山东省聊城市2023-2024学年高二年级上册11月期中数学试题（解析版）

2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测

高二数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

L答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写

到答题卡和试卷规定的位置上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位

置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正

带.

4.不按以上要求作答的答案无效.

第I卷选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设aeR,则“直线。'+1-1二°与直线、+型+】=。平行”是“。=±1”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用直线平行的性质，分别判断充分性和必要性即可.

a3—1=0

na=l

【详解】若直线6+丁-1二°与直线-碍T1二°平行，则,充分性成立；；

当。=1时，则直线=°与直线丫+丁+1=°平行，

当时，两直线重合，不满足题意，必要性不成立；

所以直线a、+】一：=°与直线'+牛'+1=°平行是a=±1的充分不必要条件.

故选：A.

2.经过两条直线L二T二】,=l的交点，且直线的一个方向向量‘二一《"I的直线方程为

（）

A2.t-,v-l=0B2i+,v-3=0

c3T-2,r-5=0D2x4-5=0

【答案】D

【解析】

【分析】求出交点，由方向向量可得斜率，然后由点斜式可得方程.

1详解】联立。解得：1V=1,

即直线"F=%"，1丁=1的交点为“11,

又直线的一个方向向量丫=*-6-41所以直线的斜率为-3,

y-\=--(x-1)r-工cn

故该直线方程为：3,即3=0

故选：D.

3.已知S4J■平面ABC,-正工^4-^-1,书,则空间的一个单位正交基底可以为

【答案】A

【解析】

【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.

【详解】因为J•平面ABC,AB.AC都在面ABC内，

所以&1_L45,£4_Lj(7.

因为XB，/,AB-\,BC=6所以4C=2,又SA=I,

所以空间的一个单位正交基底可以为

故选：A

4.椭圆164

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.焦距相等D.顶点相同

【答案】C

【解析】

【分析】根据方程求出a,b,c后比较可得.

x|_____

【详解】椭圆164中a=4,b=2,c=也6-4=2百,

椭圆中弘+乂中a'=6,b*-2>/6,c'=->J36-24=1,

只有半焦距相等，因此焦距相同，其他都不相同,

故选：C.

5.已知圆M截直线i+】'=0所得线段的长度是二6,则圆〃与圆

M「\-19+。-1)'=1的位置关系是

A.内切B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【解析】

d_a

【详解】化简圆“/+Wa)'=a'nM(O,a),/i=anM到直线I+J=O的距离至

L+2=a3=>a=2=>A/|0,2).5=2

又ML1)e=卜+S|=两圆相交选B

6.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案

(如图1),把三片这样的达・芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每

个正方体的棱长为1,则点A到平面的距离是()

©

图1

1

A.4

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求平面。的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.

【详解】建立空间直角坐标系如图所示:

则。。L0）,。（10二），G（O.O」），出1」,0）,eC=（-1.2-2）,而=（-1。0）.於=（-1,1.0）,

nQC=0—i=o

设平面QGC的法向量为「（、》,：）,贝!j,QG=°,即工=0,则平面QGC的一个法向量

为“=（°L】），

d降」

则点A到平面03°的距离FI■

故选：C

7.已知圆C:（x-2）,+y=64,kT0为圆内一点，将圆折起使得圆周过点尸（如图），然后将纸

片展开，得到一条折痕，，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线,

则该圆锥曲线的方程为（）

—+y3=l

A.：612B.4

X,V*Qxy".

+1=I——+—=1

C.4D164

【答案】A

【解析】

【分析】记点尸关于折痕，的对称点为A,折痕LC相交于点尸，分析"1+因的值，结合椭圆定

义可解.

【详解】由题知，'号-'"CUS,记点尸关于折痕，的对称点为A,折痕”）41相交于点P,

则点A在圆周上，折痕,为线段月产的垂直平分线，如图所示:

则有网=可知1阴+因卜EI+\PC\=\AC\^>\FC\=4

所以点尸的轨迹是以FC为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a=5,焦距2c=4,

所以a=4,,-=二;、二手,

x2y2

所以点尸的轨迹方程，即折痕围成轮廊的圆锥曲线的方程为1612.

故选：A.

8.如图，在正方体必2一型£〃中，0是zc中点，点厂在线段车；上，若直线8与平面Q"

所成的角为6,则寂nd的取值范围是（）

11

413

【答案】A

【解析】

生=a（o“4】）

【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,AA,先利用空间向量法表示出线面

角的正弦值，再结合二次函数求范围即可.

-^-=1（0<1£1）一—

【详解】如图，设正方体棱长为1,A4,则’4G,

以。为原点，分别以D4口匚所在直线为L,二轴建立空间直角坐标系.

则4L0.0)C(0J0)C。)故福=K・(TLO)不

又4mL则吁")，所严

在正方体力88一4反。自中，可知体对角线4°±平面乌40,

所以二0-1L1」।是平面中「的一个法向量，

所以当2时，取得最大值3,当4-0或1时，s】n什取得最小值3.

sin^e-^-w—

所以33-.

故选：A.

【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：

(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦

值；

(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若直线过点'1二I且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线，'方程可能为()

【答案】ABC

【解析】

【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可.

上=

【详解】当直线经过原点时，斜率为1-0所求的直线方程为y=2x,即＞一.『=°；

当直线不过原点时，设所求的直线方程为无土产瓦把点A(1,2)代入可得1-29,或1+2=人，

求得或仁3,故所求的直线方程为'一1+】=°,或|+丁-3二°；

综上知，所求的直线方程为、一】'=°、x-J'+l=O,或x+J'-3=O.

故选：ABC.

【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题.

10.已知点尸在圆c：P+j''_4x=°上，直线48：.r=x+t,则()

A.直线48与圆C相交B.直线45与圆C相离

C.点P到直线,45距离最大值为20+?D.点P到直线距离最小值为1

【答案】BC

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断.

【详解】解：圆G丁+丁-430,即(”-2)+i=4,圆心为C(2Q),半径「=:,

则圆心c到直线儿§的距离-L，所以直线45与圆c相离，

又点P在圆二'上，所以点P到直线.45距离最大值为20+2,点尸到直线.43距离最小值为

-7^-2,故正确的有B、C.

故选：BC

11.正方体，北。。小耳，。1的棱长为1,已知平面a,/q,则关于,“截此正方体所得截面的判断正确

的是()

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为.

【答案】AC

【解析】

【分析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断.

【详解】如图，在正方体检8-44C1A中，连接43、4。、BD.AC,

因为儿4■1•平面MCD,BDu平面/BCD,则

因为四边形-必°。为正方形，则

又因为乂CC=4,<Cu平面必℃,所以，BD/平面441clC,

因为4£u平面以。£则4cl_LBZ),同理可证阳J_4况

因为43cAD=B,ABBOu平面4'。，则<。1~*■平面司吗

所以平面a与平面43。平行或重合，

所以平面a与正方体的截面形状可以是正三角形，

当E、F、N、M、G、斤分别为对应棱的中点时，截面瓦为正六边形，

因为£、H分别为3反、4妫的中点，则石月工〜51,

因为EHa平面4且0,43u平面430,则AH〃平面43Q,

同理可得M〃平面43°,

又因为RHAEF=E,EH、RFu平面EFNMGH,则平面XFMlOf〃平面其口,

所以，4c,平面EF?v?fGH,此时，截面为正六边形，c对；

将平面a平移，可知截面不可能是正方形，B错；

如图设截面为多边形OM&7A归，

则GH=ME=NF=,MG=HN=BF=右0-x).MN=6.

所以多边形OMWK%，的面积为两个等腰梯形的面积和，

S=!9H+MN}%+%(MV+M%

所以22

因为％/而71誓犷=即

5=l(V2x+>/2)将…+口夕+而一切

所以

=-V3x3+>/3x+--•

*>

103yf3

x=—S=——

当？时，54,D错.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何体的截面问题，求解时要注意从动态的角度进行分析问题和求解

问题，结合函数思想求解最值.

12.已知椭圆259'分别为它的左右焦点，A，分别为它的左右顶点，点尸是椭圆上的一

个动点，下列结论中正确的有（）

5P居

A.存在P使得2

B.COSN写尸用的最小值为8

9

c.直线月4与直线斜率乘积为定值工

D.P3Q则"附的面积为9

【答案】AD

【解析】

【分析】A选择可由数量积求夹角余弦值来判断」TRT的最大角是否大于等于直角即可；B选项利用椭

圆的定义以及余弦定理结合基本不等式的知识可解；C选项直接求上〃结合椭圆方程化简可得定

值，也

=_竺

可以记住k”k”一了这个小结论直接判断；D选项由椭圆定义和勾股定理可求网阀I的值，再

利用面积公式求答案.

C=1

【详解】设椭圆「上下顶点为由题知椭圆-59中，0=5力=3<=4,

6(-40)其(4,0)/(-5,0)/(5,0),。(0,3)笈(0.-3)

所以,

对于A选项,由于D及=(T-3),。居(4.-3),D。Z)^=-16+9=-7<0

Z_PPPs二

所以一尸尸匠的最大角为钝角，故存在「使得一’72,故A正确；

对于B选项，记冏卜E.|P引=”，则用+力=10,

._m3+n3-64（m+n）2-2mn-6436-2mn18,

cosN招产K=--------------------；-------------=----------------1

由余弦定理：-加〃2wi2mnmn

当且仅当I尸"1|=附1时取=,B不正确；

对于C选项,设尸（”“"均，川-5.0|05.0）

对于D选项,由于尸区心入，故1/+/=64

S=—wt=9.D

所以一；2正确；

故选：AD.

第n卷非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.与圆丁+/-入+4\+'=°同圆心，且过点"I的圆的方程是：.

【答案】一+/-2.v+4r-4=0

【解析】

【分析】设所求方程为「+~：I+±1'+E=0,然后代入点T"即可求解.

【详解】设所求圆的一般式方程为1-八++’+"一口,

代入点”1,可得1+1-二+4+巾=0,解得巾=-4,

所以，所求圆的方程为--»+4r-4=0

14.如图，月41平面世。。，底面/CD是正方形，夙尸分别为PQ,9B的中点，点G在线段"

上，ZC与3。交于点。，PA=AB=2,若0G〃平面面。，则4G=.

【答案】3

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面即C的法向量，根据亢CG=O求解即可.

【详解】如图所示，以A为坐标原点，，必-愈一好的方向分别为•二轴的正方向建立空间直角坐标

系，

由题意可得尸(0.0Q.B(2.0,0a(0：0lC01Q(LL0)

则尸|L0,11,00,1,11,

所以后而=(一】］必，

设平面即C的法向量为*=,A-v-rl,

nFC-0x+2j-:=O

则［方尸8=01-x+"0，令X=1,则得一个法向量为5・(LL3)

因为。G//平面邱匕，则彳。6=0,

设G(°£a),则8=(-Ia),所以7-1+1=0,

a--G（0.0.5]AG=—

解得3,所以l,九即3.

故答案为：3

15.点尸（TT）到直线/12+34）*+（1+&JT-3Z=0（%为任意实数）的距离的最大值是

【答案】M

【解析】

【分析】求出直线所过定点坐标，由定点与尸的连线和直线，垂直时距离最大可得结论.

【详解】直线，：（2+3Z）x+（l+a）尸2-3/1=0可化为：（2x+.v-2）+Z（3.t+.v-3）=0,

2“+y-2=0x=l

由13x+r-3=o,解得U=o,

直线，恒过定点4二。,，

阳=>+（0+D'=眄

二月41,时距离最大，点尸L-->到直线的距离为,1。，

故答案为：Vio.

16.2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如

图）的跨度米，拱高I闭.10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与0产相距

30米的支柱孙'的高度是米.（注意：丽力”62）

P

4MOB

【答案】648

【解析】

【分析】以点尸为坐标原点，°尸所在直线为.「轴，过点户且平行于48的直线为1.轴，建立平面直角坐

标系，求得点A的坐标，设所求圆的半径为，，由勾股定理可列等式求得r的值，进而可求得圆的方程，

然后将、=-30代入圆的方程，求出点N的纵坐标，进而即可计算出小N的长.

【详解】以点P为坐标原点，°尸所在直线为J轴，过点户且平行于二3的直线为x轴，建立平面直角坐

标系，

由题意可知，点A的坐标为‘—5。一】山，设圆拱桥弧所在圆的半径为「,

由勾股定理可得+

又闭.10即(10厂+5丁=3，解得「=130,

所以圆心的坐标为加，则圆的方程为『+"+130)’=130’,

将x=-30代入圆的方程得。'+】30)'=130a-(-30)'=16000,

又解得J>=40而'-130,

,AW=|40/10-130)-(-101="407i0-120«648八八

所ccl以>5(米).

故答案为:648

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.已知直线/侬-J'+l-m=0和圆C一+。'-】)'=5.

(1)求证：对任意实数川，直线，'和圆「总有两个不同的交点；

(2)设直线，和圆。交于43两点.若7回.而'，求，的倾斜角.

【答案】(1)证明见解析

兀2n

(2)3或3

【解析】

【分析】(1)解法1：联立方程结合A>0分析判断；解法2：利用点到直线的距离判断直线与圆的位置

关系；解法3：根据直线过定点，结合点与圆的位置关系分析判断；

(2)根据弦长关系求直线，的斜率，进而求直线的倾斜角.

【小问1详解】

解法1：将，=1+向L】I代入f+(.r・D'=5,

,I1+.rrj：II3--5=U

何B，

因为△=16w2+20>0,故直线，和圆。总有两个不同的交点；

解法2：由题意可知：圆’「的圆心为0°'“，半径，

Hr^z

圆心C(0J)到直线，的距离Vl+m3V1+m1<1<r,

于是直线，和圆。总有两个不同的交点;

解法3直线LE-.r+lf=O,gpm（x-l）+l-y=O

T-】=0T=1

令l】-F=。，解得U=l,即直线，恒过定点尸（6）,

因为内卜"+（1・1）'=】＜6,所以点尸在圆。内，

于是直线，和圆。总有两个不同的交点.

【小问2详解】

K2n

即直线，的斜率为土相，所以，的倾斜角为闩或S.

18.如图，在四棱锥尸-,45CD中，月4,平面-P3与底面所成的角为45。，底面X5CD为直角

梯形，ZABC=ZBAD=90°,AD=2,PA=BC=\,

（i）求直线与平面尸8。所成角的正弦值；

（2）求平面R43与平面FCD所成的锐二面角的余弦值.

73

【答案】（1）9

皿

（2）6

【解析】

【分析】（1）以A为坐标原点，建立的空间直角坐标系°一°;，求得向量尸‘=",一"，和平面

尸8。的一个法向量"一?，＞,结合向量的夹角公式，即可求解；

（2）由平面尸45’的一个法向量入T°,阳，求得平面尸。口的一个法向量为町结合向量的夹

角公式，即可求解.

【小问1详解】

解：因为P4_L平面/3CD,且平面/8CQ,所以R414B,PA1AD,

又因为44D=90°,所以X51疝），

因为PB与底面所成的角为45',所以」瓦4=*。，故,45-24=1,

以A为坐标原点，.43,AD,/1P所在直线分别为1轴，.「轴，二轴建立的空间直角坐标系°一11二,

如图所示，

因为Q=?,尸H=BC=1,可得3（】©°）,。（°，二01,尸901），QLL0）

所以》P5=（1.0,-l|；PD=（0.2,-l）

73

所以直线FC与平面尸8D所成角的正弦值为口.

【小问2详解】

—I-4

r>.八为二—AD«I0,01

解：根据题意，平面月48的一个法向量2,

&PC=a+b-c=0

设平面尸CD的一个法向量为7=（。・瓦。），可得I巧,2D*》-二=°

取，5=1,则c=2,a=l,所以%

则环力丽

亚

所以平面R45与平面尸CD所成的锐二面角的余弦值为6.

19已知圆C4+./-4X-6J，+9=0

（1）过点”*5i作圆C的切线，，求，的方程；

⑵若圆d'+*-4j'-4=°与圆C相交于A、B两点，求解.

【答案】⑴4x+3.r-17=0或］，=5

3V6

(2)2

【解析】

【分析】(1)设切线方程为6-'+'-3七=°,根据圆心到直线距离等于半径即可求解;

(2)利用两圆方程消去丁••丁求得公共弦所在直线方程，再由弦长公式可解.

【小问1详解】

圆°方程可化为+(k3)=4,

则圆心C/2Ti,半径为2,

由(3_：『+，。_受［＞4,可知点尸在圆外，

由图可知，过点尸的直线斜率存在，

设，的方程为'-5="(*一刈，即H-.v+5-3k=°,

即产那一_4

则圆心°到直线，的距离为川+上’,解得上=0或3,

/的方程为4T+31-：=0或.、•=5.

【小问2详解】

x3+.rJ-4x-6v+9=0

由卜+『+"4.1=0消去F.『，

整理得直线AB方程为6、+】3-13=0,

h2+6-l^加

则圆心C到直线AB的距离-VIO4,直线与圆相交，

|朋=乂4-/=浊

所以।।2.

20.已知椭圆,T'犷'’的焦距和短轴长相等，上顶点为工"口〔

(1)求E的方程;

PMJ3\i.MN=—,

（2）过点‘7斜率为左的直线，与椭圆后交于不同的两点A/、N,且7，求大的值.

--+Y=I

【答案】⑴2

⑵k=土后

【解析】

【分析】（1）根据题意即可得6=Lc=l,然后可解；

（2）设直线'1'=-+/，联立椭圆消去》然后由弦长公式列方程可解.

【小问1详解】

26=2e

由题知，焦点在X轴上，[6=1

所以6=11=1,

所以a'=b'+c'=2,

r4r+/=l

所以椭圆E的方程为2

【小问2详解】

根据题意,设直线'】'=—+石，MlWj.M一二，

.v=a+/

整理得（1+"'"+4回+4=0

则

△=（4版）'-4x4x（l+"1=l&=l6>0即1>]

—叫―」

l+"?*J1+2*1,

4丑+产）仔一1）80

[MV|=Jl+上'7+丐）'-4丫吊=

l+丁7,

19

gpl7F-32*J-57=0,解得：左2=3或17（舍去），

k=±>/3

21.如图，四棱台•函1'°一＜5；匕口中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，

X5=14&=4,E、尸分别为DC、的中点，上下底面中心的连线0。垂直于上下底面，且°】。

与侧棱所在直线所成的角为45°.

⑴求证：3卬/平面G期;

3V22

（2）边月C上是否存在点A/,使得直线4"与平面"即所成的角的正弦值为一三一，若存在，求出

线段球/的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，BM=1

【解析】

【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空