上海市第三女子中学2021-2022学年高二下学期期末线上评估数学试题(含详解)

2021学年第二学期期末高二年级数学学科线上评估试题时间：90分钟满分：100分一、填空题（每小题3分，共36分）1.已知等比数列的公比为q，若，，则公比q＝______．2.抛物线的焦点坐标是__________．3.若双曲线的一个焦点为，则实数__________．4.某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．5.圆关于直线对称的圆的方程为______．6.数列是公差d＝1的等差数列，如果，则______．7.已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则x＋y的最大值是________．8.已知，函数导数为．若，则实数______．9.已知数列满足，，则数列通项公式为________．10.若将方程化简为的形式，则___________.11.在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．12.操作变换记为，其规则为：，且规定：，n是大于1的整数，如：，，．根据以上规则，计算______．二、选择题（每小题3分，共12分）13.抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（）A.10 B.9 C.8 D.714.用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时，可表示为（）A. B.C. D.15.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.16.过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条三、解答题（共52分）17.已知数列前n项和为，和满足，，n>0．求数列的通项公式，并求的值．18.已知椭圆：的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点A、B，的周长为12．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积．19.已知，，函数的图像在原点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求函数在上的值域．20.某公司今年年初用900万元购进一批机器设备用来扩大生产，预计每年给公司带来300万元收入，为保证机器设备的正常生产，公司需要每年支付机器设备的维护费用，第一年需支付60万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加20万元，（1）记公司第n（）年支付的维护费用为，求数列的前n项和；（2）若该公司购进这批机器设备后的第k（）年的年平均利润最大，求k的值，并求出年平均利润最大值（单位：万元）．21.已知函数，．（1）若a＝1，求函数的严格增区间；（2）若函数在其定义域上没有驻点，求实数a取值范围．

2021学年第二学期期末高二年级数学学科线上评估试题时间：90分钟满分：100分一、填空题（每小题3分，共36分）1.已知等比数列的公比为q，若，，则公比q＝______．【答案】##0.25【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】解：因为数列为等比数列，且，则，解得.故答案为：.2.抛物线的焦点坐标是__________．【答案】【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.故答案为【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.3.若双曲线的一个焦点为，则实数__________．【答案】3【分析】根据双曲线方程即可得解.【详解】双曲线的一个焦点为，所以且，所以.故答案为：34.某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．【答案】【分析】利用导数求瞬时速度.【详解】由，得，当时，，故答案为：.5.圆关于直线对称的圆的方程为______．【答案】【分析】先求圆心关于直线的对称点，半径不变，可得圆的方程.【详解】圆的圆心为，半径为；圆心关于直线对称的点为，所以所求圆的方程为.故答案为：.6.数列是公差d＝1的等差数列，如果，则______．【答案】20【分析】利用等差数列的性质可求的值.【详解】因为是公差为1的等差数列，故：，故，故答案为：20.7.已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则x＋y的最大值是________．【答案】5【详解】令x＋y＝t，则问题转化为直线x＋y＝t与椭圆有公共点时，t的取值范围问题．由,去y得25x2－32tx＋16t2－144＝0，∴Δ＝(－32t)2－100(16t2－144)＝－576t2＋14400≥0，∴－5≤t≤5，∴x＋y的最大值为5.8.已知，函数的导数为．若，则实数______．【答案】-1【分析】由已知条件求出函数的导函数，令，即可求出的值.【详解】已知，则，又，所以当时，即时满足题意，故答案为：9.已知数列满足，，则数列的通项公式为________．【答案】【分析】由递推公式求得，即是等比数列，利用公式法写出其通项公式，即得数列的通项公式.【详解】由，，得，，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，即.故答案为：.10.若将方程化简为的形式，则___________.【答案】2【分析】根据双曲线的定义即可得到答案.【详解】方程表示点到，两点距离差的绝对值为6，∴轨迹为以，为焦点的双曲线，，，∴故方程为，∴.故答案为：2.11.在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．【答案】或【分析】根据原函数的图象可得导数的符号，从而可求不等式的解.【详解】由的图象可得的解为或，的解为.而即为或，故或，故答案为：或12.操作变换记为，其规则为：，且规定：，n是大于1的整数，如：，，．根据以上规则，计算______．【答案】【分析】利用归纳推理，列举前几项，归纳找规律，即可得到答案.【详解】由题意得:,,……当n为奇数时，；当n为偶数时，；∵2022是偶数,∴.故答案为:二、选择题（每小题3分，共12分）13.抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【分析】由抛物线的定义即可求解.【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10，则点到轴的距离是9.故选：B.14.用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时，可表示为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据和的表达式之间的关系进行求解即可.【详解】因为，，所以可以表示为，故选：C15.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数公式逐项判断即可.【详解】解：A项中，，故A项正确；B项中，，故B项错误；C项中，，故C项错误；D项中，，故D项错误.故选：A.16.过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为，联立，得①.当，即时，①式只有一个解；当时，则，解得；综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.三、解答题（共52分）17.已知数列的前n项和为，和满足，，n>0．求数列的通项公式，并求的值．【答案】，.【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系求得通项公式，再利用无穷等比数列前n项和公式求解.【详解】解：当时，，当时，由，得，两式相减得，即，又，所以是以1为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.18.已知椭圆：的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点A、B，的周长为12．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的几何性质结合离心率，利用待定系数法求解椭圆方程即可.（2）由（1）可得焦点、的坐标，利用点斜式得直线的方程，联立椭圆的方程和直线的方程，消去，求解的值，进而得到的值，利用即可求解.小问1详解】解：由题可知，的周长为12，即，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，又，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：由（1）得，则直线方程为，设,且，由消去，得，，则，所以，因为所以.即的面积为.19.已知，，函数的图像在原点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据导数的几何意义可得参数的值；（2）根据导数判断单调性，进而可得函数值域.小问1详解】由，得，，所以函数的图像在原点处的切线斜率为，又切线方程为，所以；【小问2详解】由（1）得，，令，得，，故单调递增极大值单调递减极小值单调递增，，，，所以函数在上的值域为.20.某公司今年年初用900万元购进一批机器设备用来扩大生产，预计每年给公司带来300万元的收入，为保证机器设备的正常生产，公司需要每年支付机器设备的维护费用，第一年需支付60万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加20万元，（1）记公司第n（）年支付的维护费用为，求数列的前n项和；（2）若该公司购进这批机器设备后的第k（）年的年平均利润最大，求k的值，并求出年平均利润最大值（单位：万元）．【答案】（1）（2）当或时，年平均利润取得最大值为万元【分析】（1）根据等差数列前项和公式求得.（2）先求得年平均利润的表达式，结合基本不等式求得年平均利润的最大值以及此时对应的值.【小问1详解】依题意，公差为，所以.【小问2详解】年平均利润为，当且仅当时等号成立注意到，经检验可知，或时，年平均利润取得最大值为万元.21.已知函数，．（1）若a＝1，求函数的严格增区间；（2）若函数在其