2025高考数学考二轮专题复习-第四讲-三角函数(2大考向)-专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第四讲-三角函数(2大考向)-专项训练一：考情分析命题解读考向考查统计高考对三角函数的考查，基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式。重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用。这需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。三角函数的图像与性质2022·新高考Ⅰ卷，62023·新高考Ⅰ卷，152024·新高考Ⅰ卷，72022·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，162024·新高考Ⅱ卷，9三角恒等变换2023·新高考Ⅰ卷，82024·新高考Ⅰ卷，42022·新高考Ⅱ卷，62023·新高考Ⅱ卷，72024·新高考Ⅱ卷，13二：2024高考命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。三：试题精讲一、单选题1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅰ卷·7）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8二、多选题3．（2024新高考Ⅱ卷·9）对于函数和，下列说法正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴三、填空题4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.高考真题练一、单选题1．（2022新高考Ⅰ卷·6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．32．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，则（

）．A． B． C． D．3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，则（

）A． B．C． D．4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．二、多选题5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

知识点总结一、三角函数基本概念1、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．2、任意角的三角函数（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号＋＋－－＋－－＋＋－＋－记忆口诀INCLUDEPICTURE"\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：．（2）商数关系：；三、三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．四、两角和与差的正余弦与正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（幂）公式知识点四：半角公式七、辅助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；九、与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【三角函数常用结论】1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、两角和与差正切公式变形；．4、降幂公式与升幂公式；．5、其他常用变式．6、拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、关于三角函数对称的几个重要结论（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为名校模拟练一、单选题1．（2024·江苏南通·三模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2024·山东济南·三模）若，则（

）A．1 B． C．2 D．3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（）A． B． C． D．4．（2024·浙江·三模）若，则（

）A． B．C． D．5．（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2024·山东青岛·三模）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：（1）函数的图象关于点中心对称（2）函数的图象关于直线对称（3）函数在区间内有4个零点（4）函数在区间上单调递增以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（

）A． B． C． D．210．（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B． C． D．12．（2024·江西九江·三模）若，则（

）A． B． C． D．13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是的一个单调增区间B．是的一个对称中心C．在上值域为D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为14．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题16．（2024·山东威海·二模）已知函数，则（

）A．在上单调递减B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称C．在上有两个零点D．17．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（

）A． B．是偶函数C．是函数的一个极值点 D．在单调递增18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于直线对称C．不等式的解集为D．若在区间上单调递增，则的取值范围是19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数在上单调递增D．方程的解为，20．（2024·河南·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．的图象可由的图象平移得到B．在上单调递增C．图象的一个对称中心为D．图象的一条对称轴为直线21．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．若，则D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（

）A．是偶函数； B．是周期为的周期函数；C．在上单调递增； D．的最小值为.23．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（

）A．时，在上单调递增B．若，且的最小值为，则C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称三、填空题24．（2024·全国·二模）已知，则.25．（2024·安徽合肥·三模）已知，则.26．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则．27．（2024·黑龙江·三模）已知，则.28．（2024·江西宜春·三模）已知，且，则．29．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是.30．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为．31．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是．32．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是.33．（2024·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则，参考答案与详细解析一：考情分析命题解读考向考查统计高考对三角函数的考查，基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式。重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用。这需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。三角函数的图像与性质2022·新高考Ⅰ卷，62023·新高考Ⅰ卷，152024·新高考Ⅰ卷，72022·新高考Ⅱ卷，92023·新高考Ⅱ卷，162024·新高考Ⅱ卷，9三角恒等变换2023·新高考Ⅰ卷，82024·新高考Ⅰ卷，42022·新高考Ⅱ卷，62023·新高考Ⅱ卷，72024·新高考Ⅱ卷，13二：2024高考命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换。其中Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般。Ⅰ卷在考查三角函数的图像与性质时，结合了具体函数图像的画法，Ⅱ卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。三角函数的考查应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明。预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题。三：试题精讲一、单选题1．（2024新高考Ⅰ卷·4）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.2．（2024新高考Ⅰ卷·7）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为，所以在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C二、多选题3．（2024新高考Ⅱ卷·9）对于函数和，下列说法正确的有（

）A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，显然，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC三、填空题4．（2024新高考Ⅱ卷·13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.【答案】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则故答案为：.高考真题练一、单选题1．（2022新高考Ⅰ卷·6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A2．（2023新高考Ⅰ卷·8）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B3．（2022新高考Ⅱ卷·6）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.4．（2023新高考Ⅱ卷·7）已知为锐角，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．二、多选题5．（2022新高考Ⅱ卷·9）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．三、填空题6．（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.7．（2023新高考Ⅱ卷·16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

【答案】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．知识点总结一、三角函数基本概念1、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．2、任意角的三角函数（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号＋＋－－＋－－＋＋－＋－记忆口诀INCLUDEPICTURE"\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张红\\f\\原文件\\2019\\一轮\\数学\\A版理\\右括.TIF"INET：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：．（2）商数关系：；三、三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．四、两角和与差的正余弦与正切①；②；③；五、二倍角公式①；②；③；六、降次（幂）公式知识点四：半角公式七、辅助角公式（其中）．八、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；九、与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【三角函数常用结论】1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．3、两角和与差正切公式变形；．4、降幂公式与升幂公式；．5、其他常用变式．6、拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．7、关于三角函数对称的几个重要结论（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为名校模拟练一、单选题1．（2024·江苏南通·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】展开并同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得到关于的方程，解出即可.【详解】展开得，两边同时平方有，即，解得，故选：B.2．（2024·山东济南·三模）若，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B3．（2024·重庆·三模）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二倍角公式化简和同角三角函数关系求出，利用余弦二倍角公式求出答案.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，解得或舍，则故选：C4．（2024·浙江·三模）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式展开，即可得到，再两边同除，最后结合两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，即，即，两边同除可得，所以.故选：C5．（2024·河北保定·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，解得或（舍去），所以．故选：B.6．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由，可得，可得则，因为，所以与异号，可得为第二或第四象限，当为第二象限角时，可得；当为第四象限角时，可得.故选：C.7．（2024·山东青岛·三模）为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度【答案】A【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】，由诱导公式可知：又则，即只需把图象向右平移个单位.故选：A8．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，关于该函数有下列四个说法：（1）函数的图象关于点中心对称（2）函数的图象关于直线对称（3）函数在区间内有4个零点（4）函数在区间上单调递增以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于（1），由，所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误；对于（2）中，由，所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误；对于（3）中，令，可得，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确；对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误.故选：A.9．（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】借助对已知化简，可求出的值，再由可解.【详解】因为，即，所以，整理得，变形得，所以.故选：C10．（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由图像以及题意求出的解析式，从而得，，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由图可知，由可知，故，又由图，故由图，①，由图，②，又，结合①②可得，故，所以.故.故选：D.11．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.【详解】由得，即，所以，故选：D12．（2024·江西九江·三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可.【详解】令，则，所以由，得，即，即，得，所以，故选：C.13．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是的一个单调增区间B．是的一个对称中心C．在上值域为D．将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为【答案】C【分析】化简函数由函数，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由函数，对于A中，当，可得，此时函数不是单调函数，所以A错误；对于B中，由，所以函数的一个对称中心为，所以B不正确；对于C中，由，可得，所以，所以，即，所以C正确；对于D中，将的图象向右平移个单位，得到，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为，所以D错误.故选：C.14．（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在区间恰有3条对称轴，所以，解得，故选：D.15．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值．【详解】，令得，所以，，因为在区间内没有零点，所以，只需且，解得，令得，得，因为，所以的取值范围，所以周期的最小值是，故选：．二、多选题16．（2024·山东威海·二模）已知函数，则（

）A．在上单调递减B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称C．在上有两个零点D．【答案】BCD【分析】由可知的图象关于对称，可判断AB；整体代入法求出函数零点即可判断C；求出，结合周期可判断D.【详解】对于A，因为，所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；对于B，由上知，的图象关于对称，所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；对于C，由得函数的零点为，令，解得，所以，即在上有两个零点，C正确；对于D，因为，，，所以因为的最小值周期，所以，D正确.故选：BCD17．（2024·云南昆明·三模）已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（

）A． B．是偶函数C．是函数的一个极值点 D．在单调递增【答案】ABC【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解.【详解】因为的最小正周期大于，所以，即，又关于点中心对称，所以，所以，因为，所以当时，，所以，对于，，故正确；对于，，由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；对于，，令得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数的极大值点，故正确；对于，由，，得，函数的单调递增区间为，，当时，，当时，，显然函数在上不单调，故不正确.故选：.18．（2024·湖南长沙·三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为2B．函数的图象关于直线对称C．不等式的解集为D．若在区间上单调递增，则的取值范围是【答案】BCD【分析】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由，可求出对称轴方程判断，对于C，由求解即可，对于D，先由求出的递增区间，再由为函数增区间的子集可求出的取值范围.【详解】对于A，的最大值为，故A错误；对于B，令，得，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对于C，不等式可化为，则，解得，因此原不等式的解集为，故C正确；对于D，由，，解得.因为在区间上单调递增，所以，所以，解得，故D正确.故选：BCD19．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数在上单调递增D．方程的解为，【答案】ABD【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可.【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由，所以，因为，则，则，因为，则，所以，故B正确；对于C，，由，得，而，即时，没有意义，故C错误；对于D，，则，方程，得，即，即，所以或，因为，，所以或，解得或，故D正确.故选：ABD.20．（2024·河南·三模）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（

）A．的图象可由的图象平移得到B．在上单调递增C．图象的一个对称中心为D．图象的一条对称轴为直线【答案】BD【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到，由图象平移的性质可得A错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B正确；代入可得C错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D正确；【详解】，因为最小正周期为，所以，所以，A：由以上解析式可得的图象不可由的图象平移得到，故A错误；B：当时，，由余弦函数的单调性可得在上单调递增，故B正确；C：，故C错误；D：当时，，此时为最小值，所以图象的一条对称轴为直线，故D正确；故选：BD.21．（2024·广西钦州·三模）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．若，则D．将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象【答案】AD【分析】对于A，利用周期公式直接计算判断，对于B，将代入函数验证，对于C，由求出，再将代入函数计算，对于D，根据三角函数图象变换规律分析判断.【详解】对于A，的最小正周期为正确.对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，错误.对于C，由，得，所以，C错误.对于D，将的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数的图象，D正确.故选：AD22．（2024·河北秦皇岛·三模）已知函数，则（

）A．是偶函数； B．是周期为的周期函数；C．在上单调递增； D．的最小值为.【答案】AD【分析】利用偶函数的定义可判定A，利用周期的定义可判定B，利用复合函数的单调性可判定C，根据周期性及单调性可判定D.【详解】因为，所以是偶函数，故A正确；易知，故B错误；当时，，因为，所以在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故C错误；易知，所以是周期为的周期函数，当时，，显然时，时，则的最小值为，故D正确.故选：AD23．（2024·安徽芜湖·三模）已知，下面结论正确的是（

）A．时，在上单调递增B．若，且的最小值为，则C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称【答案】CD【分析】利用把相位看成一个整体，通过正弦函数的性质，可以做出各选项的判断.【详解】对于A，，当时，，而在不单调，故A是错误的；对于B，，由的最小值为，则函数周期为，所以，解得，故B是错误的；对于C，在上恰有7个零点，结合正弦曲线可知，，解得：，故C是正确的；对于D，由的图象向右平移个单位长度后得到：，由它关于轴对称，可知：，解得：，当时，，故D是正确的；故选：CD.三、填空题24．（20