生活中的轴对称 章节复习卷（11个知识点+50题练习）（解析版）

第05章生活中的轴对称章节复习卷（11个知识点

+50题练习）

知识点

知识点1.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在的平分线上，CD±OA,CE±OB：.CD=CE

知识点2.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，

到线段两端点的距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外

心，并且这一点到三个顶点的距离相等.

知识点3.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从

中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

知识点4.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形

中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

知识点5.生活中的轴对称现象

（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另•个图形重合，那么

就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴.

（2）轴对称包含两层含义：

①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；

②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合.

知识点6.轴对称的性质

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线,

就可以得到这两个图形的对称轴.

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

知识点7.轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的

两部分沿着对称轴折叠时，互相重合轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至

无数条.

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

知识点8.作图-轴对称变换

几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊

的对称点开始的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；

②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，

得到线段的另一端点，即为对称点；

③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形.

知识点9.利用轴对称设计图案

利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换

对称轴来得到不同的图案.

知识点10.轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

在直线乙上的同侧有两个点/、B,在直线工上有到工、2的距离之和最短的点存在，可以

通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线£的对称点，对称点与另一点的连线与直线4

的交点就是所要找的点.

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解

决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

知识点11.翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到

图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求

的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他线段的长度，选择适

当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设

出正确的未知数.

练习卷

一.角平分线的性质（共5小题）

1.（2023•思明区校级模拟）如图，点E在/80/的平分线上，EC±OB,垂足为C,点尸

在。/上，若//在=30。，EC=l,则EF=2.

【分析】作EG±AO于点G,根据角平分线的性质求得EG的长,然后利用直角三角形中30。

角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.

【解答】解：如图，作于点G,

•.•点E在N8O4的平分线上，ECYOB,EC=\,

EG=EC=1,

VZAFE=30°,

二.£尸=2EG=2xl=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是根据角平分线的性

质求得EG的长，难度不大.

2.（2023春•东营区校级期中）如图，在AA8C中，入1=90。，8。平分乙48c交/C于点

D,AB=4,BD=5,40=3,若点尸是3c上的动点，则线段。尸的最小值是（）

BD

A.3B.2.4C.4D.5

【分析】由垂线段最短可知当。尸，BC时，DP最短,根据角平分线的性质即可得出结

论.

【解答】解：当。P_L3c时，DP的值最小，

:BD平分ZABC,乙4=90。

当DP_LBC时，

DP=AD,

■：AD=3,

.〔DP的最小值是3,

故选：A.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解

答此题的关键.

3.（2023春•偃师市期末）如图，在直角三角形4BC中，4D为斜边上的高，/£是角平分

线，“厂是中线，则下列说法中错误的是（）

A.BF=CFB.NC=NBADC.ZBAE=ZCAED.=S^CF

【分析】根据中线的定义得到2尸=。尸，则可对/选项进行判断；根据三角形高的定义和

等角的余角相等可对8选项进行判断；根据角平分线的定义可对。选项进行判断；根据三

角形的面积公式可对。选项进行判断.

【解答】解：/为斜边8c的中线，

.­,BF=CF=AF,所以N选项不符合题意；

AD为斜边上的高，

2ADB=90°,

;NBAD+NB=9Q°,ZC+Z5=90°,

ZC=ABAD,所以8选项不符合题意；

•;4E是AABC的角平分线，

ZBAE=ZCAE,所以C选项不符合题意；

BF=CF,

SMBF=S^CF'所以0选项符合题意•

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了

三角形的平分线、中线和高线.

4.（2023春•城关区校级期末）已知：在A48C中，BD平分NABC,CD平分NACB.

（1）如图1,ZABC=60°,ZACB=40°,求NADC的度数.

（2）如图2,连接ND,作Z）E_L4B,DE=1,AC=4,求A4OC的面积.

【分析】（1）先根据角平分线的定义得到NZMC=30。，ZDCB=20°,然后根据三角形内角

和计算NBOC的度数；

（2）作〃尸，/C于尸，DH工BC于H,如图2,根据角平分线的性质得到

DH=DE=DF=\,然后根据三角形面积公式计算\ADC的面积.

【解答】解：（1）•••8。平分乙48C,

ZDBC=-ZABC=-x60°=30°,

22

•••CD平分NACB,

NDCB=-ZACB=-x40°=20°,

22

ZBDC=180°-ZDBC-NDCB

=180°-30°-20°

=130°；

(2)作。尸_L/C于尸，DH工BC于H,如图2,

•;BD平分NABC,DE1AB,DHYBC,

DH=DE=\,

;CD平分NACB,DF1AC,DH1BC,

DF=DH=],

.•.AADC的面积=』Z)F./C=Lxlx4=2.

22

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

5.（2023春•埔桥区期末）把两个同样大小的含30。角的三角尺按照如图1所示方式叠合放

置，得到如图2的RtAABC和RtAABD,设河是4D与的交点，则这时MC的长度就等

于点新到的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由.

【分析】过M点作必于X,如图，先计算出NC4M=30。，则可判断平分

ZBAC,然后根据角平分线的性质得到九以=MC,于是可判断MC的长度就等于点〃到

AB的距离.

【解答】解：过M点作■，/8于〃，如图，

ABAD=30°,ABAC=60°,

/CAM=ABAC-ABAD=60°-30°=30°,

平分NR4C,

■.■MCI.AC,MHVAB,

即MC的长度就等于点M到AB的距离.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

二.线段垂直平分线的性质（共4小题）

6.（2023•武安市二模）如图，在AA8C中，41平分/B4C,BI平分ZABC,点。是AC、

2C的垂直平分线的交点，连接/。、BO,若乙iOB=a,则NAffi的大小为（）

422

【分析】连接CO并延长至。，根据线段垂直平分线的性质得到。/=OB=OC,根据

等腰三角形的性质得到ZOCA=/O4C,ZOCB=ZOBC,根据三角形的外角性质计算，得

到ZAOB=^（ZOCA+NOCB）=a.根据三角形内角和定理得到NL4B+AIBA=180°-AAIB,

根据角平分线的定义得到/IAB+AIBA=90°--,求出NAIB,

4

【解答】解：连接CO并延长至。，

•.•点。是/C、5c的垂直平分线的交点，

OA=OC,OB=OC,

AOCA=NOAC,ZOCB=ZOBC,

•••ZAOD是\AOC的一个外角,

AAOD=/OCA+ZOAC=2ZOCA,

同理，ZBOD=2ZOCB,

AAOB=ZAOD+/BOD=2/OCA+2ZOCB=a,

a

AOCA+ZOCB=—,

2

Of

:.ZACB=—,

2

•・・4/平分NA4C,BI平分/ABC,

ZIAB=-ZCAB,AIBA=-ZCBA,

22

NL4B+AIBA=^(ZCAB+NCBA)=1(180°-ZACB)=90°-^-,

ZAIB=180°-(ZZ45+=90°+j

故选：B.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌

握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

7.（2023春•丹东期末）如图，DE是MBC的边3c的垂直平分线，若4c=8,AB=6,

BC=4,则A4O8的周长为（）

4

A.14B.13C.12D.10

【分析】根据线段垂直平分线定理求出。=加>,代入NADB的周长公式

(BD+AD+AB=AC+AB),求出即可.

【解答】解：•・•斯是线段的垂直平分线，

CD=BD,

AADB的周长是：BD+AD+AB=CD+AD+AB=AC+AB=6+S=14,

故选：A.

【点评】本题考查了线段的垂直平分线定理的应用，关键是根据定理推出\ADB的周长等于

AC+AB,题型较好，难度不大.

8.（2023春•龙口市期末）如图，AA8C中边的垂直平分线分别交BC、N8于点。、

E,AE=3cm,NADC的周长为9cm,则NABC的周长是_15cm

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到/5=6c%,根据三角形的周长公式计

算，得到答案.

【解答】解：•.•£>£是线段的垂直平分线，AE=3cm,

DA=DB,AB=6cm,

VAADC的周长为，

AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=9cm,

根5。的周长=/8+/。+5。=15匕%）,

故答案为：15cm.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等是解题的关键.

9.（2023春•峡江县期末）如图，在A42c中，45边的垂直平分线4交2。于点。，AC边

的垂直平分线交于点£，4与4相交于点。，连接。/，OB,OC.

（1）若NADE的周长为8cm,\OBC的周长为20cm.

①求线段5c的长；

②求线段。/的长.

（2）若4c=120°,求NEUE的度数.

【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到=E4=EC,根据三角形的周长

公式计算即可；

②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算.

【解答】解：（1）①•.，是边的垂直平分线，

/.DA=DB,

•.4是边的垂直平分线，

EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8cm；

②•・・4是45边的垂直平分线，

OA=OB,

•・・4是/。边的垂直平分线，

...OA=OC,

OB+OC+BC=20cm,

OA=OB=OC=6cm；

（2）vZBAC=120°,

:.ZABC+ZACB=60°,

•;DA=DB,EA=EC,

/BAD=/ABC,AEAC=ZACB,

/DAE=ABAC-ABAD-NEAC=120°-60°=60°.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线

段的两个端点的距离相等.

三.等腰三角形的性质（共4小题）

10.（2024春•银川期中）一个等腰三角形的一边长3CM,一边长7c加，则这个三角形的周

长是（）

A.13cmB.17cmC.13c%或17cznD.无法确定

【分析】分3c加是腰长和底边两种情况讨论求解.

【解答】解：3c机是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、1cm,

3+3<7,

不能组成三角形，

3cm是底边时，三角形的三边分别为7cm、1cm、3cm,

能组成三角形，

周长为7+7+3=17（c"）,

综上所述，此三角形的周长是17cM.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是要分情况讨论.

11.（2023春•西安期末）如图，ZBOC=60°,/是20的延长线上一点，04=12cm,动

点尸从点/出发，沿N8以2a"/s的速度移动，动点。从点O出发沿OC以1c机/s的速度

移动，若点尸、0同时出发，当AOPQ是等腰三角形时，移动的时间是_4s或12s_.

【分析】根据AOP。是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点尸在/O上，或点尸在50

上.

【解答】解：当尸。=。。时，AP。。是等腰三角形；

如图1所示：

图1

VPO=AO-AP=l2-2t,OQ=lt

.•.当PO=0O时，

U-2t=t

解得f=4；

当尸。=。（9时，是等腰三角形;

如图2所示：

图2

■：PO=AP-AO=2t-12,OQ=t

.•.当P0=。。时，2-12=/；

解得f=12；

故答案为：4s或12s.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关

键，注意分类讨论.

12.(2023春•青原区期末)等腰三角形的两边长分别为4和9,该三角形的周长为

22.

【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案.

【解答】解：分两种情况：

①当4为底边长，9为腰长时，4+9>9,

三角形的周长=4+9+9=22；

②当9为底边长，4为腰长时，

1.-4+4<9,

.•.不能构成三角形；

二.这个三角形的周长是22.

故答案为：22.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质,

通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键.

13.(2023春•乳山市期中)已知：在AABC中，AB=AC,NA4c=45。.

(1)如图，点。在边上，点£■在/C边上，BD=CE,BE与CD交于点F.求证:

BF=CF

(2)若点。是48边上的一个动点，点E是/C边上的一个动点，且=,BE与CD

交于点尸.当A5ED是等腰三角形时，求/五2。的度数.

【分析】(1)\BCD=ACBE(SAS),得出NFBC=NFCB,根据等腰三角形判定即可

得出答案；

(2)先求出由(1)得出/DBF=NECF,设

ZFBD=ZECF=x,贝UN尸8C==(67.5°-x),ZBDF=ZECF+ABAC=x+45°,

ZDFB=2ZFBC=2(67.5°-x)=135-2x,分三种情况①当8。=3尸时，②当BD=DF

时，③当2尸=D尸时，求解即可.

【解答】(1)证明：•.•/3=/C,

/ABC=ZACB，

在NBCD与\CBE中

BC=BC

-AACB=NABC,

BD=CE

\BCD=ACBE(SAS),

ZFBC=ZFCB,

BF=CF

(2)解：•1-AB=AC,ABAC=45°,

AABC=ZACB=1(180-ABAC}=67.5°,

由(1)知，AFBC=AFCB,

/DBF=ZECF,

设NFBD=NECF=x,

贝IZFBC=NFCB=(67.5°-x),NBDF=NECF+ABAC=x+45°,

NDFB=2ZFBC=2(67.5°-x)=135°-2x,

・••ABED是等腰三角形，故分三种情况讨论：

①.当80=8尸时，1th0^ZBDF=ZDFB,

.•.x+45°=135°-2x,得x=30°,

即ZFBD=30°；

②当=D尸时，此时NFBD=,

.-.x=135°-2x,得x=45°,

即ZFBD=45°；

③当8尸=。尸时，此时=

x=x+45°,不符题意，舍去；

综上所述，N尸AD=30。或45。.

【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和

定理，正确理解题意是解题的关键.

四.等边三角形的性质（共4小题）

14.（2023春•洪洞县期末）如图，在正AA8C中，点。是3c边上任意一点，过点。作

DF工4C于E,DELBC交AB于点、E,则/££户的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.75°

【分析】先根据等边三角形的性质得出NC=60。，根据直角三角形的性质求出

NCDF=90°-60°=30°,再根据平角定义求解即可.

【解答】解：•••A43C是等边三角形，

.­.ZC=60°,

•:DELBC交4B于E,DF上AC于F,

ZBDE=ZCFD=90°,

ZCDF=90°-60°=30°,

AEDF=180°-90°-30°=60°,

故选：B.

【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

15.（2022•沸河区期末）如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知二角形/8C是等边

三角形，//=60。，当时针OP正对点N时恰好是12:00.若时针O尸与三角形4BC一边平

行时，时针所指的时间不可能是（）

图1

A.1:00B.3:00C.5:00D.8:00

【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论.

【解答】解：根据题意可知，需要分三种情况，如图所示：

当。尸//NC时,如图2(2),此时对应的时间为5:00或11:00；

当OP//2C时,如图2(3),此时对应的时间为3:00或9:00；

故选：D.

【点评】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键.

16.(2023春•大埔县校级期中)如图，等边三角形的一个顶点在长方形的一条边上，如果

【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质解答即可.

【解答】解：如图:

•••长方形ABCD,

AB//CD,

Z2=ZFED,

•.•三角形EFG是等边三角形,

ZFEG=60°,

Zl+ZFEG+ZFED=180°,

•••Z2=2Z1,

N1+60°+2/1=180°,

解得：Z1=40°,

故答案为：40°.

【点评】此题考查等边三角形的性质，解题关键是根据矩形的性质和等边三角形的性质解

答.

17.（2023春•肥城市期末）附加题（供有兴趣的同学选择使用）

如图，。是等边三角形/2C内一点，S.DB=DA,BP=AB,ZDBP=ZDAC.求/尸的

度数.

【分析】根据等边三角形的性质就可以得出NADC=NBDC,就可以求出

ZACD=ZBCD=30°,再证明A5DP=AADC就可以得出/尸=，从而得出结论.

【解答】解：•.•A43C是等边三角形，

:.AC=BC,AACB=60°.

在AADC和NBDC中，

AC=BC

<AD—BD,

CD=CD

\ADC=ABDC(SSS),

,ZACD=/BCD.

•・•AACD+/BCD=/ACB=60°,

/ACD=/BCD=30°.

BP=AB,

:.BP=AC.

在ASDP和A4OC中,

BP=AC,NDBP=NDAC,BD=AD,

NBDP=AADC(SAS),

ZP=ZACD,

:.ZP=30°.

答：N尸=30°.

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证

明三角形全等是关键.

五.生活中的轴对称现象（共5小题）

18.（2021•远安县二模）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示

四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落

入的球袋是（）

1号袋2号袋

4号袋3号袋

A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋

【分析】根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断.

1号袋2号袋

【解答】4号袋3号袋解：如图所示，该球最后落入2号袋.

故选：B.

【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构作出球的运动路线是解题的关

键.

19.（2021春•威宁县校级期末）在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据轴对称的定义，找出成轴对称的字，即可解答.

【解答】解：根据轴对称的定义，

在汉字”生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个;

故选：B.

【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另

一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.

20.如图所示，台球桌面上，/球要撞击桌边上点。再反弹撞到3球，若乙402=50。，则

/球撞击点O时与桌边所成锐角为多少度?

【分析】根据生活中的轴对称，结合反射规律得出=再根据平角的定义进

行计算即可.

【解答】解：如图，根据反射的规律可得，ZAOM=ZBON,

ZAOM+ZAOB+ZBON=180°,ZAOB=50°,

1OQO_50。

ZAOM=ZBON=-------------=65°,

2

答：4球撞击点。时与桌边所成锐角为65。.

【点评】本题考查生活中的轴对称，理解生活中的轴对称的性质是解决问题的前提，得出

乙40M=ZBON是解决问题的关键.

21.观察下图中各组图形，其中成轴对称的为①②④（只写序号1,2

0c个个堂立

等）.①②③④

【分析】认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要

求.

【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④

故填①②④

【点评】本题考查了生活中的轴对称问题轴对称的关键是寻找对称轴，观察直线两边图象

折叠后可重合是正确解答本题的关键.

22.如图，由4个大小相等的正方形组成的Z形图案，

（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形;

（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合,

这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出.

【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关

键.

六.轴对称的性质（共5小题）

23.（2023春•郸城县期末）如图，四边形48c沿直线/对折后互相重合，如果4D//8C,

有下列结论①4B//CD;②AB=CD；③4B工BC；®AO=OC.其中正确的结论是①

②④.（把你认为正确的结论的序号都填上）

【分析】四边形沿直线/对折后互相重合，即A48C与A4OC关于/对称，又有

AD//BC,则有四边形/BCD为平行四边形.根据轴对称的性质可知.

【解答】解：因为/是四边形的对称轴，AD//BC,

所以①/8//C。，正确；

②AB=BC,正确：

©ACLBD,错误；

®AO=OC,正确.

故正确的有①、②、④.

【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所

连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、

线段都相等.

24.（2023春•开化县期中）如图，把长方形/8C。沿£尸对折后使两部分重合，若

Z1=40°，则ZAEF=（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【分析】根据折叠性质得到N2=/3,再根据Zl=40。，求出N3=70。，最后根据平行线性

质即可得到//£/的度数.

【解答】解：•.•长方形/8CD沿成对折，

Z2=Z3,

VZl+Z2+Z3=180°,Z1=40°,

Z3=70°,

■：四边形/BCD是矩形，

AD!/BC,

AAEF=NEFC=Z3+Z1=11O°,

故选8.

【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，利用折叠前后的图形全等,

找到图中相等的角是解题关键.

25.2023春•洛宁县期末）如图，AX8C与△HQC'关于直线/对称，则N8的度数为（）

B.50°C.90°D.100°

【分析】根据A43c与关于直线/对称，即可求出N2的度数.

【解答】解：与关于直线/对称,

ZC=ZC'=30°,

•••ZA=60°,

ZB=1800-ZA-ZC=90°.

则48的度数为90。.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

26.（2023春•龙岗区校级期中）如图，把一张长方形纸片42C。的一角沿NE折叠，点。

的对应点。'落在/A4C的内部，若NCAE=2/BAD',且NC4D，=〃，则ND/E的度数为

36°+—.（用含"的式子表示）

【分析】由折叠的性质得到NDAE=NEAD,由长方形的性质得到

ZDAE+ZEAD'+ZBAD'=90°,根据角的和差倍分得到2ZEAD'+ABAD'=90°,整理得

2(ZCAE+ACAD')+ABAD'=90°,由此求解即可.

【解答】解：由折叠的性质可知=，由长方形的性质可知NA4Z）=90。,

ZDAE+ZEAD'+ZBAD'=90°,

2ZEAD'+ZBAD'=90°,

2(NCAE+ACAD'}+ABAD'=90°,

NCAE=2ZBAD',ACAD'=n,

2Q/BAD'+n)+ABAD'=90°,

2n+5ABAD'=90°,

2〃

/BAD=18。——，

5

Yl

ZDAE=ZEAD'=ZCAE+ACAD'=2ZBAD'+ACAD'=360+-,

5

故答案为：360+-.

5

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，折叠性质，几何中角度的计算，长方形的性质，掌

握相关知识是解题关键.

27.（2023春•工业园区期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双

内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题.聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行

了深入的研究，他的研究过程如下：

（1）【问题再现】

如图1,在A42c中，NABC、N/C2的角平分线交于点尸，若NN=50。.则/P=_115。_；

（2）【问题推广】

如图2,在A42C中，NA4c的角平分线与A43c的外角NC氏W的角平分线交于点尸，过

点B作BH工4P于点、H,若44c8=80。，求NP8”的度数.

（3）如图3,在AABC中，NABC、N/C2的角平分线交于点尸，将A48c沿DE折叠使

得点/与点P重合，若4+/2=100。，贝；

（4）【拓展提升】

在四边形5CDE中，E3//CD,点尸在直线ED上运动（点产不与£,。两点重合），连接

BF,CF,NEBF、ZDC/的角平分线交于点。，若NEBF=a,ZDCF=/3,直接写出

和a,刀之间的数量关系.

【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可;

（2）先由角平分线的定义得到/A4c=2NA4P,ZLCBM=2ACBP,再由三角形外角的性

质得到ZCBP=ZBAP+40°,根据三角形内角和定理推出ZP=180°-ZBAP-ZABP=40°,

再由垂线的定义得到/BHP=90°,则ZPBH=180。-N尸-/BHP=50°；

(3)先由折叠的性质和平角的定义得到N4ED+N4QE=130。，进而求出//=50。，同

(1)即可得到答案；

(4)分点尸在点E左侧，点尸在。、E之间，点尸在点。右侧三种情况讨论求解即可.

【解答】解：•.・//=50。，

ZABC+ZACB=lS0°-ZA=130°,

•：BP平分/ABC,CP平分NACB,

/ABC=2ZPBC,ZACB=2ZPCB,

/.2ZPBC+2ZPCB=130。，即ZPBC+ZPCB=65°,

/P=180。—/PBC-/PCB=115。，

故答案为：115。；

(2)・・・Z尸平分NA4C,BP平分/CBM,

ABAC=2ZBAP,/CBM=2ZCBP,

•・•/CBM=ABAC+ZACB,

:.ZCBP=ZBAP+40°,

•・•ZABC=180。—ZACB-ABAC,

:.N4BC=1000—2NBAP,

ZP=180。—/BAP-/ABP=40°,

vBHLAP,BPZBHP=90°,

/PBH=180。一N尸一ZBHP=50°；

(3)由折叠的性质可得=/尸切，ZADE=ZPDE,

•••N1+N4E尸=180。，/2+/4。尸=180。，Zl+Z2=100°,

2/AED+2/ADE=260°,

:.ZAED+ZADE=130°,

ZA=180。—ZAED-/ADE=50°,

.,.同(1)原理可得NP=115。，

故答案为：115。；

(4)当点尸在点£左侧时，如图4-1所示，

BE//CD,

NCBE+/BCD=180。,

;BQ平分NEBF,C。平分/DCF,

NEBQ=|ZEBF=y,ZQCF=|NDCF=g,

•••ZEBC+NFCB=180°-NDCF=180°-6,

ZQ=180°-ZQBC-ZQCB=180°-4QBE-NEBC-ZFCB-ZQCF=；

当尸在。、£■之间时，如图4-2所示：

同理可得ZFBQ=^ZEBF=^-,ZQCF=^ZDCF=,

ZFBC+NFCB=180°-ZDCF-NEBF=18O°-«-/7,

ZQ=180°-ZQBC-ZQCB=180°-ZQBF-ZFBC-ZFCB-ZQCF=；

当点尸在。点右侧时，如图4-3所示：

同理可得4=闻0一色=180°-〃时一〃如一〃W一=f；

综上所述，尸在E左侧/。=与4；/在瓦9中间/。=4芋；尸在。右侧/。=49.

B

C

图4-2

，七

•I

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线

的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键.

七.轴对称图形（共5小题）

28.（2024•德阳模拟）在神奇的自然界中，平衡与和谐是永恒的主题，许多自然界的事物都

展现出了对称之美.汉字，作为中华文化的瑰宝，其中有些字也巧妙地融入了这种对称特

性.下列汉字是轴对称图形的是（）

A.如B.意C.吉D.祥

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A.B,。选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合.

29.（2023春•宣汉县期末）如图，OE是的平分线，BDLOA于点D,4cl.30于

点C,则关于直线OE对称的三角形共有4对.

【分析】关于直线OE对称的三角形就是全等的三角形，据此即可判断.

【解答】解：NODE和\OCE,NOAE和KOBE,\ADE和ABCE,AOCA和KODB共4

对.

故答案为：4.

【点评】能够理解对称的意义，把找对称三角形的问题转化为找全等三角形的问题，是解决

本题的关键.

30.（2023春•成县期末）我们知道圆、线段都是轴对称图形，请再写出一个是轴对称图形

的几何图形名称正方形（答案不唯一）.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：写出一个是轴对称图形的几何图形，正方形（答案不唯一）.

故答案为：正方形（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

部分折叠后可重合.

31.将一张纸对折后，用笔尖在纸上扎出如图所示的图形，将纸打开后铺平，观察所得的图

【分析】根据轴对称的概念得出结论即可.

【解答】解：由题意知，两图形折叠后完全重合，

故打开后的图形是轴对称图形.

【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键.

【分析】根据轴对称图形的定义一一判断即可（答案不唯一）.

【解答】解①点8与点C,N8与/C,ZABC与ZACB；

②点。与点G,DE与GF,ZGDE与NDGF；

③点/与点K,HI与HK,ZHU与NHKJ；

④点工与点M，OL与OM,NOLM与/OML.

【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的性质，属于中考常考题

型.

八.作图-轴对称变换（共4小题）

33.（2023春•本溪县期末）如图，在正方形网格上有一个AA8C.

（1）画出A43C关于直线的对称图形（不写画法）；

（2）若网格上的每个小正方形的边长为1,则A45c的面积为—.

—2—

（分析】Q）先利用网格确定KABC关于直线MN对称的点，再顺次连接各点即可得到\ABC

关于直线MN的对称图形；

（2）根据割补法进行计算，即可得到A48c的面积.也可以根据A45C是等腰直角三角形,

由勾股定理可知腰长为即可得到A45c的面积.

【解答】解：（1）如图所示，AZ）跖即为所求；

(2)法一：KABCWffi^=4x5--xlx4--x3x5--xlx4=—；

2222

法二：由勾股定理可得N8=8C=万，故AX8C的面积=！xJFFxJF7=U.

22

故答案为：--

2

【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，画一个图形的轴对称图形时，是先从确

定一些特殊的对称点开始的.

34.（2022春•龙岗区期末）如图，分别以A48C的边N5,/C所在直线为对称轴作A48c

的对称图形A48D和A4CE,ZBAC=150°,线段2。与CE相交于点O,连接BE、ED、

DC、O/.有如下结论①NE4D=90°；②NBOE=60°；③CM平分N3OC；®EA=-ED；

2

⑤BP=EQ.其中正确的结论个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据轴对称的性质可得/84D=/C/E=/8/C,再根据周角等于360。列式计算即

可求出NEAD=90°,判断出①正确；再求出ZBAE=ACAD=60°,根据翻折可得

AAEC=AABD=ZABC,利用三角形的内角和定理可得,判断出②正确；

根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确无法求出N/DE=30。，判断出④

错误；判断出尸和A4E0不全等，从而得到8尸大£。，判断出⑤错误.

【解答】解：和A4CE是AA8C的轴对称图形，

NBAD=ZCAE=ABAC,AB=AE,AC=AD,

ZEAD=3NBAC-360°=3x150°-360°=90°,故①正确；

/BAE=ZCAD=）（360。-90°-150°）=60°,

由翻折的性质得，NAEC=ZABD=ZABC,

又•：NEPO=NBPA,

NBOE=NBAE=60°,故②正确；

••­\ACE=\ADB,

^&ACE=,BD=CE,

BD边上的高与CE边上的高相等，

即点A到ABOC两边的距离相等，

.•.CM平分ZBOC,故③正确；

只有当=时，ZADE=30°,才有切故④错误；

2

在ZU8P和zUEQ中，ZABD=ZAEC,AB=AE,ZBAE=60°,ZEAQ=90°,

:.BP<EQ,故⑤错误;

综上所述，结论正确的是①②③共3个.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准

确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

35.已知直线和ADE尸，作AZ)所关于直线N2的对称图形，将作图步骤补充完整(如

图所示)

(1)分别过点。，E,尸作直线的垂线，垂足分别是点―“一尸一N_；

(2)分别延长DM,EP,FN至____,使=,=,=；

(3)顺次连接,,,得AZJE尸关于直线N8的对称图形AGXZ.

【分析】作轴对称图形就是从图形的各顶点向轴引垂线并延长相同长度找对应点，顺次连接

所成的图形.根据这个做法填空.

【解答】解：依据轴对称的性质得:

(1)M,P,N；

(2)点G,H,L

MG=DMPH=EPNL=FN；

(3)GH,HL,LG.

【点评】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法①

先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺

次连接对称点.

36.（2023春•南关区校级期中）图1、图2、图3均是3x3的正方形网格，每个小正方形的

顶点称为格点，A48C的顶点均在格点上，称为格点三角形.请在如图1〜3中分别按下列要

求画出一个不同于AA8C的格点三角形.

图2图3

（1）在图1中找出格点。，画出格点A4