四边形综合题-2023年北京中考数学复习试题分类汇编（解析版）

专题21四边形综合题

解答题（共37小题）

1.（2022•北京）如图，在口4BCD中，AC,8。交于点。，点£,尸在/C上，AE=CF.

（1）求证：四边形班ED是平行四边形；

（2）若NBAC=NDAC,求证：四边形E8FD是菱形.

【详解】证明：（1）在口N2CD中，OA=OC,OB=OD,

■：AE=CF.

OE=OF,

.•.四边形EBFD是平行四边形；

（2）•.•四边形48C。是平行四边形，

ABIIDC,

ABAC=ZDCA,

•••ABAC=ADAC,

NDCA=ZDAC,

DA=DC,

平行四边形/8C。为菱形，

DBLEF,

，平行四边形仍如是菱形.

2.（2021•北京）如图，在四边形48co中，N/C2=/C4D=90。，点石在3c上，AE//DC,EF1AB,

垂足为尸.

（1）求证：四边形NECC（是平行四边形；

4

(2)若平分NBZC,BE=5,cos5=—,求3/和4D的长.

5

D

【详解】(1)证明：ZACB=ZCAD=90°,

ADIICE,

AE//DC,

四边形NEC。是平行四边形；

(2)解：vEFLAB,

/BFE=90°,

4BF

cosB———9BE—5,

5BE

44

:.BF=—BE=—x5=4,

55

EF=yjBE2-BF2=V52-42=3,

•••AE平分ABAC,EFVAB,NACE=90°,

EC=EF=3,

由(1)得：四边形NECO是平行四边形，

AD=EC=3.

3.(2020•北京)如图，菱形/5CL1的对角线NC,8。相交于点O,£是的中点，点产，G在N8上,

EF1AB,OG//EF.

(1)求证：四边形。斯G是矩形；

(2)若40=10,EF=4,求OE和5G的长.

【详解】解：（1）•.•四边形/BCD是菱形,

OB=OD,

是/。的中点，

.〔OE是A42。的中位线，

OE//FG,

•••OG/IEF,

四边形。斯G是平行四边形，

EF工AB,

ZEFG=90°,

平行四边形OEFG是矩形；

(2)•.•四边形48co是菱形，

BDYAC,AB=AD=IO,

ZAOD=90°,

・••E是/。的中点，

:.OE=AE=-AD=5；

2

由(1)知，四边形。斯G是矩形,

FG=OE=5,

AE=5,EF=4,

AF=y]AE2-EF2=3,

:.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.

4.(2019•北京)如图，在菱形48co中，/C为对角线，点、E,尸分别在48,4D上，BE=DF,连接

EF.

(1)求证：ACLEF；

(2)延长斯交CD的延长线于点G,连接交/C于点O.若BD=4,tanG=-,求NO的长.

2

【详解】(1)证明：连接5。，交/C于。，如图1所示:

・・・四边形是菱形，

AB=AD,ACVBD,OB=OD,OA=OC,

・・・BE=DF,

AB:BE=AD:DF,

:.EF//BD,

:.ACVEF；

(2)解:如图2所示:

•.•由(1)得：EF//BD,

NG=ZCDO,

oc1

/.tanG=tanZCDO=——=-,

OD2

OC=-OD,

2

BD=4,

OD=2,

OC=1,

5.(2018•北京)如图，在四边形25co中，ABIIDC,AB=AD,对角线/C,3。交于点O,4c平分

ABAD,过点C作CE_L4B交的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形/BCD是菱形；

⑵若AB』，BD=2,求OE的长.

D

【详解】(1)证明：・・・45//CQ,

ZOAB=ZDCA,

•・・/C为的平分线，

ZOAB=ZDAC,

ZDCA=ADAC,

CD=AD=AB,

•・•AB//CD,

四边形/BCD是平行四边形，

•・•AD=AB,

二.口ABCD是菱形；

(2)解：・・•四边形/5CD是菱形，

/.OA=OC,BDLAC,

•・•CE1AB,

OE=OA=OC,

5/)=2,

:.OB=-BD=\,

2

在RtAAOB中，AB=逐,OB=\,

:.OA=y)AB2-OB2=2,

/.OE=OA=2.

6.(2022•海淀区一模)如图，在A45C中，AB=AC,。是6C的中点，点、E,尸在射线4。上，且

DE=DF.

(1)求证：四边形BEC尸是菱形；

⑵若4D=BC=6,AE=BE,求菱形5£CF的面积.

A

【详解】(1)证明：・・・/5=/C,。是5C的中点，

ADLBC,BD=CD,

•・•DE=DF,

二.四边形BEC厂是平行四边形，

•・•AD1BC,BD=CD,

4。是的垂直平分线，

EB=EC,

.•・四边形5EC尸是菱形；

(2)解：设。£=%,贝!==—QE=6—x,

BD=CD==BC=3,

2

:.BDi2+DE2=BE2,

32+x2=(6-x)2,

x——9,

4

9

EF=2DE=一，

2

iia97

菱形的面积=—x5。•斯=—x6x—=——.

2222

7.(2022•朝阳区一模)如图，在矩形/5CQ中，AC,3。相交于点O,AE//BD,BE//AC.

(1)求证：四边形4助。是菱形；

(2)若AB=OB=2,求四边形的面积.

?.四边形AEBO是平行四边形，

•・•四边形/5CZ）是矩形，

:.AO=CO,BO=DO,AC=BD,

OA=OB,

.•・四边形AEBO是菱形；

(2)解：・・•四边形/5CD是矩形，

ZDAB=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

OA=OB=OC=DO,

•・•OB=AB=2,

:.BD=4,

由勾股定理得：AD=^BD2-AB2=V42-22=273,

BO=DO,

•，*S\AOB=SMOD=~S^BAD=xxxx273x2=73,

•.•四边形/E8O是菱形，AB=AO,

AE=AO=BO=BE=AB=2,

AAEB=ABOA(SSS),

AAEB的面积=AAOB的面积=6,

四边形AEBO的面积是73+73=273.

8.(2022•顺义区一模)如图，在四边形48CD中，AD//BC,AC±BD,垂足为。，过点。作2。的垂

线交BC的延长线于点E.

(1)求证：四边形/CED是平行四边形；

4

(2)若4C=4,AD=2,cosZACB=-求5C的长.

5f

【详解】(1)证明：・.YC_LB。，BDtDE,

:.AC//DE,

vADIIBC,

ADIICE,

又•；ACI/DE,

.•・四边形/CEO是平行四边形；

(2)解：-AC//DE,

AACB=/DEB,

r)p4

cosZACB=cos/DEB=——二—,

BE5

••・四边形ACED是平行四边形，

：.DE=AC=A,CE=AD=2,

BE=5,

/.BC=BE-CE=3,

故BC的长为3.

9.(2022•通州区一模)如图，在A42C中，AB=BC,8。平分N/2C交/C于点。，点E为N8的中点,

连接DE,过点E作EF//AD交C8的延长线于点尸.

(1)求证：四边形。EE8是平行四边形；

(2)当/。=4,瓦3=3时，求CF的长.

【详解】(1)证明：•.•N8=3C,8。平分N4BC交NC于点。,

;AD=DC,

；点、E为AB的中点,

;.DE是AABC的中位线，

:.DE//BC,

:.DE//BF,

•••BD//EF,

.•.四边形。EES是平行四边形；

(2)解：VAB=BC,BD平分NABC交4c于点、D,

BD1AC,

ZADB=90°,

AD=4,BD=3,

AB=BC=ylAD?+BD?=5,

;DE是AABC的中位线，

:.DE=-BC=-,

22

V四边形DE尸8是平行四边形，

BF=DE=-,

2

:.CF=BC+BF=—.

2

10.(2022•丰台区一模)如图，在四边形/8CD中，ZDCB=90°,AD//BC,点£在2c上，AB//DE,

AE平分ABAD.

(1)求证：四边形N8EZ)为菱形；

(2)连接瓦3,交4E■于点。，若AE=6,sinZDBE=~,求CD的长.

5

【详解】(1)证明：・・・4D//8C,AB!IDE,

ADUBE,ADAE=NAEB,

四边形ABED为平行四边形,

•:4E平分/BAD,

NDAE=BAE，

/BAE=ZAEB,

/.BA=BE,

二.四边形/BE。为菱形；

(2)解：•.•四边形/BE。为菱形，AE=6,

.-.AO=OE=3,BO=DO,AE1BD,

OP3

在RtABOE中，sinZDBE=——=—,

BE5

3

:.BE=-=5,

5

BO=-jBE2-OE2=A/52-32=4,

/.4D=8,

.•3菱形4丽=/4E,BD=BECD,

2x55

11.Q022•房山区一模)如图，在口ABCD中，过点3作3£_LCD交CD的延长线于点E,过点。作CF//助

交AB的延长线于点方.

(1)求证：四边形5尸CE是矩形；

(2)连接4C,若AB=BE=2,tanZFBC=~,求4。的长.

2

【详解】（1）证明：・・•四边形48CQ是平行四边形,

AB//CD,

•:CF//EB,

：.四边形BFCE是平行四边形，

又•；BE1CD,

/./BEC=90°,

，平行四边形3FCE是矩形；

(2)解：由(1)可知，四边形8FCE1是矩形，

FC=BE=2,NBFC=90°,

FC1

tanZF5C=—=—,

BF2

BF=2FC=4,

•・•AB=2,

:.AF=AB+BF=2+A=6,

在RtAAFC中，由勾股定理得：AC=>jAF2+FC2=762+22=2^/10.

12.(2022•平谷区一模)如图，A45C中，ZACB=90°,点。为48边中点，过。点作45的垂线交5C

于点E,在直线。内上截取。7"使DF=ED,连接4E、AF、BF.

(1)求证：四边形4防方是菱形；

(2)若cosNEBF=—,BF=5,连接CD,求CQ的长.

5

CE

【详解】(1)证明：•.•点。为边中点，

AD=BD,

•・•DF=ED,

.•.四边形AEBF是平行四边形，

EFLAB,

.•.四边形/£2尸是菱形；

(2)解:如图，连接CO,过点尸作/G_L8C于点G,得矩形/FGC,

CrGB

,/cos/EBF=---=—，BF=5，

BF5

/.BG=3,

FG=AC=4f

•.•四边形/班厂是菱形，

CG=AF=BF=5,

BC=CG+BG=5+3=S,

AB=yjAC2+BC2=&+g=475,

•••ZACB=90°,。是N8的中点，

:.CD=-AB=l45.

2

:.CD的长为2石.

13.(2022•北京一模)如图，在菱形48CL1中，对角线/C与3。相交于点。，过点。作。2。交8c

的延长线于点E.

(1)求证：四边形NCK。是平行四边形；

(2)若BD=4,AC=3,求sin/CDE的值.

【详解】(1)证明：•.•四边形NBC。是菱形,

AD//BC,ZBOC=90°.

•••DELBD,

NBDE=90°,

NBDE=ZBOC,

:.ACHDE,

四边形/CEO是平行四边形.

(2)解：•.•四边形/CE。是平行四边形,

AD=CE,

AD=BC,

BC=CE,

•//BDE=90°,

/.DC=CE,

ZCDE=ZE,

•;BD=4,AC=3,ABDE=90°,

/.BE=5,

14.（2022•门头沟区一模）如图，在平行四边形中，BC=BD,BE平分NCBD交CD于O,交AD

延长线于E,连接CE.

（1）求证：四边形8CED是菱形；

（2）若。£>=2,tanZAEB=-,求A4AE1的面积.

2

【详解】（1）证明：•.•四边形N8CD是平行四边形,

BC//AE,

NCBE=NDEB,

•••BE平分ZCBD,

NCBE=NDBE,

ZDEB=NDBE,

BD=DE>

又BC=BD,

BC=DE旦BCI/DE,

四边形8CE。是平行四边形，

又BC=BD,

二.四边形8CDE是菱形;

(2)解：•.•四边形8CDE是菱形,

BO=EO,ADOE=90°,

又；AD=BC=DE,

.[OZ）是ZU2E的中位线，

:.ODI/AB,AB=2OD=4,ZABE=ADOE=90°,

AB1

tan/AEB==—,

BE2

/.BE=8,

SAARF=_4BxBE=-x4x8=16.

WBE22

15.（2022•海淀区二模）如图，在RtAABC中，N/=90。，点。，E、厂分别为45,AC,8c的中点,

连接。尸，EF.

（1）求证：四边形NEED是矩形；

（2）连接5E,若45=2,tanC=-,求的长.

2

【详解】（1）证明：•・•点。，E、方分别为48,ACf的中点,

:.DF//AE,DF=AE,

/.四边形AEFD是平行四边形，

•///=90°,

四边形NEED是矩形；

（2）解：•・・N/=90。，AB=2,tanC=-,

2

AB1

-----=-9

AC2

BP—=1,

AC2

解得NC=4,

•.•点E为/C的中点，

/.AE=2，

BE=ylAB2+AE2=@+22=2V2,

即的长是2vL

16.（2022•西城区二模）如图，菱形/BC。的对角线/C,BD交于点。，点E,尸分别在。/,3c的延

长线上，且CF=AE.

（1）求证：四边形£5尸。是矩形；

4

（2）若45=5,cosZO5C=—,求5T7的长.

【详解】(1)证明：•・・四边形是菱形,

AD/IBC,AB=BC=CD=AD,

•・•CF=AE,

/.AE+AD=CF+BC,BPDE=BF,

四边形EBFD是平行四边形，

•・•BELED,

/./BED=90°,

四边形E瓦加是矩形；

(2)解：•・・四边形/BCD是菱形，

/.BD=2OB,AB=BC=5,ACLBD,

在RtABOC中，cosZOBC=-=-,

BC5

OB_4

----——,

5---5

二.OB=4,

BD=2OB=8,

・・•四边形防即是矩形，

/F=90°,

在RtABFD中，cosZOBC=——

BD

432

BF=BDxcosZOBC=8x-=—.

55

17.（2022•昌平区二模）如图，在矩形NBC。中，对角线/C,2。交于点。，分别过点C,。作2D,AC

的平行线交于点£,连接交CD于点尸.

C1）求证：四边形。CED是菱形；

（2）若NC=8,ZDOC=60°,求菱形OCED的面积.

【详解】（1）证明：••・OC/ADE,OD//CE,

四边形OCED是平行四边形，

■.•四边形/BCD是矩形，

.­.OC=OD,

二.四边形OCE。是菱形.

（2）解：•.•四边形N5C。是矩形，AC=8,

OC=OD=-AC=4,

2

/DOC=60°,

NOCD是等边三角形，

CD=OC=4,

•.•四边形。CEL）是菱形，

ZDFO=90°,ZDOF=-ZDOC=30°,

2

：.OFS

;.OE=2OF=46,

S菱彩OCED=；DC,°E=4X.

18.（2022•朝阳区二模）如图，在菱形/BCD中，。为AC,3。的交点，P,M,N分别为CD,OD,

0c的中点.

（1）求证：四边形（WPN是矩形；

（2）连接NP,若48=4,ABAD=60°,求NP的长.

D

【详解】（1）证明：・.•「，M,N分别为CD,OD,0c的中点，

PM>PN是AOCD的中位线，

PM//OC,PN//OD,

.•.四边形OMPN是平行四边形，

•.•四边形/8CA是菱形，

AC1BD,

2MoN=90°,

平行四边形OMPN是矩形；

（2）解：如图，•.・四边形/5CD是菱形，

AB=AD,OA=OC,OB=OD,ACLBD,

■：ABAD=60°,

AABD是等边三角形，

AD=BD=AB=4,

:.OD=-BD=2,

2

在RtAOAD中，由勾股定理得：OA=^AD2-OD2=A/42-22=273,

OC=26，

■：M,N分别为O。，0c的中点，

：.OM=-OD=l,ON=-OC=y[3,

22

4N=OA+ON=36

由（1）可知，四边形OMPN是矩形，

：.NP=OM=\,ZPNA=90°,

AP=y/AN2+NP2=7（373）2+12=277.

19.(2022•丰台区二模)如图，在A48C中，ABAC=90°,ADVBC,垂足为AE//BC,

CEIIDA.

(1)求证：四边形/ECL＞是矩形；

(2)若/5=5,cosB=~,求//的长.

5

【详解】(1)证明：•・•ZE//5C,CE//DA,

四边形AECD是平行四边形，

•・•ADLBC,

NADC=90°,

・•・平行四边形4£CQ是矩形；

3AR

(2)解：vZBAC=90°,AB=5,cosB=-=——，

5BC

525

/.BC=-AB=—,

33

•・•ADLBC,

NADB=90°,

3RD

vAB=5,cosB=-=——,

5AB

...BD=3,

:.CD=BC-BD=——3=—,

33

由(1)可知，四边形NEC。是矩形，

AE=CD=—,

3

即的长为屿.

3

20.(2022•东城区一模)如图，在四边形/BCD中，4。与5。相交于点O,且4。=以9,点E在上,

ZEAO=ZDCO.

(1)求证：四边形ZEC。是平行四边形；

2

(1)若4B=BC,CD=5AC=8,tan//BO=—,求的长.

f3

【详解】(1)证明：在A£U4和ADOC中,

ZAOE=ZCOD

<AO=CO,

NEAO=ZDCO

\EOA?ADOC(ASA),

/.OD=OE,

又•.•40=CO,

四边形AECD是平行四边形；

(2)解：•••AB=BC,AO=CO,

OBVAC,

:.ZCOD=ZAOB=90°,

由(1)得：OD=OE,

■：AC=8,

.-.AO=CO=-AC=4,

2

在RtADOC中，由勾股定理得：OD=NCD2-CO?=旧-4?=3,

:.OE=OD=3,

4042

,/tan/ABD=-----=-----

OBOB3

/.OB=6,

:.BE=OB-OE=6-3=3.

21.(2022•东城区二模)如图，在平行四边形45CD中，Q5=,点尸是43的中点，连接。咒并延长,

交C5的延长线于点E,连接ZE.

(1)求证：四边形4EBZ)是菱形；

(2)若。C=Ji6,tan/QC5=3,求菱形的边长.

【详解】(1)证明：•・•四边形力58是平行四边形,

/.AD//CB,

ZDAF=/EBF,

•・•点/是45的中点,

/.AF=BF,

在\AFD和NBFE中,

ZDAF=ZEBF

<AF=BF

ZAFD=ABFE

,\AFD=MFE(ASA),

/.AD=EB,

•・•ADI/EB,

四边形AEBD是平行四边形，

又•：DB=DA,

.•.平行四边形/防。是菱形；

(2)解：•.•四边形42C。是平行四边形,

AD=BC,AB//CD,

由(1)可知，四边形NEAD是菱形,

AD=AE=BE=BD,ABVDE,

BE=BC,CD1DE,

ZCDE=90°,

DF

tanZDCB=——=3,

DC

DE=3DC=3A/10,

:,CE=yjDC?+DE?=J(V10)2+(3Vi0)2=10,

:.BE=BC=-CE=5,

2

菱形的边长为5.

22.（2022•顺义区二模）如图，在A43C中，AB=AC,40为5C边上的中线，点E为4D的中点，过点

4作4尸//5C,交的延长线于点/，连接CF.

（1）求证：四边形/OC尸为矩形；

4

（2）若5C=12,sin/4cB=—,求防的长.

【详解】（1）证明：・・・40是边上的中线,

BD=CD,

•・,点E是4D的中点,

AE=ED,

vAF//BC,

ZAFE=NDBE,ZFAE=ABDE,

ZAFE=/DBE

在AAFE和AZ)班中，］ZFAE=ABDE,

AE=ED

\AFE=ADBEQAS),

...AF=BD,

AF=DC,

又AF/IBC，

，四边形4DC尸为平行四边形，

•;AB=AC,40为3c边上的中线，

AD±BC,

ZADC=90°,

四边形/DC尸为矩形；

(2)解：由(1)得：CD=-BC=6,AE=-AD,四边形ZDCF为矩形，

22

AF=CD=6,ZEAF=NADC=90°,

AF)4

在RtAADC中，sinZACB=—=-,

AC5

设ZD=4x,则/C=5x,

AD2+CD2=AC2,

(4x)2+6?=(5x)2,

解得：x=2(负值已舍去)，

/.AD=8,AE=4,

在RtAEAF中，由勾股定理得：EF=^AE2+AF1=742+62=2加.

23.(2022•门头沟区二模)如图，矩形N8C。的对角线/C,BD交于点O,延长CD到点E,使

DE=CD,连接4E1.

(1)求证：四边形N5DE是平行四边形；

(2)连接。E,若4D=4,AB=2,求O£的长.

【详解】解：(1)♦・•四边形/BCD是矩形，

AB//CD,AB=CD,

DE=CD,

DE=AB,

四边形ABDE是平行四边形.

(2)如图所示，过。作。尸_LCD于尸，

•.•四边形48C。是矩形，

.­.OD=OC,

厂是CD的中点，

:.DF=-CD=-x2=l,

22

又•：DE=CD=4B=2,

EF=3,

是/C的中点，

二。厂是A4co的中位线，

:.OF=-AD=2,

2

RtAOEF中，0E=JE尸+0尸2=732+22=屈.

24.(2022•石景山区二模)如图，在等边A4BC中，。是3C的中点，过点N作/E/ABC,^.AE=DC,

连接CE.

(1)求证：四边形4DCE是矩形；

(2)连接交于点尸，连接C尸.若/8=4,求C/的长.

【详解】(1)证明：•.•/£/ABC,S.AE=DC,

二.四边形ADCE是平行四边形，

•.,等边A42C中，。是BC的中点,

/.AD1BC,

ZADC=90°,

平行四边形ZOCE是矩形；

（2）解：如图，•••A43C是等边三角形，

BC=AC=AB=4,

・・•。是5C的中点,

/.ADLBC,DB=DC=2,

/ADB=90°,

在RtAACD中，由勾股定理得：AD=y]AC2-CD2=A/42-22=273,

•・•AE=DC,

AE=DB,

由（1）可知，四边形4DCE是矩形，

AEAF=90°,

在AS。尸和A£N尸中，

ZBFD=ZEFA

<NBDF=/LEAF=90°,

DB=AE

\BDF=XEAF（AAS）,

:.DF=AF=-AD=y[i,

2

:.CF=y/DC2+DF2=打+（9=V7.

25.（2022•平谷区二模）如图，口4BCD中,连接/C,点K是中点，点尸是4C的中点，连接£尸，

过E作EG/A4尸交的延长线于点G.

（1）求证：四边形/GE尸是平行四边形；

3

(2)若sin/G=—,AC=W,BC=12,连接G尸，求G尸的长.

5

.•.E厂是A45C的中位线，

:.EF/IBC,EF=-BC,

2

在平行四边形/BCD中，ADIIBC,

EF//AD,

•・•EG//AF,

/.四边形ZG£尸是平行四边形；

ZHAF=/AGE,

3

,/sinNG=—，

5

HF3

sinZHAF=——

AF5

-AC=10,尸是4C的中点，

AF=5,

:.HF=3,

在RtAAHF中，根据勾股定理，得4〃=4,

BC=12,

...EF=6,

v四边形ZGE厂是平行四边形,

.­.AG=EF=6,

:.GH=6+4=10,

在RtAHGF中，根据勾股定理，GF=V9+100=V109.

26.(2022•房山区二模)已知：如图，在四边形NBCr(中，ABUDC,AC±BD,垂足为过点/作

AE1AC,交CD的延长线于点E.

(1)求证：四边形N8ZJE是平行四边形；

4

(2)若/C=8,sinZABD=-,求的长.

【详解】(1)证明：AELAC,

/.AE//BD,

ABUDC,

AB/IDE.

.•.四边形ABDE为平行四边形；

(2)解：・・•四边形4瓦用为平行四边形,

BD=AE,ZE=AABD.

4

vsinZABD=-,

5

.h4。4

sin=----=—.

EC5

在RtAEAC中，AC=8,

:.CE=10,AE=6,

BD=6.

27.(2022•北京二模)如图，四边形48co是平行四边形，过点工作8c交2C于点E,点尸在8C

的延长线上，且CF=BE,连接DF.

(1)求证：四边形NEED是矩形；

(2)连接4C,若N4CD=90°,AE=4,CF=2,求EC和/C的长.

【详解】（1）证明：•・,四边形为BCD是平行四边形,

AD/IBC,AD=BC,

•・•CF=BEBE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

AD=EF,

vAD//EF,

?.四边形AEFD是平行四边形,

•/AELBC,

ZAEF=90°,

平行四边形是矩形;

(2)解：如图，•1-CF=BE,CF=2,

BE=2,

■.•四边形ABCD是平行四边形,

ABI/CD,

ABAC=NACD=90°,

AELBC,

AE2=BE-EC(射影定理),

AE242

.­.EC=——­=8，

BE2

AC=yjAE2+CE2="2+8?=475.

B

28.（2022•石景山区一模）如图所示，A42c中，乙4cB=90。，D,£分别为2c的中点，连接

并延长到点尸，使得EF=DE,连接CD,CF,BF.

（1）求证：四边形277cA是菱形;

（2）若cosN=』，DE=5,求菱形BR?〃的面积.

【详解】（1）证明：•.•点£为8c的中点，

CE=BE,

■：EF=DE,

二.四边形8尸CD是平行四边形，

•.•。是边48的中点，ZACB=90°,

:.CD=~AB=BD,

2

.•.平行四边8"。是菱形；

（2）解：E分别是边的中点，

:.DE是AABC的中位线，

AC=2DE=2x5=10,

Ar5

在RtAABC中，cos/=——二—,

AB13

/.AB=26,

BC=NAB?-AC。=A/262-102=24,

•••EF=DE,

:.DF=\Q,

:.菱形BFCDWffi^=-5C-r>F=-x24x10=120.

22

29.Q022•密云区二模）如图，在平行四边形中，NC平分/B4D,点£1为/D边中点，过点E作4C

的垂线交48于点交C2延长线于点尸.

（1）求证：平行四边形/8CD是菱形；

3

(2)若FB=2,sinF=-,求4。的长.

5

【详解】(1)证明：・・•四边形/5C。是平行四边形,

/.AD//BC,

/.ADAC=ZBCA,

•・•AC平分ABAD,

ADAC=ABAC,

/.ZBCA=ZBAC,

/.AB=CB,

平行四边形43C。是菱形；

（2）解：连接8。，交/C于O,如图所示:

由（1）得：四边形ABC。是菱形，

/.ADIIBC,BD1,AC,OA=OC=-AC,

2

:.ZAOD=90°,

•・•EFVAC,

:.EF//BD,

四边形EFB。是平行四边形，

ZADO=ZF,DE=FB=2,

3

/.sinF=sinZADO=—，

5

•・•点E为/。边中点，

AD=2DE=4,

nA

在RtAAOD中，sinZADO=——,

AD

3_OA

—=--,

54

:.OA=—,

5

1224

:.AC=2OA=2x—=—.

55

30.(2022•大兴区一模)如图，在平行四边形23cA中，点、E,尸分别是CD上的点，CF=BE.

(I)求证：四边形NEED是平行四边形；

(2)若乙1=60。，40=2,48=4,求2。的长.

【详解】(1)证明：•.・四边形是平行四边形,

AB//CD,AB=CD,

­,•CF=BE,

:.CD-CF=AB-BE,

即DF=AE,

又•：DFMAE,

四边形NEED是平行四边形；

(2)解：如图，过3作5G_L4D于G,

•••N4=60°,

.-.ZABG=90°-60°=30°,

:.AG=-AB=2,

2

AD=2,

AG=AD,

;.G与。重合，

BD1AD,

BD=yjAB2-AD2=V42-22=273.

G

C

31.(2022•大兴区二模)如图，尸是正方形/BCD对角线4。上一点，点石在5C上，且PE=PB.

(1)求证：PE=PD；

(2)连接。E,求/尸助的度数.

【详解】(1)证明：・・•四边形/BCD是正方形,

:.BC=CD,ZACB=ZACD,

在\PBC和NPDC中,

BC=DC

</ACB=/ACD,

PC=PC

\PBC=APDC(SAS),

:.PB=PD,

•••PE=PB,

PE=PD；

(2)解：连接。E,

v四边形ABCD是正方形,

/BCD=90°,

•・•APBC=NPDC,

APBC=ZPDC,

•・•PE=PB,

ZPBC=/PEB,

ZPDC=ZPEB,

•・•/PEB+/PEC=180。,

:.ZPDC+ZPEC=\SO0,

在四边形PECD中，ZEPD=360°-(ZPDC+/PEC)-/BCD=360°-l80°-90°=90°,

又•：PE=PD,

・•.APQE是等腰直角三角形，

...APED=45°.

32.(2022•房山区模拟)如图，在口/5CQ中，AC,BD交于点O,且40=30.

(1)求证：四边形Z5CQ是矩形；

(2)的角平分线。E交45于点E,当40=3,tan/G45=—时，求4E的长.

【详解】(1)证明：•・•四边形是平行四边形,

:.AC=2AO,BD=2BO.

AO=BO,

:.AC=BD.

为矩形.

(2)解：过点石作EGL5O于点G,如图所示：

•・•四边形Z5CD是矩形，

/DAB=90°,

・•.EA1AD,

・・・DE为/ADB的角平分线，

EG=EA.

AO=BO,

.../CAB=/ABD.

3

..•4。=3,tanZCAB=-,

4

3Ar)

tan/CAB=tan/ABD=-=——.

4AB

AB=4.

BD=yjAD2+AB2=A/32+42=5,sinZ.CAB=sinZ.ABD=.

BD5

设/E=EG=x,贝!)5£=4-x,

在NBEG中,NBGE=90°,

sinZABD=——=-.

4-x5

33.(2022•西城区校级一模)如图，平行四边形48c。中，G是CO的中点，£是边/。上的动点，EG

的延长线与8c的延长线交于点尸，连接CE,DF.

(1)求证：四边形CEZ加为平行四边形；

(2)若AB=6cm,BC=10cm,/B=60°,

①当/E=7c加时,四边形C£7»是矩形；

②当/E=c加时，四边形C瓦加是菱形.

V四边形ABCD是平行四边形,

..CF//ED,

ZFCD=ZEDC,

•・・G是C。的中点，

/.CG=DG,

ZFCG=ZEDG

在AFCG和中，\CG=DG

ZCGF=ZDGE

\CFG=\EDG(ASA),

FG=EG,

四边形C瓦邛是平行四边形；

(2)①解：当4E=7时，平行四边形CEDE是矩形,

理由是：过4作于

•••AB=60°,AB=6,

BM=3,

v四边形ABCD是平行四边形，

/.ZCDA=ZB=60°,DC=AB=6,BC=AD=10f

•・•AE=7,

DE=3=BM,

BM=DE

在\MBA和\EDC中，\AB=ZCDA,

AB=CD

\MBA三AEDC(SAS),

NCED=ZAMB=90°,

四边形GET)厂是平行四边形，

四边形CEO尸是矩形，

故答案为：7；

②当/E=4时，四边形CE/m是菱形，

理由是：VAD=W,AE=4,

DE=6,

•・•CD=6,ZCDE=60°,

\CDE是等边二角形,

CE=DE,

■：四边形CED厂是平行四边形,

，四边形CEA厂是菱形，

34.（2022•海淀区校级一模）在A/42C中，AB=AC=2,ABAC=45°.将A45c绕点/逆时针旋转a度

（0<々<180）得到入4。£,B,C两点的对应点分别为点。，E,BD,CE所在直线交于点尸.

（1）当A42c旋转到图1位置时，ZCAD=_a-45°_（用々的代数式表示），NBFC的度数为

（2）当a=45时，在图2中画出A4OE,并求此时点/到直线BE的距离.

【详解】解：（1）•.・A48C绕点/逆时针旋转夕度（0<a<180）得到AWE,如图1,

ABAD=NCAE=a,AB=AD,AE=AC,

而/A4c=45°,

ZCAD=a-45°；

AB=AD,AE=AC,

NABD=ZADB=1(180°-ABAD)=1(180°-a)=90°,

NABD=ZACE,

NBFC=NBAC+ZABD=45°+90°--a=135°--a.

22

故答案为a-45。；135°--a；

2

(2