人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式（压轴题专练）（原卷版）

第十六章二次根式（压轴题专练）

目录

【考点一化简含字母的二次根式】...........................................................1

【考点二利用二次根式的非负性求值】.......................................................1

【考点三新定义型二次根式的运算】.........................................................2

【考点四二次根式的分母有理化】...........................................................3

【考点五复合二次根式的化简】.............................................................4

【考点六二次根式中的规律探究问题】.......................................................6

【考点一化简含字母的二次根式】

例题：（2023上•河南焦作・八年级统考期中）已知则化简二次根式口吊的正确结果是（）

A•-QJ-abB.—ay[abC.a\[abD.ay[—ab

【变式训练】

1.（2023上•全国•八年级专题练习）把根号外的因数移到根号内，结果是（）

A.>/xB.C.-yf^xD.-yfx

2.（2023上•四川乐山・九年级乐山市实验中学校考期中）若ab<0,则代数式而万可化简为（）

A.aby[bB.aby[—bC.-aby/bD.—aby/—b

3.（2023上•河南郑州•八年级校联考阶段练习）化简-4日的结果是（）

Va

A.B.—C.-—ciD.J—a

4.（2023上•河南洛阳•九年级统考期中）化简二次根式J；（x<0）,得（）

A.正B.石C.一互y[x

XXXX

【考点二利用二次根式的非负性求值】

例题：已知y=—1+,2022—X+Jx—2022,则V的值是（）

A.2022B.1C.-1D.0

【变式训练】

1.已知x、y都是实数，且y=Jx-2+j2-x+3,贝I］孙=.

2.已知实数x，y满足J2尤+4+/一16二+64=0,则J（孙『的值为.

3.已知实数a,b,c满足（a-2）2+|26+6|+6^=0.

⑴求实数a,%,c的值；

⑵求Ja-3b+c的平方根.

【考点三新定义型二次根式的运算】

2«_&(aNb),

例题:对任意的正数定义运算“*”如下：a*b=<计算（3*2）+（3*5）的结果为

3yfb-2yfa(a<b).

【变式训练】

1.对于任意两个不相等的实数。、b,定义运算“X”如下：。※万=血亘，如3X2=3三=@,那么6派

ab3x26

12=

2.已知〃，人都是实数，现定义新运算：a*Z?=3a-/,例：2*1=3x2—P=5.

⑴求2*卜行）的值;

(2)若机=(百_石)(6+,n=3-^5,求m*〃的值.

3.用㊈定义一种新运算：对于任意实数。和6,规定〃（8）匕=々2一々6+1.

⑴求四区"的值.

（2）V2®（yfi®y/6）=.

4.对于任意两个不相等的数〃，b,定义一种新运算“◎”如下:

-^,<a+b._。3+2rz

az©b=,，如3©2=/=v5.

(j—bJ3—2

(1)填空：5©4=.

(2)若12©4=Q(x-l),求x的值.

【考点四二次根式的分母有理化】

例题：像“+志）（若-0）=3、8.&=a（aNO）、（四+=6-1（620）…两个含有二次根式的

代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，百和6、&+1与④-1、

2君+3店与2君-3君等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母

中的根号.请完成下列问题:

⑴计算：①5二——'②卷=——；

⑵计算：击一七；

（3）已知有理数。、6满足云+]=26-1贝lja=b=____

【变式训练】

1.（2023上•宁夏中卫•八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题:

1_y/2-l_A/2-1_A/2-1_r-

例1:田二（用…广"♦丁…,

例2：—五二也一及，7^="一百'hr&m

利用以上结论解答以下问题：（不必证明）

11

⑴布+6--；VWO+A/99；

（2）利用上面的结论，求下列式子的值.（有过程）

---1--1----1----1----1----1-H------1---

夜+16+0〃+6……7100+799

2.(2023上•河北石家庄•八年级校考期末)&•&=a(aN0),(扬+1)(扬-1)=6-1020),两个含有二次

根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如

(万+1)(&-1)=(a『-1=1,(V5-V3)(A/5+^)=(V5)2-(V3)2=2,其中立一1与逝+1有一g与

店+百都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化.请完成下列

问题:

⑴计算：击=一，万之后=-；

r\1_

(2)已知有理数4、(满足江_尸6_]=26_1贝IIa=_,b=_;

(3)计算—；=--1-—；=——产+广广+•••+,——,

㈠丁舁石+i75+73A/7+75J2023+J2021.

3.(2023上•河南南阳•九年级统考期中)先阅读材料，然后回答问题.

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在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

小旧'V3+1

2一2x(gT)2x(百一

①青湍=|5②序层H③省+「(6+1收一1](可一F7-

以上这种化简的方法叫做分母有理化.

还可以用以下方法化简：

⑷23-1(石)'-伊(石+1)(石-1)：万]

用1A/3+I73+16+1'

(1)请用不同的方法化简石、.

⑵化简：看+高耳+后、+…+宾T、力

【考点五复合二次根式的化简】

例题：先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号.

例如：J3+20=,3+2xlx虚=JF+2X1X0+(匈2

=J(1+夜『=卜+闽=1+0.

解决问题：化简下列各式

⑴17+4省；

(2)8-4石.

【变式训练】

L(1)填空：(右-2『=；小一菊=；

(2)例题：化简,5+2/

解：因为5+26=3+2+2><6义近=(指『+2'百'忘+(忘『=(石+忘了

所以，5+24=+=#1+&

仿照上例的方法，化简下列各式：

①J12+6君②,4-26+78-2715

2.我们已知学过完全平方公式/±2必+〃=(“±6)2,知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如

2=(0)2,3=(百)2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求3-20的算术平方根.

解：3-20=2-2忘+1=(忘>_20+F=(0_1)2,所以3-20的算术平方根是a-1.你看明白了吗？

请根据上面的方法解答下列问题:

(1)填空：73+272=

⑵化简：73-2A/2+小5-2屈+，7-2旧+邓-2回+3-2回-

【考点六二次根式中的规律探究问题】

例题：观察下列各式及其验证过程：^1+|=2^|,61=3行，=…验证:小g=

(1)请仿照上面的方法来验证，=；

(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来.并写出过程.

【变式训练】

1.观察下列各式及其验证过程:

(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想、5+工的变形结果并进行验证;

(2)针对上述各式反映的规律，写出用〃(“为大于1的整数)表示的等式并给予验证.

2.观察下列各式及验证过程:

(1)按