浙江省金华十校2022-2023学年高二年级上册数学期末试卷（含答案）

浙江省金华十校2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单选题

1.直线四久+y—2=0的倾斜角为（）

2.已知空间向量五=（2,1,n）,B=（一1,2,1）,若五与石垂直，则门为（）

A.0B.1C.2D.-2

3.已知抛物线C：y2=2p久（p>0）的焦点为F,过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q,若△PQF是

边长为4的正三角形，则p=（）

A.1B.2C.3D.4

4.圆Ci：x2+y2—4）圆C2：（x—3）2+（y—4）2=49,则两圆的公切线有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

5.桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁.桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门

架和中间横撑架以及桥面系组成.下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中

6.小芳“双11”以分期付款的方式购买一台标价6600元的笔记本电脑，购买当天付了2600元，以后的八个月，

每月11日小芳需向商家支付500元分期款，并加付当月所有欠款产生的一个月的利息（月利率为2%）,若12

月算分期付款的首月，则第3个月小芳需要给商家支付（）

A.550元B.560元C.570元D.580元

7.有以下三条轨迹：

①已知圆2：（工+1）2+产=9,圆B：（%-I）2+y2=1,动圆P与圆A内切，与圆B外切，动圆圆心P

1

的运动轨迹记为Cl；

②已知点A,B分别是x,y轴上的动点，0是坐标原点，满足MB|=4,AB,AO的中点分别为M,N,

MN的中点为P,点P的运动轨迹记为C2；

③已知2（-5,0）,B（5,0）,点P满足PA,PB的斜率之积为点P的运动轨迹记为C3.设曲线Ci，C2,C3

的离心率分别是ei，e2,e3）则（）

A.<e2<e3B.ex<e3<e2C.e2<e1<e3D.e3<e1<e2

8.已知数列｛an｝是各项为正数的等比数列，公比为q,在国，a2之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记

公差为心，在。2,之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d2,…，在与，册+1之间插入n个数，

使这n+2个数成等差数列，公差为dn,则（）

A.当0<q<l时，数列｛&J单调递减

B.当q>l时，数列包„｝单调递增

C.当心>42时,数列｛%｝单调递减

D.当］<d2时,数列｛dn｝单调递增

二、多选题

9.已知双曲线斗—萼=1，则（）

A.渐近线方程为y=±|xB.焦点坐标是（土房，0）

C.离心率为卓D.实轴长为4

10.自然界中存在一个神奇的数列，比如植物一年生长新枝的数目，某些花朵的花数，具有1,1,2,3,5,8,

13,21……，这样的规律，从第三项开始每一项都是前两项的和，这个数列称为斐波那爽数列.设数列｛an｝为

1=

斐波那契数列，则有an+斯+ccn+2（neN+）,以下是等差数列的为（）

A.。2021，02022，02023B.«2021>«2023，02024

C-S2021，S2022，S2023D.S2021，S2023，S2024

11.已知平行六面体4BCD—的所有棱长都为1,^BAD=60°,设乙4MB=a,乙%/W=0.（）

A.若a=6=90。，则直线4CJ■平面CiBD

B.若a=0=90。，则平面2BCD1平面

C.若a=6=60。，则直线ACJ■平面BDDiBi

D.若a=/?=60°,则平面ABBrAr1平面ABCD

12.已知椭圆竽+哙=1的左右焦点分别为Fi，F2,过七的直线交椭圆于4（%I，yi）,B3,%）两点，设

\BF2\=\AF2\=a2,\AFr\=a3,|B%|=a"已知4，a2,（13成等差数列，公差为d,则（）

2

B.若d=1,则/=称

A.d2＞。3，。4成等差数列

C.%2—3久1D.y2=3yi+2

三'填空题

13.直线53x-4y-5=0,直线％：3x-4y+4=0,贝％,之间的距离是

a

14.数列｛%J满足=°，n+i-an=2n,则与=

15.老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形ABCD,2B=8,BC=3（单位：m）,一边是以CD为直径的半

圆，另外一边是以AB为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点M到AB的距离是2小，要在庭院里种两棵树,

想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是m.

16.如图，已知平行四边形ABCD,AB=2,BC=4,乙4=60°,E、尸分别是2D、BC的中点.现将四边形CD”

沿着直线EF向上翻折，则在翻折过程中，当点A到直线BC的距离为遮时，二面角A-EF-D的余弦值

17.已知等差数列｛6｝，正项等比数列｛%｝，其中｛%｝的前n项和记为S”满足口=历=2,a3=b3,a5=S3.

（1）求数列｛an｝,｛0｝的通项公式；

（2）若“=anbn,求数列&｝的前n项和

3

18.圆C经过点4(1,2)与直线x+y-5=0相切，圆心C(a,b)的横、纵坐标满足a=2b(a〉0).

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线2：m％+2〉一3血一1=0交圆。于人，B两点，当|48|=旧时，求直线1的方程.

19.已知直线1过抛物线C：y2=4久的焦点F,与抛物线C交于4,B两点.

(1)若/的倾斜角为多求阿|；

(2)若在抛物线C上有且仅有一点P(异于A,B),使得PA1PB,求直线1的方程和相应点P的坐标.

20.在四棱锥P-4BC。中，AB||CD,AB1BC,AB=3,BC=CD=PD=2,Z.PDC=120°,PD与平面

4BCD所成角的大小为60。，点Q为线段PB上一点.

(1)若CQ||平面PAD,求学的值；

(2)若四面体Q—4BC的体积为孥，求直线与平面4QC所成角的大小.

21.已知数列｛aj的前n项和为Sn,且即，曲;，an+i(nCN*)成等比数列.

(1)若｛aj为等差数列，求由；

(2)令+是否存在正整数k，使得以是2+1与以+2的等比中项？若存在，求出所

有满足条件的ai和k,若不存在，请说明理由.

22.已知双曲线C：圣一，=«>0,b>0),斜率为1的直线过双曲线C上一点火2亚机)交该曲线于

另一点B,且线段4B中点的横坐标为竽.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知点n)为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线6,且直线%均与圆/+

(y—n)2=l相切.设人与双曲线C的另一个交点为P,6与双曲线C的另一个交点为Q,则当|PQ|=8仞时,

求点M的坐标.

5

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】•.•直线gx+y-2=0的斜率k=-V3,设倾斜角为仇贝hane=—如

二直线8x+y-2=0倾斜角为等.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得出直线的倾斜角。

2.【答案】A

【解析】【解答】••那与石垂直，

a-b-2+2+n=0，解得n=0,

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出n的值。

3.【答案】B

【解析】【解答】由题知F弓，0),因为APQF是边长为4的正三角形，

所以|PF|=\QF\=\PQ\=4,

根据抛物线定义可知孙+3=4,即久p=4-令

所以yp2=2p(4-分故p(4—,+J2P(4-g)),所以Q(-与，±J2P(4-g)),

所以|QF|=>2+(土J2P(4—§))2=4,解得：P=2.

故答案为：B

【分析】由抛物线的标准方程得出焦点坐标，利用三角形APQF是边长为4的正三角形，所以|PF|=|QF|=

|PQ|=4,根据抛物线定义可知点P的坐标，进而得出点Q的坐标，再结合两点距离公式得出和已知条件得出

p的值。

4.【答案】B

【解析】【解答】圆的:x2+y2=4,圆心为0(0,0),半径门=2.

圆(x—3)2+(y—4)2=49,圆心为。2(3,4),半径/=7.

注意到圆心距|的。21=)32+42=5=「2—则两圆相内切，故公切线条数为1.

故答案为：B

6

【分析】利用已知条件结合两圆位置关系判断方法判断出两圆内切，再结合两圆的位置关系得出两圆公切线

的条数。

5.【答案】D

【解析】【解答】以E为坐标原点，EB,ED,EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=BH=a,

则2(”，—a,0),H(a,0,a),/(0,0,a),G(a,a,a),

AH—(0,a,a),IG—(a,a,0),

设直线AH与直线IG所成角为仇

|丽周_1(0,a,a,。)|__1

则cos0=\cos{AH,IG)\

\AH\'\IG\一&缶一福一2’

故直线AH与直线IG所成角的余弦值为去

【分析】以E为坐标原点，EB,ED,EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设ZB=BH=a,

从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线AH与直

线IG所成角的余弦值。

6.【答案】B

【解析】【解答】第3个月小芳需要给商家支付500+14000-2x500；x2%=560元.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合函数建模的方法得出第3个月小芳需要给商家支付的钱数。

7.【答案】A

【解析】【解答】①，设动圆圆心PQ,y),半径为r,

由题意可知：圆2：Q+1)2+产=9的圆心坐标做一1,0),半径门=3；

7

圆B：(%-1)2+产=1的圆心坐标B(l,0),半径「2=1；

由条件可知：|P2|=3-r,\PB\=1+r,所以|P4|+|PB|=4〉|AB|=2,

所以点P的轨迹方程为：与+唾=1(%。2)，则ei=J；

②设0),B(0,n),则—+小二也由中点坐标公式可得：M(等力N骋,0),所以MN的中点

P瑞,引，因为血2+小=16,所以点P的坐标满足(2x)2+(4y)2=16,也即C2：+/=所以e2=孚;

③设点PQr,y),由题意可知：人登,”(久。±5),

22

整理化简可得：否一书=1。。±5),所以Q=5,b=与，

则e3=Jl=H=孚,

所以03>e2>ei，

故答案为：A.

【分析】①设动圆圆心P(x,y)，半径为r,由题意可知圆a：(x+1)2+y2=9的圆心坐标和半径长，再利

用圆B：(久—1)2+y2=1得出圆心坐标和半径长，由条件可知：倒|=3—r,|PB|=1+r,所以|P4|+\PB\=

4〉丽=2,再结合椭圆的定义得出点P的轨迹方程为：竽+亭=1(无力2)，再结合椭圆的离心率公式得出

椭圆的离心率ei的值；

②设2(m,0),B(0,n),则62+n2=16,由中点坐标公式可得M,N的坐标，再结合中点坐标公式得出MN

的中点P的坐标，再利用源+层=16,所以点P的坐标满足(2x)2+出产=16,进而得出椭圆心:苧+y=1，

再结合椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率02的值；

③设点PQ,y),由题意结合两点求斜率公式可知的一餐=1(%。±5),进而得出a,b的值，再利用双曲线

的离心率公式得出的值，再结合比较法，所以63〉62〉ei。

8.【答案】D

【解析】【解答】数列｛&J是各项为正数的等比数列，则公比为q>0,

由题意即+1=与+("+1)%,得dn=等*=嚓W，

0<q<l时，dn<0,有细•=幽岁<1,dn+1>dn,数列｛%｝单调递增，A选项错误；

(2九十，

q>l时，*>0,驷=嘤块，若数列｛4｝单调递增，则迪津〉1，即q>陪，由九CN*,需要d

cl72?!十N71十/71+1Z

B选项错误；

山〉&2时，吗工>吗二2,解得Kg",

8

9〉1时，勰〉0,由细=噌裂,若数列｛41｝单调递减，则华块<1,即q(需=1+京，而l<q<|

U.77,71十乙〃十/il~rLil~r1L

不能满足q<1+急(nCN*)恒成立，C选项错误；

d-d2时，。式尸<」吗-1),解得0<q<l或q〉9,由AB选项的解析可知，数列｛“单调递增，D选

项正确.

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合等比数列的定义和等差数列的定义，再结合数列的单调性和恒成立问题求解方法，

进而找出正确的选项。

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】由双曲线方程为：车—萼=1，焦点在久轴，

4y

所以a=2,b=3,c=JQ2+按—^/13，

所以渐近线方程为y=±/=±%A符合题意，

焦点坐标为(±71m，0),B符合题意，

离心率为：6=£=手，C不符合题意，

实轴长为：2a=4,D符合题意，

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合双曲线的渐近线方程求解方法、焦点坐标求解方法、双曲线的离心率公式、双曲

线的实轴长求解方法，进而找出正确的选项。

10.【答案】B,D

+

【解析】【解答】由题意：an+an+1=an+2(neN),①

所以册+1+an+2=an+3(neN+),②

②一①得：CLn+2-an=Cln+3-an+2=>2an+2=«n+3+即，

所以数列与，an+2>/i+3或数列人+3,O-n+2>既成等差数列，

令n=2021,则02021，。2023，。2024成等差数列，B符合题意，A不符合题意，

由。几+%i+l—0n+2，

所以Sn+1-SJI-1=Sn+2—Sn+1=2Sn+1=Sn+2+Sn_i'

所以Sn_i，Sn+1，Sn+2成等差数列，

9

令71=2022,则S2021，$2023,$2024成等差数列，D符合题意，C不符合题意.

故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合斐波那契数列的定义，再结合递推公式变形和等差数列的定义以及等差数列的前n

项和公式，进而找出等差数列的选项。

11.【答案】B,C

【解析】【解答】对于4若a=/?=90。，碇・西=（京瓦+币7+中）•（西+近）

—+A^DB+A^D1-BC+A-^A-BB+A^A-BC

1

=0+1x1xcos60°+0+1x1xcos00+1x1xcosl80°+0=W0,

所以碇与西不垂直，又因为BCiu平面CiBD,

所以直线4C与平面CiBC不垂直，A不符合题意；

对于B,若a=/?=90。，则41414B,A^ALAD,又因为=且4B,ZDu平面2BCD,所以力1

平面ABCD,又因为u平面&ACCi，

所以平面2MCC11平面ABCD,B符合题意；

对于C,若a=§=60°,

因为BB=AiBi'BB1+A^D^'BB^+A^A'BB

=1x1xcos60°+1x1xcos60°+1x1xcosl80°=0,所以&C1BBX,

又因为否W•丽=（&B；+A1D1+A^A\（AD-AB'）

=A-^B^-AD-A^ByAB+A^D^-AD—A1D-^-AB+A-^A-AD—A^A-AB

=1x1xcos60°—1x1xcosO0+1x1xcosO0—1x1xcos60°+1x1xcosl20°—1x1xcosl20°=0,

所以41clBD,因为BDCBiB=B,BD,B]Bu平面

所以直线4C1平面BDD/i，C符合题意；

对于。，如图：连接&D,BD,取的中点E,连接/止，DE.

10

若a=6=60°,由题意可知：=BC=1,根据题意可知：DE1AB,ArE1AB，贝此为6。即为平面ABB^

与平面ABCD所成的二面角的平面角或其补角，

由题意可知：ArE=DE=^在△&ED中，由余弦定理可得：

AtE2+ED2—AIE2升最一11

cos^ED=11—=，爵西=W片仇所以平面ABBiAi与平面ABCD所成的二面角的平面角不

是直角，所以平面ABB/i与平面4BC。不垂直，D不符合题意.

故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合平行六面体的结构特征，再结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，进

而找出正确的选项。

12.【答案】A,B,C

【解析】【解答】A选项，由椭圆定义可知：＜21+(14=4,(22+(13=4，

又a1，a2,(23成等差数列，故a2=ai+d,a3=a1+2d,

则a2+=2al+3d=4,则%—2—贝1Ja2=2—CI3=2+；d,

3

又CI4=4—a1=2+

故。2+。4=2—■^•d+2+9d=4+d=2a3，A符合题意；

B选项，右d=1,此时IB&I==2，|4F21二。2=2，故|48|=3+2=2,且yi=—3y2,

设尸2(C，0),因为直线48斜率一定不为0,

设直线4B为“c+my，与孥+当=1联立得：

4b乙

(b2m2+4)y2+2cmb2y+b2(c2—4)=0,BP(b2m2+4)y2+2cmb2y-b4=0

mil_L2cmb2h4

则为+y2―京月，月丫2一"E’

因为yi=-3y2，所以口2=人;吗上人，3为=〃2，

,乙b27n2+4,2b27n2+4

联立解得3c2??12=房团？+4,故y+y=_^L,yy=—?

z1

’乙3cm八”3czmz

11

4b4,4M4b2Vl+m2

由弦长公式可得:\AB\=Vl+m2-

9c2m23c27n23cm

所以2b2d1+Hi?=3cm，平方得：4b4(l+m2)=9c2m2,

其中c2=4—h2,

故3(4—b2)m2=b2m2+4,解得：b2m2+1=3m2,即病—1

3-b2

2[1

由4b4(1+m)=9(4-属)血2可得：4b4(i+_J_)=9(4_矽_

整理得:4b6-16b4-9b2+36=0,即4b4(b2-4)-9(/-4)=0,

故(4/一9)32-4)=0,解得：房=9或〃=4,

因为a>b,所以房=4舍去，故房=看B符合题意；

C选项，设椭圆芸+*1(。>/)>0)上一点也如y0),其中椭圆左右焦点分别为％(—c,0),F2(C,0),

下面证明|M%|=a+ex0,\MF2\=a—ex0,

过点M作MAd_椭圆的左准线于点A,作MB,椭圆右准线于点B,

则有椭圆的第二定义可知：犒=^=6，

其中|K4|=%o+(,-

则|M%|=e(x0+^)=a+e久°，IMF2I=e(^--x0)=a-ex0<

故M&l=a—=2—e%i=2—彳1小故ex1=21(1,

\BF21=a—c%2=2—e%2=2—*d，故ex?=d，所以％2=35，C符合题意；

D选项，设直线48为％=c+my,由％2=3/得：c+my2=3c+3my19i^y2-3yr+—,D不符合题意.

故答案为：ABC

12

【分析】由椭圆定义可知四+。4=4,。2+。3=4和%,a2,成等差数列，再利用等差数列的通项公式和

等差数列的性质，从而判断出。2，。3，成等差数列；若d=l,此时IBF2I==/，|4尸2|=。2='|，再利

用两点距离公式得出|AB|的值且yi=-3为，设F2(C，0)，利用直线斜率一定不为0,设直线覆为％=。+四7,

再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出yi+乃一舞答月乃=-而鲁再利用力=

-3为，所以乃二b黑\，3光=1整+T联立方程结合韦达定理得出月+丫2=-毒，y，2=一点/

由弦长公式可得血2=小，由4b然1+m2)=9(4-62)小2可得〃的值，再利用a>b,进而得出满足要求的〃

的值；设椭圆,+方■=1(。>b>0)上一点MQo，y0),其中椭圆左、右焦点分别为％(—c,0),F2(c,0),

过点M作MA_L椭圆的左准线于点A,作MB_L椭圆右准线于点B,再利用椭圆的第二定义可知：|M%|=a+eK0,

|MF2|=a-ex0,进而得出ex1=加和ex2=^d,所以冷=3%i；设直线为久=c+my,由久2=3打得y?=

3+—,进而找出正确的选项。

八yim

13.【答案】|

【解析】【解答】由平行线间的距离公式可得：

6之间的距禺是d=了缶+苗=引

故答案为：!

【分析】利用已知条件结合平行直线求距离公式得出h，%之间的距离。

14.【答案】n2-n

【解析】【解答】因为即+i-册=2n,

所以a九—cin-i=2(n—1),

a九-1—an-2=2(n—2),

。3—。2=2x2,

。2—01=2x1,

累加得：M=2(n-1)+2(n—2)+…+4+2

(九

[2(71—1)+2]—1)-TL

故答案为：n2-n.

【分析】利用已知条件结合递推公式和累加法得出数列的通项公式。

13

15.【答案】2V7+4

【解析】【解答】根据题意可得，以AB的中点。为坐标原点，AB所在直线和AB的垂直平分线分别为%,y轴

建立如下图所示的平面直角坐标系，

由椭圆长轴2a=AB=8可得a=4,易知b=2,所以椭圆方程为g+=i,(y<0)；

根据题意可得当P点到圆心。1的距离最大时，。止的连线交半圆于Q,此时PQ距离最大;

22

设PQo，yo)，则兴+牛=1,(y0<0)>

易知|。/|=Jx02+(yo-3)2=J16-4y02+(yo-3)2=J-3(yo+1)2+28,

当y0=—1时，—3(y()+l)2+28取最大值28,所以|。止|〈国=2近，

贝l」|PQ|<\O1P\+R=2V7+4.

故答案为：2e+4

【分析】根据题意可得，以2B的中点。为坐标原点，AB所在直线和AB的垂直平分线分别为x,y轴建立平

面直角坐标系，从而得出半圆圆心坐标和半径长，由椭圆长轴得出a的值，进而得出b的值，从而得出椭圆标

准方程，根据题意可得当P点到圆心。1的距离最大时,。小的连线交半圆于Q,此时PQ距离最大，设PQ。，y0),

再结合代入法，则鬻+乎=1,(yo<o).再利用两点距离公式和二次函数的图象求最值的方法得出这个庭

院里相距最远的两点间距离。

16.【答案】|

【解析】【解答】连接BE、DF,取EF的中点0,连接OB、OD,

易知CE=CF=CD=2,且。E〃CF,则四边形CCEF为菱形，

易知NDEF=ADCF=60。，则四边形△DEF为等边三角形，所以，OD1EF,

同理可知。B1EF,所以，二面角A—EF—Q的平面角为NB。。=仇

因为。BCOD=。，OB、。。u平面。B£),所以，EF1平面。BD,

14

且。B=。。=2sin60°=V3,

以点。为坐标原点，OB、OF所在直线分别为尢、y轴，

平面ABFE内过点0且与平面ABFE的垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

贝U4(遮，-2,0)、B(遮，0,0)、D(V3cos0,0,遍sin。)、C(A/3COS0,2,V3sin6),

AB=(0,2,0)»BC=(V3cos0—V3,2,V3sin0),

所以点4到直线BC的距离为&=雨|2-(鬻£)2=4-(4)2

[18clJJ3(cos0—l)2+4+3sin20

=14-1-/=彳八g=V2,解得cos0-J.

\6cos1,3

故答案为：*

【分析】连接BE、DF,取EF的中点0,连接OB、OD,易知DE=CF=CD=2,5.DE//CF,则四边形CD”

为菱形，易知NDEF=NDCF=60。，则四边形△DEF为等边三角形，所以，OD1EF,同理可知OB1EF,所

以，二面角/—EF—D的平面角为NBOC=e,再利用线线垂直证出线面垂直，所以EFJ■平面OBC,再结合

正弦函数的定义得出OB的长，以点。为坐标原点，OB、OF所在直线分别为%、y轴，平面ABFE内过点。

且与平面ABFE的垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向

量的坐标，再利用数量积和勾股定理得出点A到直线BC的距离和已知条件得出二面角A-EF-D的余弦值。

17.【答案】(1)解：设等差数列｛an｝的公差为d,等比数列｛九｝的公比为q〉0；

利用基本量运算有2+2d=2q2,2+4d=2+2q+2q2>

因为｛既｝为正项数列，可得q=2,d=3,

71-1n

所以册=a1+(n—l)d=3n-1,bn=b1q=2；

即数列的通项公式为=3n-1,nEN+

数列出力的通项公式为既=2n,neN+

(2)解：由(1)可得金=(3n—1)2%

所以Tn=2x21+5x22+8x234-...+(3n-l)2n@

15

2T„=2x22+5x23+8x24+...+(3n-4)2"+(3n-1)2n+1②

②-①得：

1n+1

Tn=-2X2-3(22+23+...+2n)+(3n-l)2

411-2—1)

=-4-3x———~-+(3n-10+1=8+(3n-4)2n+1

1—z5

n+1

即数列｛4｝的前n项和7n=8+(3n—4)2

【解析】【分析】(1)设等差数列｛即｝的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q>0,再利用等差数列的通项公式

和等比数列的通项公式以及数列｛眺｝为正项数列，进而得出公差和公比的值，再结合等差数列的通项公式和等

比数列的通项公式，进而得出数列｛an｝的通项公式和数列｛九｝的通项公式。

(2)利用数列的通项公式和数列｛"｝的通项公式和cn=anbn,进而得出数列｛4｝的通项公式，再结合错

位相减的方法得出数列｛%｝的前n项和。

18.【答案】(1)解：设圆心坐标为C(2b,b),有(2b—氏+)—2>=(26^—5y.

V2

得b=1或一15(舍)，

所以(久一2>+(y—1)2=2.

(2)解：直线截圆所得弦长|2B|=e，而圆半径7?=应,

因此圆心(2,1)到直线/：巾％+2y-3巾一1=0距离为空

|2m+2—3m-1|_V5

所以d=得m――4.

Vm2+42

从而直线1的方程4久一2y-11=0.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值,

从而得出a的值，进而得出圆的标准方程。

(2)利用直线截圆所得弦长|4B|=遮得出圆的半径，再利用圆心(2,1)到直线2：mx+2y-3m-l=0

距离为李和点到直线的距离公式得出m的值，从而得出直线1的方程。

19.【答案】(1)解：因为直线/过焦点F(L0)且倾斜角为半故方程为了=遍(久-1),

与俨=4x联立消去y,得一10%+3=0,

设点A(X-[9丫1)，9、2)，由韦达定理得+%2=

所以+%2+P=竽・

(2)解：设直线I方程为x^ty+1,联立方程组消去尤得

y2—4ty—4=0,所以力+丫2=41，y/2=-4

设点P(%o，y())直线P4PB的斜率分别为后，七，由P/1PB得自/2=-1，

16

k=％=月一％)=4

因为14-X。y2y2yi+y0,同理七=有而

44o

所以七•k2=—+y0-—+y0=-1,化简得%+(yi+y2)yo+yi-y2+16=0

即%+4tyo+12=O,由已知方程只有一个解，故判别式△=16产-48=0,t=±V3

所以直线/方程为尤=gy+l相应的点P(3,-2V3)

或直线I方程为％=—V5y+1相应的点P(3,2V3)

【解析】【分析】(1)利用直线Z过焦点*1,0)且倾斜角为与和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而得

出直线方程为y=8(x-1),再利用直线与抛物线相交，设点4(%1，yQ,Bg,%)，由韦达定理和抛物线

的定义和两点距离公式得出AB的长。

(2)设直线/方程为％=ty+l,再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出力+及=43

yiy2=-4,设点PQo，处)直线P4PB的斜率分别为七，k2,由241PB结合两直线垂直斜率之积等于-1

和的=彳今，同理七=彳今，所以七/2=彳去二•彳M=—1,化简得羽+4tyo+12=O,由已知方程

71+70丫2+>071+70丫2十丫0u

只有一个解结合判别式法得出t的值,从而得出直线I方程为尤=V3y+1相应的点P的坐标或直线I方程为%=

-y/3y+1相应的点P的坐标。

20.【答案】(1)解：过点Q作QE||AB交AB于E,连接ED.

•••QE||AB,CD||AB,QE||CD,

••・四边形QEDC是平面四边形

又,••平面QEDCCI平面PAD=ED,CQ||平面PAD,COu平面QEDC,

CQ||ED,；.四边形QEDC是平行四边形，

:.QE=DC=2,而4B=3,于是盥=铭=卷

CD/iDD

(2)解：过P作P。，CD交CD的延长线于O,

•••APDC=120°,；.NPD。=60。，而P。=2,PO=2xsin60°=V3；

又•••PD与平面ABCD所成角的大小为60°,

则P到平面ABCD的距离为2xsin60。=W，即PO的长为P到平面ABCD的距离，

•••PO1平面4BCD.

以O为原点，。4,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

如图建立空间直角坐标系.

17

Z\

111

P-ABC~XPO=wX]X3x2XV3=W，

设四面体Q—ABC的高为h,由于QTBC=竽，所以备=g，

即需=|，所以器=摄

于是4(2,0,0),B(2,3,0),C(0,3,0),Q(|,1,竽),

•'•AC—(-2,3,0),AQ—(-可，11—,

设平面ZQC的一个法向量为元=(%,y,z).

—2%+3y=0

n•AC=

则0grt

n•AQ=0，—gx+y+竽Z=。'

令x=3,得五=(3,2,V3),又通=(0,3,0),

设直线与平面ZQC所成角为6,0°<0<90°,

\AB-n\_61

则sin0=

\AB\\n\—3x4-2,

e=30°,所以直线与平面AQC所成角的大小为30。.

【解析】【分析】(1)过点Q作QEII4B交于E,连接ED,利用QE||4B,CD||结合平行的传递性，

所以QE||CD,所以四边形QEDC是平面四边形，再利用CQ||平面PAD结合线面平行的性质定理证出线线平

行，所以CQIIED,所以四边形QEDC是平行四边形，进而得出器的值。

(2)过P作P。！CO交CD的延长线于O,利用NPDC=120。结合正弦函数的定义得出PO的长，再利用

PD与平面ABCD所成角的大小为60。和正弦函数的定义得出点P到平面ABCD的距离，从而得出P0的长为P

到平面4BCD的距离，所以P。！平面4BCD,以O为原点，OA,OC,0P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用三棱锥的体积公式

和已知条件，再结合平面的法向量求解方法得出平面2QC的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导

公式，进而得出直线与平面4QC所成角的大小。

21.【答案】(1)解：由已知得:2Sn=C1n,0„+1,

18

方法一：当n22时，2Sn_i=an_i•an,两式相减的2斯=an(an+1-册-1)，

因为册片。，所以当2时，即+i-即-1=2.

又由2Sn=an-an+1,当n=1时，a2-2.

若｛时｝为等差数列,则即+i—an_=2d,所以公差d=l,则的=1.

方法二：由2sH=an-an+1,当?i=1时，a2-2.

当n=2时，2s2=。2・。3,又。2=2,且数列｛%J为等差数列，

所以得的+2=。3=+2d,a1=1.

则与=①Sn=叫由，符合题意，所以的=L

(2)解：令g="2九—1+Wn，则，i=◎1+2()1—1)+2几=471+01-2,

42_Z0_2/c+42k+7

田鼠=Q+1-%+2佝(4k+的-2)2•3--3-=(4k+%+2)(4k+的+6)•3--3-，

化间得3(4/c+%—2)2=(4k+的+2)(4/c+%+6).

令4/c+%=3则3«—2)2=(t+2)(t+6)解得七=0或七=10,

因为ZeeN*,的>0,所以4k+“1=0无解，

4k+%=10得:｛忆;或用二

【解析】【分析】(1)由已知得：2Sn=%ran+i，方法一：再利用治,即的关系式和分类讨论的方法和等差数

列的定义，进而得出等差数列的公差的值，从而得出等差数列的首项的值；方法二：由2Sn=a"an+i结合分

类讨论的方法和等差数列的通项公式，进而结合等差数列前n项和公式得出公差和首项的值。

2

(2)令bn=a2n-1+«2n>则砥=4几+国一2,由,=ck+1-*+2化简得3(4k+ar-2)=(4k+的+2)(4k+

+6)，令4k+CZ1—t,则3(t—2)2=(t+2)(t+6),进而得出t的值,再利用kEN*,a】>0,所以4k+a1=

0无解，所以4k+%=10,再解方程得出的和k的值。

22.【答案】(1)解：因为4(2百，V3),且AB中点的横坐标为苧，所以坊)，

又因为直线AB的斜率为1,即=1,：,y=0,所以点B(遮，0),

V3-2V3"B

点4B坐标代入双曲线方程，得|胃胃，解得。2=3,炉=1,

1khi

所以双曲线方程为苧—y2=i.

另解：设4(打，yi),B(X2,y2)>由已知条件可得直线，：y-V3=x-2V3,

即y=x—V3,代入a―卷—1得Gb2—a2)%2+2V3a2%—3a2—a2/?2=0>

需满足△=4a2/(3+b2-a2)>0,所以/+外=挛*，

a乙一b乙

19

由于线段AB中点的横坐标为挛，令胡吟=3百，得。2=3公，①

又双曲线C过（2V^,V3）,得，—今=1，（?）

由①②得。2=3,〃=1，满足△〉（），所以双曲线方程为^—y2=1.

（2）解：由题意可知ma的斜率存在，且互为相反数，

点ri）为双曲线C上一点且位于第一象限，故zn〉l,n>0>

：

设直线。的斜率为k,则%的斜率为―匕则=：y—n=fc（x—m）,Z2y—几=一k（%—租）.

\km\《

Z1与圆%2+0-九）2=1相切，于是圆心（0,八）到。的距离为而匚=1,

得人=与

y