天津市滨海新区某中学2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试卷

天津市滨海新区田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月月

考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线经过A（l,0）,B（2,g）,其倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.数列｛〃〃｝中，q=l,4+1—4=3,则〃“二()

A.an=3n-2B.an=3n+l

C.an=-3n+4D.an=-3n+1

3.已知等差数列{4},g=3,,。6=11，则%=（）

A.6B.7C.8D.9

4.抛物线Y=4y的焦点是（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

22

5.已知双曲线C：4-j=l（a>0,0>0）的离心率为2,则C的渐近线方程为（）.

ab

A.y=±^-x

B.y=土百x

3

C.y=±2xD.y=±x

6.已知直线4：3x+ay-3=0与与直线公（a+2）x+y+l=0平行，则实数a的值为（）

A.1B.-3

C.1或一3D.不存在

11-

7.在四棱柱ABCO-ABiG?中，设A8=a,AD=b-9=c,DF=-DB,AE=-AD1,

贝IjEF=()

B,乙+射+，

362

C.

362

8.己知双曲线C：二-力=1（。>01>0）的一条渐近线方程为y=2叵X,且与椭圆

ab5

,2,2

X,

—+—=I有公共焦点，则c的方程为（）

156

x2

A.B.

810

22

C.二一匕=1D.

54

9.设臬为数列｛%｝的前"项和，若S.="+2〃，则%=（）

A.2〃+1B.2n—lC.n+1D.n—1

2

10.如图，K,尸2是双曲线C|：V一匕=1与椭圆a的公共焦点，点A是c-Q在第一象

8

4

A.双曲线C1的渐近线为y=±8尤B.椭圆G的禺心率为二

22

c.椭圆a的方程为二+匕=1D.△人£鸟的面积为8应

259

二、填空题

11.过点尸（2,1）与直线尤+2y+1=。垂直的直线方程为.

12.圆/+/+2x—2〉一8=0被直线无+>+2=0所截得的弦长为

试卷第2页，共4页

13.已知抛物线丁=2/(0>0)的焦点为尸，点M(2,2形)为抛物线上一点，则

\MF\=.

22

14.已知双曲线3-匕=1(q>0)的两个焦点为耳，居，焦距为20,点P是双曲线上一

a236'

点，归胤=17,则归国=.

15.设S“为等差数列｛(｝的前〃项和，且邑=-15,S6=-12,贝.

16.已知圆C|：Y+y2=io与圆c?：Y+y2+2x+2y-i4=0相交，则两个圆的公共弦方程

为,则两圆的公共弦长为.

17.圆(x-l)2+(y-3『=l关于直线y=x+l对称的圆的方程是.

18.若空间中有三点A(U,—1),*0,1,1),C(l,2,0),则点尸(1,2,3)到平面ABC的距离

为.

三、解答题

19.已知在等差数列｛%｝中，%=3,«9=-5.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛%｝的前“项和S"；

(3)当n为何值时前n项和S“取得最大，并求出此最大值.

20.如图，在棱长为1的正方体ABC。-ABC?中，E是棱。。的中点，/为GA的中点.

⑴求证：8/〃平面4BE；

(2)求直线和平面\BE所成角的正弦值;

（3）求平面\BE与平面4G尸夹角的余弦值.

21.已知圆C经过点A。,3）和5（2,4）,且圆心C在直线2x-y-l=0上，

（1）求圆C的标准方程；

⑵过点M（3,-1）作圆C的切线/,求直线I的方程.

22

22.已知椭圆C：5+1=1（。>6>°）的离心率为g，长轴长为4.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过右焦点且倾斜角为45。的直线交椭圆于M、N两点，求弦长0为坐标原点，求

.QW的面积；

（3）直线AP（A为左顶点）与椭圆C交于点尸（异于顶点）与,轴交于点G,点产为椭圆的

右焦点，0为坐标原点，GFYOP,求直线"的方程.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BABDAACCAD

1.B

【分析】根据直线经过A。,。），B（2,g）,先求得斜率，再利用直线的倾斜角与斜率的关系

求解.

【详解】因为直线经过4（1,0）,B（2,代），

所以直线的斜率为：左=3二2=若，

2-1

设直线的倾斜角为a,贝！Itantz=退，

又«e[0°,180°）,所以e=60,

故选：B

2.A

【分析】由等差数列通项公式可求％.

【详解】数列｛%｝中，4=1,an+l-a„=3,

所以数列｛%｝是首项4=1,公差d=3的等差数列，

所以%=4+=l+3（n-l）=3w-2.

故选：A.

3.B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由%=3,必=11可得公差〃=匕11-/3=2,

一4

故=%+2d=7,

故选：B

4.D

【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解.

【详解】x?=4y的焦点是（0,1）,

故选：D

答案第1页，共11页

5.A

【分析】又e-=2得到？=括，结合双曲线焦点位置求解即可.

aa

22

【详解】解：因为双曲线C：与-1=1(。>0,6>0)的离心率为2,

ab

所以e=；=Jl+B：=2,焦点g=

又双曲线的焦点在y轴上，

所以双曲线C的渐近线方程为y=±#x,

故选：A

6.A

【分析】根据直线一般方程平行系数公式计算求参.

【详解】直线4：3无+政-3=0与直线4：(a+2)x+y+l=0平行,

贝iJa(a+2)=3且。不等于一3,

所以。=1.

故选：A.

7.C

【分析】利用空间向量的线性运算求解.

【详解】解：因为=AD=b，

所以AE=JAD]=1(A41+A£>)=1(C+Z2),

AF=AD+DF=AD+-DB=AD+-(AB-AD\=-a+-b,

33、>33

所以EF=人/一人2二^0+工小一工右,

362

故选：C

8.C

【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=2叵尤得到2=26，再由双曲线与椭圆

5a5

22

—+—=1有公共焦点，得到C=3求解.

156

【详解】解：因为双曲线C：口耳=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为了=冬3,

ab5

答案第2页，共11页

所以2=2叵

a5

22

又双曲线与椭圆二+二=1有公共焦点，

156

所以c=3,又/+。2=9,

解得=5力2=4,

所以双曲线的方程为

54

故选：C

9.A

【分析】利用数列的前〃项和与通项公式间的关系求解.

【详解】解：当〃=1时，％=3；

当〃N2时，an=Sn—S〃_i=*+2〃一（〃一Ip-2（〃-1）=2〃+l,

又%=3适合上式，

所以a,=2〃+l,

故选：A

10.D

【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A,根据双曲线的定义以及椭圆定义可得椭圆方

尤2V21

程为二+匕=1,即可求解BC,根据余弦定理可得cosN£AB=:，即可求解正弦，根据

25163

面积公式即可求解D.

【详解】对于A,双曲线C1的渐近线为、=±2岳，故A错误，

对于B,由于|耳闾=2jIZW=6,贝1耳W=6,

根据双曲线的定义可得由AR与4|=2,故|04|=4,

22

设椭圆方程，+2=l（a>6>0）,贝”KA+怩A=2a,故q=5,又2c=6,

ab

22

故C=3,》=4,则椭圆方程为土+2L=I,c错误，

2516

c3

离心率为上=B错误，

a5

36+16—361

对于D,cosZFAF二

X22♦月•幻片2x6x43

答案第3页，共11页

故sinZFtAF2=Jl-cos?/月/6=,

故AAK/y勺面积为用|MjsinN月A"=；x6x4x]^=80,故D正确,

故选：D

11.2x—y—3=0

【分析】根据垂直直线系方程，代入坐标即可求解.

【详解】设与直线尤+2y+l=。垂直的直线方程为2x-y+c=0,

将尸（2,1）代入即可得c=—3,

故直线方程为2x—>—3=0,

故答案为：2x-y-3=0

12.472

【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求

出圆心到直线的距离，再利用垂径定理及勾股定理计算可得；

【详解】解：圆元2+丁+2x-2y-8=0,即（x+l『+（y-l）2=10,圆心为（一1,1），半径厂=VI5，

|-1+1+2|

圆心（-1,1）到直线x+y+2=0的距离d==72,所以弦长为

了+口

2廊而7=4a;

故答案为：4A/2

13.3

【分析】将点代入抛物线方程可得。=2,即可根据焦半径公式求解.

【详解】将〃（2,2应）代入丁=2加（p>0）得8=4p,解得p=2,

故M刊=2+~|=3,

故答案为：3

14.33

【分析】由双曲线方程及焦距确定双曲线参数，再由双曲线定义求|尸鸟|.

【详解】由题设2c=20=c=l。，又。>0且片=°2=/+36=100=>。=8,

所以||「蜀-|尸即=2a=16,而附|=17,则忸可如或33,

答案第4页，共11页

其中照|=l<c-。=2,故|尸囚=33.

故答案为：33

15.21

【分析】根据等差数列前〃项和的基本量的计算可得首项和公差，即可利用等差的性质求解.

3a[+3d——15

【详解】由£=T5,久=-12可得,解得％=—7,d=2,

1

6a1+15rf=-12

故％+融+%=3%=3（%+7d）=3x（-7+14）=21,

故答案为：21

16.x+y-2=04夜

【分析】第一空：直接将两圆联立做差可得公共弦方程；

第二空：利用垂径定理可得公共弦长.

【详解】由圆G：Y+>2=1。①与圆G：x2+y2+2x+2y-14=0@,

②一①得2元+2>—14=一10,即x+y—2=0

即两个圆的公共弦方程为无+V-2=0；

两圆的公共弦长即为圆G：/+/=10与％+>-2=0相交产生的弦长

贝I」弦长为2/10—[*]=4点.

故答案为：x+y-2=0-4&

17.（芳-2（+6-2）2=1

【分析】先根据点关于直线对称得出圆心，再根据圆的半径不变写出圆的标准方程.

【详解】因为圆（尤-丁+仃-3）2=1的圆心为（1,3）,半径为1,

设（1,3）关于直线y=x+l的对称点为C（%,%）,

--3=T

所以毛T，解得%=2,%=2,

%+3_/+1।]

、2一2

圆（工-行+侬-3）、1关于直线y=x+l对称的圆的半径是1,

所以圆的方程为（尤-2）?+（y-2）2=1.

答案第5页，共11页

故答案为：(x-2)2+(y-2)2=l.

18.显

2

【分析】根据点到平面的距离公式即可求解.

【详解】BC=(1,1,-1),54=(1,0,-2),

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),

n•BA=(x,y,z)•(1,0,-2)=x-2z=0

所以J,

n-BC=(x,y,=x+y-z=0

令z=1,

x=2

解得,y=T,

z=1

所以〃=(2,—1,1),

PA=(0,-1,-4),

(2,二1,1>(O,TT)J_/6

所以点尸(1,2,3)到平面ABC的距离为==2

722+(-1)2+1?-?6-T

故答案为：叵

2

19.⑴a”=13-2〃

Q)S,,=12n-n2

(3)77=6,最大值为36.

【分析】(1)根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；

(2)写出等差数列前w项和；

(3)应用其二次函数性质求最大值和对应机

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为比贝U4d=佝一%=-5-3=-8,故4=-2,

所以=%+(〃_5)d=3-2(w-5)=13-2/z.

(2)由(1)得4=11,所以S"="("；%)="(11+；3-2")=]2n

(3)因为5,=-("-6)2+36,故〃=6时S.取得最大，最大值为36.

答案第6页，共11页

20.(1)证明见解析

⑵与

⑶2

3

【分析】(1)以A为原点，43,40,44所在直线分别为％MZ轴建立如图所示的空间直角坐

标系.求出平面4BE的法向量印及男尸，证明用尸，4即可;

(2)求出及平面ABE的法向量％,利用直线和平面所成角的向量求法求解;

(3)求得平面与C7与平面ABE的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式求解.

【详解】(1)以A为原点，43,40,44所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐

依题意，得8(1,0,0),4(0,0,0),0(0,1,0),A(°，°，i)，耳(1，°，1),尸(31，1

UUU(1)

则48=(1,0,-1),=10,1,--I,

设平面45E的法向量4=(%,%*]),

万一Z1=0

\B•々二0

,所以《取4=2,得%=(2,1,2).

AE•%=0=0

2

因为所以4/4=一1+1+0=0,所以用尸，％.

又用尸(X面48E,所以〃面ARE.

(2)V£)(0,1,0),；.DF=]^,0,1

「平面ABE的法向量4=(2,1,2),

设直线和平面ABE所成角为。,

答案第7页，共11页

DF•%3275

・sin^=|cos£)F,n

15

------X□

2

直线。尸和平面ABE所成角的正弦值为苧.

(3)易知平面旦G尸的法向量加=(0,0,1),

平面ABE的法向量勺=(2,1,2),

,I1mHi22

•.cosHI,n.=—\—=--=一

1”加近1x33

2

•••平面\BE与平面夹角的余弦值为j.

21.(l)(%-2)2+(y-3)2=l

-CT1537

(2)x=3^y=-—x+—

oo

【分析】(1)设圆c的方程为a-4+(y-b)2=r2,将点A、8代入，结合圆心在直线上，即

可求解；

(2)设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解.

【详解】(1)设圆C的方程为a-4+(y-力2=产,

\l-a)2+(3-b)2=r2(1=2

则’(2-4+(4-=,解得小=3,

2a—6—1=0r=1

故圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1；

(2)易知当直线/的斜率不存在时，/:x=3,此时圆心到直线的距离为1,等于半径，故

满足题意；

当直线/的斜率存在时，设/：y+l=Mx-3),即区一尸31=0,

则点C(2,3)到直线I的距离为圆C的半径，

即d=J_'=1,解得左=一?，止匕时/：y=-”x+?.

y/l+k2888

综上，直线/的方程为x=3或尸弋x+号.

OO

22

22.(1)—+^=1

43

答案第8页，共11页

(2)IM=y-S°MN=8%

(3)y=±^-(x+2).

【分析】(1)依题意可得。、。的值，从而求出6,即可得解；

(2)首先求出直线的方程，设MQi，%),NG2,%)，联立直线与椭圆方程，消元、列

出韦达定理，利用弦长公式求出|MV|,再求出点。到直线的距离，最后由面积公式计算可

得；

(3)设直线AP的方程为丁=%(》+2),即可表示出G点，再联立直线与椭圆方程，消元，

求出尸点坐标，根据GF-OP=0求出％的值，即可得解.

e=—=—[a—2---------

【详解】(1)由题意可得a2,所以—，则人=而二了=6，

2a=4