江绍兴•八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC,NABC=9O。，点M是边AC的中点,

点E在边AC上，将BCE沿BE折叠,使点C落在边AC上的点。处，若ME>=3C,则ZBC4=（）

2.（2022秋广东广州•八年级校考期中）如图，在三角形纸片ABC中，AC=6,ZA=3O。，NC=90。，将—A

沿。E折叠，使点A与点3重合，则折痕DE的长为（）

3.（2023秋•安徽合肥•八年级统考期末）如图，将一个等腰直角三角形一ABC按如图方式折叠，若DE=a,

DC=b,下列四个结论:

①DC'平分NBDE；

②BC长为2a+6；

③C是等腰三角形；

④△CED的周长等于BC的长,

其中，正确的是（）

4.（2023春•七年级单元测试）如图，已知长方形纸片ABCD,点E,歹在AD边上，点G,H在8C边上,

分别沿EG,切折叠，使点。和点A都落在点M处，若戊+月=119。，则的度数为（）

5.（2023春・全国•七年级专题练习）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、Cf为折痕,

点RD折叠后的对应点分别为？、D',若NECF=22°,则NB'CD'的度数为（）

6.（2023春•福建福州•七年级统考期末）如图，将四边形纸片ABCD沿折叠，点A、。分别落在点A、

2处.若Nl+N2=c,ZB+ZC=/3,则a与夕之间的数量关系可用等式表示为

7.（2023春•四川成都・七年级统考期末）如图，在ABC和△OCB中，ZA=ZD=90°,AC,8。相交于点

E,AE=DE.将CDE沿CE折叠，点。落在点次处，若NBED'=40。,则的大小为.

8.（2023春•江苏•七年级统考期末）在ABC中，ZA=70°,48=60。，点。是AC边上一点，过点。将"1BC

折叠，使点C落在BC下方的点C处，折痕DE与8c交于点E,当A3与/C的一边平行时，"EC的度

数为.

9.（2022春•四川成都•七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片A3C,其中NACB=90。.请按下列步

骤操作：①沿8C的垂直平分线/折叠，折痕与A3交于点。：②沿过点C的直线/,折叠，使点A落到A3上

的点E处，若DE=CE,则NA的度数为.

10.（2022春・江西抚州•七年级统考期末）已知NABC=30。，点尸是射线8C上一动点，把ABP沿AP折叠，

B点的对应点为点当一尸是等腰三角形时，—ABD的度数为.

11.（2023春.山西临汾.七年级统考期末）综合与探究

一张直角三角形纸片ABC,ABAC=90°,其中NACB=NABC=45。，D,E分别是3C,AC边上一点.将

CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C.

图1图2图3

(1)如图1,若CO/AB,则4=°,Z2=

（2）如图2,若点C，落在直角三角形纸片A3C上，请探究N1与N2的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,若点。落在直角三角形纸片A3C外，（2）中N1与N2的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由;

若不成立，请求出N1与N2的数量关系.

12.（2023春・广东梅州•七年级校考阶段练习）如图1,一张三角形43c纸片，点D,E分别是，ABC边上

两点.

研究(1)：如果沿直线OE折叠，使点A落在CE上的点4处，则ZBDA与/A的数量关系是_____

研究(1)：如果折成图2的形状,猜想NBD4',NCE4'和—A的数量关系是____；

研究(3)：如果折成图3的形状,猜想NBD4"NCE4'和—A的数量关系是什么，并说明理由.

B

B占工二工

z

cA'EAcEA

图1图2图3

13.(2023•全国•八年级假期作业)已知」ABC是一张三角形的纸片.

图①图②图③

(1)如图①，沿。E折叠,使点A落在边AC上点A的位置，与N1的之间存在怎样的数量关系？为什

么？

(2)如图②所示，沿OE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A，的位置，/A、N1与N2之间存在怎样

的数量关系？为什么？

(3)如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A的位置，—A、N1与N2之间存在怎样的数

量关系？为什么？

14.(2023春•全国•七年级专题练习)同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决

有关问题吗？

(1)如图(1),已知/AO3,填空:

：0C是NA03的平分线(已知)

(2)如图(2),已知/AOC,若将/AOC沿着射线0C翻折，射线。4落在0B处，请你画出射线08,射线

OC一定平分/AO3.为什么？

理由如下：•••/3OC是由/A0C翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，

ZBOC=N_____,

二射线是Z_____的角平分线.

拓展应用

(3)如图(3),将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE,再将它的另一个角也折叠，顶

点3落在。处并且使0D过点C,折痕为OF.直接利用(2)的结论；

OB

①若ZAOE=60度，求/EO尸的度数；

②若ZAOE=m度,求/EO尸的度数；

③/。忙的补角有；/DO尸的余角有.

15.(2023秋・河南周口•八年级统考期末)综合与实践

在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动.

定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.

(1)概念理解

如图1,将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ABCD.判断四边

形ABCD的形状：筝形(填“是”或“不是”)

图2图3

(2)性质探究

如图2,己知四边形A3CD纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然

后写出一条性质并进行证明.

(3)拓展应用

如图3,AD是锐角一ABC的高，将沿AB边翻折后得到ME,将一ACD沿AC边翻折后得到△ACF,

延长即，FC交于点G.

①请写出图3中的“筝形”：；(写出一个即可)

②若/班C=50。，当3GC是等腰三角形时，请直接写出，54。的度数.

轴对称中的15道旋转问题专训

1.(2023・广东深圳•校考三模)古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装

置.图是图投石机的侧面示意图.A3为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴。的距离分别为1米和

8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米.如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴。旋转,

点A的对应点为A,点2的对应点为B'.当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若A4'垂直地面,

ZBOB'=60°,此时，"到水平地面的距离是（）米

2.（2022春・上海普陀•七年级校考期末）如图，在中，AB=AC,ABAC=90°,NEPF=90°,点、产是

3C的中点，两边PE,P/分别交AB,AC于点E,F,当NEPR在ABC内绕顶点尸旋转时（点E不与A、

8重合），以下四个结论：①AE=CF；②EP尸是等腰直角三角形；③S四边形AEM=gsMc；®EF=AP.其

中一定正确的结论有（）.

3.（2022春・湖南张家界.七年级统考期末）如图，将..ABC绕点A按逆时针方向旋转100。得到AB。'（点8的

对应点是点点C的对应点是点C'）,连接①T,若AC〃跖'，则NC4?的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.45°

4.（2021秋•山东日照•八年级日照港中学校考期末）如图，已知ABC与VADE都是以A为直角顶点的等腰

直角三角形，VADE绕顶点A旋转，连接22CE.以下三个结论：①BD=CE；②ZAEC+NDBC=45。；

③B"CE；其中结论正确的个数是（）

E

A.1B.2C.3D.0

5.（2023春•全国•八年级阶段练习）如图，已知AA8C中，AB=AC,将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转废

（0<n<ZBAC）得至IJAAOE,AD交BC于点F,DE交BC、AC于点G、H,则以下结论：

①AABF出AAEH；

②连接AG、FH,则AG,切；

③当AOL8C时，£>尸的长度最大；

④当点X是。E的中点时，四边形AFGH的面积等于AFxGH.

其中正确的个数有（）

A

D

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.（2022秋•黑龙江大庆•七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知ABC中，AB=AC,ZBAC^9Q°,

直角NEP尸的顶点是BC的中点，两边尸区尸尸分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：

①AE=CF；②一砂尸是等腰直角三角形；③S四边形④BE+CF=EF,当/EP尸在,内

绕顶点P旋转时（点E不与4、8重合），上述结论中始终正确的有（填序号）.

7.（2022秋.河南南阳•七年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45。的三角尺ADE固定

不动，将含30。的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当/C4E=15。时，此时8CDE.继续旋转三角

尺ABC,使两块三角尺至少有一组边互相平行，则NC4E（0°<ZG4E<180°）其他所有可能符合条件的

度数为_______

BD

图①图②

8.（2022秋•贵州遵义•八年级统考期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A-B-C-DZC=60°,

连接8D,ZCBD=80°,线段AB绕点8旋转，AB的延长线与射线CD相交与点E,当NABC为______度时,

是等腰三角形.

9.（2021秋•福建南平•八年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,把一个三

角尺的直角顶点与BC边的中点。重合，且两条直角边分别经过点A和点既梦想飞扬学习小组将三角尺绕

点。按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时，给出下列结论：

①线段AE与的长度之和为定值;②/BE。与/。尸C的度数之和为定值;③四边形AEOF的面积为定值.其

中正确的是：_______________.（填序号）

BOCBOC

10.（2021秋・上海徐汇•八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在AABC中，AB=AC,点M在AABC内,

将A4BM以点A为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M落在点N处，若/M4N=40,，且8、M、

N三点恰共线，则.

A

11.（2022秋•海南省直辖县级单位.八年级校考阶段练习）已知：如图1,点C为线段AB上一点，ACM”CBN

都是等边三角形，AN交MC于点E,BM交CN于点、F.

（2）求证：△C2F为等边三角形;

（3）将4AC加绕点C按逆时针方向旋转90。，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）

小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.

12.（2022秋・山东德州•八年级校考期中）如图1,在，ABC中，AEL8c于，AE=BE,。是AE上的一点,

且DE=CE,连接3D、AC.

图1图2图3

（1）试判断2D与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

（2）如图2,若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE=CE,试判断3D与AC的位置关

系和数量关系是否发生变化，并说明理由；

（3）如图3,若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：

①试猜想8□与AC的数量关系，不用说明理由；

②你能求出8。与AC所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由.

13.（2021秋•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）【探究发现】（1）如图所示，一ABC和.GDE均为等边三角

形，一CDE绕点C旋转，其中，AC交3D于点M,AE交CD于点、N,AE交BD于点O,如图1所示当—CDE

旋转到点2、C、E在同一条直线上时，以下结论成立的是：_

①AE=BD；②—493=60°；③OC平分/MON；④.ACN/BCM.

【类比探究】（2）当aCDE旋转到,ABC外部时，且点8、C、E不在同一条直线上时，如图2,（1）中结论

仍然成立的是：_（只填序号）若②正确请进行论证，若不正确，请说明理由；

【类比应用】（3）当.CDE旋转到与一ABC有部分重叠时，如图3,（1）中结论仍然成立的是：_（只填序号）

若③正确请进行论证若不正确，请说明理由；

A

14.（2023秋•陕西西安•八年级高新一中校考期末）四边形AZ汨C是由等边ABC和顶角为120。的等腰

拼成，将一个60。角的顶点放在点。处，将60。角绕。点旋转，该60。角两边分别交直线BGAC于点M、

N,交直线AB于点RE.

图1图2

（1）当点M,N分别在边3C,C4上时（如图1）,直接写出R0,AN,MN之间的数量关系一;

（2）当点M,N分别在边3C,C4的延长线上时（如图2）,猜想线段AN,MN之间有何数量关系？请进

行证明；

⑶在（2）的条件下，若AC=4,AE=3,请你求出3M的长.

15.(2023春・全国•八年级专题练习)已知.ABC为等边三角形，取ABC的边AB,8c中点。,£,连接。E,

如图1,易证aDBE为等边三角形，将一OBE绕点5顺时针旋转,设旋转的角度ZABD=e,其中0<a<780°.

(1)如图2,当a<60。时，连接M),CE,求证：AD=CE；

(2)在_。助旋转过程中，当。超过一定角度时，如图3,连接AD,CE会交于一点，记交点为点/，AD交BC

于点P,CE交BD于点、Q,连接3尸，求证：FB平分NAFE；

(3)在第(2)间的条件下，试猜想线段A尸,8尸和CF之间的数量关系，并说明理由.

专题08轴对称中的翻折、旋转问题专训

旨【题型目录】

题型一轴对称中的翻折问题专训

题型二轴对称中的旋转问题专训

重难点专训

轴对称中的15道翻折问题专训

轴对称中的15道旋转问题专训

【知识梳理】

知识要点一：翻折（对折）的定义

一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,

则两部分完全重合，这个过程就叫做对折.

知识要点二：翻折（对折）的特点

4、翻折问题实际上就是对称变换；

5、翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折痕所在直线）是对应点的连线的垂直平分线,翻折

前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；

6、教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解决。

知识要点三：翻折（对折）的基本图形及图形特点

3、翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻折

前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思想

进行解题。

4、翻折特点：有翻折一一就有重合一一就有全等——对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、

等面积法结合图形特点进行解题。

,41经典例题一轴对称中的翻折问题专训】

【例1】（2023春.陕西榆林.八年级校考期末）如图，在等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=50°,/的

平分线与AB的垂直平分线交于点。，点C沿斯折叠后与点。重合，则/CEF的度数是（）

A.

BE~"'C

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】B

【分析】连接03，OC,先求出NBAO=25。，进而求出NOBC=40。，求出NCOE=NOCB=40。，由三角

形内角和定理和NCEF=ZOEF=-NCEO即可求得答案.

2

ZBAC=50°,AO为N54C的平分线,

:.ZBAO=-ZBAC=-x50°=25°.

22

又AB=AC,

ZABC=ZACB=1(180°-ZBAC)=65°.

DO是AB的垂直平分线，

OA—OB,

ZABO=ZBAO=25°9

:.ZOBC=ZABC-ZABO=65°-25°=40°.

/49为。的平分线，AB=AC,

.••直线AO垂直平分5C,

:.OB=OC,

:.ZOCB=ZOBC=40°,

点。沿所折叠后与点。重合，

:.OE=CE,ZCEF=ZOEF=-ZCEO,

2

:.NCOE=NOCB=40°；

在△OCE中，ZCEO=180°-ZCOE-ZOCB=180°-40°-40°=100°,

NCEF=-ZCEO=50°.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，

找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断.

■【变式训练】

1.（2022秋•四川泸州•八年级统考期末）如图，ABC中44c=60。，将.ACD沿AD折叠，使得点C落在

上的点C'处，连接C'。与C'C,ZACB的角平分线交AD于点E；如果BC=DC；那么下列结论：①Nl=N2；

②AO垂直平分C'C;③NB=3NBCC'；®DC'//EC-,其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用三角形全等的性质、等腰三角形的三线合一、角之间的关系、平行线的判定定理逐个分析各

个结论的正误即可.

【详解】解：依题意有=AACD

AZ1=Z2,故结论①正确；

AC=AC

△ACC'为等腰三角形，又Nl=N2

垂直平分C'C,故结论②正确；

CD=Ct>

：.ZDC'C=ZDCC'

：.ZBDC'=ZDC'C+ZDCC'=2ZBCC'

又：BC'=DC

/.ZB=ABDC

：.ZB=2ZBCC,,故结论③错误；

ABAC=60°

：.ZAC'C=ZACC'=60°

：.ZB+ZBCC'=3ZBCC'=ZAC'C

：.ZBCC=20°

：.ZACD=ZACC'+ZBCC'=80°

ZBCE=-ZACB=40°

2

ZECC=ZBCE-ZBCC=20°

又：CD=C<b

...ZCCD=ZBCC=20°

NCC'D=NECC'

：.DC//EC,故结论④正确；

综上，正确的结论有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的性质、线段的垂直平分、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，为三

角形的综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相关的知识定理.

2.（2023春・湖北武汉•七年级统考期末）如图，在三角形A3C中，点D,E是边AC上两点，点尸在边AB上，

将三角形BDC沿折叠得三角形的，OG交于点H,将三角形EFA沿EF折叠恰好得到三角形EFH,

且HE〃BD.下列四个结论：®ZEHD=ZHED；②ZA=ZADH；③NEHD=2NHBD；④若

4ZABC-3ZAHD,则NA5D=4NABG.其中正确的结论是（填写序号）.

【答案】①③④

【分析】由折叠的性质可得，BCD—一8GD,一EFg一EFH,则ZDBC=ND3G,ZA=ZEHA,

ZHDB=ZBDC,由HE//BD，可得ZEHD=ZHDB=ZBDC,ZAHE=ZABD,则NEDH=180°-2Z.HDB,

由NEHD+NEDH+NHED=18。°,可得NE〃D+180°—2NHD3+N"ED=180°,则NEHD=/HED,进而

可判断①的正误；由题意知NAZ)9=180。-4NA,无法判断/A与NADH的关系，进而可判断②的正误；

由NHED=NA+NAHE=2NA,则NEHD=2ZA,ZHBD+ZA=Z.BDC,可得NHBD+工NEHD=NEHD,

2

即NEHD=2ZHBD,进而可判断③的正误；根据4NABC=3NAHD,可得

4(ZABD+ZDBC)=3(ZAHE+ZEHD),整理得4(ZD3C—ZABD)+ZA5D=/EHD,即

4ZABG+ZABD=ZEHD,则4ZABG=NEHD-NABD=NBDC-NABD=NA=NABD,进而可判断④的正

误；

【详解】解：由折叠的性质可得33co丝_及%>,.EF叵EFH,

:.NDBC=NDBG,ZA^ZEHA,NHDB=NBDC,

,/HE//BD,

NEHD=ZHDB=NBDC,ZAHE=ZABD,

：.NEDH=180°-(ZHDB+ZBDC)=180°-2ZHDB,

Z.EHD+Z.EDH+Z.HED=180°,

NEHD+180°-2ZHDB+NHED=180°,

AZEHD=ZHED,①正确，故符合要求；

VZADH=180°-ZA-ZAHD=180°-4ZA,无法判断ZA与N4DH的关系，②错误，故不符合要求；

,/NHED=ZA+ZAHE=2ZA,

：.ZEHD=2ZA,

,?ZHBD+ZA=Z.BDC,

ZHBD+-ZEHD=ZEHD,

2

AZEHD=2ZHBD,③正确，故符合要求；

4ZABC=3ZAHD,

：.4(ZABD+ZDBC)=3(ZAHE+ZEHD),

2AEHD+4ZDBC=3ZABD+3ZEHD,

4(NDBC—ZABD)+ZABD=NEHD,

：.4(ZDBG-ZABD)+ZABD=ZEHD,即4NABG+NABD=NEHD,

：.4ZABG=ZEHD-ZABD=ZBDC-ZABD=ZA=ZABD,④正确，故符合要求；

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识.解

题的关键在于明确角度之间的数量关系.

3.(2023秋•江西南昌•八年级南昌市外国语学校校联考期末)【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页

第10题，如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点8的直线折叠这个三角形，使

点C落在A3边上的点Er处，折痕为RD.求△AED的周长.

解：皮更是由.BDC折叠而得到，

/.BDE=,BDC.

BC=BE=6cm,DC=DE.

AB=8cm,

/.AE=AB—BE=Scm—6cm=2cm.

AC=5cm,

二・VADE1的周长为：AD+DE+AE-AC+AE=7cm.

(1)【知识应用】在RtZXABC中，NC=90。沿过点3的直线折叠这个三角形，使点。落在3边上的点£处,

折痕为BD,过点E作N8SD的平分线交BD于点P连接AP.如图1,若CD=3cm,AB+3C=16cm,求.-.ABC

的面积；

图1

(2)如图2,求证：AP平分NC4B；

图2

(3)【拓展应用】如图3,在RtaABC中，NC=90。沿过点5的直线折叠这个三角形，使点C落在A3边上

的点E处，折痕为3D,过点E作的平分线交8。于点连接针，过点尸作若AB=10cm,

BC=6cm,AC=8cm,直接写出PH长;

图3

(4)^AC2+BC2=AB2,^uEAH-BH=^ACBC.

【答案】⑴sABC=24

(2)见解析

⑶PH=2

(4)见解析

【分析】(1)根据已知条件可得SBCMSBO+SABCD，从而可以计算得解；

(2)过点尸分别作AB、ED、AC边的垂线，垂足分别为点尸、H、M,利用全等性质，通过等量代换

即可得到PF=PM,通过角平分线性质即可得证；

(3)过点P分别作3C、AC边的垂线，垂足分别为点G、M,连接PC,通过条件可证得P〃=/W=PG,

利用SABC=SABP+SBCP+SACP关系即可得解；

(4)过点尸分别作BC、AC边的垂线，垂足分别为点G、M,连接PC,通过条件可证得

BG?.P

gS=S+S+5MCP,然后将S”c=g8C•AC=；(BG+GC)(AM+MC)整理化简，最后等量代换

即可得证.

【详解】(1)解：由题可知，BED三BCD,ZBED=ZC=90°,CD=ED=3,

S=S+S=—AB-DE+—BC-CD=—CD-(AB+BC)=—x3xl6=24cm2；

ADRCrADRUnDRCUn222'/2'

(2)证明：如图，过点尸分别作A5、ED、AC边的垂线垂足分别为点尸、H、M,

:.PH=PM,

EP平分/BED,

PF=PH,

:.PF=PM,

.\ZPAC=ZPAB,

则"平分NC4B；

(3)如图，过点尸分别作5C、AC边的垂线，垂足分别为点G、M,连接PC,

由题可知，AB£»二ABCD,/DBC=NDBE,

:.PH=PG,

由(2)可知以7=尸〃，

:.PH=PM=PG,

°qABC—~°QABPT_i_0vBCP丁_i_0VACP，

SABC=^PH(AB+BC+AC)=^ACBC,

gp|(10+6+8)PH=1x6x8,

解得PH=2an；

(4)证明：如图，过点尸分别作8C、AC边的垂线，垂足分别为点G、M,连接尸C,

由(2)可知，PH=PM=PG,

PHLAB,PGIBC,PMLAC,

Rt.AHP=RtAMP(HL),RtBHP=Rt.BGP(HL),Rt,CGP=Rt.CMP(HL),

:.AH=AM,BH=BG,CG=CM,PH=PM=PG=CM=CG,—Sziov=SBDGvjPr+Snnr+S,MiviCy^Pr

S^ABC=1SC-AC=1(BG+GCXAM+MC)

=^(BGAM+BGMC+GCAM+GCMC)

=-AMBG+-BGMC+-GCAM+-GCMC

2222

=-AHBH+-BGGP+-PHAH+-MPMC

2222

=5AH,BH+SBGP+SAHP+SMCP

=-AHBH+-S

22-c

：.-S=-AHBH,

2ABRC2

S诋=AH.BH,

2

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采

用等量代换的方法是解题关键.

【经典例题二轴对称中的旋转问题专训】

【例2】（2023•辽宁沈阳•模拟预测）如图，在中，ABAC=90°,AB=AC,直角/EPP的顶点P

是BC的中点，将ZEP尸绕顶点尸旋转，两边PE,PP分别交AB,AC于点E,尸.下列四个结论:①AE=CF；

②！尸£尸是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四边形AEW=5S4ABC•在NEPb旋转过程中，上述四个结论始

终正确的有（

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

平分，可证

【分析】根据等腰直角三角形的性质得:AP1BC,AP=^BC=PC,AP3AC.

NC=NEAP,NFPC=NEPA,AP=PC,即证得VAPE与式丁厂全等，根据全等三角形性质判断结论是否正

确.

【详解】解：：AB=AC,NBAC=90。，直角NEPb的顶点尸是BC的中点,

AP±BC,AP=-BC=PC,ZBAP=ZCAP=45°=ZC

2

ZAPF+ZFPC=90°,ZAPF+ZAPE=90°,

：.NFPC=ZEPA,

在△AEP与11cp/中，

,NEAP=NC

，AP=PC,

NAPE=ZFPC

：.」APE丝一CP尸（ASA）,

：.AE=CF,EP=PF,故①正确；

；.!PEF是等腰直角三角形，故②正确；

•••一ABC是等腰直角三角形，尸是BC的中点，

AP=-BC,

2

E尸不一定是1sABC的中位线，

，EF=AP不一定成立，故③错误；

V..APE^CPF,

••0AEP-0CPF，

又,•*S四边形AEPF-SAEP+SAFP，

,,S四边形AEP尸=SAPC=5SABC，

即S四边形AEPF=_SaABC，故④正确•

故选：D.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰直角三

角形的性质是解题的关键.

•【变式训练】

1.（2022秋・广西贵港.八年级统考期中）如图，在中，AB=AC,ABAC=90°,直角NEP尸的顶点尸

是BC的中点，两边PE、尸产分别交A3、AC于点E、F.当NEPF在ABC内绕点P旋转时，对于下列结

论：®PE=PF-,②AE=C。③EF=AP；®SmAEPF=S,其中正确结论有（）

p

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质，以及同角的余角相等，证明.Eg4EBP,再逐一进行判断即可.

【详解】①：AB=AC,ABAC^90°,

ABC是等腰直角三角形，

是BC的中点，

AAP=BP=CP,ZAPC=ZAPB=ZEPF=90°,

ZAPF=90°一ZAPE=ZBPE,

又AP=BP,ZFAP=ZEBP=45°,

：.tFAP空EBP(AS0,

：.PE=PF；

正确.

②：~EAP^_EBP,

BE=AF,

：.AB-BE=AC-AF

：.AE=CF；

正确.

③不能证明EF=AP；

错误.

=S△必p+‘AAPE，

又•:dFAP^EBP,

,•S四边形AEP尸=SAAPE+Sf^EBP=S&APB=—SAABC；

正确.

综上①②④正确，共3个.

故选C.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.熟练掌握等腰三角形的性质，证

明两个三角形全等是解题的关键.

2.（2022秋广东惠州•八年级惠州一中校考期中）在ABC中，ZC=90°,AC=3C；将一块三角板的直角

顶点放作斜边A8的中点尸处，将此三角板绕点尸旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、与点。、点

E,图①，②，③是旋转得到的三种图形.当△P5E是等腰三角形时，NPEB的度数为（写出所有

可能的值）.

【答案】45。或90。或67.5。或22.5。.

【分析】分类讨论，当点E在线段CB上时，①若PE=PB,②若PE=BE,③若BE=BP,当点E在CB的

延长线上时，则只有PB=3E,然后根据等腰三角形的性质可求解.

【详解】解：当点E在线段CB上时，

①若PE=PB,则NP£B=N3=45。，此时，点。与点A重合，点E与点C重合；

②若PE=BE,ZEPB=45°,ZPEB=90°；

③若BE=BP,则/PEB=ZBPE=1（180°-45°）=67.5°；

当点E在CB的延长线上时，此时，/P3E=135。是钝角，只能是顶角，则只有PB=3E,即

ZPEB=ZBPE=g（180°-135°）=22.5°.

综上，NPEB的度数为45。或90。或67.5。或22.5。.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形存在性问题，解题关键是熟练掌握等

腰三角形的性质与判定和分类讨论思想方法.

3.（2023春•全国•八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.如图①，等腰

ABC和等腰VADE中，AB=AC,AD=AE,将VADE绕点A旋转，连接3D、CE,利用上面结论或所学

解决下列问题:

(1)^ABAC=ADAE=35°,求证：BD=CE-,

(2)连接8E,当点。在线段BE上时.

①如图②，若NE4C=/ZME=60。，则/BEC的度数为二线段3D与CE之间的数量关系是二

②如图③，若NBAC=NZME=90。，AM为VADE中DE边上的高，判断/的度数及线段AM、BE、CE

之间的数量关系说明理由.

【答案】(1)见解析

⑵①60。，BD=CE；②NBEC=90。,BE=2AM+CE,见解析

【分析】⑴由“SAS”可证，AftDzACE,可得BD=CE；

(2)①由/R4C=NZME=60。，得到4AD=NC4E,证明△耳⑦三△C4E,根据全等三角形的性质证明

结论；②类比①可得3D=CE,ZAEC=ZADB=135°,即可求解.

【详解】(1)VZBAC=ZDAE^35°

：.ABAD+ADAC=ADAC+ZEAC

：.ZBAD=Z.EAC

在和"CE中

AB=AC

<ABAD=NEAC

AD=AE

,ABD=..ACE(SAS)

：.BD=CE

(2)①：ABAC=ZDAE=60°,

Z.ZBAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,即44D=NC4E,

,:AD=AE

JVADE是等边三角形，

JZADE=60°

：.ZADB=nO°

5LAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE

・•..ABD^ACE(SAS),

ZAEC=ZADB=\SO°-ZADE=nO°,BD=CE

・・・ZBEC=ZAEC-ZAED=120°-60°=60°,

故答案为：60°；BD=CE；

②关系：ZBEC=90°,BE=2AM+CE

理由：VZZME=90°,AD=AE

：.ZADE=ZAE