立体几何（二模好题汇编解析版）

专题04立体几何

基

本题型1空间几何体的有关计算

题题型2点线面的位置关系

立体几何型题型3球的内切、外接问题

分题型4空间角

类题型5空间距高

题型01空间几何体的有关计算

一、单选题

1.（2024•山西晋城・二模）已知圆锥的侧面积为12几，它的侧面展开图是圆心角为弓的扇形，则此

圆锥的体积为（)

B.警C.6信>竽

A.60冗

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为尸，母线长为/,根据圆锥的侧面积公式以及扇形弧长解得/=3厂=6,

再结合锥体的体积公式运算求解.

【详解】设圆锥的底面半径为L母线长为/,

ml-1271

由题意可得：2兀，.，解得/=3〃=6,

—/=Ilir

3

则圆锥的高〃=，/—/=4拉,

所以此圆锥的体积为=应至.

33

故选：B.

2.（2024•安徽黄山•二模）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖，清代称为攒尖.

通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖,也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如

图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为6m,顶角为弓的等腰

三角形，则该屋顶的面积约为（）.

A.3y/3nm2B.6nm2C.66兀m?D.\2y/3nm2

【答案】C

【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求山圆锥底面半径，•和母线/,根据侧面积公式兀”即

可求解.

【详解】如图所示为该圆锥轴截面，

由题意，底面圆半径〃=3,母线,G=2J3,

sin一

3

所以侧面积n/7=itx3x26=6A/3Zm2-

故选：C.

3.（2024•山东聊城•二模）已知圆柱。。1的下底面在半球。的底面上，上底面圆周在半球。的球面上,

记半球O的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球。与圆柱。。的体积分别为匕匕，则

SV

当不的值最小时，彳的值为（）

A.B.GC.—D.72

34

【答案】A

【分析】设圆柱底面半径为r,群为/?,球的半径为A,则得=*+£，根据基本不等式可得厂=〃、

R=内，结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解.

【详解】设圆柱底面半径为，高为人球的半径为R,

贝|JR~=h~+r2>s=RR、S［=2nrh,y=；♦?兀*=］兀/?',《=itr'h,

叱［“SitR2h2+r2hr~~.

所以—=---=-----=—+一>2J-------=1,

S、2nrh2rh2r2hV：r2h

当且仅当厂=分时等号成立，此时R=JL-

所以上=包=围至一逑.

2

匕m-hN二T3

故选：A

4.（2024・浙江•二模）在正三棱台力8。-48G中，已知48=0，4出=26,侧棱月4的长为2,

则此正三楼台的体枳为（）

21、7-2107

A.—B.-C.~D.一

2442

【答案】C

【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三楂台的高，进而计算

出三棱台的体积.

【详解】正三棱台48C-44G中，已知力8=百，4隹=2△，

所以“8C的面积为二百＞＜6＞正=江，△44G的面积为_Lx2Gx26x2=3/,

设。，。1分别是分8C,△4耳C的中心,

设0，A分别是8C,8G的中点，

A9o,。三点共线，4，0，。三点共线,

AD=JBxsiny=V§x^y-,4。=44xs*ny=2sx-y-=3，

/.==O1A=；4Q=I,

【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体枳公式求解.

【详解】设圆锥的母线长为/,高为力，半径为，

则与=兀/=兀且S,j=7rx「x/=3冗，故/,=1,/=3

:』=/-尸=乒\=2及，

•••圆锥的体积为,乂7^132血=逑冗.

33

故选：D.

7.（2024•河南新乡•二模）设圆台的上、下底面的半径之比为1:2,侧面积为18兀，且上底面半径为

质数，则该圆台的母线长为（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】B

【分析】如图，易知•且〃</,根据圆台侧面积公式计算可得/=2结合质数的概念即可

r

求解.

【详解】设圆台上底面的半径为人下底面半径为R,母线为/,则〃=2人

如图，Q,O分别为圆台上、下底面的圆心，力8为一条母线，连接000/08,

过点力作力O_LO8于点。，则四边形0。/。为矩形，得OQ=q.4=L

所以40=08-0。=r一厂=厂，在RIA/IBD中,r</,圆台的侧面积为$=必/+k），

所以/亮嘿£又「为质数，所以，一或3.

当/«=2时，1=3,则符合题意；

当，=3时，1=2,则，•>/,不符合题意.

所以圆台的母线长为3.

故选：B

8.（2024・安徽池州•二模）已知圆锥的底面半径为3,其内切球表面积为12兀，则该圆锥的侧面积为

()

A.9后B.187rC.18扃D.27兀

【答案】B

【分析】先利用题给条件求得圆锥的母线长，再利用公式即可求得该圆锥的侧面枳.

【详解】球表面积为12兀，则该球半径为G，

设圆锥的高为/?,则圆锥的母线长为曲方，

则此圆锥的轴截面面积为

夫6〃=9坪+26+町,解之得力二36，

则该圆锥的侧面积为3小+（3可=18K

故选：B

9.（2024・湖南长沙•二模）蒙占包（Mongolianyurts）是蒙占族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都

很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的

看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64几平方

米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）

A.（112十16a）兀平方米B.（80+16而）兀平方米

C.（112+185万）兀平方米D.（80+18，万）花平方米

【答案】A

【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的

侧面积公式结合圆的面积公式，艮」可求得答案.

【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64。平方米，

设底面圆的半径为「，则64兀=兀/、二〃=8,

则圆锥的母线长为后^万（米），

故该蒙古包（含底面）的表面积为加x8x2VT7+2兀x8x3+7tx8'=112乃+16\/17兀（平方米），

故选：A

题型02点、线、面的位置关系

一、单选题

1.（2024•浙江宁波•二模）已知平面⑶八ac/:/，则"/J.，"是"aJLy且/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直,

即可利用线面垂直的判断求证必要性.

【详解】由于所以/ua,/u〃，

若/_!_九则a_L/,/?!/,故充分性成立，

若a_Ly,0iy,设尸Dy=〃，

则存在直线。uy,使得。j_〃?，所以a_La,由于/ua,故a_L/,

同理存在直线使得b_L〃，所以方，力，由于/<=/，故I,

由于a,6不平行，所以a,6是平面丫内两条相交直线，所以/-L九故必要性成立，

故选：C

2.（2024・辽宁•二模）设仅是两个平面，见〃，/是三条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若lu0,mua,IA.m,则

B.若〃/a,UiP,aC\p-m,则〃//〃

C.若aDp=〃？，/?口/=”，ycct=l,则〃〃i〃/〃

D.若m±n,mA.a,则nila

【答案】B

【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可.

【详解】对于A,若Iu0,mua,Um,则a/相交或平行，故A错误；

对于B,若〃/a,,aC\/3=mt

由线面平行的性质可得〃,故B正确；

对于C,若aD4="?,/?Cly=",yca=i,

当a，四/两两相交时，〃?,〃,/两两相交，故C错误；

对于D,若加_L〃，m±a,则或〃ua,故D错误.

故选:B.

3.（2024•河北邯郸•二模）已知a,夕是两个平面，机，〃是两条直线，且al尸，加ua,〃u夕,则“U

是“〃?_L优的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.

【详解】用平面力。依代表平面仁，平面代表平面

当小J■〃如图所示时显然机与平面?不垂直，

反之,当夕时，又〃u/7,根据线面垂直的性质有机_L〃，

所以“〃?"L〃"是“加1夕〃的必要不充分条件，

故选：A.

4.（2024•辽宁沈阳•二模）正方体力以力-44GA中，P为正方形力BCD内一点（不含边界），记O

为正方形458的中心,直线尸4，P%PG，PA与平面所成角分别为可遥避,仇.若

61=4，冬〉4，则点?在（）

A.线段0/上B.线段08上C.线段0c上D.线段。。上

【答案】B

【分析】根据线面角的定义可得直线尸4,盟,PG,PR与直线4v网,CCMA所成角大小关系，再

根据，="©>a判断即可.

【详解】直线P4，Pq/G，PA与平面44GA所成角大小分别为处名，4〃，

等价于直线P4，P4PC/。与直线44*4，cq,z）A成角大小分别为5-6后-口弓-%'/，

由a=a，可知p在线段8。上，又仇>仇,则尸片与8瓦所成角更小，

则点P在线段05上.

5.（2024•安徽•二模）已知加是直线,a，仅是两个不同的平面，下列正确的命题是（）

A.若〃?||?，a//P,则机||aB.若〃?_L夕，a>0,WlJw||a

C.若〃?IIQ,aLp,则m_LaD.若〃?||6，/Mia,则夕

【答案】D

【分析】利用直线与平面的位置关系的判定和性质即可选出正确答案.

【详解】选项A：根据给定条件有〃?II。或〃?ua；

选项B：根据给定条件有“II。或〃?ua；

选项C：根据给定条件有次与。的位置可能平行、相交或用在a内;

选项D：因为〃?||/，所以存在直线加u夕使得朋||m，

又因为〃?_La,所以m」a，因为加up,所以。

故选：D.

6.（2024・湖北•二模）a、产是平面，°,b,c是直线，以下说法中正确的是（）

A.«,丫][3=aHpB.:J.力，cLb^aHc

C.al/,〃_Ly,aI/）=a=>a±yD.b//afb!!P=>a!IP

【答案】C

【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.

【详解】对于A,a,Q可以平行，也可以相交，

对于B,a,。可以平行，可以相交，也可以异面，

对于D,。，〃可以平行，也可以相交，

对于C,不妨设。口/=机，/ri/=*在平面。内作机_U,

因为a_Ly，则/同理在平面/内作/1〃，则/

所以〃〃,

又3p,tu0,则/〃/，而acp=a,所以〃/a,所以。,人即C正确.

故选：C

7.(2024•湖南•二模)如图,在三棱柱48C-4£G中,瓦尸,G,7/分别为网,CC”44,4G的中点,

则下列说法错误的是()

A.反£G,〃四点共面B.EF//GH

C.EG,FHM4三线共点D./EGB\=/FHC\

【答案】D

【分析】对于AB,利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断：对于C,利用平面公理判断

得EG,“〃的交点尸在力4,从而可判断；对于D,举反例即可判断.

【详解】对于AB,如图，连接GH,

B

C

因为G〃是的中位线，所以G〃〃&G，

因为4E//C/,且4E=C产，所以四边形BEFG是平行四边形，

所以EF//BG，所以EF//GH,所以瓦户,G,"“四点共面，故AB正确；

对于C,如图，延长EG,/相交于点P,

因为PwEG,EGu平面48e4：所以/>e平面48d4,

因为PwFH,Su平面力CC/,所以尸w平面/ICC/，

因为平面。平面ACC,A,=.44,

所以Pw44,所以三线共点，故C正确；

对于D,囚为E4-,当GB\*〃G时，tan乙EGB、,tan/〃〃£，

又Q<NEGBi/FHcV，则NEGB产NFg,故D错误.

故选：D.

二、多选题

8.（2024•山西晋城•二模）如图，在棱长为2的正方体力8c。一中，点尸是侧面力。内

的一点，点E是线段CQ上的一点，则下列说法正确的是（）

A.当点P是线段4。的中点时，存在点已使得4EJ•平面P8Q

9

B.当点上为线段CG的中点时，过点儿E,A的平面截该王方体所得的截面的面积为了

4

C.点£到直线42的距离的最小值为加

D.当点E为棱CG的中点且尸E=2五时，则点。的轨迹长度为,

【答案】ACD

【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.

【详解】对于A,如下图所示，连接4C44,

因为点P是线段4。的中点，所以点。也是线段力。的中点,

所以平面P8Q即为平面/5Q.

根据正方体的性质，力。，平面4。。，力4，平面48C,

所以4〃，4。"鸟JL/C，

又因为4〃八44=4,4"u平面48Q,平面48Q,

所以4cl平面力4"，所以£与。重合时，4E1平面PRA，故A正确;

对于B,如卜.图所示，取8C的中点"，

根据民”分别为CG,8c的中点，易得EM〃,

所以MR四点共面,

所以截面为四边形力MEA，且该四边形为等腰梯形.

又因为ME=&,AD\=2ji,AM=£口=亚,

所以等腰梯形力皿的高为“石）2_净2=孚，

所以截面面积为：（夜+2加”吟=”，故B错误：

222

对于C,如图建立空间直角坐标系，

由图可得，夕(2,2,0),"(0,0,2),所以西二(—2,—2,2),

设E(0,2,m)(0M/w<2),所以丽=(-2,0,加),

所以点£到直线8"的距离"=

所以m=1时，距离最小，最小为拉，故C正确；

对于D,如图所示,取。2的中点G,连接EG,GP,PE,

易得GEJL平面"RD,

又因为GPu平面月月。。，所以GE_LGP,

所以GP=dPE?-GE?=J（2&）2-22=2，

则点尸在侧面力/Q。内的运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为g,

所以点P的轨迹长度为方＞2=半，故D正确.

故选：ACD.

9.（2024・山东聊城•二模）已知四棱锥P-/13CO的底面44C。是正方形，则下列关系能同时成立的

是（）

4."AB=PB”与"PB=BD"

B."PAA.PC〃与"PBA.PD”

C."PBtCD”与"PC工AB”

D."平面PAB1平面PBD"与"平面PCD_L平面PBD”

【答案】BC

【分析】利用正方形的特征可判定A,利用球的特征可判定B,利用面面垂直的性质可判定C,利用

反正法可判定D.

【详解】对于A,显然时，而底面A8C。是正方形，AB*DB,

所以尸3=8。不成立，故A错误：

对于B,设底面正方形中心为O,则夕在以。为球心，以04为半径的球面上时可符合题意，故B

正确:

对「C,当平面尸8C_A底面48CD时，

由面面垂直的性质可知平面PBC,QC_L平面P4C,显然符合题意，故C正确;

对于D,先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，

ac。=l,acy=a,Qcy=b

如图有al/，取Xwy,作43_La,WC-L力，

£JLy

垂足分别为从C,由面面垂直的性质可知/出_La〃C_LZ?,

ACA.I

由线面垂直的性质可知/<=«,/<=

A.-.•ABA.I'

由线面垂直的判定可知/，人

若，，平面PAB1平面P8Q"与"平面PCD1平面P8D〃同时成立,

易知尸=平面"8c平面0CQ,可设平面218c平面PCQ=/,则尸£/,

则/工平面PBD,

易知/，CD"B<z平面PCD,所以/B//面尸CO,则///4笈，

则有川？上平面P6O,显然不成立，故D错误.

故选：BC

10.（2024♦山西吕梁•二模）如图，在平行六面体力8cO-中，底面48c。是正方形，。为4G

与女。的交点，则下列条件中能成为“4G=4C"的必要条件有（）

A.四边形力CG4是矩形

B.平面力J.平面力CG4

C.平面_L平面48C。

D.直线。48。所成的角与直线OC,48所成的角相等

【答案】ACD

【分析】先分析得~G=4C〃的必要条件是由〃力G=4一推出，从而结合利用平行六面体的结构

特征判断A：假设选项B成立，利用面面垂直与线面垂直的性质定理推得矛盾，从而判断B,利用

线面垂直的判定定理判断C,利用异面直线所成角的定义，结合三角形全等判断D,从而得解.

【详解】要成为“/G=4C〃的必要条件，则该条件可由“4G=4C〃推出，

对干A,因为在平行六面体44GA中，力4〃cc”44=CG，

所以四边形力CCM为平行四边形，又力G=/C，

所以四边形力CCM为矩形，故A正确：

对于B,假设平面平面iccd，

由选项A,可知四边形彳CG4为矩形，则/。_1囹，

又平面488/6平面4CG4=44，，Cu平面“CG4，

所以4CJ•平面,因为平面458/，

所以NC1/18,与四边形力88为正方形矛盾，故B错误；

对于C,因为四边形48CZ）是正方形，所以4C/B。，

因为104/4〃3旦,所以4cl8四,

又BB、cBD=B,BB],BDu平面BDDiBi,所以力C_L平面BDD、B、,

乂NCu平面/BCD,所以平面3力。圈_L平面川5c。，故C正确；

对于D,因为四边形ACC/i为矩形，。为4G的中点，易得O4=OC,

又正方形力88中，4D=CD,OD是公共边,

所以△。力。三△OCO,则NO4Q=NOCQ,

又BCHAD,ABHCD,

所以/aw,分别为直线3,4。所成的角与直线。C,功所成的角（或其补角），

则直线048c所成的角与直线OC,48所成的角相等，故D正确.

故选：ACD.

逑型03球的内切、外接问题

一，单选题

1.（浙江省宁波市2023-2024学年高三下学期高考模拟考试数学试题）在正四棱台月BCQ-48GA

中，/8=4,力£=2,44=石，若球。与上底面48cA以及棱/18,3C,8,以均相切，则球。的表

面积为（）

A.9兀B.16兀C.25nD.36冗

【答案】C

【分析】根据勾股定理求解棱台的高/N=l,进而根据相切，由勾股定理求解球半径H=方，即可由

表面积公式求解.

【详解】设棱台上下底面的中心为N,M,连接。力8,

则"4=2五,。8=4及，

所以棱台的高MN二加戌-曲"-NB\}=0层y/l]=1,

设球半径为/?,根据正四棱台的结构特征可知：球。与上底面44GR相切于N,与棱相8C,CRD/均

相切于各边中点处，

设BC中点为E,连接。瓦。M,ME,

所以。£2=OM2+河炉=R2=归_]|2+22,解得R=g,

所以球O的表面积为4兀叱=25兀，

故选：C

2.（山东省聊城市2024届高三卜学期模拟考试（二模）数学试题）已知圆柱OQ的卜底面在半球O

的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球。的底面圆面积与圆柱。。1的侧面积分别为S，E，

SV

半球O与圆柱。。1的体积分别为匕匕，则当7的值最小时，谟的值为（）

A.逑B.QC.在D.41

34

【答案】A

【分析】设圆柱底面半径为，高为h,球的半径为及，则看=今+5，根据基本不等式可得，•=〃、

R=，结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解.

【详解】设圆柱底面半径为小高为九球的半径为A,

I42

则R2=h2+r2S=nR\S=2Mh『=--RR'=tTIR3,匕=虱/h,

ft233

SRR，h2+r2hr~~r,

所c以r一=---=-----=—+—N2J---------=1,

$271M2rh2r2h\|2r2h

当且仅当〃=/，时等号成立，此时/?="•,

22

3M厨%-

--逑

所以K33

-==b=

K。

.n3

3.（2024届江西省九江市二模数学试题）已知一个圆台内接于球。（圆台的上、下底面的圆周均在

球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2,且其表面积为（5+3及）九，则球。的体积为（）

A,%B.5〃C,型叵D,也

333

【答案】C

【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.

【详解】设圆台母线长为/,上、下底面半径分别为，i和弓，

则圆台侧面积为S=7r«+々）/=兀｛1+2）/=3兀/,

上、下底面面积分别为兀和47t.

由圆台表面积为（5+3五）兀，得/=后，

所以圆台高九=Sl~G勺=y/2~1=1，

设球O半径为火，圆台轴截面48C。为等腰梯形，且/A=4,CO=2,高为1.

作。M_L居于点M,

设OM=x,由，；+川=2<4，则球心。在圆台外部

斤=4+x?_

则有12/\2，解得X=1,R=>/5，

/?'=l+（l+x）

所以球。的体积为竺互.

3

故选：C.

4.（河北省石家庄市2024届高三下学期教学质量检测（二）数学试卷）已知正方体的棱长为2拉，

连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心。为球心作一个半径为速的球，则该

3

球。的球面与八面体各面的交线的总长为（）

A.2娓式B.八6兀C.宣6.冗D.ARTI

33

【答案】B

【分析】画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径,

求解各个平面与球面的交线、推出结果.

【详解】如图所示，”为E户的中点，。为正方体的中心，过。作PM的垂线交于点N,正八面体

的棱长为2,即E/=2,故OM=1,OP=Q,PM=6,则。”=如,

3

设球与正八面体的截面圆半径为，如图所示，则,•=/^）^ON2=炉目）［（^）2=当,

由千MN=ZN=兄,NJ=NI=—,所以〃=毡，则N/M/=g,平面尸EE与球。的交线所对

3332

应的圆心角恰为则该球。的球面与八面体各面的交线的总长为8x(；x2兀X等)=乎兀

故选：B

5.(湖北省部分学校2024届高三下学期新窗考信息考试数学试题二)已知圆锥尸。的顶点为P,其

三条母线21,PB,PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积与圆锥侧面积之和为

()

A.12(10-3x/6)7tB.24(20-776)71

C.60(8-3卡)冗D.3(40-7后)兀

【答案】C

【分析】由三条母线两两垂直且长为6可得，圆锥的底面圆内接正AJBC边长，进而由正弦定理得

底面圆的半径，再求出圆锥的高，就可得圆锥轴截面面积，又圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为

圆锥内切球半径〃，等面积即可得内切球的半径，进而得所求.

【详解】因为以，PB，PC两两互相垂直且长度均为6,

所以△48c为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长48=8C=a=6上,

由正弦定理得底面圆的半径H=!".区八”=2瓜

2sin60

所以圆锥的高PO=府-(2病2=2后.

如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径小

轴截面三角形面积为石26=g(6+6+4病"，

所以内切球的半径r=6&-4x/3-

内切球的表面积为4兀(6及一4方)2=4兀(120—48后)，

圆锥的侧面积为;・6・2兀-2痴=12"兀，

所以其和为60（8-3灰）兀.

故选：C.

6.（2024届江苏省南通市高三第二次适应性调研数学试题）在校长为2的正方体ABCD-A^C^中,

P,A分别为棱8C,CD,CG的中点，平面PQR截正方体力88-44GA外接球所得的截

面面积为（）

58352>/\5

A.-7iB.一兀C.—7TD.^—Tt

3333

【答案】A

【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径火，设球心为0,求解。到截面户少的距离OM,

从而可得截面圆的面积.

【详解】取正方体的中心为。，连接。P,。。,OR,

由于正方体的棱长为2,所以正方体的面对角线长为2及，体对角线长为2石，

正方体外接球球心为点O,半径A=；x2石=6，

又易得OP=OQ=OR=^x2x[2=>j2,且PQ=PR=QR=；乂2五=6,

所以三棱锥。-/5。〃为正四面体，如图所示，取底面正三角形尸。出的中心为M,

即点O到平面PQK的距离为OM,又正三角形PQR的外接圆半径为MQ,

PQ_Q_2&r~

由正弦定理可得上一嬴旃一五一亍，即M°=*,所以

3

即正方体ABCD-A^C^外接球的球心O到截面PQR的距离为0M=@,

3

所以截面尸4被球。所截圆的半径厂=小相_。/=，后）2一‘孚,=J1,

则截面圆的面积为"2=g兀.

故选：A.

7.（湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题）已知三棱推4中，

AB=6,AC=3,BC=36,三棱锥G8C。的体积为生叵，其外接球的体积为绊%则线段CO长

23

度的最大值为（）

A.7B.8C.75/2D.10

【答案】C

【分析】依题意可知“8C为直角三角形且其外接圆的半径为3,根据题意可求得点。到平面48C

的距离为人=7,由求得半径&=5求出过。的截面圆半径，即可得出结论.

【详解】囚为球的体积为绊儿，所以球的半径穴满足绊八=31内，可得R=5；

333

又AB=6,AC=3,BC=36,因此=这？+AC?,即乙4cB=90，此时S：8c='x3x3豆=空；

22

设点。到平面的距离为〃，则！/球跑=处8,可得/?=7,

322

因为。在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为。，当。与平面48c平行时，0c有最大值；

设球心到平面ABC的距离为d,而“BC的外心即为48的中点，外接圆的半径为;力8=3,

则d=疗二？'=4，故球心到平面。的距离为7-4=3,

可知截面圆半径为疹手=4；

设C在平面。上的射影为E,则£的轨迹为圆，如下图所示:

设该圆圆心为。，则当，。,后三点共线时且点。在。,月中间时，。石最长，

此时。£=3+4=7,故线段。。长度的最大值为7vL

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出点到平面距离之后，确定出当。,。,后三点共线时且点。在

2E中间时，OE最长，利用勾股定理计算可得其最大值.

8.（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知直三棱柱

48c的6个顶点都在球。的表面上，若力8=/。=1,44=4,/%1C=牛，则球。的表面

积为（）

A.167tB.20兀C.28兀D.32兀

【答案】B

【分析】设底面"8C的外接圆的半径为人由正、余弦定理求得厂=。4=1,再设外接球的半径为

R，结合球的截面圆的性质，求得宠=逐，利用求得表面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，在△力8C中，AB=AC=\,且=

由余弦定理得4c2=482+力。2-243力。8$/8/1。=1+1—2乂1:<18$巴=6,

3

设底面“8C的外接圆的半径为人由正弦定理得2l=.“=2,即q/=l

sinZ.BAC

再设直三棱柱43C-44G外接球的球心为O,外接球的半径为R,

在直角△。。/中，可得拜=Jq■+/+（2^）2小包=/5,

所以球。的表面积为5=4乃川=4nx（石）2=2（）兀.

故选：B.

9.1湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）如图，在四面体P-月8。中，尸/，平

面48C,力CJ,C£E4=/C=28C=2,则此四面体的外接球表面积为（）

A.3兀B.97tC.36冗D.48兀

【答案】B

【分析】将四面体尸-18。补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2、1、2,长方体的外接球即

为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球

的表面积.

【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2、1、2,

四面体P-MC的外接球即为长方体的外接球，

而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为夫，

^2R=yl22+\2+22=3»所以外接球表面积为S=4成、9膜

故选：B.

10.（河北省邯郸市2024届高三第三次调研考试考试数学试题）已知在四面体48CO中，

AB=BC=CD=DA=BD,二面角/1一8。一。的大小为g,且点儿B,C,。都在球。的球面上,

历为棱4C上一点,N为棱的中点.若该=2函，则4=()

A14

B.—cD

,39-i-1

【答案】C

【分析】根据题意和几何关系，并在△〃TV所在平面内建立平面直角坐标系，确定点的位置和

坐标，即可求解.

【详解】由题意知△48。均为等边三角形，连接MV,CN,则川N_L8Z),CN±BD,/ANC

是二面角力-。的平面角,

所以//NC=。，乂易知AN=CN,所以△/CW是等边三角形.

设户为△8CO的外心，。为CV的中点，连接OPOM/1。，则点。，P,。都在平面/CN内，建立

平面直角坐标系如图.

设NN=NC=/C=2,则NP=],NONP=S所以OP二空.

369

乂AQ=6,所以=达为MOHCN,易知C'W=：O,

则。存半,从而=?

,M

CN9

【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合儿何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面

几何问题.

11.(吉林省白山市2024届高三第二次模拟考试数学试题)己知四面体/4C。中,

^BAC=^DAC=ZDAB=90\AB=AD=2AC=4f点E在线段48上，过点A作肝_LDE，垂足

为F,则当△C。”的面积最大时，四面体力COE外接球的表面积与四面体/8C7）外接球的表面积之

比为（）

八3门4-37h13

A.-B.-C.—D.—

554515

【答案】C

【分析】

由题意可知，四面体48。中48_L4C_L4Z）,为长方体的一角，设彳E=x,勾股定理计算C5，DF

的长，由均值不等式可计算△C£S的面积取最大值时》的值，由此可计算四面体ZCQE外接球的半

径与四面体力次第外接球的半径，从而求出结果.

【详解】

由题意可知，四面体44co中力

_____4x

AF

设4E=x,则。£=J16+X，，由等面积法可知，=//2.

由已知得力CJ_平面/出。，故4cL力尸,C尸=、4+——

因为。F_LAF,/Cc/F=力，故。尸工平面片尸。.

故心近6寸+w

。尸+C尸=生.5,当且仅当即一=史时

故SQF=3DFCFW百

取等号，

148

此时四面体ACDE外接球的半径R满足（2R）2=AD1+AC2+J£2=—,而四面体ABCD外接球的半

22

径火'满足（2*）2=AB?+AC+AD=36,故所求比值为粤=三.

''5x3645

故选：C.

12.（河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题）已知经过圆锥S。的轴的截面是

正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面

均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【分析】作出圆锥SO的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之

比为1:3,从而可得上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为1:27,从而可得解.

【详解】如图，作出圆锥SO的轴截面“8,

设二、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为，/?,

即0〃=PG=R,EG=，•,

根据题意可知AS/B为正三角形，易知跖=2,、圆锥SO的底面半径08=石穴，

：.S0=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=VJoB,

3r+2R=3R,：./?=3r,

・•・上部分圆锥的底面半径为6r,高为3r,

又圆锥SO的底面半径为08=OR=3Gr,高为SO=+2R=%,

•・.上部分圆锥的体积与圆锥so的体积之比为（；）=M

.•・上、下两部分几何体的体积之比是1:26.

故选:C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.

13.（福建省莆田市2024届高三毕业班第二次教学质量检测数学试卷）柏拉图多面体是指每个面都

是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点.六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛

的应用性.将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）.若正八面体外接

【答案】D

【分析】根据正八面体的儿何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合

球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果.

【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接力尸设4CcBD=O,

根据其对称性可知，PE过点O,

又该八面体为正八面体，则尸O_L面