滁州市高三三模数学试卷

滁州市高三三模数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$，若$f(1)=2$，$f(2)=5$，$f(3)=10$，则下列结论正确的是（）

A.$a=1$，$b=1$，$c=1$

B.$a=1$，$b=2$，$c=1$

C.$a=2$，$b=1$，$c=1$

D.$a=2$，$b=2$，$c=1$

2.若复数$z$满足$|z+1|=|z-1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是（）

A.以点$(-1,0)$为圆心，半径为2的圆

B.以点$(1,0)$为圆心，半径为2的圆

C.线段$[-2,2]$上的所有点

D.线段$[-1,1]$上的所有点

3.若$\tan\alpha=\frac{3}{4}$，$\sin\alpha$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{3}{5}\sqrt{2}$

D.$\frac{4}{5}\sqrt{2}$

4.若$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域为$A$，$y=\sqrt{x+1}$的定义域为$B$，则$A\capB$是（）

A.$(-1,2]$

B.$(-1,2)$

C.$[-1,2]$

D.$[-1,2)$

5.若$P$是圆$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上的一点，则$P$到直线$x+y=0$的距离的最大值为（）

A.$\sqrt{2}$

B.$2$

C.$1$

D.$\sqrt{3}$

6.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3=9$，$S_5=25$，则该数列的公差$d$为（）

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.$5$

7.若$a$，$b$，$c$为等比数列，且$a+b+c=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（）

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.$5$

8.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，则$\vec{a}+\vec{b}$的模为（）

A.$\sqrt{10}$

B.$\sqrt{14}$

C.$\sqrt{15}$

D.$\sqrt{20}$

9.若函数$f(x)=x^3-3x+2$的图像与$x$轴交点的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

10.若直线$y=kx+b$与圆$(x-1)^2+(y-1)^2=1$相切，则$k$的取值范围是（）

A.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-1,1)$

D.$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则$B$的坐标为$(2,1)$。（）

2.若一个三角形的三个内角分别为$60^\circ$，$60^\circ$，$60^\circ$，则该三角形是等边三角形。（）

3.对于任意两个正实数$a$和$b$，都有$(a+b)^2\geq4ab$。（）

4.若函数$f(x)=x^3-3x$在$x=0$处取得极小值。（）

5.在平面直角坐标系中，若点$A$的坐标为$(2,3)$，点$B$的坐标为$(4,5)$，则线段$AB$的中点坐标为$(3,4)$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=x^2-4x+4$在区间$[1,3]$上的最大值为$\text{M}$，则$\text{M}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=2$，$a_2=5$，则$S_5=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

3.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是以点$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$为圆心，半径为2的圆。

4.若直线$y=mx+b$与圆$(x-1)^2+(y-1)^2=1$相切，则$m$和$b$的值满足方程$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

5.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$在$x=2$处的导数为$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

四、简答题

1.简述勾股定理的表述及其在解决实际问题中的应用。

2.请说明等差数列和等比数列的前$n$项和的公式，并举例说明如何使用这些公式求解实际问题。

3.阐述复数在数学中的地位，包括其在代数、几何和三角学中的应用。

4.举例说明如何使用导数来研究函数的单调性和极值问题。

5.分析函数图像的变换规律，包括平移、伸缩、翻转等变换，并举例说明如何通过变换得到新的函数图像。

五、计算题

1.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公差$d=2$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

3.设复数$z=a+bi$（其中$a$，$b$为实数），且$|z-1|=|z+1|$，求实数$a$和$b$的值。

4.已知直线$y=2x-1$与圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$相交，求交点的坐标。

5.求函数$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$在区间$(0,+\infty)$上的单调区间，并求出函数的极值。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一种产品，其成本函数为$C(x)=2x^2+100x+1000$，其中$x$为生产的数量。已知该产品的销售价格为每件100元，市场需求函数为$Q(x)=100-2x$，其中$Q(x)$表示市场需求量。

案例分析：

（1）求该公司的收益函数$R(x)$，并求出当生产多少件产品时，公司的收益最大。

（2）如果公司希望获得最大利润，它应该生产多少件产品？最大利润是多少？

2.案例背景：某城市正在规划一条新的公交线路，该线路的起点和终点分别是两个居民区，距离为10公里。已知每公里的道路建设成本为5000元，每辆公交车每公里的运营成本为200元。此外，每辆公交车最多可容纳100名乘客，平均票价为2元。

案例分析：

（1）假设该公交线路的运营时间为一天，每小时的发车间隔为15分钟，求该线路一天内的最大收入。

（2）如果该城市希望提高公交车的利用率，减少空驶率，应该采取哪些措施？请从成本和运营效率的角度进行分析。

七、应用题

1.应用题：某班级有学生50人，成绩分布近似正态分布，平均分为70分，标准差为10分。请计算：

（1）成绩在60分以下的学生人数大约是多少？

（2）成绩在80分以上的学生人数大约是多少？

（3）成绩在60分到80分之间的学生人数大约是多少？

2.应用题：一个工厂生产一批零件，已知每个零件的重量服从正态分布，平均重量为100克，标准差为5克。如果要求零件的重量在95克到105克之间的概率至少为90%，应该至少生产多少个零件？

3.应用题：某城市一年的降雨量服从指数分布，平均降雨量为500毫米。某天，该城市降雨量超过800毫米的概率是多少？

4.应用题：一个班级的学生身高分布近似正态分布，平均身高为165厘米，标准差为5厘米。如果要求班级中至少有10%的学生身高超过170厘米，那么班级中身高超过170厘米的学生人数至少是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.A

3.A

4.A

5.A

6.C

7.B

8.C

9.C

10.A

二、判断题答案

1.√

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.6

2.650

3.(0,0)

4.$m^2+4b^2-4=0$

5.0

四、简答题答案

1.勾股定理表述：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。应用：在建筑、工程、物理等领域，用于计算直角三角形的边长或验证直角。

2.等差数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$；等比数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$）。应用：计算数列的和，解决实际问题的分配问题。

3.复数在数学中的地位：复数是实数的扩展，用于解决实数无法解决的问题。应用：在代数中解方程，在几何中描述复平面，在三角学中处理三角函数的周期性问题。

4.导数在研究函数中的应用：导数可以用来研究函数的单调性、极值和凹凸性。应用：在物理学中研究物体的运动，在经济学中分析市场变化。

5.函数图像变换规律：平移、伸缩、翻转等变换。应用：通过变换得到新的函数图像，便于分析和比较不同函数的特性。

五、计算题答案

1.最大值为7，最小值为-3。

2.$S_{10}=550$。

3.$a=1$，$b=0$。

4.交点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$和$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$。

5.单调递增区间为$(0,+\infty)$，极小值为$-1$。

六、案例分析题答案

1.（1）收益函数$R(x)=100x-2x^2-1000$，当$x=20$时，收益最大。

（2）生产20件产品时，最大利润为$800$元。

2.应生产至少25个零件。

3.概率为$0.1353$。

4.至少有6名学生身高超过170厘米。

知识点总结：

本试卷涵盖了数学理论基础知识，包括函数、数列、复数、导数、概率等。以下是对各知识点的分类和总结：

1.函数：包括函数的定义、性质、图像变换等，是数学的基础。

2.数列：包括等差数列、等比数列、数列的和等，是数学中的基本概念。

3.复数：复数的定义、性质、运算等，是扩展实数系统的重要工具。

4.导数：导数的定义、性质、应用等，是研究函数变化率的重要工具。

5.概率：概率的定义、性质、计算等，是解决随机事件问题的基本方法。

各题型所考察的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念的理解和运用