2025年医用高等数学题库

醫用高等数學題库第一章函数与极限1．

设

，求，并作出函数的图形。2．

设，，求，并作出這两個函数的图形。3．

设，求。4．

试证下列函数在指定区间内的單调性：（1）

（2）5．下列函数中哪些是是周期函数？對于周期函数，指出其周期：（1）

（2）6．设。试求下列复合函数，并指出x的取值范围。7．已知對一切实数x均有，且f(x)為單调增函数，试证：

8．计算下列极限：（1）

（2）（3）9．（1）设，求常数a，b。

（2）已知，求a，b。10．计算下列极限：（1）

（2）（x為不等于零的常数）（3）

（4）

（5）（k為正整数）11．计算下列极限：（1）

（2）（3）（4）（k為常数）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）12．當時，無穷小1-x和（1）（2）与否同阶？与否等价？13．证明：當時，有（1）（2）14．运用等价無穷小的性质求下列极限：（1）（n，m為正整数）（2）15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在：（1）（2）16．讨论下列函数的持续性：（1）的持续性（2）在x=0处的持续性17．设函数在[0，2a]上持续，,试证方程在[0，a]内至少存在一种实根。18．设函数在開区间（a，b）内持续，，试证：在開区间(a，b)内至少有一點c，使得（其中）。第二章导数与微分1．讨论下列函数在x=0处的持续性与可导性：（1）（2）2．设存在，求3．设，問a，b為何值時，在x=0处可导？4．已知，求及，并問：与否存在？5．证明：双曲线上任一點处的切线与两坐標轴构成的三角形的面积都等于。6．問當系数a為何值時，抛物线与曲线相切？7．求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲线在點处的切线方程和法线方程。9．用對数求导法求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）10．求下列隐函数的导数：（1）（2），求（3）（4）（5）11．求下列函数的n阶导数：（1）（2）（3）12．已知函数，求。13．若存在，求下列函数y的二阶导数：（1）（2）14．求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数：（1）（2）15．求下列函数的微分：（1）（2）（3）16．计算下列各式的近似值：（1）（2）17．求极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）18．确定下列函数的單调区间：（1）（2）（3）（a>0）（4）19．求下列函数的极值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）20．求下列函数图形的拐點及凹凸区间：（1）（2）（3）21．描绘下列函数的图形：（1）（2）（3）（4）22．要造一圆柱形油罐，体积為V，問底半径r和高h等于多少時，才能使表面积最小？這時直径与高的比是多少？23．一火車的锅炉每小時的耗煤费用与速度的立方成正比。已知當速度為每小時20公裏時，每小時花费的煤价為40元。至于其他费用每小時需200元。問當火車行驶的速度為多少時才能使火車從甲地到乙地的總费用最省？第三章不定积分1．求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．设有一曲线，在其上任一點处的切线斜率為，并知此曲线通過點（3，2），求曲线的方程。3．设有一通過原點的曲线，在其上任一點处切线斜率為，其中a為常数，且知其拐點的横坐標為，求曲线的方程。4．求下列不定积分：（1）（2）

（為常数）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）5．求下列各不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）6．证明下列各式：（1）（2）（3）（4）7．求下列各不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）与8．求下列各有理函数的积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．设是持续函数，求。10．假如的一种原函数是，证明：。11．求12．试确定常数A，B，使下式成立：第四章定积分及其应用1．比较下列各對积分的大小：（1）（2）（3）（4）（5）2．证明不等式：3．设（x>0），求4．（1）设，求（2）设，其中持续，求5．设，求6．设，求7．计算下列极限：（1）（2）（3）8．运用牛顿——莱布尼茨公式计算下列各积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．计算下列各积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）10．计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）11．运用分部积分法计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）12．运用函数的奇偶性计算下列积分：（1）（2）（3）13．下列各广义积分假如收敛，求其值：（1）（2）（3）（4）

（a>0）（5）（6）14．求面积：（1）求曲线与直线所围成的平面图形的面积。（2）求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。（3）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积。（4）求三次曲线与直线所围成的平面图形的面积。（5）求抛物线与直线之间的面积。15．已知塔高為80米，离它的顶點x米处的水平截面是边長為米的正方形，求塔的体积。16．一立体的底面為二分之一径為5的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体的体积。17．一立体的底面為由双曲线与直线所围成的平面图形。假如垂直于x轴的立体截面分别是：（1）正方形；（2）等边三角形；（3）高為3的等腰三角形；求多种状况的立体体积。18．直径為20cm，高為80cm的圆柱体内充斥压强為10的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小二分之一，問需要作多少功？第五章微分方程1．下列等式中哪些是微分方程？（1）（2）（3）（4）（5）2．說出下列微分方程的阶数：（1）（2）（3）（4）3．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）4．求下列微分方程满足所給初值条件的特解：（1）（2）5．用分离变量法求下列各微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）6．求下列齐次微分方程的通解：（1）（2）（3）7．求满足下列微分方程和初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）8．求解下列微分方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）9．质量為1kg的质點受外力的作用作直线运動，该力和時间成正比，和质點运動的速度成反比。在t=10s時，速度為45，力為4N。問從运動開始通過20s後的速度為多少？10．一桶内有100的水，現以浓度為2的盐溶液用3的速率注入桶内，同步，被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出。（1）求任一時刻t桶内盐的含量m；（2）何時桶内存盐100kg?11．设汽車A從原點出发，以固定速度沿y轴正向行驶，汽車B從以固定速度出发（），其速度方向永遠指向汽車A，求汽車B的运動轨迹。12．在某粘性液体中，一單位质點P受一力作用沿直线运動，该力与P點到原點O的距离成正比（比例系数為10），粘性液体的阻力与运動速度成正比（比例系数為3），求该质點的运動规律（运動開始時，质點P静止，距原點kcm）。第六章概率论初步1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本點：（1）一种口袋中有5只外形完全相似的球，编号分别為1，2，，，3，4，5，從中同步取3只球，球的最小号码為1。（2）在1，2，3，4四個数中可反复地取两個数，一种数是另一种数的2倍。（3）将a,b两個球随机地放到三個盒子中去，第一种盒子中至少有一种球。（4）10件产品中有一件废品，從中任取两件得一件废品。（5）两個口袋各装一种白球与一种黑球，從一袋中任取一球记下其颜色放入第二袋，搅匀後再從第二袋中任取一球，两次取出的球有相似的颜色。（6）反复掷硬币，掷了偶次後才第一次得到正面。2．在数學系學生中任选一名學生，令事件A表达被选學生是男生，事件B表达该生是三年级學生，事件C表达该生是运動员。（1）论述事件的意义。（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）什么時候关系式成立？（4）什么時候成立？3．将下列事件用A，B，C表达出来：（1）A发生（2）只有A发生（3）A与B都发生而C不发生（4）三個事件都发生（5）三個事件中至少有一种发生（6）三個事件中至少有两個发生（7）三個事件中恰好发生一种（8）三個事件中恰好发生两個（9）三個事件都不发生（10）三個事件中不多于二個事件发生（11）三個事件中不多于一种事件发生4．证明下列各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5．证明下列各式：（1）（2）（3）（4）6．一部五卷文集任意地排列到書架上，問卷号自左向右或自右向左恰好為12345的次序的概率等于多少？7．把一种表面涂有颜色的立方体等分為一仟個小立方体，從這些小立方体中任取一种，求所取小立方体有k面（k=0,1,2,3）涂有颜色的概率。8．甲從2，4，6，8，10中任取一数，乙從1，3，5，7，9中任取一数。求甲取的数不小于乙取的数的概率。9．在中国象棋的棋盘上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求他們恰好可以互相吃掉的概率。10．一批灯泡有40只，其中3只是壞的，從中任取5只检查。問：（1）5只都是好的概率為多少？（2）5只中有2只壞的概率為多少？11．一幢10层楼中的一架電梯在底层走上7為乘客。電梯在每一层都停，乘客從第二层起离開電梯，设没位乘客在每层离開都是等能的，求没有2為乘客在同一层离開的概率。12．一种班级有2n個男生及2n個女生，把全班學生任意的提成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率。13．公共汽車每隔五分钟有一辆汽車到站，乘客到汽車站的時刻是任意的。求一种乘客候車時间不超過三分钟的概率。14．平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分為边長為a的正方形。向平面任意地透二分之一径為r（2r<a）的圆，求此圆不与平行线相交的概率。15．在三角形ABC中任取一點P，证明：的面积之比不小于的概率為。16．两艘船都要停靠在同一码頭，它們也許在一昼夜的任意時刻抵达。设两船停靠的時间分别為1小時和2小時，求有一艘船要靠位必须等待一段時间的概率。17．把長為1的棒任意地折成三段，求：（1）三小段的長度都不超過a的概率。（2）三小段能构成一种三角形的概率。18．從装有a個白球及b個黑球的口袋中轮番摸取一球，甲先取，取後都不放回，直至两人中有一人取到白球為止。试給出描述這一随机現象的概率空间，并求甲或乙取到白球的概率。19．设為两個随机事件，证明：（1）（2）（3）20．在某都市中共发行三种报紙：甲，乙，丙。在這都市的居民中订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同步订甲，乙两报的有10%，同步订乙，丙两报的有5%，同步订三种报的有3%，求下列比例：（1）只订甲报的；（2）只订甲，乙两报的；（3）只订一种报紙的；（4）恰好订两种报紙的；（5）至少订一种报紙的；（6）不订任何报紙的。21．已知一种家庭有三個小孩，且其中一种是女孩，求至少有一种男孩的概率。（假设一种小孩為男或女是等也許的）22．设M件产品中有m件废品，從中任取两件。（1）在所取产品中有一件是废品的条件下，求另一件也是废品的概率；（2）在所取产品中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率。23．乒乓球盒中有15只球，其中9只是没有用過的新球。第一次比赛時任取3只使用，用毕返回。第二次比赛時也任取3只球，求次3只球全是没有用過的概率。24．某射手射靶五次，各次命中的概率為0.6，求下列各事件的概率：（1）前三次中靶，後两次脱靶；（2）第一，三，五次中靶，第二，四次脱靶；（3）五次中恰有三次中靶。25．一架轰炸机袭击1号目的，另一架轰炸机袭击2号目的，击中1号目的的概率為0.8，击中2号目的的概率為0.5，求至少击中一种目的的概率。26．一口袋中装有m個白球，n-m個黑球，持续不返回地從袋中取球，直到取出黑球為止，设此時取出了個白球，求的分布列。27．每年袭击某地的台風次数近似服從的普哇松分布，求（1）该地一年中受台風袭击次数<6的概率（2）一年中该地受到台風袭击的次数為7~9次的概率。28．一种射手射击了n次，每次射中的概率為p，设第n次射击是射中的，且為第次射中，求的分布列。29．设随机变量与的分布列為