中考热搜难点考点60题（原卷版）-2025年上海中考数学复习

新题特训02中考热搜难点考点6。题

反比例函数综合题(共3小题)

1.(2024•绵阳)如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与比)相交于点E,边他在x轴上，

k

440=60。，8(-1,0),点C在反比例函数y=—(AwO)的图象上.

X

(1)求点C,D,E的坐标及反比例函数的解析式；

(2)将菱形MCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边3C与函数图象交于点尸，求点尸

2.(2024•淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

k.

与反比例函数y==(x>0)的图象交于点C.已知点A坐标为(-1,0),点C坐标为(1,3).

x

(1)求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)点O在线段03上，过点。且平行于x轴的直线交AB于点E,交反比例函数图象于点尸.当

3.(2024•眉山)如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数〉=区+6与反比例函数y=—(x>0)的图象

X

交于点A(l,6),2(n,2),与X轴，y轴分别交于C,D两点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)若点P在y轴上，当AR4B的周长最小时，请直接写出点尸的坐标；

(3)将直线AB向下平移0个单位长度后与x轴，y轴分别交于E,b两点，当=343时，求a的值.

二次函数综合题(共9小题)

4.(2024•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=加+法+3经过点4(3,0),与y轴交于

点3,且关于直线x=l对称.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当-1瓢词，y的取值范围是Oi/2-1,求f的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点。作x轴的垂线交直线AB于点。，在y轴上是否存

在点E,使得以3,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明

理由.

5.(2024•济宁)已知二次函数y:办?+法+。的图象经过(0,-3),(-〃,c)两点，其中a,b,c为常数,

且">0.

(1)求a,c的值；

(2)若该二次函数的最小值是T,且它的图象与尤轴交于点A,B(点A在点3的左侧)，与y轴交于

点C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,3的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P,过点P作尤轴的垂线，垂足为。，与直线AC交于

点、E,连接尸C,CB,BE.是否存在点尸，使也巫=士？若存在，求此时点尸的横坐标；若不存在，请

SrRP8

说明理由

备用图

7

6.(2024・广安)如图,抛物线？=-1%2+尿+°与无轴交于4,6两点，与y轴交于点C,点A坐标为(-1,0)，

点3坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点尸是直线3C上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线BC于点。，过点尸作y轴的垂

线，垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有

最大值，请说明理由.

(3)点M为该抛物线上的点，当NMCB=45。时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.

C)

A/0

7.(2024•东营)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=f+bx+c与无轴交于A(-l,0),B(2,0)两点,

与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

（2）当点。在直线BC下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交3C于点E,设点。的横坐标为人

QE的长为/,请写出/关于f的函数表达式，并写出自变量，的取值范围；

q

（3）连接AD,交8C于点F,求3里的最大值.

8.（2024•山西）综合与实践

问题情境：如图1,矩形陌VKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分

与线段至组成的封闭图形，点A,3在矩形的边上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不

同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.

方案设计：如图2,AB=6米，的垂直平分线与抛物线交于点P,与至交于点O,点尸是抛物线的

顶点，且尸0=9米.欣欣设计的方案如下：

第一步：在线段OP上确定点C,使44CB=90。，用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域，种植串串

红；

第二步：在线段CP上取点P（不与C,P重合），过点尸作AB的平行线，交抛物线于点O,E.用篱

笆沿DE,CF将线段AC,与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.

方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△口（?区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在

第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图2中以至所在直线为x轴，OP

所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：

（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助

图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC,BC±.直接

写出符合设计要求的矩形周长的最大值.

LK

22

9.(2024•河北)如图，抛物线G：y=^-2x过点(4,0),顶点为Q.C2:y=-1(x-r)+|r-2(其

中f为常数，且，＞2),顶点为尸.

(1)直接写出。的值和点。的坐标.

(2)嘉嘉说：无论f为何值，将C1的顶点。向左平移2个单位长度后一定落在C2上.

淇淇说：无论f为何值，C?总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

(3)当f=4时，

①求直线尸。的解析式；

②作直线///PQ,当/与C?的交点到x轴的距离恰为6时，求/与x轴交点的横坐标.

(4)设。与C?的交点A，B的横坐标分别为乙，乙，且引〈演，点〃在G上，横坐标为机(2鼓弧/).点

N在C2上，横坐标为强女0,若点M是到直线尸。的距离最大的点，最大距离为1，点N到直线尸。

的距离恰好也为d,直接用含f和沉的式子表示".

10.(2024•南充)已知抛物线yn-V+fcr+c与x轴交于点A(-1,0),5(3,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,点尸为线段OC上一点(不与端点重合)，直线分别交抛

q

物线于点E,D,设面积为S1,APSE面积为，，求」的值.

*

(3)如图2,点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点加，

N,过抛物线顶点G作直线///%轴，点。是直线/上一动点.求QM+QN的最小值.

11.(2024•连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=or2+bx-l(a、b为常数，o>0).(1)若

抛物线与x轴交于4-1,0)、3(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；

(2)如图，当少=1时，过点C(-l,a)、D(l,a+20)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N,连接MN、

MD.求证：MD平分NCMN；

(3)当。=1,-2时，过直线y=x-l(瓒Jc3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若G”的

最大值为4,求b的值.

12.(2024•甘孜州)【定义与性质】

如图，记二次函数y="(X-bp+c和y=-a{x-+“5*0)的图象分别为抛物线C和C「

定义：若抛物线G的顶点Q(p，q)在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线.

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；

②若G是。的伴随抛物线，则c也是G的伴随抛物线，即。的顶点尸(仇C)在G上.

【理解与运用】

(1)若二次函数y=-g(x-2)2+机和y=-g(x-ar+；的图象都是抛物线y=的伴随抛物线，则

m=,n=.

【思考与探究】

(2)设函数、=炉-2依+4Z+5的图象为抛物线C2.

①若函数>=-^+公+e的图象为抛物线c0,且C2始终是C。的伴随抛物线，求d,e的值；

②若抛物线与无轴有两个不同的交点(%，。)，(尤2，0)(%<%)，请直接写出王的取值范围.

备用图

三.三角形综合题(共4小题)

13.(2024•新疆)【探究】

(1)已知△ABC和△ME都是等边三角形.

①如图1,当点。在上时，连接CE.请探究C4,CE和CD之间的数量关系，并说明理由；

②如图2,当点。在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究。1,CE和CD之间的数量关系，并

说明理由.【运用】

(2)如图3,等边三角形中，AB=6,点E在AC上，(3=2/.点。是直线3。上的动点，连接

DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时，请直接写出

的长.

E

AA、AA

图1图2图3备用图

14.(2024•重庆)如图，在AABC中，AB=6,3c=8,点P为他上一点，过点尸作PQ//BC交AC于

点Q.设好的长度为尤，点P,。的距离为％,AABC的周长与AAPQ的周长之比为％.

(1)请直接写出为,分别关于尤的函数表达式，并注明自变量尤的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数必，%的图象；请分别写出函数M，必的一条性质;

(3)结合函数图象，直接写出必时x的取值范围.(近似值保留一位小数，误差不超过02)

81--一：

7：

6■—r—r-t—,»—•—,—,—।—!

5------------------------1-------11-1

4---r--r--T--T-"i---!-------J!；-

3——।—।

2•—；—；—:

1)---1---:

0\123456789

15.(2024•宁夏)综合与实践

如图1,在AABC中，80是NABC的平分线，BD的延长线交外角/C4M的平分线于点E.

【发现结论】

结论1:/4£8=NACB；

结论2：当图1中44cB=90。时，如图2所示，延长BC交钻于点尸，过点E作的垂线交陟于点G,

交AC的延长线于点则AE与EG的数量关系是—.

【应用结论】

(1)求证：AH=GF；

(2)在图2中连接F”，AG,延长AG交FH于点N,补全图形，求证:FN=NH+y/2AE.

16.(2024•吉林)如图，在△ABC中，NC=90。，4=30。，AC3cm,AD是△ABC的角平分线.动

点尸从点A出发，以上cni/s的速度沿折线AD-DB向终点3运动.过点P作PQ//A3,交AC于点Q,

以尸。为边作等边三角形PQE,且点C,E在尸。同侧.设点P的运动时间为f(s)Q>0),△PQE与△ABC

重合部分图形的面积为S(a/).

(1)当点尸在线段AD上运动时，判断△AP。的形状(不必证明)，并直接写出AQ的长(用含f的代数

式表示).

(2)当点E与点。重合时，求f的值.

(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量f的取值范围.

四.正方形的性质(共1小题)

17.(2024•南通)如图，在RrZXABC中，ZACB=90°,AC^BC=5.正方形DEFG的边长为6,它

的顶点D,E,G分别在△ABC的边上，则BG的长为

五.四边形综合题（共13小题）

18.（2024•兰州）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在4

ABC中，点、M,N分别为AB,AC上的动点（不含端点），且=

【初步尝试】（1）如图1,当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将M4绕点〃逆时针旋转120。得到ME>,

连接BD,则MN=DB,请思考并证明；

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△MC中，AB=AC,ZBAC=90°,

AE1MN于点、E,交8C于点F,将M4绕点M逆时针旋转90。得到MD,连接ZM,DB.试猜想四边

形人说的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在△ABC中，AB=AC=4,44c=90。，连接3N,

CM,请直接写出BN+CM的最小值.

19.（2024•长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△MC中，

AB=3,点M、N分别在边AC、3c上，且=试探究线段MN长度的最小值.

【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运

动路径，进而解决上述几何问题.

【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、的平行线，并交于点尸，作射线钎.

在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

（1）证明：AM=MP；

（2）NG4P的大小为度，线段长度的最小值为.

【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数

据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形3CDE是矩形，AB=AC=CD=2^z,

NACB=30。.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点”在AC上，点N在上上.在调整

钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持40=QN.钢丝绳长度的最小值为一米.

20.（2024•泰安）综合与实践

为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.

【探究发现】

（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1,把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点3的对应点G恰好

落在矩形的一边CD上，折痕为防，将纸片展平，连结3G.砂与33相交于点H.同学们发现图形中

四条线段成比例，即竺=丝，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.

BGBC

【拓展延伸】

（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2,是平行四边形纸片ABCD的一条对

角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G,点C的对应点”都落在对角线上，折痕

分别是3E和ZJF.将纸片展平，连结EG,FH,FG.同学们探究后发现，若FG//CD,那么点G恰

好是对角线的一个“黄金分割点”，即3G请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.

21.（2024•山东）一副三角板分别记作AASC和ADEF,其中NABC=ND£F=90。，N」BAC=45。，

ZEDF=30°,AC=DE.作于点M,ENLDF于点、N,如图1.

备用图

(1)求证：BM=EN；

（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C,点A与

点。重合，将图2中的ADCR绕。按顺时针方向旋转c后，延长用0交直线小于点P.

①当a=30。时，如图3,求证：四边形为正方形；

②当30。<&<60。时，写出线段MP,DP,CD的数量关系，并证明；当60。<1<120。时，直接写出线段

MP,DP,CD的数量关系.

22.(2024•吉林)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程:

【探究论证】

(1)如图①，在AABC中，AB=BC,BD±AC,垂足为点Z).若CD=2,BD=1,贝!I5AAsc=

(2)如图②，在菱形Ab。。中，AC=4,BD=2,则S菱形©B，。。，=

(3)如图③，在四边形£7朽”中，EG±FH,垂足为点O.

右EG—5，FH—3,则S四边形EFGH=

若EG=a,FH—bi猜想S四边形EFGH与。，b的关系，并证明你的猜想.

【理解运用】

如图④，在AMAK中，MN=3,KN=4,MK=5,点P为边MN上一点.小明利用直尺和圆规分四步

作图；

(i)以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN,KM于点R,I；

(ii)以点P为圆心，依长为半径画弧，交线段于点T；

(iii)以点1为圆心，小长为半径画弧，交前一条弧于点R,点R,K在跖V同侧;

(iv)过点尸画射线根，在射线府上截取尸。=侬，连接KP,KQ,MQ.

请你直接与出S四边形MPK2的值.

23.（2024•盐城）如图1,E、F、G、H分别是5co各边的中点，连接AF、CE交于点M,连接

AG,CH交于点N,将四边形AMCN称为口ABCZ）的“中顶点四边形”.

A

M□:

图1图2图3

（1）求证：中顶点四边形AMOV为平行四边形;

（2）①如图2,连接AC、BD交于点O,可得M、N两点都在上，当口ABCD满足时，中顶点

四边形AMCN是菱形；

②如图3,己知矩形40CN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边

形.（保留作图痕迹，不写作法）

24.（2024•日照）如图，以nABCD的顶点3为圆心，长为半径画弧，交BC于点、E,再分别以点4,

E为圆心，大于工AE的长为半径画弧，两弧交于点尸，画射线3尸，交AD于点G,交CD的延长线于点

2

H.

（1）由以上作图可知，N1与N2的数量关系是；

(2)求证：CB=CH；

(3)若钙=4,AG=2GD,ZABC=60°,求△3S的面积.

25.(2024•青岛)如图①，用△ABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,Rf△EDF中,ZEDF=90°,

DE=DF=6cm,边3c与fD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合.如图②，△£/方从图①所示位

置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为lc〃z/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速

度为2cm/s.EF与BC交于点、P,连接OP,OE.设运动时间为r(s)(0<f,,g).解答下列问题：

(2)设四边形PCEO的面积为S,求S与/的函数关系式；

(3)如图③，过点。作交AC于点Q,△AO”与△AOQ关于直线至对称，连接是

否存在某一时刻t,使PO//BH?若存在,求出f的值；若不存在，请说明理由.

26.(2024•甘孜州)如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,连接过点。作6£_19，垂足为E,CE

交BD于点F,Z1=ZABC.

(1)求证：Z2=Z3；

(2)若N4=45。.

①请判断线段BC,的数量关系，并证明你的结论；

②若5C=13,AD=5,求跖的长.

27.（2024•通辽）数学活动课上，某小组将一个含45。的三角尺和一个正方形纸板ABCE＞如图1摆放，

若AE=1,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转e（0啜h90。）角，观察图形的变化，完成探究

活动.

【初步探究】

如图2,连接BE,。户并延长，延长线相交于点G,3G交AD于点

问题1鸵和小的数量关系是—，位置关系是—.

【深入探究】

应用问题1的结论解决下面的问题.

问题2如图3,连接BD,点O是的中点，连接Q4,OG.求证Q4=OD=OG.

【尝试应用】

问题3如图4,请直接写出当旋转角a从0。变化到60。时，点G经过路线的长度.

F

GFGG

ADAD

BCBC

图2图3

28.(2024•扬州)如图，点A、B、M、E、方依次在直线/上，点A、6固定不动，且AB=2,分别

以AB、£F为边在直线,同侧作正方形ABCD、正方形EFGH,/PMN=90。,直角边恒过点C,直

角边恒过点H.

(1)如图1,若BE=10,EF=12,求点/与点5之间的距离；

(2)如图1,若跳：=10,当点M在点5、石之间运动时，求的最大值；

(3)如图2,若BF=22,当点石在点5、尸之间运动时，点M随之运动，连接C",点。是C"的中

点，连接HB、MO,则+的最小值为.

图1

29.（2024•青海）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

如图1,在四边形ABCE＞中，E、F、G、H分别是各边的中点.

求证：中点四边形EFGH是平行四边形.

证明：•:E、F、G、”分别是AB、BC、CD、的中点，

:.EF,GH分别是△口(?和△ACD的中位线，

:.EF=^AC,GH=^AC(®).

:.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

：,中点四边形£FGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

(1)请你补全上述过程中的证明依据①.

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状

A

不相等、不垂直平行四边形—।

AC=BD菱形

D：

---1

c

图2

从作图、测量结果得出猜想I：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.

(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

AC-LBD②

图3

(3)从作图、测量结果得出猜想n：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②.

(4)下面我们结合图3来证明猜想II,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【归纳总结】

(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

原四边形对角线关系中点四边形形状

③④r।।।।।।।

।।।।।।।।

।।।।।।।।

।।।।।।।।

।।।।।।।।

1-----+--1---1

।।।।।।।।

।।।।।।।।

।।।।।।।।

।।।।।।।।

L___L____X_____J___J______1___|___I

11111111

11111111

!__________________________!_____।_____<_____«

11111111

11111111

1_____L____1_____1_____1______1_____1______1

11111111

11111111

11111111

图4

结论：原四边形对角线③—时，中点四边形是④.

30.(2024•包头)如图，在nABCD中，NABC为锐角，点E■在边AD上，连接BE,CE,且％=SADCE.

(1)如图1,若尸是边BC的中点，连接所，对角线AC分别与3E,毋相交于点G,H.

①求证：〃是AC的中点；

②求AG:G〃:HC；

(2)如图2,助的延长线与CD的延长线相交于点“，连接AW,CE的延长线与AA1相交于点N.试

探究线段AM与线段AV之间的数量关系，并证明你的结论.

'M

六.切线的判定与性质（共1小题）

31.（2024•淮安）如图，在△MC中，BA=BC,以至为直径作交AC于点D,过点。作DE_LBC,

垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F.

（1）求证：OF为。。的切线；

（2）若BE=1,BF=3,求sinC的值.

七.三角形的内切圆与内心（共1小题）

32.（2024•绵阳）如图，在矩形MCD中，点E在A3上运动，△ADE的内切圆与DE相切于点G,将4

ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接当点E恰为的三等分点（靠近点A）时，且EG=百-1,

DG=y/5+l,贝UcosZABF^.

八.正多边形和圆（共1小题）

33.（2024•淮安）如图，点尸是正六边形ABCD跖的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF

上的点。处，经反射后恰好经过顶点C.已知正六边形的边长为2,则EQ=—.

九.圆的综合题（共4小题）

34.（2024•绵阳）如图，为△回（?的外接圆，弦CDLM,垂足为E,直径酬交CD于点G,连接

AF,AD.若AB=AC=5,BC=2旧.

（1）证明：四边形AZX苏为平行四边形；

（2）求变的值；

AD

（3）求sinNC4p的值.

By——、

35.（2024•德州）如图，圆。已与。C都经过A，6两点，点2在上，点。是人。25上的一点，连

接AC并延长交。。2于点P，连接钻，BC,BP.

(1)求证：ZACB=2/P；

(2)若ZP=30°,AB=273.

①求O。］的半径；

②求图中阴影部分的面积.

36.(2024•常州)对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后

与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.

(1)如图1,B、C、。是线段AE的四等分点.若AE=4,则在图中，线段AC的“平移关联图形”是一，

d=—(写出符合条件的一种情况即可)；

(2)如图2,等边三角形的边长是2.用直尺和圆规作出△回(?的一个“平移关联图形”，且满足d=2

(保留作图痕迹，不要求写作法)；

(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中，点。、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆

心，r为半径画圆.若对0G上的任意点尸，连接/宏、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，

且满足d..3,直接写出r的取值范围.

G

DE

ABCDEO-x

（图1）（图2）（S3）

37.（2024•广西）如图，已知0O是AABC的外接圆,=.点D,E分别是BC,AC的中点，连

接DE并延长至点/，使DE=EF,连接AF.

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；

（2）求证：AF与。。相切；

（3）若tan/BAC=—,BC=12,求0。的半径.

一十.作图一复杂作图（共1小题）

38.（2024•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

（/）线段AG的长为；

（〃）点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,AF

的延长线相交于点3,C,ZXABC中，点M在边BC上，点N在边上，点尸在边AC上.请用无刻

度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,尸，使△ACVP的周长最短，并简要说明点N,P

的位置是如何找到的（不要求证明）—.

一十一.翻折变换（折叠问题）（共5小题）

39.（2024•淮安）如图，在nABCD中，AB=2,BC=3,ZB=60°,尸是3c边上的动点（2尸＞1）,将

△形尸沿AP翻折得△的2，射线P8f与射线4）交于点E.下列说法不正确的是（）

A.当时，Bk=BE

B.当点夕落在AD上时，四边形A5P8是菱形

C.在点尸运动的过程中，线段AE的最小值为2

D.连接则四边形的面积始终等于LAPIB'

2

40.（2024•牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12cm,CD=Wcm,他进行了如下操作：

第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与BC重合，得到折痕MN,将纸片展平.

第二步，如图②，再一次折叠纸片，把AADN沿AN折叠得到△ADW,AO交折痕MN于点E,则线段E?V

的长为（）

24248

41.（2024•眉山）如图，在矩形MCD中，AB=6,BC=8,点£1在DC上，把AADE沿AE折叠，点。

恰好落在BC边上的点F处，贝Ucos/CEF的值为（）

42.（2024•自贡）如图，在矩形ABCD中，AF平分/朋C,将矩形沿直线砂折叠，使点A,3分别落

在边"＞、3c上的点4,8处，EF,A/分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=8,则3尸的长

为（）

A工B*C.巫D.5

992

43.（2024•常州）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是边AC的中点，E是边BC

上一点，连接BO、DE.将ACDE沿/走翻折，点。落在班）上的点尸处，则CE=.

44.（2024•徐州）如图，在wWCD中，AB=6,AD=10,NS4D=60。，P为边AS上的动点.连接PC,

将PC绕点P逆时针旋转60。得到PE,过点石作跖/〃