浙教版八年级数学上册知识点梳理

第一章三角形初步

［定义与命题］

定义：规定某一名称或术语的意义的句子。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，"那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意:基本事实和定理一定是真命题。

［证明］

在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过

程。

［三角形］

由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

［三角形按边分类］

不等边三角形

三角形《底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形＜

等边三角形（正三角形）

［三角形按内角分类］

三角形f锐角三角形：三个内角都是锐角

＜直角三角形：有一个内角是直角

-钝角三角形：有一个内角是钝角

［三角形的性质］

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

［三角形的三种线］

顶角的角平分线：三条，交于一点

三角形的中线：三条，交于一点

三角形的高线：三条，交于一点。

思考:锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置

［全等形］

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

［全等三角形］

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做

对应边，重合的角叫做对应角.

［全等三角形的性质］

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：

全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

［三角形全等的证明］

边边边：三边对应相等的两个三角形全等.(SSS)

边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)

角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)

角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS)

斜边、直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)

证明两个三角形全等的基本思路:

L找第三边(SSS)

(1):已知两边--I找夹角("S)

J找是否有直角(HL)

找这边的另一个邻角色人)

一已知一边和它的邻角Y找这个角的另一个边(SAS)

(2):已知一边一角-T找这边的对角(AAS)

已知一边和它的对角Y找一角S能)

已知角是直角，找一边化也)

找两角的夹边(ASA)

(3)：已知两角--j

L找夹边外的任意边色”)

［角平分线的作法］尺规作图

［角平分线的性质］

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

；0P平分NAOB,PM_LOA于M,PN_LOB于N,.\PM=PN

［角平分线的判定］

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

:PM_LOA于M,PN_LOB于N,PM=PN

AOP平分NAOB

［三角形的角平分线的性质］

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

【最后】学习全等三角形应注意以下几个问题:

(1)要正确区分'对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义。

(2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上。

(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全

等。切记切记

(4)时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

第二章特殊三角形

【轴对称图形］

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对

称图形，这条直线就是它的对称轴.

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴.

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

［轴对称］

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图

形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个

图形关于直线对称也叫做轴对称.

［图形轴对称的性质］

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

称。

［轴对称与轴对称图形的区别］

轴对称图形轴由称

图形

(1)粕对称图反是指(一”(D相对称是措牺个图形

区别具有特殊形状的图形，的位置关系,必竺涉及

只对(一个)W形而言(两个)图形；

(2)对赤粕军一建只有一条(2)1有J条)对称物.

如果把粕对称图形沿对称粕如果把两个成粕对称的图形

联系分成两其分,那么这两个图洛拼在一起看成一个整体,那

就关于这条直线成粕对称.么它就是一个粕对称图形一

［线段的垂直平分线］

(1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来，与一条线段

两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段

两个端点距离相等的所有点的集合.

［等腰三角形］

有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰

所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.

［等腰三角形的性质］

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).

特别的：(1)等腰三角形是轴对称图形.

(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

［等腰三角形的判定定理］

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

特别的：

(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.

(2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.

(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.

(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.

［等边三角形］

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.

［等边三角形的性质］

等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°

［等边三角形的判定方法］

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

［逆命题和逆定理］

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，"那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意:基本事实和定理一定是真命题。

互逆定理：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一

个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个叫做原命

题，那么另一个就叫做它的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定

理叫做另一个定理的互逆定理。

注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。

2.所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。

［勾股定理］

—,知识点回顾

1、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要

应用有：(1)已知直角三角形的两边求第三边

(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边

(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形

(1)先确定最大边(如c)

(2)验证与1是否具有相等关系

2

(3)若=/+b,则AABC是以NC为直角的直角三角形；若+b2

则AABC不是直角三角形。

3、勾股数

满足/+匕2=°2的三个正整数，称为勾股数，如(1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)

6,8,10；(4)8,15,17；(5)7,24,25(6)9,40,41

第三章不等式

知识点一：不等式的概念

1.不等式：用（或"W”），“>”（或“》”）等不等号表示大小关系的式子，叫做不

等式.用“W”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

（1）不等号的类型：

①“W”读作“不等于"，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个

量谁大谁小；

②“>”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“W”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

（2）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等

关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是

同类量不能比较。

（3）要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、

“不小于”等数学术语的含义。

2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则

这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是

否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3.不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集

的过程叫做解不等式。如：不等式x—4<1的解集是x<5.

不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有

解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.

二者的关系是:解集包括解，所有的解组成了解集。

要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

⑴解集中的每一个数值都能使不等式成立；

⑵能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：如果a<b,b<c,那么a<c。不等式的传递性。

基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

基本性质3：不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

基本性质4：不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

要点诠释：

（1）不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

（2）要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的

单项式或多项式；

（3）“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“>"，那么变化后仍是“>"；如果原来是“W”,

那么变化后仍是“W”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>"，那么变化后将成为

“<”；如果原来是“W”，那么变化后将成为“2”；

（4）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3,在乘（除）

同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要

改变。

知识点三：一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1,系数不为0.这样的不

等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：

（1）一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式（单项式或多项多）；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为lo

（2）一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1,左右两边都是整式；

不同点：一元一次不等式表示不等关系（用“>"、“<”、"e”、"w”连接），一元一次方程

表示相等关系（用“=”连接）。

知识点四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步

骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.

要点诠释：

（I）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；

③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以

后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左。

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式

是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原

不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同项;

（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注

意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，

如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

变形名称具体做法注意事项

（1）不含分母的项不能扁乘

（2）注意分数线有括号作用，去掉分

去分母在不等式两边同乘以分母的最小公信额母后，如分子是多项式，要加括号

（3）不等式两边同乘以的数是个负数，

不等号方向改变。

去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均可运用分酉e律去括号时，不要后索

括号内的项

（2）如果括号前是“一”号,去括号

时，括号内的各项要变号

把含未知数的项都移到不等式的一边（通常

移项是左边），不含未知数的项移到不等式的另移项（过桥）变号

一边

把不等式两边的同类项分别合并，把不等式

合并同类项只是将同类项的系数相加，

合并同类项化为以>6或州<她=0）的形式

字母及字母的指数不变。

在不等式两边同除以未知数的系数♦，若

且a>Q，则不等式的解集为

b

a；若ax>6且a<0.则不等式的解

（1）分子、分母不能颠倒

b（2）不等号改不改变由系数4的正负

系数化1集为若以〃且a>。，则不等式

性决定。

（3）计算顺序:先算数值后定符号

X<2,A

的解集为。；若以<6且a〈。，则不

等式的解集为a;

4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注

意的是

定”:一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等

式并求出不等式

的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

）x>°，则不是正数5⑵x<Q,则不是负数?

(1

(3）xSQ,则刀是非正数；\20,则f是非负数；

）则x大于尸⑹1-八°,则x小于声

(5

第四讲图形与坐标

一.平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直的数轴,组成平面直角坐标系，水平的轴叫:

X轴,竖直的轴叫：jJt，两轴的交点是原点,通常规定向或向上的方向为正方向。

二.平面直角坐标系中点的特点：

坐标点所在象限坐标点所在象限

横坐标X纵坐标y或坐标轴横坐标X纵坐标y或坐标轴

x>0y>0第一象限x<0y<0第三象限

x>0y<0第四象限x>0j=0X轴正半轴

A=0y>0Y轴正半轴A=0j=0原点

A=0y<0Y轴负半轴xVOj=0X轴负半轴

xVOy>0第二象限

1.已知点A（x,y）.1）若犯=0,则点/在；2）若盯＞0,则点/在

3）若孙＜0,则点/在________________.

2.坐标轴上的点的特征：x轴上的点为0,y轴上的点为0。

3.象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点；二四象

限角平分线上的点O

4.平行于坐标轴的点的特征：平行于X轴的直线上的所有点的___坐标相同，平行于y

轴的直线上的所有点的_____坐标相同。

5.点到坐标轴的距离：点P（x,y）到x轴的距离为_y_,到y轴的距离为_x_；

三.坐标平面内点的平移情况：左右移动点的____坐标变化，（向右移动,向

左移动）,上下移动点的_____坐标变化（向上移动,向下

移动）

知识一、坐标系的理解

知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标

知识点三：点符号特征。

知识四：求一些特殊图形，在平面直角坐标系中的点的坐标。

知识点五：对称点的坐标特征。

知识点六：利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐

标系，找出对应点的坐标。

知识点七：平移、旋转的坐标特点。

第五章一次函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数

值的量。

2,函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定

的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y

是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3自变量取值范围的确定方法

1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（如立方根）

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为大于等于0的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范

围，即为自变量的取值范围。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。（三角形三边，或者具体生活实际问题）

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,

那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描

出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用

平滑曲线连接起来）。

9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，导0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零

当k〉0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0

时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.

（1）解析式：y=kx（k是常数，k#0）

（2）必过点：（0,0）、（1,k）

（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k〈0时，图像经过二、四象限

（4）增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小

⑸倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

10、一次函数及性质

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，厚0）,那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx

+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意

实数

b

一次函数丫=1«+1的图象是经过(0,b)和(―,0)两点的一条直线，我们称它为直

3k

线丫=1«+已它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b〉0时，向上平移；当b〈0

时，向下平移)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，kwO)

b

(2)必过点：(0,b)和(―,0)

k

(3)走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限

b〉0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限

]左>

\k>0。直线经过第一、二、