新高考新结构命题下的新定义解答题综合训练-2025年高中数学一轮复习

第04讲新高考新结构命题下的新定义

解答题综合训练

（6类核心考点精讲精练）

考情探究・

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

（1）三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

（2）三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

（3）三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，新定义版块作为一个重要的考查领域，通常在第19题这样的压

轴大题中，分值为17分，将考查学生的解题能力和思维深度，是高考数学的分水岭，难度极大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。根据知识点及其命题方式，要能够

灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的新定义解

答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的新定义解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。

|\・考点梳理・

1

考点一、函数及导数新定义综合

1.(2024・广西•二模)己知函数/(久)=lnx,若存在以久)WfO)恒成立，则称g(x)是/⑺的一个"下界函数

(1)如果函数。(久)=：-In%为/'(x)的一个"下界函数"，求实数/的取值范围；

⑵设函数FQ)=/(K)-9+白，试问函数/(久)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)(一8,—,

(2)函数Rx)是否存在零点，理由见解答

【分析】(1)把恒成立问题转换为求2xlnx的最小值问题，利用导数求出最小值即可；

(2)把函数整理成F(x)=lnx—三+工2—工―±+2=工(工—2)，要判断是否有零点，只需看厂(x)的正负

eAexexeAexxee

问题，令G(X)=L-9利用导数分析G(x)即可.

eex

【详解】(1)由g(%)</(%)恒成立，可得：一In%<In久恒成立，

所以t<2%ln%恒成立，令九(%)=2x\nx,所以/(%)=2(1+In%),

当xe(02)时，/(无)<0,〃(x)在(0」)单调递减；

ee

当％E(，，+oo)时，h\x)>0,〃(x)在(g,+8)单调递增；

所以〃(%)的最小值为h《)=-所以鹏-：，

实数t的取值范围(一叫一T；

(2)由(1)可知2%ln%N—4所以21n%2——,所以In%之——>(1)

eexex

又F(x)=f(x)-4+三，所以F(x)=++-=

eexeexexeexxeeA

2

令G(x)=，a所以G'(x)=m，

当xe(0,1)时，G'(x)<0,G(x)在(0,1)单调递减；

当X£(l,+8)时，Gf(x)>0,G(x)在(1,+8)单调递增；

所以G(x)2G(l)=0,②

所以F(x)++

eAexexexexxeex

又①②中取等号的条件不同，所以尸(x)>0

所以函数没有零点.

2.(2024•湖南•二模)罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法

国数学家米歇尔・罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数/(x)满足在闭区间[。,切连续，在开区间

Q方)内可导,且/⑷=/(方)，那么在区间(a,b)内至少存在一点加，使得/5)=0.

(1)运用罗尔定理证明：若函数/(x)在区间“连续，在区间(％6)上可导，则存在x°e(a,6),使得

b-a

⑵已知函数〃尤)=》成名&)=3/-法+1,若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数占,乙，者B有

|/(x1)-/(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立，求实数6的取值范围.

(3)证明：当时，有―77^-^•

npp-1(n-Y)pnp

【答案】⑴证明见解析；

(2)l-ln2<Z><2；

⑶证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，构造函数尸。)=/(无)-氏，利用导数结合罗尔定理推导即得.

(2)求出函数/(x),g(x)的导数，利用(1)的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得.

(3)构造函数3)=”'/€[力-1,"],求出导数结合(1)的结论，借助不等式性质推理即得.

【详解】(1)令/(?"(")=/,贝lWi=/(a)”，

b-a

令函数歹(X)=f^-tx,则令函=F(b),F'(x)=,

显然尸(X)在句上连续,且在(。,6)上可导，由罗尔定理，存在x°e(a,6),使得尸'(%)=0,

即/'(%)—=0,所以/'(%)="?一/⑷.

b-a

(2)依题意,f'(x)=\nx+\,g'(x)=x-b,

天3人、制|/(占)-/02)78(』)-8(》2)|卜一卡一

不妨令x,>x2,则|-----------»—~~I恒成“，

X]-X2再一x2

由(1)得"'(%)|>出'(%)|,%£(1,2),于是lnx+1>[|,IP-l-lnx<6-x<lnx+1,

因止匕工一1口工一1<6<%+1111+1,令9(x)=x—lnx—l(l<%<2),

求导得“(x)=3>0,函数？(x)在(1,2)上单调递增，则0<°(x)<l-ln2,

X

3

而函数y=X+InX+1在(1,2)上单调递增，其值域为(2,3+In2),

则l-ln2W6W2,所以实数6的取值范围是l-ln2VbW2.

(3)令函数/z(x)=xfxe["-l,"],显然函数〃(x)在("T,")上可导,

由(1),存在使得〃(c)=

又〃(x)=(1-p)•广。，贝IJ(「尸-a=-"'(c)=(0T)c「；

因止匕~TTTr=,而IV“-,贝即

p-1(〃一1)〃ccpnp

所以:<—―7^r-Jr】•

npj?-1(n—Y)pn°

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方

法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.

3.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数

的方法.给定两个正整数机，〃，函数〃x)在尤=0处的[切,〃]阶帕德近似定义为：=

1+x+,•,+uJC

且满足:/(O)=7?(O),r(O)=R(O),r(O)=^(O),……,/("+")(o)=a+")(o),注：广卜)=[/(曲',

r(x)=[r(x)]\/<4>(x)=[/™(x)]\/⑸(x)=K)],……

已知函数/(x)=ln(x+l).

(1)求函数/(x)=In(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似R(x),并求lnl.1的近似数(精确到0.001)；

⑵在(1)的条件下：

①求证：I/1\<1;

ln(x+l)

②若/(x)-加[+1]R(X)W1-COSX恒成立，求实数加的取值范围.

0Y

【答案】⑴R(x)==plnl.l«0.095

⑵①证明见解析；②加=1

【分析】(1)先写出[1』阶帕德近似刈外=:答，然后求导得到了。卜々，/〃(力=-丁',令

1十oyxX+1(X।1J

f(o)=R(o)得%=0,所以及(x)=A^，求导得到R(x)求解即可；

2

oy41—X

⑵①令尸(》)=三，(》+1),xe(T0)”0,+孙求导得到尸(加乙三-77T=(

判断F(x)在X£(-1,0)及(0,+8)上均单调递减，按照Xe(-l,o)和X€(0,+8)分类讨论求解即可；

②由已知令，(x)=ln(x+l)-加x+cosx-l,且"0)=0,所以x=0是h(x)的极大值点，求导得到

4

/zf(x)=-^-y-m-sinr,故〃'(0)=1-机=0,m-\,得到机之后写出A(x)=ln(x+l)-x+cosx-l,然后求导

判断单调性证明即可.

【详解】(1)由题可知函数/(x)=ln(x+l)在尤=0处的［1』阶帕德近似，

则蛆)=.-。)=匕/(上-号,

由/(0)=尺(0)得小=0,所以尺(》)=匿7，

则R(小泼彳,又由/"(0)=R(0)得％=1，所以虫、)=段7,

由r(o)=R"(0)得々=:，所以*(尤)==右，

2

所以lnl.l=/(0.1)e及(0.1)=^^=2P0.095.

v7v70.1+221

7Y

(2)①令((x)=/^-ln(x+l),XG(-1,0)O(0,+(X)),

2

4i_Y

因为P(%)=--------7---------=7------r--------T<0,

'7(x+2)2x+1(x+l)(x+2)z

所以F(x)在xe(-1,0)及(0,+。)上均单调递减.

7Y

当xe(TO),F(x)>F(O)=O,即^^>ln(x+l),

,、R(x)

而ln(x+l)<0,所以x+2即-\

正巧<11出+1)

7Y

当xe(O,+8),F(x)<F(O)=O,即^■<ln(x+l),

而Inx+l>0,所以x+2即"[、<1,

ln(x+l)(lg+l)

所以不等式恒成立；

ln(x+l)

②由/'(X)-《|•+1JR(X)W1-cosx得皿》+1)-小+«)牍-140在(-1,+<»)上恒成立,

令〃(x)=ln(x+l)-机x+cosx-l,且〃(0)=0,所以x=0是h(x)的极大值点,

又〃'(％)=-----m-sinx故”(0)=1_加=0,则加=1,

x+1

]x

当加=1时，h(x)=ln(x+l)-x+cosx-1,所以〃'(％)=-----sinx-1=-sinx---------,

X+1X+1

当xe(TO)时，-sinx>0,>0,则九'(x)>0,故九⑺在(T。)上单调递增,

5

所以当xe(-l,O)时,/z(x)</z(O)=O,

当尤e(0,+8)时,h(x)=[ln(x+l)-x]+(cosx-l),

令尤)=ln(x+l)-尤，因为“(x)=—pl<0,所以9O)在(0,+s)上单调递减，

所以0(x)<0(0)=0,又因为在(0,+℃)上cosx-lVO,

故当xe(0,+8)时，"(x)=[ln(x+l)-尤]+(cosx-1)<0,

综上，当加=1时，/(X)-机+V1-COSX恒成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))转化为证明"x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数双x)=/(x)-g(x);

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造"形似"函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

4.(2024•河北沧州•一模)对于函数了=/(尤)，x&I,若存在为©/,使得/(%)=尤0,则称/为函数/(x)的

一阶不动点；若存在与〃，使得/(/(%))=%,则称/为函数“X)的二阶不动点；依此类推，可以定义函

数“X)的”阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点"，二阶不动点简称为“稳定点"，函数/(x)的"不动点”

和"稳定点”构成的集合分别记为A和8,即/={x|/(x)=x},B={x|/(/(%))=x}.

(1)若〃x)=e“x>0),证明：集合/={x|/(x)=x}中有且仅有一个元素；

⑵若〃》)=(。+1及-：+学(a>-1),讨论集合8的子集的个数.

【答案】⑴证明见解析

⑵

答案见解析

【分析】(1)令g(无)=/(x)-x=/_尤，求导，可得函数g(x)的单调性，进而可得函数g(x)有唯一零点，

可得结论；

(2)由题意可知只需研究的不动点即可，令/(x)=(lnx+ax-±,求出其导数，判断其单调性，然

e.x

后分类讨论。的取值范围，判断尸(x)的零点情况，即可判断“X)的稳定点个数.，进而可得集合8的子集的

个数.

x1-

【详解】(1)令ga)=/(x)_x=e-x，求导得g'(x)=[ee-l,

令gU)=0,可得x=e,

当xe(-oo,e),g'(x)<0,当xe(e,+oo),g'(x)>0,

所以g(x)而1=g(e)=。，所以g(x)有唯一零点，

6

所以集合z={xIf(x)=x}中有且仅有一个元素；

12Inx

(2)当。>一1时，由函数〃x)=(a+l)》一一+

xe

可得导函数/'(x)=("+l)+31+;2x±1>0,所以〃x)在(0,+oo)上单调递增,

xe-尤

由反函数的知识，/(x)稳定点在原函数与反函数的交点上，

即/(X)稳定点与/(无)的不动点等价，

故只需研究〃x)=(a+l)x-L+坐的不动点即可；

xe

令尸(x)=/(x)-x=Inx+tzx--,(%>0),

ex

211

则F\x)=~Tx—H--,则F(X)在(0,+8)上单调递减，

exx

①当Q〉0时，尸(x)>0恒成立，即方(%)在(0,+8)上单调递增，

当X无限接近于。时，尸(X)趋向于负无穷小，

21

_BF(e2)=—Ine2+axe2-->0,

ee

故存在唯一的毛£(0,e2),使得厂(x)=0,即/(x)=x有唯一解，

所以此时/(x)有唯一不动点；

2

②当a<0时，即一1<°<0时，F((l)=—+a+l>0,

e

211

当番趋向无穷大时，二x一+F趋近于0,此时F(xJ<0,

eX]X]

211

存在唯一再e(0,+oc),使得k(x)==*一+4+==0,

exxxx

此时/W在(0,再)上单调递增，在(再,+00)上单调递减，

故厂(x)max=F{xi)=~\nxi+axx---=—Inx{--------,

exxexxe

当x趋近于0时，尸(%)趋向于负无穷大，当x向正无穷大时，尸(%)趋向负无穷大时，

222

^/z(x)=41nx---4,则〃(%)在(0,+8)上单调递增，

exe

且〃(e?)=wine2,

eee

211

又。=--rx-----^在西£(o,+8)时单调递增，

e再再

222

故(i)当b(x)max二不比玉------r=o时，即xe?,

ee

3

此时"-斗，方程”幻=0有一个解，即/(%)有唯一不动点，所以集合5的子集有2个;

e

7

222

(ii)当尸(XUax=二1口项------r<。，即石<«2,

ee

3

此时-l<a<-斗，方程尸(%)=0无解，即/(%)无不动点，所以集合3的子集有1个；

e

2223

(iii)当产(初皿=二山西------户。时,即再〉e?,此时—下<。<0,方程户(%)=0有两个解,即/(x)有

e%]ee

两个不动点，所以集合8的子集有4个；

综上，当0时或。=-j时，集合5的子集有2个；

当时，集合B的子集有1个；

e

3

当---<a<O0t，集合3的子集有4个.

e

【点睛】方法点睛：本题属新定义题型，读懂题意是关键；研究方程根的个数问题常转化为判断函数零点

的个数问题，利用导数研究含参函数的单调性，从而判断方程根(或函数零点)的个数问题.注意分类讨

论思想的应用.

5.(2024•山东聊城•二模)对于函数/(x),若存在实数%，使/(%)/(/+2)=1,其中丸#0,则称“X)为"可

移4倒数函数"，/为"/(x)的可移2倒数点已知g(x)=e',〃(x)=x+a(a>0).

(1)设9(x)=g(x)/(x),若及为"伏无)的可移-2倒数点"，求函数3(x)的单调区间；

g(x),x>0

(2)设0(x)=1若函数。(无)恰有3个"可移1倒数点"，求。的取值范围.

h(x)

【答案】⑴单调递增区间为(F,-3),(T+S),递减区间为

(2)(2,e).

【分析】(1)根据给定的定义，列式求出。值，再利用导数求出函数。(对的单调区间.

(2)利用定义转化为求方程0a)。(尤+1)=1恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.

【详解】(1)由逝为7(x)的可移-2倒数点"，得6(也)〃(近-2)=1,

即2+a)=1,整理a?+2)a+1-0,即(a+2A/^-l)(a-1)=0,解得a=1,

由°(x)=e，(x+l)2的定义域为R,求导得9'(x)=e，(尤+l)2+2e，(x+l)=e，(x+l)(x+3),

当xe(-8,-3)时,0，(尤)>。，0(力单调递增;xe(-3,-l)时,“(x)<0,0(x)单调递减;

xe(-l,+8)时，”(尤)>0,9(无)单调递增，

所以0(%)的单调递增区间为(f,-3),(-1,+8),递减区间为(-3,-1).

ex,x>0

(2)依题意，。(%)=<1，

----,x<0

、x+a

由0(X)恰有3个"可移1倒数点"，得方程矶龙)。@+1)=1恰有3个不等实数根，

8

①当x>0时，x+l>0,方程0（x）to（x+l）=l可化为e2"i=1,解得x=

这与x>0不符，因此在（0,+8）内0（x）o（x+l）=0没有实数根；

X+1

②当一l<x<0时，x+l>0,方程尤+1）=1可化为----=1,

x+a

该方程又可化为a=e㈤-尤.

^k（x）=ex+1-x,则〃（x）=eZ-l,

因为当xe（TO）时，F（x）>0,所以左（力在（-1,0）内单调递增,

又因为MT=2，M0）=e,所以当x«T0）时,^（x）e（2,e）,

因此，当ae（2,e）时，方程。（x）o（x+l）=1在（-1,0）内恰有一个实数根;

当ae（O,2］3e,+e）时，方程矶尤）。a+1）=1在（-1,0）内没有实数根.

③当尸-1时，x+l=0,o（x+l）没有意义，所以h-1不是0（x）o（x+l）=l的实数根.

④当x<-l时，X+1<0,方程0（x）0（尤+1）=1可化为」-------——=1,

x+aX+Q+1

化为f+（2a+1）%+/+〃_1=0,于是此方程在（-吗-1）内恰有两个实数根，

（2Q+1）-4（Q2+Q—1）>0

则有一2。+1<_］,解得+下,

22

1-QQ+I,+Q^+Q-1>0

因此当°>上手口寸，方程。（X）0（X+1）=1在（-双-1）内恰有两个实数根，

当0<〃4与e时，方程o（x）o（x+l）=l在内至多有一个实数根，

综上，a的取值范围为（2,e）c（¥］5,+劝=Q,e）.

【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的

零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题;

（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参

数的取值范围.

6.（2024•浙江宁波・二模）定义：对于定义在区间可上的函数，若存在实数ce（。⑼，使得函数在区间［见。］

上单调递增（递减），在区间司上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称。为最优点.已知定义

在区间［。回上的函数/'（x）是以。为最优点的单峰函数，在区间（。/）上选取关于区间的中心审对称的两

个试验点再J?,称使得|/（七）-/（°）］（，=1,2）较小的试验点占为好点（若相同，就任选其一），另一个称为

差点.容易发现，最优点。与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间［。力］分成两部分，并称好点

9

所在的部分为存优区间，设存优区间为,再对区间［%,4］重复以上操作，可以找到新的存优区间&也］，

同理可依次找到存优区间&，a］，［%也］，…，满足］。,可2［4,4］2&您］卫［4，4］2［&，"］2,,，可使存优

区间长度逐步减小.为了方便找到最优点(或者接近最优点)，从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为

本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数。，

则称这样的操作是"优美的"，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，/称为优美存优区间常数.对区

间"进行"次"优美的"操作，最后得到优美存优区间&也］,令£“=4口，我们可任取区间区也］内

的一个实数作为最优点。的近似值，称之为/(X)在区间6］上精度为J的"合规近似值"，记作演,司).

兀兀

已知函数/(x)=(x+l)cosx-l,xe0,—,函数g(x)=sinx-ln(l+?i-x),xe—,n.

(1)求证：函数/(x)是单峰函数；

(2)已知c为函数f(x)的最优点，d为函数g(x)的最优点.

(i)求证：c+d<n；

(ii)求证：it］-演［<0,彳j>d-c~~^-

注：V2b1.414,6«1.732,V5«2.236,77«2.646.

【答案】⑴证明见解析；

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(1)根据单峰函数的定义，求导确定/'(x)得单调性即可；

(2)(i)令t=n-d,贝！0,1-,令〃(x)=g(兀-x)=sinx-ln(l+x),根据c为函数f(x)的最优点，d为

函数g(x)的最优点，可确定导函数的零点，根据导函数的零点验证结论即可；(ii)根据"合规近似值”的定

义，结合函数单调性与不等式的性质证明结论即可.

【详解】(1)因为/'(x)=cosx—(x+l)sinx,令厂(%)=38^-(％+1”11口则尸'(x)=—2sinx—(x+l)cosx.,

因为xe0,j,则F(x)<0,则/'(x)在0,；上单调递减，

又因为广⑼="tm，

由零点存在定理知，存在唯一的ce］o,?,使得广(c)=0,且

xe(O,c)时，f'(x)<0,

所以/(x)在［0，。］上递增，上递减，所以/(x)为单峰函数.

(2)(i)令t=n-d,则/£0,1-,令%(x)=g(兀一x)=sinx—ln(l+x),

10

因为d为g（x）在|•，兀上的最优点，所以f为M>）在0,^的最优点，A,（x）=cosx-^—,

所以“⑺=0,结合最优点的定义知，，为「（无）在区间0,^上的唯一零点.

又由⑴知，/（“在［0,。］递增，c,；递减，且"0）=0,/］］<0・

所以由零点存在性定理知在区间存在唯一的fc,使得小）=0,

即兀一d=%>c,所以c+d<兀.

（ii）第一次操作：取再=（1-咤氏=吟，由对称性不妨去掉区间吟T，

JTJT

则存优区间为o,。］,西=（1-切5为好点；

第二次操作：士=（1-0T7T为一个试验点，为了保证对称性,

另一个试验点退与王关于区间0,。］的中心对称，所以X3=（2O-1）《；

又因为前两次操作，每次操作后剩下的存优区间长度与操作前的比值为。.

什22（y-l,...

右》3>修，即HnG>—,则nl-----=CD,CO=1（z舍去）；

33

若退<西，即。则匕@=。，即苏+。_1=（）,解得。="二I或0=上5（舍）.

3co22

则操作5次后的精度为4=

xjg,右兀-%九0,fI=%乡］/-d+"xj<0,1\+d-c

7155

%|g,P-小呜>(7-C-f^-6W+^-6W1=6?-C-TICD5.

又。2+。—1=（）,

所以05=0（1—初2=“02—2①+lj=a）［2—3。）=5co—3=5A1<§x二；~~—=、.

所以％（g,0,^^>d-c-na）5>d-c->得证.

【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义问题，求解本题第二问得关键点在于对"单峰函数"、"优美存优

区间常数"、"合规近似值”的理解，结合函数的单调性、绝对值不等式的进行结论的证明.考查学生的分析与

计算，属于难题.

7.（2024・广西•二模）设xeR,用田表示不超过x的最大整数，贝的=田称为取整函数，取整函数是德国

数学家高斯最先使用，也称高斯函数.该函数具有以下性质：

①丫二印的定义域为R，值域为Z；

11

②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即X=田+«(0<｛久｝<1),其中［划为x的整数部分,

｛%｝=X-印为X的小数部分；

③［n+制=n+［%］(nGZ)；

④若整数a,《满足。=bq+r(b>0,q,rCZ,0〉r<b),则用=d

(1)解方程［甯=平；

⑵已知实数r满足卜+言］+卜+言］+卜+磊］H----F［r+=546,求［100打的值；

⑶证明：对于任意的大于等于3的正整数"，均有｛*2｝>｛牛｝.

【答案】(l)x=*7x=24

(2)743

⑶证明见解析

【分析】(1)令竺m=n(nez),则方程可化为［卫锻|=九，根据高斯函数的定义，即可求解得答案；

(2)设［r)=n,则可判断卜+蔡卜+葛，卜+焉］，…，卜+盖］中〃以及〃+1的个数，从而可得

〃=7+3万2,结合高斯函数定义，即可求得答案；

(3)由所要证明不等式的形式，可构造不等式，当〃23时，有?<陪<?成立；设n+l=4q+r(0W

r<3,qCZ),推出q+：<*2<q+51,从而得到：<｛警斗<中，即可证明结论.

144n-2‘4414n-2J4

【详解】(1)令竺？=n(nEZ),则％=5：：7,

s15

.［5+6x1［lOn+391_

又由高斯函数的定义有0〈驾10〃二+39-修<1,

40

113、

解得：---<n<—,贝!)〃=0或〃=1,

3010

74

当〃=0时，贝U'=不；当〃=1时，则％=y;

(2)设旧=%设卜+知，"阖，卜+篇，…，卜+篇中有后个为〃+1,

(73-幻个"，(0<fc<73),

35-4

据题意知：(73-fc)n+fc(n+1)=546,则有"=7+一一，

解得:k=35,n=7,

所以r+更<8,r+—>8,BP743<100r<744,

100100

故［lOOr］=743；

(3)证明：由｛*2｝>｛乎｝的形式，可构造不等式，

当“23时，有匕1<迎±。<立；

44n—24

12

设几+1=4q+r(0<r<3,QGZ),

【

则ml有-q+irz/<n(nE+l<)/q+.Tr+l,

从而;<{筌4(乎，

而T=0+：，则F?}=：'

;Jn(n+l)1>fn+l|

I4n-2JI4J

【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义，即高斯函数的应用问题，难度较大，解答的难点在于(3)中

不等式的证明，解答时要理解高斯函数的性质，并能构造不等式，“N3时，有与华，进行证明.

8.(2024・湖北•模拟预测)欧拉函数在密码学中有重要的应用.设“为正整数，集合X“={1,2,…,〃-1},欧

拉函数。(〃)的值等于集合X,中与〃互质的正整数的个数；记M(x,y)表示x除以了的余数(x和/均为正整

数)，

⑴求夕(6)和0(15)；

⑵现有三个素数0,q,e(p<q<e),n=pq,存在正整数“满足”(血,。(〃))=1；已知对素数。和xeX。，

均有W(x"T,a)=l,证明：若xeX“，贝！］,〃［；

⑶设〃为两个未知素数的乘积，华，e?为另两个更大的已知素数，且2%=3e2+l；又G=M(XQ,〃),

e2

c2-M(x,n),x&Xn,试用9,Q和〃求出x的值.

【答案】⑴e(6)=2,3(15)=8；

⑵证明见解析；

(3)x=M(aocf,n).

【分析】⑴利用欧拉函数。(〃)的定义直接求出定6)和。(15).

(2)分析求出x与〃不互质的数的个数，求得/(〃)=(。-1)1-1),设M(x,p)=s,M［x,q)=t,结合二

项式展开式证明Mk"("),〃)=1,再按4片0与W=0分类求证即得.

(3)利用M(x,y)的定义，记"|=c；,n0=n,令%”=M(〃i，4),那么如eN+，且4>敌…3k0eN+,

使他=1,则\+1=0,再探求数列{nk}项数及递推关系即可求得答案.

【详解】(1)&中，与6互质的数有1和5,则夕⑹=2；

Xu中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11,13和14,则夕(15)=8.

(2)因为〃二夕夕，夕和夕为素数，则对xwX〃，仅当一EN+或一EN+时，x和〃不互质，

pq

又x<〃，则x=P,2p9或％二夕，2夕，…(夕一1”时，X与〃不互质，

则夕(〃)=〃—1—(2―1)—(q—1)=(2—1乂1—1),

设"(XM)=S,M(x,q)=t,可知s,才不全为0,下证srwO时，=

13

由题知，M（sp-\p）=M［t!'-\q）=\,

p

又X~'=（切+S）'T=（切+C；_］（初片2s+...+C高2ssp-2+SP-1=Np+s"［左N双）,

所以可（f7,0）="1片3=1,同理有〃卜小国）=1;

于是记无小=初+1优eN+）,/（"）=（kq+1广=N”+1（MeN+）,

即M（x"（"）,q）=l,同理W（x"（"）,p）=l,记x"（"）=N?p+l,于是他°+1=乂4+1,

贝1］必=乂上，因为里eN+，所以MeN+，所以”'）=丛九+1=巴-”+1,

ppppP

即M卜叫"）=1；

（i）stwO时，记M（x，,〃）=e,则M（l,"）="（，,〃）="卜帆"）+:〃），

记那=%又"（X，叫〃）=河［［必/@,4］,“）=1,而x<〃，则/卜则叫〃）=x,

即M（e",〃）=x,即（/,〃）］",〃）=尤；

（ii）若翻=0,不妨设s=0,于是尤=《p（左eX），

所以〃）=/（，,”）=乱的/，，力，又M（kf/）=ki，M（产⑷=1,

所以Aff=加①*《","）=0上眼（//必"）,4）=如［也（°2,4）了0）,qj=xAf（l,q）=x；

综上，x=M^M,得证：

（3）因为25=302+1,所以H3,则Af（铲=（铲2+1川，则A/3，〃）=M（尤c：,〃）,

假设存在的,4eN+，使得旬=%〃+1；记”］=c［,n0=n,

令%+i=河（7*,%），那么砍eN+，且%>%+「于是以eN+，使阳=1,则%+1=0,

从而数列｛%｝有且仅有扃+1项，

考虑使四%+1-殁+1以=（一1『（左WN+，左W左0）成立,

aknk+i~ak+\nk=（一1）

则对于相邻项有<

%-—1=（一广

将两式相加并整理得：=k+殁+1,

%

令左=耳，得°岛+］,又由于%，?，…，%。及%均由%=〃和4=c：确定,

则数列｛/｝的各项也可根据n和C：确定，

由上知M（a（）c：,"）=l,闻c；,〃）=M（xc：,〃）,

则Af（〃0。；,nj=M卜〃0弓,n）=M（［河（％,〃）•■（旬。：==X,

14

即x=M(%c；,〃)，其中旬是根据力和唯一确定的.

【点睛】思路点睛："新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据

此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和

方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.

9.(2024•河北石家庄•二模)设集合M是一个非空数集，对任意定义"(x,y)=|x-y|,称。为集

合M的一个度量，称集合"为一个对于度量。而言的度量空间，该度量空间记为(M,0).

定义1：若V是度量空间(M,p)上的一个函数，且存在ae(0,1),使得对任意阳yeM,均有：

P(/«,/(y))<ap(x,y),则称/是度量空间(监夕)上的一个“压缩函数

定义2：记无穷数列4,4,4，…为｛。“遇，若｛。“聚。是度量空间(M,0上的数列，且对任意正实数£>0,都

存在一个正整数N,使得对任意正整数见心N,均有4)<£,则称｛叫：。是度量空间(M。)上的一

个“基本数列

⑴设〃x)=sinx+；,证明：/是度量空间］g,2,2］上的一个“压缩函数"；

⑵已知/：R-R是度量空间(R,p)上的一个压缩函数，且a°eR,定义%+1=/(4)，〃=0,l,2,L,证明：

(〃"=0为度量空间(R,。)上的一个“基本数列

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)由正弦函数的性质可知：/(X)在上的值域，进而得出/■是从1,2至!)1,2的函数，

然后证明存在ae(0,1),对任意1,2,都有0(/(x)J(y))〈即(x,y)即可；

(2)先由压缩函数的定义得到：必存在ae(0,l),使得对任意x,yeR,|/(x)-/(j)|<a^-y|,进而得

N

到院+「闻再利用绝对值三角不等式得出院-a』4*—,「4()1)分类讨论G=%与。产为两

1-a

种情况即可得证，

1「1兀一

【详解】⑴由正弦函数的性质可知：〃x)=sinx+5在上单调递增，

在y,2上单调递减，所以/(x)min=min｛sin」+Lsin2+-｝=sin-+->-,

_2_222222

〃x)max=sin*；=；<2,所以/(X)在［,2］上的值域为卜in；+；m，2］,

所以/是从1,2到1,2的函数，

另一方面，我们证明存在ae(0,l),对任意尤1,2,都有。(/(尤)J(y))V%>(x,y),

15

ma=cos^,则对任意x,ye：,2,不妨设x<y,分两种情形讨论：

212」

①当sinxVsiny时，令尸(x)=tz尤一sinx,贝I」厂'(x)=a-cosxNc-cos：=0,

所以尸(x)在I，2上单调递增，因为x<>,所以尸(x)〈尸(y),BPax-smx<ay-smy,

所以siny-sinx<ay-ax,即<ap(x,y),

(2)当sinx>siny时，令G(x)=ax+sinx,贝!]G'(无)=a+cosx>a+cos2=cosg-cos(兀-2)>0,

所以G(x)在；,2上单调递增，因为x<y,所以G(x)<G(y),Bpax+sinx<ay+siny,

所以sinx-siny<ay-ax,即<ap(x,y),

综上所述，对任意x/eI，2,都有夕(/a),/(jO)Wa/?(x,y),

所以/是度量空间(g,2,夕)上的一个"压缩函数

(2)证明：因为/：R—R是度量空间(R,。)上的一个压缩函数，

所以必存在ae(0,l),使得对任意x/eR,p(f(x\f(y))<ap(x,y),

即|/(x)-/(y)|w。卜-了|,

因为%=/(%),M=0,1,2,L,

所以4+j-&|=|<a\ak-ak]<cc\%-aJ叫1-4,

由绝对值三角不等式可知：

对任意加>“2N,<|am-a„\=\am-am_x+am_x-am_2+am_2+•--+an+l-a„|

V腐一«,„-i|+«m-2I+-■•+鼠-a„|

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