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文档简介
新题特训02中考热搜难点考点6。题
反比例函数综合题(共3小题)
1.(2024•绵阳)如图,在边长为4的菱形ABCD中,对角线AC与比)相交于点E,边他在x轴上,
k
440=60。,8(-1,0),点C在反比例函数y=—(AwO)的图象上.
X
(1)求点C,D,E的坐标及反比例函数的解析式;
(2)将菱形MCD向右平移,当点E恰好在反比例函数的图象上时,边3C与函数图象交于点尸,求点尸
2.(2024•淮安)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,
k.
与反比例函数y==(x>0)的图象交于点C.已知点A坐标为(-1,0),点C坐标为(1,3).
x
(1)求反比例函数及一次函数的表达式;
(2)点O在线段03上,过点。且平行于x轴的直线交AB于点E,交反比例函数图象于点尸.当
3.(2024•眉山)如图,在平面直角坐标系xOv中,一次函数〉=区+6与反比例函数y=—(x>0)的图象
X
交于点A(l,6),2(n,2),与X轴,y轴分别交于C,D两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若点P在y轴上,当AR4B的周长最小时,请直接写出点尸的坐标;
(3)将直线AB向下平移0个单位长度后与x轴,y轴分别交于E,b两点,当=343时,求a的值.
二次函数综合题(共9小题)
4.(2024•泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=加+法+3经过点4(3,0),与y轴交于
点3,且关于直线x=l对称.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当-1瓢词,y的取值范围是Oi/2-1,求f的值;
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点。作x轴的垂线交直线AB于点。,在y轴上是否存
在点E,使得以3,C,D,E为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明
理由.
5.(2024•济宁)已知二次函数y:办?+法+。的图象经过(0,-3),(-〃,c)两点,其中a,b,c为常数,
且">0.
(1)求a,c的值;
(2)若该二次函数的最小值是T,且它的图象与尤轴交于点A,B(点A在点3的左侧),与y轴交于
点C.
①求该二次函数的解析式,并直接写出点A,3的坐标;
②如图,在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P,过点P作尤轴的垂线,垂足为。,与直线AC交于
点、E,连接尸C,CB,BE.是否存在点尸,使也巫=士?若存在,求此时点尸的横坐标;若不存在,请
SrRP8
说明理由
备用图
7
6.(2024・广安)如图,抛物线?=-1%2+尿+°与无轴交于4,6两点,与y轴交于点C,点A坐标为(-1,0),
点3坐标为(3,0).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点尸是直线3C上方抛物线上一个动点,过点尸作x轴的垂线交直线BC于点。,过点尸作y轴的垂
线,垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值?若有最大值,求出最大值及此时P点的坐标;若没有
最大值,请说明理由.
(3)点M为该抛物线上的点,当NMCB=45。时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.
C)
A/0
7.(2024•东营)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=f+bx+c与无轴交于A(-l,0),B(2,0)两点,
与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点。在直线BC下方的抛物线上时,过点。作y轴的平行线交3C于点E,设点。的横坐标为人
QE的长为/,请写出/关于f的函数表达式,并写出自变量,的取值范围;
q
(3)连接AD,交8C于点F,求3里的最大值.
8.(2024•山西)综合与实践
问题情境:如图1,矩形陌VKL是学校花园的示意图,其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分
与线段至组成的封闭图形,点A,3在矩形的边上.现要对该花坛内种植区域进行划分,以种植不
同花卉,学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计:如图2,AB=6米,的垂直平分线与抛物线交于点P,与至交于点O,点尸是抛物线的
顶点,且尸0=9米.欣欣设计的方案如下:
第一步:在线段OP上确定点C,使44CB=90。,用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域,种植串串
红;
第二步:在线段CP上取点P(不与C,P重合),过点尸作AB的平行线,交抛物线于点O,E.用篱
笆沿DE,CF将线段AC,与抛物线围成的区域分隔成三部分,分别种植不同花色的月季.
方案实施:学校采用了欣欣的方案,在完成第一步△口(?区域的分隔后,发现仅剩6米篱笆材料.若要在
第二步分隔中恰好用完6米材料,需确定DE与CF的长.为此,欣欣在图2中以至所在直线为x轴,OP
所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题:
(1)在图2中画出坐标系,并求抛物线的函数表达式;
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长;
(3)种植区域分隔完成后,欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰,计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助
图2设计矩形四个顶点的位置,其中两个顶点在抛物线上,另外两个顶点分别在线段AC,BC±.直接
写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
LK
22
9.(2024•河北)如图,抛物线G:y=^-2x过点(4,0),顶点为Q.C2:y=-1(x-r)+|r-2(其
中f为常数,且,>2),顶点为尸.
(1)直接写出。的值和点。的坐标.
(2)嘉嘉说:无论f为何值,将C1的顶点。向左平移2个单位长度后一定落在C2上.
淇淇说:无论f为何值,C?总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
(3)当f=4时,
①求直线尸。的解析式;
②作直线///PQ,当/与C?的交点到x轴的距离恰为6时,求/与x轴交点的横坐标.
(4)设。与C?的交点A,B的横坐标分别为乙,乙,且引〈演,点〃在G上,横坐标为机(2鼓弧/).点
N在C2上,横坐标为强女0,若点M是到直线尸。的距离最大的点,最大距离为1,点N到直线尸。
的距离恰好也为d,直接用含f和沉的式子表示".
10.(2024•南充)已知抛物线yn-V+fcr+c与x轴交于点A(-1,0),5(3,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,点尸为线段OC上一点(不与端点重合),直线分别交抛
q
物线于点E,D,设面积为S1,APSE面积为,,求」的值.
*
(3)如图2,点K是抛物线对称轴与x轴的交点,过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点加,
N,过抛物线顶点G作直线///%轴,点。是直线/上一动点.求QM+QN的最小值.
11.(2024•连云港)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=or2+bx-l(a、b为常数,o>0).(1)若
抛物线与x轴交于4-1,0)、3(4,0)两点,求抛物线对应的函数表达式;
(2)如图,当少=1时,过点C(-l,a)、D(l,a+20)分别作y轴的平行线,交抛物线于点M、N,连接MN、
MD.求证:MD平分NCMN;
(3)当。=1,-2时,过直线y=x-l(瓒Jc3)上一点G作y轴的平行线,交抛物线于点H.若G”的
最大值为4,求b的值.
12.(2024•甘孜州)【定义与性质】
如图,记二次函数y="(X-bp+c和y=-a{x-+“5*0)的图象分别为抛物线C和C「
定义:若抛物线G的顶点Q(p,q)在抛物线C上,则称C1是C的伴随抛物线.
性质:①一条抛物线有无数条伴随抛物线;
②若G是。的伴随抛物线,则c也是G的伴随抛物线,即。的顶点尸(仇C)在G上.
【理解与运用】
(1)若二次函数y=-g(x-2)2+机和y=-g(x-ar+;的图象都是抛物线y=的伴随抛物线,则
m=,n=.
【思考与探究】
(2)设函数、=炉-2依+4Z+5的图象为抛物线C2.
①若函数>=-^+公+e的图象为抛物线c0,且C2始终是C。的伴随抛物线,求d,e的值;
②若抛物线与无轴有两个不同的交点(%,。),(尤2,0)(%<%),请直接写出王的取值范围.
备用图
三.三角形综合题(共4小题)
13.(2024•新疆)【探究】
(1)已知△ABC和△ME都是等边三角形.
①如图1,当点。在上时,连接CE.请探究C4,CE和CD之间的数量关系,并说明理由;
②如图2,当点。在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究。1,CE和CD之间的数量关系,并
说明理由.【运用】
(2)如图3,等边三角形中,AB=6,点E在AC上,(3=2/.点。是直线3。上的动点,连接
DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出
的长.
E
AA、AA
图1图2图3备用图
14.(2024•重庆)如图,在AABC中,AB=6,3c=8,点P为他上一点,过点尸作PQ//BC交AC于
点Q.设好的长度为尤,点P,。的距离为%,AABC的周长与AAPQ的周长之比为%.
(1)请直接写出为,分别关于尤的函数表达式,并注明自变量尤的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数必,%的图象;请分别写出函数M,必的一条性质;
(3)结合函数图象,直接写出必时x的取值范围.(近似值保留一位小数,误差不超过02)
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15.(2024•宁夏)综合与实践
如图1,在AABC中,80是NABC的平分线,BD的延长线交外角/C4M的平分线于点E.
【发现结论】
结论1:/4£8=NACB;
结论2:当图1中44cB=90。时,如图2所示,延长BC交钻于点尸,过点E作的垂线交陟于点G,
交AC的延长线于点则AE与EG的数量关系是—.
【应用结论】
(1)求证:AH=GF;
(2)在图2中连接F”,AG,延长AG交FH于点N,补全图形,求证:FN=NH+y/2AE.
16.(2024•吉林)如图,在△ABC中,NC=90。,4=30。,AC3cm,AD是△ABC的角平分线.动
点尸从点A出发,以上cni/s的速度沿折线AD-DB向终点3运动.过点P作PQ//A3,交AC于点Q,
以尸。为边作等边三角形PQE,且点C,E在尸。同侧.设点P的运动时间为f(s)Q>0),△PQE与△ABC
重合部分图形的面积为S(a/).
(1)当点尸在线段AD上运动时,判断△AP。的形状(不必证明),并直接写出AQ的长(用含f的代数
式表示).
(2)当点E与点。重合时,求f的值.
(3)求S关于t的函数解析式,并写出自变量f的取值范围.
四.正方形的性质(共1小题)
17.(2024•南通)如图,在RrZXABC中,ZACB=90°,AC^BC=5.正方形DEFG的边长为6,它
的顶点D,E,G分别在△ABC的边上,则BG的长为
五.四边形综合题(共13小题)
18.(2024•兰州)综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图,在4
ABC中,点、M,N分别为AB,AC上的动点(不含端点),且=
【初步尝试】(1)如图1,当△ABC为等边三角形时,小颜发现:将M4绕点〃逆时针旋转120。得到ME>,
连接BD,则MN=DB,请思考并证明;
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△MC中,AB=AC,ZBAC=90°,
AE1MN于点、E,交8C于点F,将M4绕点M逆时针旋转90。得到MD,连接ZM,DB.试猜想四边
形人说的形状,并说明理由;
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向:如图3,在△ABC中,AB=AC=4,44c=90。,连接3N,
CM,请直接写出BN+CM的最小值.
19.(2024•长春)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边△MC中,
AB=3,点M、N分别在边AC、3c上,且=试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运
动路径,进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②,过点C、M分别作MN、的平行线,并交于点尸,作射线钎.
在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:
(1)证明:AM=MP;
(2)NG4P的大小为度,线段长度的最小值为.
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③.小明收集了该房屋的相关数
据,并画出了示意图,如图④,△ABC是等腰三角形,四边形3CDE是矩形,AB=AC=CD=2^z,
NACB=30。.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点”在AC上,点N在上上.在调整
钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持40=QN.钢丝绳长度的最小值为一米.
20.(2024•泰安)综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识,某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠,如图1,把矩形纸片ABCD翻折,使矩形顶点3的对应点G恰好
落在矩形的一边CD上,折痕为防,将纸片展平,连结3G.砂与33相交于点H.同学们发现图形中
四条线段成比例,即竺=丝,请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由.
BGBC
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究,如图2,是平行四边形纸片ABCD的一条对
角线,同学们将该平行四边形纸片翻折,使点A的对应点G,点C的对应点”都落在对角线上,折痕
分别是3E和ZJF.将纸片展平,连结EG,FH,FG.同学们探究后发现,若FG//CD,那么点G恰
好是对角线的一个“黄金分割点”,即3G请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由.
21.(2024•山东)一副三角板分别记作AASC和ADEF,其中NABC=ND£F=90。,N」BAC=45。,
ZEDF=30°,AC=DE.作于点M,ENLDF于点、N,如图1.
备用图
(1)求证:BM=EN;
(2)在同一平面内,将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置,点C与点E重合记为C,点A与
点。重合,将图2中的ADCR绕。按顺时针方向旋转c后,延长用0交直线小于点P.
①当a=30。时,如图3,求证:四边形为正方形;
②当30。<&<60。时,写出线段MP,DP,CD的数量关系,并证明;当60。<1<120。时,直接写出线段
MP,DP,CD的数量关系.
22.(2024•吉林)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究过程:
【探究论证】
(1)如图①,在AABC中,AB=BC,BD±AC,垂足为点Z).若CD=2,BD=1,贝!I5AAsc=
(2)如图②,在菱形Ab。。中,AC=4,BD=2,则S菱形©B,。。,=
(3)如图③,在四边形£7朽”中,EG±FH,垂足为点O.
右EG—5,FH—3,则S四边形EFGH=
若EG=a,FH—bi猜想S四边形EFGH与。,b的关系,并证明你的猜想.
【理解运用】
如图④,在AMAK中,MN=3,KN=4,MK=5,点P为边MN上一点.小明利用直尺和圆规分四步
作图;
(i)以点K为圆心,适当长为半径画弧,分别交边KN,KM于点R,I;
(ii)以点P为圆心,依长为半径画弧,交线段于点T;
(iii)以点1为圆心,小长为半径画弧,交前一条弧于点R,点R,K在跖V同侧;
(iv)过点尸画射线根,在射线府上截取尸。=侬,连接KP,KQ,MQ.
请你直接与出S四边形MPK2的值.
23.(2024•盐城)如图1,E、F、G、H分别是5co各边的中点,连接AF、CE交于点M,连接
AG,CH交于点N,将四边形AMCN称为口ABCZ)的“中顶点四边形”.
A
M□:
图1图2图3
(1)求证:中顶点四边形AMOV为平行四边形;
(2)①如图2,连接AC、BD交于点O,可得M、N两点都在上,当口ABCD满足时,中顶点
四边形AMCN是菱形;
②如图3,己知矩形40CN为某平行四边形的中顶点四边形,请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边
形.(保留作图痕迹,不写作法)
24.(2024•日照)如图,以nABCD的顶点3为圆心,长为半径画弧,交BC于点、E,再分别以点4,
E为圆心,大于工AE的长为半径画弧,两弧交于点尸,画射线3尸,交AD于点G,交CD的延长线于点
2
H.
(1)由以上作图可知,N1与N2的数量关系是;
(2)求证:CB=CH;
(3)若钙=4,AG=2GD,ZABC=60°,求△3S的面积.
25.(2024•青岛)如图①,用△ABC中,ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,Rf△EDF中,ZEDF=90°,
DE=DF=6cm,边3c与fD重合,且顶点E与AC边上的定点N重合.如图②,△£/方从图①所示位
置出发,沿射线NC方向匀速运动,速度为lc〃z/s;同时,动点O从点A出发,沿AB方向匀速运动,速
度为2cm/s.EF与BC交于点、P,连接OP,OE.设运动时间为r(s)(0<f,,g).解答下列问题:
(2)设四边形PCEO的面积为S,求S与/的函数关系式;
(3)如图③,过点。作交AC于点Q,△AO”与△AOQ关于直线至对称,连接是
否存在某一时刻t,使PO//BH?若存在,求出f的值;若不存在,请说明理由.
26.(2024•甘孜州)如图,在四边形ABCD中,ZA=90°,连接过点。作6£_19,垂足为E,CE
交BD于点F,Z1=ZABC.
(1)求证:Z2=Z3;
(2)若N4=45。.
①请判断线段BC,的数量关系,并证明你的结论;
②若5C=13,AD=5,求跖的长.
27.(2024•通辽)数学活动课上,某小组将一个含45。的三角尺和一个正方形纸板ABCE>如图1摆放,
若AE=1,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转e(0啜h90。)角,观察图形的变化,完成探究
活动.
【初步探究】
如图2,连接BE,。户并延长,延长线相交于点G,3G交AD于点
问题1鸵和小的数量关系是—,位置关系是—.
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题.
问题2如图3,连接BD,点O是的中点,连接Q4,OG.求证Q4=OD=OG.
【尝试应用】
问题3如图4,请直接写出当旋转角a从0。变化到60。时,点G经过路线的长度.
F
GFGG
ADAD
BCBC
图2图3
28.(2024•扬州)如图,点A、B、M、E、方依次在直线/上,点A、6固定不动,且AB=2,分别
以AB、£F为边在直线,同侧作正方形ABCD、正方形EFGH,/PMN=90。,直角边恒过点C,直
角边恒过点H.
(1)如图1,若BE=10,EF=12,求点/与点5之间的距离;
(2)如图1,若跳:=10,当点M在点5、石之间运动时,求的最大值;
(3)如图2,若BF=22,当点石在点5、尸之间运动时,点M随之运动,连接C",点。是C"的中
点,连接HB、MO,则+的最小值为.
图1
29.(2024•青海)综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形,我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学
兴趣小组通过作图、测量,猜想:原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.
如图1,在四边形ABCE>中,E、F、G、H分别是各边的中点.
求证:中点四边形EFGH是平行四边形.
证明:•:E、F、G、”分别是AB、BC、CD、的中点,
:.EF,GH分别是△口(?和△ACD的中位线,
:.EF=^AC,GH=^AC(®).
:.EF=GH.
同理可得:EH=FG.
:,中点四边形£FGH是平行四边形.
结论:任意四边形的中点四边形是平行四边形.
(1)请你补全上述过程中的证明依据①.
【探究二】
原四边形对角线关系中点四边形形状
A
不相等、不垂直平行四边形—।
AC=BD菱形
D:
---1
c
图2
从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角线相等时,中点四边形是菱形.
(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上,写出后续的证明过程.
【探究三】
原四边形对角线关系中点四边形形状
不相等、不垂直平行四边形
AC-LBD②
图3
(3)从作图、测量结果得出猜想n:原四边形对角线垂直时,中点四边形是②.
(4)下面我们结合图3来证明猜想II,请你在探究一证明结论的基础上,写出后续的证明过程.
【归纳总结】
(5)请你根据上述探究过程,补全下面的结论,并在图4中画出对应的图形.
原四边形对角线关系中点四边形形状
③④r।।।।।।।
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图4
结论:原四边形对角线③—时,中点四边形是④.
30.(2024•包头)如图,在nABCD中,NABC为锐角,点E■在边AD上,连接BE,CE,且%=SADCE.
(1)如图1,若尸是边BC的中点,连接所,对角线AC分别与3E,毋相交于点G,H.
①求证:〃是AC的中点;
②求AG:G〃:HC;
(2)如图2,助的延长线与CD的延长线相交于点“,连接AW,CE的延长线与AA1相交于点N.试
探究线段AM与线段AV之间的数量关系,并证明你的结论.
'M
六.切线的判定与性质(共1小题)
31.(2024•淮安)如图,在△MC中,BA=BC,以至为直径作交AC于点D,过点。作DE_LBC,
垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F.
(1)求证:OF为。。的切线;
(2)若BE=1,BF=3,求sinC的值.
七.三角形的内切圆与内心(共1小题)
32.(2024•绵阳)如图,在矩形MCD中,点E在A3上运动,△ADE的内切圆与DE相切于点G,将4
ADE沿DE翻折,点A落在点F处,连接当点E恰为的三等分点(靠近点A)时,且EG=百-1,
DG=y/5+l,贝UcosZABF^.
八.正多边形和圆(共1小题)
33.(2024•淮安)如图,点尸是正六边形ABCD跖的边AB的中点,一束光线从点P出发,照射到镜面EF
上的点。处,经反射后恰好经过顶点C.已知正六边形的边长为2,则EQ=—.
九.圆的综合题(共4小题)
34.(2024•绵阳)如图,为△回(?的外接圆,弦CDLM,垂足为E,直径酬交CD于点G,连接
AF,AD.若AB=AC=5,BC=2旧.
(1)证明:四边形AZX苏为平行四边形;
(2)求变的值;
AD
(3)求sinNC4p的值.
By——、
35.(2024•德州)如图,圆。已与。C都经过A,6两点,点2在上,点。是人。25上的一点,连
接AC并延长交。。2于点P,连接钻,BC,BP.
(1)求证:ZACB=2/P;
(2)若ZP=30°,AB=273.
①求O。]的半径;
②求图中阴影部分的面积.
36.(2024•常州)对于平面内有公共点的两个图形,若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后
与另一个图形重合,则称这两个图形存在“平移关联”,其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.
(1)如图1,B、C、。是线段AE的四等分点.若AE=4,则在图中,线段AC的“平移关联图形”是一,
d=—(写出符合条件的一种情况即可);
(2)如图2,等边三角形的边长是2.用直尺和圆规作出△回(?的一个“平移关联图形”,且满足d=2
(保留作图痕迹,不要求写作法);
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,点。、E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆
心,r为半径画圆.若对0G上的任意点尸,连接/宏、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”,
且满足d..3,直接写出r的取值范围.
G
DE
ABCDEO-x
(图1)(图2)(S3)
37.(2024•广西)如图,已知0O是AABC的外接圆,=.点D,E分别是BC,AC的中点,连
接DE并延长至点/,使DE=EF,连接AF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)求证:AF与。。相切;
(3)若tan/BAC=—,BC=12,求0。的半径.
一十.作图一复杂作图(共1小题)
38.(2024•天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,F,G均在格点上.
(/)线段AG的长为;
(〃)点E在水平网格线上,过点A,E,尸作圆,经过圆与水平网格线的交点作切线,分别与AE,AF
的延长线相交于点3,C,ZXABC中,点M在边BC上,点N在边上,点尸在边AC上.请用无刻
度的直尺,在如图所示的网格中,画出点M,N,尸,使△ACVP的周长最短,并简要说明点N,P
的位置是如何找到的(不要求证明)—.
一十一.翻折变换(折叠问题)(共5小题)
39.(2024•淮安)如图,在nABCD中,AB=2,BC=3,ZB=60°,尸是3c边上的动点(2尸>1),将
△形尸沿AP翻折得△的2,射线P8f与射线4)交于点E.下列说法不正确的是()
A.当时,Bk=BE
B.当点夕落在AD上时,四边形A5P8是菱形
C.在点尸运动的过程中,线段AE的最小值为2
D.连接则四边形的面积始终等于LAPIB'
2
40.(2024•牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12cm,CD=Wcm,他进行了如下操作:
第一步,如图①,将矩形纸片对折,使与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平.
第二步,如图②,再一次折叠纸片,把AADN沿AN折叠得到△ADW,AO交折痕MN于点E,则线段E?V
的长为()
24248
41.(2024•眉山)如图,在矩形MCD中,AB=6,BC=8,点£1在DC上,把AADE沿AE折叠,点。
恰好落在BC边上的点F处,贝Ucos/CEF的值为()
42.(2024•自贡)如图,在矩形ABCD中,AF平分/朋C,将矩形沿直线砂折叠,使点A,3分别落
在边">、3c上的点4,8处,EF,A/分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=8,则3尸的长
为()
A工B*C.巫D.5
992
43.(2024•常州)如图,在RtAABC中,ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是边AC的中点,E是边BC
上一点,连接BO、DE.将ACDE沿/走翻折,点。落在班)上的点尸处,则CE=.
44.(2024•徐州)如图,在wWCD中,AB=6,AD=10,NS4D=60。,P为边AS上的动点.连接PC,
将PC绕点P逆时针旋转60。得到PE,过点石作跖/〃
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