2018年数学（北师大版选修1-2）练习34活页作业11反证法

活页作业(十一)反证法1．对反证法的理解，下列说法错误的是()A．命题条件不变，先假定结论错误，再推出矛盾B．要证“若p则q”，只需假设¬q为真，再推出矛盾C．要证“若p则q”，只需证“若¬q则¬p”D．要证一个命题为真，只需证其否命题为假解析：选项A，B，C均正确，用反证法证明命题时，是证明其否定为假，而D为证其否命题为假，故错误．答案：D2．用反证法证明命题“若a，b，c为不全相等的实数，且a＋b＋c＝0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是()A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数 D．a，b，c至多一个负数解析：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”．答案：B3．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是()A．四个内角都大于90° B．四个内角中有一个大于90°C．四个内角都小于90° D．四个内角中有一个小于90°解析：用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”，即为“凸四边形的四个内角都小于90°”．答案：C4．设a，b，c为正数，p＝a＋eq\f(1,b)，q＝b＋eq\f(1,c)，r＝c＋eq\f(1,a)，则下列说法正确的是()A．p，q，r都不大于2 B．p，q，r都不小于2C．p，q，r至少有一个不小于2 D．p，q，r至少有一个不大于2解析：(反证法)假设p，q，r三个数均小于2，即p＜2，q＜2，r＜2.则p＋q＋r＜6.①又p＋q＋r＝a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6，即p＋q＋r≥6，②∴①②矛盾，故假设不成立．∴p，q，r三个数至少有一个不小于2.答案：C5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________.解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②6．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的假设为________________________________________________.解析：反设的内容是假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数．答案：a，b，c都是奇数或至少有两个偶数7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线证明：假设直线BM与A1N共面．则A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN.又A1D1∥BC，所以BN∥BC．这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．8．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．证明：(1)因为a＋b≥0，所以a≥－b.由于函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)≥f(－b)．同理，f(b)≥f(－a)．两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题为若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.用反证法证明如下．假设a＋b＜0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＜0⇒a＜－b⇒fa＜f－b，,a＋b＜0⇒b＜－a⇒fb＜f－a.))所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾．故只有a＋b≥0，逆命题得证．1．要证明不等式eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可选择的方法有()A．分析法 B．综合法C．反证法 D．以上三种方法均可解析：用分析法证明如下．要证明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，需证(eq\r(3)＋eq\r(7))2＜(2eq\r(5))2，即证10＋2eq\r(21)＜20，即证eq\r(21)＜5，即证21＜25，显然成立，故原结论成立．综合法：∵(eq\r(3)＋eq\r(7))2－(2eq\r(5))2＝10＋2eq\r(21)－20＝2(eq\r(21)－5)＜0，∴eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5).反证法：假设eq\r(3)＋eq\r(7)≥2eq\r(5)，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以上证法中，可知三种方法均可．答案：D2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且当f(k)≥2k(k≥2，k∈N＋)时，总有f(k－1)≥2k－1成立，则下列命题为真命题的是()A．若f(1)≥2，则f(n)≥2nB．若f(4)＜16，则f(n)＜2nC．若f(4)≥16，则当n≥4时，f(n)≥2nD．若f(1)＜2，则f(n)＜2n解析：若f(1)＜2，假设f(n)＜2n不成立，则f(n)≥2n，根据递推条件得f(n－1)≥2n－1成立，f(2)≥22，f(1)≥2成立，与f(1)＜2矛盾，故假设不成立．故若f(1)＜2，则f(n)＜2n成立，即D是真命题．答案：D3．编号分别为1至6的六名歌手参加大赛，组委会只设一名特等奖，观众甲、乙、丙、丁四人对特等奖获得者进行预测，甲：不是1号就是2号；乙：不可能是3号；丙：不可能是4,5,6号；丁：是4,5,6号中的一个．若四人中只有一人预测正确，则获特等奖的是________.解析：丙对，获特等奖的是3号．原因如下：若甲对，则甲、乙、丙三人都预测正确，与题意只有一人预测正确相矛盾，故甲错误；若乙对，则甲、丙、丁三人都可能预测正确，与题意只有一人预测正确相矛盾，故乙错误；因为只有一个人猜对，而丙和丁互相否定，所以丙和丁中有一人猜对．假设丁对，则推出乙也对，与题设矛盾，所以丁猜错了．所以猜对者一定是丙，于是乙猜错了，所以获特等奖的是3号．故1,2,4,5,6不能获得特等奖，因此只有3获得特等奖．答案：3号4．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________解析：(1)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(2)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(3)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，此时100a＋10b＋c＝100×2＋10×答案：2015．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0.(1)若a1＝1，且数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)证明：1，eq\r(3)，2不可能是等差数列{an}中的三项．(1)解：∵数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是等差数列，∴2×eq\f(S2,a2)＝eq\f(S1,a1)＋eq\f(S3,a3).∴eq\f(22＋d,1＋d)＝1＋eq\f(3＋3d,1＋2d)，化为d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝1.∴an＝1＋(n－1)＝n.(2)证明：假设1，eq\r(3)，2分别为等差数列{an}中第m，n，r项，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a1＋m－1d，,\r(3)＝a1＋n－1d，,2＝a1＋r－1d，))解得eq\r(3)－1＝eq\f(n－m,r－m).∵m，n，r为正整数，∴上式左端为无理数，右端为有理数，故等式不能成立．因此，假设不成立，因此1，eq\r(3)，2不可能为等差数列{an}中的三项．6．对于直线l：y＝kx＋1，是否存在实数k，使直线l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：假设存在实数k，使得点A，B关于直线y＝ax对称．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝－1，①,y1＋y2＝kx1＋