浙江省台州市2023-2024学年高二年级上册数学1月期末质量试卷

浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求）

1.直线y=2%-1的斜率等于（）

A.-1B.1C.2D.-2

2.若双曲线耳一脚=l（m>0）的离心率为2,则实数（）

LN

A.2B.2V3C.4D.16

3.若空间向量a=（L0,1）,6=（2,1,2）,则a与b的夹角的余弦值为（）

A.1B.孚C.孥D.-1

4.已知等差数列｛an｝OiCN*）的前n项和为治.若55=35,a4=3a1；则其公差d为（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.如图，在平行六面体4BCD—中，记ZB=a,AD=b,AD1=c,贝！=（）

A.a+b—cB.—a+b+cC.—a+b+cD.—CL-b+c

6.人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述

运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列｛册｝SEN*）,

，Ctrl

ax=m（zn为正整数），an+1=2'斯''若则血所有可能的取值的和为（）

、3an+La。为奇数.

A.16B.18C.20D.41

7.已知抛物线C；y2=2p%（p>0）的焦点为凡A,B两点在抛物线C上，并满足於=3而，过点4作x轴

的垂线，垂足为M,若|FM|=1,则p=（）

A.1B.1C.2D.4

1

8.在空间四边形2BCD中，AB-BC=BC-CD^CD-DA=DA-AB,则下列结论中不一定正确的是（）

A.AB+BC=-（CD+~DA）B.AB2+BC2=CD2+DA2

C.AABDSADCAD.AC1BD

二'多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知数列｛an｝和｛bJSeN*）是等比数列，则下列结论中正确的是（）

A.｛碎｝是等比数列B.｛斯+0｝一定不是等差数列

C.8““｝是等比数列D.｛册+现｝一定不是等比数列

10.已知a>—4且aHO,曲线C；£+些=1，则下列结论中正确的是（）

A.当a>0时，曲线C是椭圆

B.当一4<a<0时，曲线C是双曲线

C.当a>0时，曲线C的焦点坐标为（0,2）,（0,-2）

D.当一4<a<0时，曲线C的焦点坐标为（—2,0）,（2,0）

11.如图，在四面体4BCD中，E,F,G,"分别是4B,BC,CD,D4的中点，EG,相交于点则下列

A.4C〃平面EFGH

B.AC1BD

C.AM=^(AB+AC+AD^

D.若S,7分别为AC,BC的中点，则M为ST的中点

12.已知S={(%,y)|(x-2)2+(y—m)2=1,y>0}U{[x,y)|(x-2)2+(y+m)2=1,y>0],T=

((%,y)|y=P=SCT,则下列结论中正确的是()

2

A.当m=2时，SQ｛（%,y）ly=。｝=｛（2-,0）,（2+，°）｝

B.当m=2时，P有2个元素

C.若P有2个元素，则孚—1＜血〈字+i

D.当o（血〈字一1时，P有4个元素

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.点（1,2）到直线3久+4y—6=0的距禺为.

14.已知椭圆乌+"=19＞6〉0）的左右焦点分别为%,尸2〃为椭圆上的点，若NF1PF2=60°,\PFr\=

a乙b乙

2\PF2\,则椭圆的离心率等于.

71G

15.已知数列｛（2^+n）Qn+1+n+l）乂'*）的前n项和为5加当5„＞奈时，n的最小值是.

16.已知抛物线C『/=4y和C2；/=—8y.点P在C2上（点P与原点不重合），过点P作的的两条切线，切

点分别为4B,直线交。2于C,。两点，则黑的值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知圆C经过原点及点4（2,0）,B（0,2V3）.

（1）求圆C的标准方程；

（2）过原点的直线I与圆C相交于P,Q两点，若|PQ|=2,求直线I的方程.

18.已知数列5｝（nGN*）是公比不为1的等比数歹U,其前几项和为目.已知332a2,成等差数列,S3=26.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

3

(2)若％=(n+1)&，求数列｛4｝的前n项和

19.在长方体力BCO-Z/iCiOi中，ZB=4。=1.从①②这两个条件中任选一个解答该题.

①直线AB与平面AC%所成角的正弦值为多

②平面ABBMi与平面"小的夹角的余弦值为李

(2)E是线段(不含端点)上的一点，若平面为C1E1平面力QE,求弱的值.

4

20.如图，圆C的半径为4,/是圆内一个定点且|C4|=2,P是圆C上任意一点，线段4P的垂直平分线1和

半径CP相交于点Q,点P在圆上运动.

(1)求点Q的轨迹;

(2)当CP1C4时，证明：直线，与点Q形成的轨迹相切.

21.某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏

东为8的笔直公路，其中cose=3.摩天轮近似为一个圆，其半径为35m,圆心。到地面的距离为40m,其最高

点为44点正下方的地面B点与公路的距离为70m.甲在摩天轮上，乙在公路上.(为了计算方便，甲乙两人的

身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计)

（1）如图所示，甲位于摩天轮的4点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

22.已知双曲线刍一哙=i（a>0,b>0）的实轴长为2也直线x=2交双曲线于A,B两点，\AB\=2.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点M（2,3）,过点0）的直线1与双曲线交于P,Q两点，且直线MP与直线MQ的斜率存在,

分别记为心，心.问：是否存在实数3使得七+左2为定值？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由.

6

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由直线的斜截式y=k£+b可知y=2x—1的斜率为k=2.

故答案为：C.

【分析】利用直线的斜截式方程的参数的几何意义即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得，2解得血2=里

e=£i=zn!+i2=4,

aLm乙

又m>0,则TH=2.

故答案为：A.

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得：。2=血2力2=12，代入离心率计算公式e2=^|可得:

正妥=4,解方程可求出m的值.

m乙

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意，得cos<aj)=黑=°,,广</a=孥.

|a||b|V12+02+12XV22+12+223

故答案为：C.

【分析】利用空间向量夹角公式即可求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：由S5=乂叼：。5)=5。3=35,所以。3=7,又。4=3的，

••・解得｛*=；♦

+3a=3%Id=2

故答案为：D.

【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式.根据等差数列的性质可得：a3=7,再结合(14=3的

可得方程组：3d=:，解方程组可求出公差注

+3a=J4

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可得：D^C=D^D+DC=DC+AD-AD[=a+b-c.

故答案为：A.

7

【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据图形可得：D；C=D；D+DC，又因为可表示为D；。=AD-ADV

所以0；C=DC+AD-AD^将荏=a,AD=b,AD[=砒入上式可求出答案•

6.【答案】B

【解析】【解答】解：若。5=1，则由递推关系只能有。4=2,。3=4,有。2=8或。2=1，

当。2=8时，的=16；当a2=1时，的=2,

所以小所有可能的取值为16或2,16+2=18.

故答案为：B.

，CITI

【分析】本题考查数列的递推公式.若。5=1，则由递推关系即+1=乞‘°n'',只能有a4=2,=4,

3azi+1,Qn为奇数.

粤，0为偶数,

2n

再递推一次可得：。2=8或。2=1.当@2=8时，则由递推关系an+i=）,可求得Q1=16；

、3azi+1,小为奇数.

当（12=1时，则由递推关系即+1=|芋‘a"为偶数',可求得见=2,据此得出m所有可能的取值，进而得

（.3dn+1,为奇数.

出答案.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意得尸（与0）,

当过F的直线斜率不存在时，AF=FB,不合要求，舍去，

当过F的直线斜率存在时，设为y=k。-纷，联立C：V=2p%得，

k2x2—（2/c2P+2p）x+卜f=0，

设4（%i，yD凤％272），则％i%2=%

因为/F=3尸B,所以%i—刍=3（1一％2）,

又|FM|=1,故%1—刍=1,解得%i=l+2

故3怎-%2）=】解得%2=刍一/

故（1+引仁一羽=联解得p=l.

8

【分析】本题考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质.本题需要分过F的直线斜率不存在和存在两种情况.

当过F的直线斜率不存在时，AF^FB,不合要求；当过F的直线斜率存在时，设为y=k（x-乌）联立抛物线

可得：?=）。一’），消y可得：—（2k2P+2p）久+字=0,得到两根之积久1冷=《，根据向量比例关

y2-2px44

系羽=3而得到方程久1一号=3弓72），再结合伊叼=1求出％1=1+*工2=5V，代入勺工2=苧可得到

方程（1+引弓弓）=4,解方程可求出答案.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：依题意，AB+BC^AC^-CA（CD+DA）,A正确；

显然（荏+BC）2=（而+DA）2,即荏2+或2+2AB-JC=~CD2+DA2+2CD-DA,

因此屈2+前2=42+育2,B正确；

由前+而=^D=-DB=-（DA+AB）,同理得前2+42=砺2+荏2,

于是|诟|=|前荏|=|而|,由而•玩=玩•而，得阮•（荏+虎）=0,

由而•雨=雨・荏，得丽•（荏+反）=0,取BC中点。，连接C。并延长至E,

使OE=C。，连接B&DE/E,取4E中点尸，连接BF,CF,显然四边形BCDE为平行四边形，

贝I」而|=\BC\=\DE\.\AB\=\CD\=\BE\,BC//DE.CD//BE,

于是荏+求=方+丽=2丽，即有前•而=0,用•丽=0,贝I」BC1BF/。1BF,

DE1BF,而40CDE=D,AD,DEu平面ADE,则BF1平面ADE,又DFu平面ADE,

因止匕BF_LDF,BD=2OF=AC,而AB=。为公共边，所以△ABD也ADCB,C正确；

显然线段BC,CD不一定相等，而BF=VSE2-EF2=y/CD2-EF2,DF=y/BC2-EF2,

即直角三角形BFD的两条直角边不一定相等，F。与BD不一定垂直，又尸O〃AC,

所以不一定垂直，D错误.

故答案为：D.

【分析】本题考查空间向量的线性运算.根据向量的线性运算可得：而+前=而=-函=-（而+a）.对式

9

子荏+前=-(丽+市)两边同时平方可得：AB2+~BC2+2AB-JC=~CD2+DA2+2CD-DA,结合题目已知

条件可得：AB2+BC2=CD2+DA2;由阮+丽=丽=-砺=-(用+荏)，两边同时平方结合已知条件可

得：BC2+CD2=DA2+AB2,据此可推出瓦•(荏+比)=0,通过作图分析，利用给定等式结合垂直关系的

向量表示推理判断CD.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、设数列｛斯｝的公比为q,则等i=q,

an

口2

故」甲=/，所以｛碌｝是等比数列，A正确；

an,

B和D、设斯=l,bn=2,满足数列｛册｝和｛现｝("eN*)是等比数列，

所以册+既=1+2=3,故此时｛an+“｝是等差数列，也是等比数列，BD错误；

C、设数列｛斯｝的公比为q,数列｛"｝的公比为qi，

则咏华+1故｛a"bn｝是等比数列，C正确；

故答案为：AC.

zy

【分析】本题考查等比数列的定义和等差数列的的定义.设数列｛册｝的公比为q,则铲=q,故勺=q2,所

an鲸

以｛碎｝是等比数列；同理设数列｛6｝的公比为qi，则5+/+1=qq>故｛斯•％｝是等比数列CD选项通过举出

反例进行判断，设斯=1/n=2,满足数列｛陶和也｝(nCN*)是等比数列,所以an+,=1+2=3,故此时

｛斯+现｝是等差数列，也是等比数列.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、若a>0,则4+a>a>0,故曲线C是焦点在工轴上的椭圆，A正确；

B、若—4<a<0,则4+a>0,a<0,故曲线C是焦点在y轴上的双曲线，B正确；

C、a>0时，由A可得曲线C是焦点在x轴上的椭圆，C错误；

D、—4<a<0时，由B可得曲线C是焦点在y轴上的双曲线,

曲线。£+白1，可化为曲线。名Y

1，

双曲线C的半焦距为J4+a+(-a)=2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0),D正确.

故答案为：ABD.

【分析】本题考查椭圆方程，双曲线方程.对于AC,若a>0,则4+a〉a〉0,故曲线C是焦点在左轴上的

椭圆，故A正确，C错误；对于B,若—4<a<0,则4+a>0,a<0,故曲线C是焦点在y轴上的双曲线;

对于D,—4<a<0时，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，曲线。占+*=1，可化为曲线C：工—之=1，

4+aa4+a—a

10

可求出双曲线C的半焦距为j4+a+(-a)=2,进而得出双曲线的焦点坐标.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、因为瓦F分别是的中点，所以EF〃AC.

又因为EFu平面EFGH,4CC平面EFGH,所以4c〃平面EFGH,A正确；

B、由A可得，EF//AC,因为F,G分别是BC,CD的中点，所以FG〃BD.

由题中条件得不到EF与FG垂直，所以也得不到4C与BD垂直，B错误；

C、AM=AE+~EM=^AB+^EG=^AB+~(EF+FG)

1一11一111

=~yAB+(^-yAC+=2荏+4前+4港-碉

=^(AB+AC+AD),C正确;

D、因为7是BD的中点，所以后=々(荏+而).

又因为S是4c的中点，所以屈而，

所以万+屈港+前+而)=2AM,

所以M为ST的中点，D正确.

故答案为：ACD.

【分析】本题考查直线与平面平行的判定，异面直线垂直的判定，空间向量的线性运算.已知E,F分别是4B,BC

的中点，根据三角形的中位线定理可得：EF//AC,根据线面平行的判定定理可得4C〃平面EFGH；已知F,G

分别是BC,CD的中点，根据三角形的中位线定理可得：FG〃BD,又知EF〃/C,所以可将AC与BD的位置关

系转化为EF与FG的关系进行判断，又因为题中条件得不到EF与FG垂直，所以也得不到4C与BD垂直；

根据空间向量的线性运算即可判断C；已知

7是BD的中点，根据三角形中线向量公式可得：万=g(荏+而).又知S是4C的中点，所以荏近，两

式结合可得：AT+AS=^(AB+AC+AD)=2AM,据此得出“为S7的中点

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、加=，时,

(%-2)2+(y-1)2=l,y>0表示圆心为(2,4),半径为1的圆位于%轴上方的部分(包括%轴上的两点)，

由—2>+(0—■|')2=i得％=2+字或x-2—字,

故力(2—学,0),B(2+孚,0)，

2)2+(y+1)2=l,y>0表示圆心为(2,-义)，半径为1的圆位于左轴上方的部分(包括左轴上的两点)，

11

由(久一2)2+(0+4)2=1,解得久=2+孚或尤=2—孚，

同理可得4(2—亨,0)凤2+冬0)，

故S表示的部分如图所示，

{Q,y)|y=0}表示久轴，故sn{O，y)|y=0}={(2—^,0),(2+苧，0)}，A正确；

B、当TH=2时，(工一2)2+(y-2)2=1,由于圆心(2,2)到x轴的距离等于2,大于1,

整个圆位于%轴上方，

(%—2)2+(y+2)2=1,由于圆心(2,-2)到％轴的距离等于2,大于1,整个圆位于工轴下方,

故S表示的部分如图所示，

1__|2-1|_2通”

由于圆心(2,2)到y=2汽的距离万复一~5~<1，

故直线y=*久与圆(x—2)2+(y—2)2=1有两个交点，p有？个元素，B正确;

C、当771=0时，此时两圆圆心相同，半径相等，

此时S表示的部分如图所示，

此时直线y=去％与S有两个交点，而亨一1>0,C错误；

D、当0<771<孚—1时，

cr1Im—II2V5lm—II2店、

(%-2)2+(y-m)2=1,由于圆心(2,TH)到y=^x的距离为5T=5e)，

12

(x-2)2+(y+m)2=1,由于圆心(2,—m)到y=^x的距离为

|m+l|_275|m+l|e(等1),

■1^+^1二5

画出S表示的部分如图所示,

此时直线丫=/久分别与两圆交于两点，共4个交点,

所以P有4个元素，D正确.

故答案为：ABD.

【分析】本题考查点集，集合的交集运算和并集运算.A选项，当：m=*时，(%—2)2+(y—*)2=12表示

圆心为(21)，半径为1的圆位于X轴上方的部分(包括支轴上的两点)，(尤—2)2+(y+g)2=l,y20表示圆

心为(2,-★)，半径为1的圆位于工轴上方的部分(包括支轴上的两点)，进而可画出S表示的部分图形，求出

与工轴的交点坐标，可判断A选项；B选项，当血=2时，S为(久一2>+(y-2)2=1,由圆心(2,2)到丫=去

的距离小于半径得到有两个交点，进而判断选项；C选项，举出反例：当巾=0时，此时两圆圆心相同，半径

相等，画出S表示的图形，根据图形可得直线y=科久与S有两个交点，而孚-1>0；D选项,当o<m(字-1

rn1Im—II2V5|m—II2总、n

时，(%-2)2+(y-m)2=1,由于圆心(2,TH)到y=^x的距离为彳口=5G),(%-2)2+(y+

r1—|m+l|275|m+l|_,275一一

m)2=1,由于圆心(2,-血)到y="的距离为=---§---《.J),回出S表示的部分图形，结合

“J1+4

点到直线距离，数形结合得到答案.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：点P(l,2)到直线3久+4y—6=0的距离d=叱-回=t

V3乙+4，

故答案为：1.

【分析】利用点到直线的距离公式即可.

14.【答案】孚

13

【解析】【解答]解:由椭圆定义可得|PFi|+|P&I=2a,XlPFtl=2\PF2\,

故附1|=竽,仍尸2|=导

22

16a+4a_/1220a£_42

F1P|2+|F2P|2一尸1尸2|2—9'9_9

由余弦定理得COS^FPF=

122|FFHF2Pl,4a2a16a2

-9-

挈-族_1_16a2

故・

16a2=2'9

9

解黑=字故离心率为字

故答案为：字

【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.已知|P%|=2|P%I结合椭圆定义可求出IPFil=竽,四2|=冬再由余

|F1P|2+|F2Pl2—216a2

弦定理可得到方程C0S4%P4二同/=/代入数据化简后可得到方程懈—8c2=,，化

2|%PHF2Pl9

简后可求出离心率.

15.【答案】4

2几+111

【解析】【解答】解：由于(2汽+71)(2n+1+n+1)―2n+n—2«+l+n+l,

故Sn=ARA卷+…+1111

2n+n—2n+1+n+l~3~2n+1+n+l，

由%＞称，可得»2「+L+]＞茶，

即2n+1+n+1>20,由于2n+1+n+l,(nGN*)的值随n的增大而增大,

且n=3时，2n+1+n+l=20,n=4时，2n+1+n+l37>20,

故〃的最小值为：4.

故答案为：4.

2几+111

【分析】本题考查裂项相消求数列的和.观察可得：可将2+71+1)化为岛?一2"+i、+r利用裂项

求和法可求出SMSn=1-2W+I^n+1，又因为%＞茶，可得，，布—＞称再结合数列的单调性可得:

2n+1+n+l,(neN*)的值随n的增大而增大，利用单调性求解不等式，可得出答案.

16.【答案】辛

【解析】【解答】解：依题知直线AB的斜率存在且不为0,

14

B

ZT\^

设直线AB\y=kx+b,(kW0),21y2)，

e，.(y=kx+bmo

联乂［,_彳丫，得％之—4kx—4b=0,

贝必=16k2+16b>0,

+%2=4k

-%2=-4b，

设过Z点的切线方程为y-yi=fci(x-xi),

则1一二”£一刈)，得/—+4的久1—芯=0,

由A=16kj—16/c1x1+4%：=0,得ki=芬

故过A点的切线方程为y—yi=学(工一亚)，即y=^^一yi，

同理过B点的切线方程为y=芋-、2，

_xl+x2_07

联立得久一二—一/匕则点p(2k,—b),

.y=-b

则(2k)2=—8(—b),得卜2=2b,

设C(x3,y3),D(x4,y4)>

.ry=kx+b/口

联乂)c，得%?Q+8kx+8b=0,

(=2-8y

A=64/c2-32b>0,

t%3+%4=—8k

I%3•久4=8b'

\AB\=|x「Q|=Jl6k2+i6b=4改2+\=4闻=在

x2

|CD|k3-4lJ64k2—3264内2k2-4&同,

故答案为：点.

【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意可知直线ZB的斜率存在且不为0,据此设出直线2B方

程”依+从联立『［"心，得/-4日-4b=0,根据韦达定理可得：产+久2=普；联立『之了

得久2+8kx+8b=0,根据韦达定理可得：巴根据弦长公式可得解=告"，代入数据可求

I久3.%4=8b\CD\|%3一%4l

15

出答案.

17.【答案】(1)解：设原点为0,易知。4L0B,线段4B的中点为圆心，圆心坐标为(1,V3).

线段2B的长为圆C的直径，|2B|=4,半径r=2.

圆C的标准方程为(％—1尸+(y—V3)2=4

(2)解：①当直线/的斜率不存在时，直线I的方程为x=0,

令久=0,代入圆C的标准方程，

解得y=o或y=2V5,则|PQ|=2百，不符合题意.

②当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx,将其转化为一般式方程kx-y=0,

圆心到直线的距离为d,则4=1号=岳『=8，得(k—百)2=3(上2+1),

化简得k=Q或k=—即直线I的方程为y=0或y=—V3x

【解析】【分析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系.

(1)由0410B,可知线段4B的中点为圆心，线段的长为圆C的直径，利用两点间的距离公式可求出|AB|=

4,所以半径r=2,根据中点坐标公式可求出圆心为(1,V3),据此可写出圆的方程；

(2)分直线1的斜率是否存在进行讨论：当直线/的斜率不存在时，直线2的方程为x=0,

将直线方程久=0代入圆。的方程(久一1)2+(丫一8)2=4,解得y=0或y=2B，则|PQ|=2g,不符合题

意.；当直线1的斜率存在时，因为直线1经过原点，所以设直线/的方程为y=kx,利用圆的弦长公式可求出

d=卜_(竿)2==他又知圆心(1，遮)到直线kx-y=0的距离为d,可列出方程d==

V3,解方程可求出斜率k,进而写出直线1的方程.

18.【答案】⑴解：设等比数列｛斯｝的公比为q,由题意得：

2

3al+%=4a2，即3%+arq=4arq,

,・•内W0,得3+/=4q,解得q=1或q=3.

由于q=1不符合题意，因此q=3.

由S3=26得，的+做+。3=26,即13al=26,a1=2.所以a九二2•3n-1

n1

(2)解：由题意得，bn=(2n+l)3-,贝IJT九=3乂3°+5乂31+7*32+i+(2九一1)3九一2+(271+1)3九一1,

贝ij3T几=3X31+5X32+7X33+…+(2n-l)3n-1+(2n+1)3%

则一2T几=3x3。+2x(31+32+…+3九T)一(2n+1)3九=3+23。言一(2n+1)3%

则一2T九=3+3(3九t-1)-(2n+1)3九=-2n.3n,

n

Tn=n-3

【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.

(1)已知3a1，2“2以3成等差数列，所以3al+a3=4a2，将式子用和q进行表示，解方程组即可求解；

16

（2）由⑴可得:0n=2-3计］.所以“=（2n+l）3n-i,利用错位相减即可求出

19.【答案】（1）解：如图，以B点为坐标原点，以BC,BA,BBi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间

直角坐标系.

则B（0,0,0）,4（0,1,0）,C（l,0,0）,

z

，I

设Z&=a,则1/a),前=(L-1/0),=(1,0,a),

设平面/CDi的法向量元=力，zi).

n•AC=%i—Vi=0/3a曰［一(.\

t取％i=a,y\—a,z1=—1,贝！JTI—(a,a,—1J.

{n•AD1=+azi=0,

若选择条件①，AB=(0,-1,0),设直线4B与平面4CDi所成角为仇

则sin。=|cos(n,AB)\=口=奈

V2az+1J

解得a-2.即AA1=2.

若选择条件②，易知平面4BB1&的法向量为访=(1，0,0),

设平面ABB1A1与平面AC小的夹角为a,

EIIm-nIa2

则c°sa=|而前|=7^7=3^

解得a=2.A41=2

（2）解：由题（1）得，小（L1,2）,&（0,1,2）,g（L0,2）,西=（1,1,2）,存=（L—1,0）.

设丽=A^=（入，入，2人）（入H1）,贝（入，入，2人），袍=（入，入一1,2入一2）.

17

A1C1

设平面4C1E的法向量§=（X2，、2，Z2）J-S*yi0，取利=丫2=1,Z2=

G,A^E-A%2+（入—l）y2+（2入—2）z2=0，

搭,则3=（1，1，媛）

又ZE二（入，入一1，2Z）,AD=^1/0,0）,设平面4DE的法向量七=（对，丫3，^3）-

卜・ZE=-入%3+（入-1）丫3+2屹3=。，人1八97）1、

\_>令丫3=-2入，Z3=A.-1,贝!J£=（0,—2入，入-1）.

（t-AD=x3=0,

•.•平面&C1E1平面2DE,二§7=0,即一2入+J—=—2入+^^=0,

ZA-ZZ

解得人4所以弱T

【解析】【分析】本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，平面与平面垂直.

（1）以BC,BA,BBi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设44i=a,利用向量法求出平

面AC处的法向量,①直线AB与平面AC%所成角的正弦值为率代入直线与平面所成的角的公式可求出a=2；

②平面ABB1&与平面AC小的夹角的余弦值为易可知平面力BBMi的法向量为万=（1,0,0）,代入平面与平面

所成的角公式可得：如戊=|需露|=|五差意|=引解方程可求出a；

（2）设砺=入西=（入，入,2人）,（入片1）,求出平面4停止的法向量与平面ADE的法向量，已知平面4也止，平面

ADE,,在两个平面的法向量垂直可列出方程：—2入+（1-智目-D=—2入+亨=0,解方程可求出入的值，

ZA—ZZ

即可求出前RF的值.

20.【答案】（1）解：•・•|CP|=|QC|+|QP|=4,\QP\=\QA\,\QC\+\QA\=4.

因为应阴+应川〉心|=2.所以、与两个定点。，4的距离的和等于常数（大于［C4|）,

由椭圆的定义得，Q点的轨迹是以C,A为焦点，长轴长等于4的椭圆.

（2）解：以线段C2的中点为坐标原点。，以过点C,4的直线为久轴，以线段C4的垂直平分线为y轴，建

立平面直角坐标系Oxy,设椭圆的标准方程为4+"=l（a>b>0）,

a乙b乙

由椭圆的定义得：2a=4,即。=2；2c=2,即c=1.

则椭圆的标准方程为子+4=1.

43

当CP1C4时，P点的坐标为（一1,4）和（一1,-4）.

当P点的坐标为（—1,4）时，已知4点的坐标为（L0）,

线段P4的中点坐标为（0,2）,直线4P的斜率为土生=—2,

18

1（y=+2,2

直线/的方程y=±x+2,联立方程建y2_得3/+4&X+2）-12=0，

“匕+专=L

整理得/+2久+1=0,可得△=（）.

所以直线I与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线I与点Q形成的轨迹相切.

当P点的坐标为（-1，-4）时，同理可证.

【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系.

（1）已知P是圆C上任意一点，所以|。「|=及。|+及「|=4,又知线段4P的垂直平分线为/，所以|QP|=|Q4|,

结合|。「|=|<?。+及「|=4可得：|QC|+|Q4|=4,因为IQCI+IQ*>叱|=2,所以Q与两个定点C,A的

距离的和等于常数（大于|。川），根据椭圆的定义可得答案；

（2）以线段C4的中点为坐标原点0,以过点C,4的直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平

面直角坐标系。久y,求出椭圆的标准方程，当CPLC4时，P点的坐标为（-1,4）和（一1,-4）,求出直线Z的

ry=_51%+I2o,

方程与椭圆方程联立可得22，消y可得：/+2%+1=0利用判别式可得&=0,进而证明结论.

借+勺=1，

21•【答案】（1）解：如图所示，设公路所在直线为过B点作I的垂线，垂直为D,BD=70m.

因为圆的半径为35m,圆心。到地面的距离为40m,所以AB=75m.从甲看乙的最大俯角与乙4OB相等，由

题意得。AB1BD,则tanzADB==第=普.

（2）解：如图所示，设甲位于圆。上的R点处，直线。尸垂直于。4且交圆。于F点，射线OR可以看成是

射线OF绕着。点按逆时针方向旋转a角度得至IJ.过R点正下方的地面7点向/作垂线，垂足为S.当tanzRST取

得最大值时，乙RST即为从乙看甲的最大仰角.山题意得:

.,88.

35sina+40_7sina+7_7-y-sma

tanZ-RST=

“2-27—cos。―27—cosa

70—3or5cosa•,

8./

其中，一sma表示点（cosa,sina）和点（7,外构成的直线a的斜率，当直线a的斜率取得最小值时，tanzRST

7—cosa'

取最大值.因为点（cosa,sina）在单位圆％2+产=1上，所以当直线。与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小

19

值，设过点(7,外的直线方程为：y+,-7),即=解得卜=一14严,则直线a的斜率最

小值为T41严,代入可得tanZKST取最大值是今色1

【解析】【分析】本题考查解三角形，点到直线的距离公式，斜率公式.

(1)设公路所在直线为1,过B点作1的垂线，垂直为。因为圆的半径为35m,圆心。到地面的距离为40m,

所以2B=75m,由tanN4DB=黑，代入数据可求出答案；

(2)设甲位于圆。上的R点处，直线OF垂直于。力且交圆。于F点，射线OR可以看成是射线OF绕着。

点按逆时针方向旋转a角度得到.过R点正下方的地面T点向1作垂线，垂足为S.tanNRST取得最大值时,NRST

即为从乙看甲的最大仰角，tan乙RST=7,一河巴其中，土吧表示点(c°sa,sina)和点(73构成的直线a

27—cosa7—cosa