浙江省中考数学总复习：锐角三角函数与解直角三角形（讲解篇）

第29讲锐角三角函数与解直角三角形

1.锐角三角函数的概念

考试

考试内容

要求

在aAABC中，NC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

A

d

BaC

正弦余弦正切C

sink=cosX=tank=

NA的对边aNA的邻边_bNA的对边a

斜边一c斜边一c/人的邻边一6

它们统称为NA的锐角三角函数

2.特殊角三角函数值

考试

考试内容

要求

三角函数30°45°60°

57/7a亚也

222

1

COSa亚亚

222

a

tana也14

3

函数的增减性：(0°〈a〈90。)

(1)sina,的值都随a增大而增大；

(2)cosa的值随a增大而减小.

3.解直角三角形

考试

考试内容

要求

解直角三在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.由

角形的定这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三

义角形.

在a△ABC中，ZC=90°,则:

(1)三边关系：a2+b2=c2；

解直角三⑵两锐角关系：ZA+ZB=90°；

角形的常

(3)边与角关系：sin\=cosQ=-,cos\=

c

用关系/

ba

cb

(4)sink+cosk—1.

RZa:

(1)已知斜边和一个锐角；

解直角三

(2)已知一直角边和一个锐角；

角形的题

(3)已知斜边和一直角边(如已知c和a)；

目类型

(4)已知两条直角边a、b.

三角形面积公式：SA=-1ah=1absir£.

拓展2

4.解直角三角形的应用常用知识

考试

考试内容

要求

在视线与水平线所成的角中，

线^视线

仰角和俯角T视线在水平线上方的叫仰角，

水平线

।视线视线在水平线下方的叫俯角.

坡面的铅直高度h和水平宽

a

度1的比叫做坡面的坡度(或

坡度和坡角I坡比)，记作i=h：1.

坡面与水平面的夹角叫做坡

角，记作a.1=tana,坡度

越大，a角越大，坡面越陡.

t

东北方向

北偏西60°指北或指南方向线与目标方

方向角（或方位角）向线所成的小于90。的角叫

V

做方向角.

南偏西4。「茸南偏东25'

考试

考试内容

要求

转化思想：

（1）在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两

条边的问题，这样就把新知识（求锐角三角函数值）转化为旧知识

（求直角三角形的边长），因此不可避免地用到勾股定理.若原题没

基本有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型（直角边

C

思想还是斜边），再运用定义求解.

（2）在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的

方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直

角三角形的有关知识解决问题.注意在画图过程中考虑一定要周

至IJ,不可遗漏某一种情况.

1.（2017•湖州）如图,已知在aAABC中,ZC=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值

是（）

A

34

4

5-3-

2.（2017•温州）如图，一辆小车沿倾斜角为a的斜坡向上行驶13米，已知cosa=—,

则小车上升的高度是（）

45米86米C.6.5米D.12米

3.（2016•宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10〃的A处测得

旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1处则旗杆高BC为〃（结

果保留根号）.

4.（2017•丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15〃，AB=2.70如ZBOD

=70°,求端点A到地面CD的距离（精确到0.1面.（参考数据：sin70°心0.94,cos7Q°

孱0.34,tan70°^2.75)

0=0

【问题】如图，在AABC中，AC=245,BC=2.

(1)若NC=7iYN,求sink；

⑵若NA=30°,求AB；

（3）通过（1）（2）解答，请你总结解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法.

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理三角函数的定义，以及解直角三角形的方法.

类型一锐角三角函数的概念

例1

«c.

（2015•丽水）如图，点A为Na边上的任意一点，作AC_LBC于点C,CDJ_AB于点D,

下列用线段比表示cosa的值，错误的是（）

BDBCADCD

A___TJ___r-----n___

BCABACAC

【解后感悟】本题是锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边

比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

■变式拓展

1.（1）（2015-山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,

则NABC的正切值是（）

亚1

42C

52-

（2）（2015•扬州）如图，若锐角AABC内接于。。，点D在。。外（与点C在AB同侧）,

则下列三个结论：①s力?NC>s力?ND；②cosNOcosND；③方a〃NC>3z?ND中，正确的

结论为（）

cD

A.①②D.①③

A/3i

2.在A〃\ABC中，NC=90°,AB=2BC,现给出下列结论：①5/侬=B-；②cosB=]；

③ta〃A=乎；@tanB=y[3,其中正确的结论是（只需填上正确结论的

序号）.

类型二特殊角的三角函数值

例2式子2cos30°—3n45°~\j（1—tan&O°~尸的值是（）

A.2小一2B.0C.2y[3D.2

【解后感悟】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二

次根式相结合.准确地记住一些特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记.

■变式拓式

3.(1)(2015•滨江)下列运算：57/230°-小—2小,Jl-71,2-2=—4,其中运

算结果正确的个数为（）

A,4B.3C,2D.1

（2）计算6为〃45°—2cos60°的结果是（)

A.4-73B.4C.5mD.5

(3)在aABC中，若SIT?A—1+(COSB—£)

2=0,则/C的度数是（)

A.30°B.45°C.60°D.90°

类型三解直角三角形的几何应用

例3（2015•湖北）如图，AD是AABC的中线，tan&=^,cosC=乎,AC=，1求:

(DBC的长；

(2)S7/7ZADC的值.

【解后感悟】本题运用的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解

题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，注意数形结合和转化思想的应用.

■变式拓展

4.⑴（2015•荆门）如图,在Z\ABC中,NBAC=7?叱,AB=AC,点D为边AC的中点,

DELBC于点E,连结BD,贝U3A/DBC的值为（）

A.-B.1C.2—yf3D.~

⑵如图，若AABC和4DEF的面积分别为S1、S2,则（）

17

A.B.Si=-S2C.Si=S2

5.如图，在4ABC中，ZA=30°，/B=45。，AC=2第，则AB的长为.

类型四解直角三角形中一个常见的模型

例4（2016•绍兴）如图1,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽

度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60〃到

达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2.

（1）求NCBA的度数;

⑵求出这段河的宽（结果精确到1必，备用数据镜5.41,$-1.73）.

B

【解后感悟】本题考查的是解直角三角形的应用一一方向角问题，正确标注方向角、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键；通过基本图形与实际问题的结合，揭示图形的基本数

量关系，利用方程思想求解.注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用.

如图1是基本图形，若c,D,B在同一直线上，且/ABC=4/,NACB=a,/ADB=

Xx

B，CD=a,AB=x,贝”有x=BD,tan3，x=CB•tana,------——=a,x=

tanatanp

a

111

tanatanB

变式为如图2,结论是x=[a[.

・变式拓展_______________

6.（2016•河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部

A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米

处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少

米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin31°-0.60,cos37°^0.80,taniV"0.75）

类型五解直角三角形的测量问题

例5（2016•黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和

BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角ZBAF=30°,

ZCBE=45°.

⑴求AB段山坡的高度EF；

⑵求山峰的高度CF.（m仁1.414,CF结果精确到米）

【解后感悟】本题考查了解直角三角形的应用一一斜坡问题：解题涉及到的量是坡度与

坡角，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜

坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=h：1的形式.把坡面与水平面的夹角a叫做坡

角，坡度i与坡角a之间的关系为：i=tana.

■变式环式_______________

7.（1）（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，

在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13

米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i

=1：2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据：57/736°^0.59,cos36°«0.81,3〃36

-0.73)()

（2）（2017•绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得

教学楼顶部D的仰角为18。，教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距

①求/BCD的度数;

②求教学楼的高BD.（结果精确到0.10，参考数据：tan20°^0.36,加18°^0.32）

类型六解直角三角形的实际应用

例6如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角

ZBAC,当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的

长度如下：（单位：c而

伞架DEDFAEAFABAC

长度363636368686

p

⑴求AM的长；

⑵当NBAC=104°时，求AD的长(精确到1C0).

备用数据：57/752°^0.788,cos52°仁0.6157,tar&2°^1.2799.

【解后感悟】本题是解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角

三角形；注意把实际问题转化为数学问题.

■变式屈式

8.（2015•衢州）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第

5

二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60c灯长的绑绳EF,tana=-,则“人字梯”的顶

,•,Z

端离地面的高度人口是（)

AB*D।%

A.144B.18。anC.240cmD.360c0

9.（2017•台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧0B与墙

MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度/AOB为40°时,

车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：s力?40°仁0.64；cos40°«0.77；

•40°^0.84)

10.（2016•台州）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30c0,图1是一位

同学的坐姿，把他的眼睛B,肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的AABC,已知BC=

30cmAC=22c®/ACB=53°,他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由.（参考

数据：57/753°«0.8,cos53°^0.6,tan^°^1.3）

【课本改变题】教材母题一一浙教版八下，第82页

某学校的校门是伸缩门（如图1）,伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30

厘米.校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度

数从60°缩小为10°（如图3）.

问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：si而。^0.0872,cos5°g

0.9962,s/H0°-0.1736,coslO0«0.9848).

【方法与对策】解应用题的基本思路是构建数学模型.解题的关键是把实际问题转化为

数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原

成实际问题.这种题型是中考常用的考查方式.

【把一般三角形当作直角三角形来解】

如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得AA，B，。，使B，

与C重合，连结A'B,则tanZk'BCZ的值为.

AA'

BC⑺C

参考答案

第29讲锐角三角函数与解直角三角形

【考题体验】

1.A

2.A

3.(10^3+1)

4.作AEJ_CD于E,BF_LAE于F,则四边形EFBC是矩形，：0D_LCD,ZB0D=70°,

AE〃0D,AZA=ZB0D=70°,在Rt/XAFB中,VAB=2.7,.\AF=2.7Xcos70°~2.7X

0.34=0.918,.*.AE=AF+BC«0.918+0.15=1.068-1.Im,答:端点A到地面CD的距离

是1.Im.

【知识引擎】

BCx

【解析】(1),.•AB2=AC2+BC2,；.AB=4,VsinA=—,.*.sinA=-；⑵作CD_LAB,

ADZ

交AB于点D.；NA=30。，.-.CD=ACsin30°=4,AD=ACcos30°=3,VCDXBD,ABD

=1,.-.AB=AD+BD=4.(3)解一般三角形的思路：一般三角形转化为直角三角形；解直角

三角形的方法：利用方程思想，借助勾股定理、三角函数等关系求解.

【例题精析】

例1VAC±BC,CDXAB,Za+ZBCD=ZACD+ZBCD,AZa=ZACD,cosa

cos/ACD=*=第=%，只有选项C错误，符合题意，故选：C.

DLADAL

例2原式=2X2—1——1)=，^一1—，^+1=0.故选8.

例3

、历

(1)过点A作AE±BC于点E,VcosC=^~,：.ZC=45°,在7?tAACE中，CE=AC•cosC

=1,.•.AE=CE=1,在放AABE中，.B/唬4，BE=3AE=3,，BC=BE+CE=4；

⑵：AD是AABC的中线，.,.CD=1BC=2,.-.DE=CD-CE=1,VAEXBC,DE=AE,ZADC

=45。，j/ADC邛

例4

(1)由题意得,NBAD=45°,ZBCA=30°,AZCBA=ZBAD-ZBCA=15°；(2)

BD

作BDmA交CA的延长线于D,设BD=x〃，..ZBCA=3。。，...CDnwkn/x,..ZBAD

60

=45°,；.AD=BD=x,则［5X—X=60,解得*=于薪=30(m+1)弋82,答：这段河的

宽约为82®.

例5(1)作BH±AF于H,如图，在7?fAABH中，VS77?ZBAH=—,.*.BH=800•s/〃30°

=400〃/.EF=BH=400ffl；答：AB段山坡的高度EF为400米.(2)在七4CBE中，'Zsin

ZCBE=—,CE=200•sin^0=100A/2141.4(®),/.CF=CE+EF=141.4+

n(.V

400仁541®.答：山峰的高度CF约为541米.

例6

(1)由题意,得八41=八£+D£=36+36=72(。血.故人11的长为72谶；(2)：AP平分NBAC,

NBAC=104°,.\ZEAD=|zBAC=52°.过点E作EG_LAD于G,：AE=DE=36,；.AG=DG,

AD=2AG.在4AEG中，：/AGE=90°,：.AG=AE•cosZEAG=36•cos520===36X0.6157=

22.1652(caz),/.AD=2AG=2X22.1652^44(CTB).故AD的长约为44M.

【变式拓展】

1.(1)2?②D2.②③④3.⑴2(2)2?⑶〃4.⑴/(2)C5.3+^3

6.在AtZ\BCD中，BD=9米，ZBCD=45°,贝!JBD=CD=9米.在AYZkACD中，CD=9

米，ZACD=37°,贝UAD=CD•tar&V七9X0.75=6.75(米).所以，AB=AD+BD=15.75

米，整个过程中旗子上升高度是：15.75—2.25=13.5(米)，因为耗时45s,所以上升速度v

175

=喂=0.3(米/秒).答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.

45

7.(1)/(2)①过点C作CE_LBD,则有NDCE=18°,ZBCE=20°,AZBCD=ZDCE+

ZBCE=18°+20°=38°；

D

A«

②由题意得：CE=AB=30®,在7?tACBE中，BE=CE•tan2Q°F0.