幂指对函数比较大小（七大解题方法四种题型）-2025年高考数学热点、重难点题型专项复习（解析版）

第02讲嘉指对函数比较大小（七大解题方法四

种题型）

方法一：运用函数的单调性比较

1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；

2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大

小.

方法二：因为幕指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比

较大小.

方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间

2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值

方法四：作差法、作商法

L一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小

2.作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解

方法五：利用对数运算分离常数比大小

这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转

化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小

方法六：构造函数

学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结

“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.

构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的

隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.

方法七：放缩法

1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数

2、指数和幕函数结合来放缩。

3、利用均值不等式等不等关系放缩

方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要

是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙

卷第12题即是此思维.

【热点题型】

题型一：奇偶性、单调性比较

1

选择题(共6小题)

1.(2022•松山区校级模拟)已知a=ln2+］，b=ln3+3，则a^b，c的大小关

系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

【分析】首先构造函数/(%)=阮计,，再求导确定函数单调性即可比较大小.

x+1

【解答】解：设f(x)=lnx+——,(x>0),所以a=f(2),b=f(3),。=史2=

x+1e+1

■+1+1=i+1=lne+——=f(e).

e+1e+1e+1

2

又因为f'(无)=X+x+l,且/+x+l=(x+2.)2+士>0恒成立，所以f(x)在

x(x+l)224

(0,+8)单调递增.

因为2<e<3,所以/(2)</(e)<f(3),BPa<c<b,所以B选项正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查对数比较大小，构造函数以及导数相关知识点，属于中档题.

06055

2.(2022•东湖区校级三模)已知a=log29,b=e,c=2-,则a,b,c的大小关系为

()

A.b>a>cB.b>c>aC.〃>Z?>cD.a>c>b

【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小.

【解答】解：因为。=log29>log28=3,b—e06<e1^2.1,所以a>b.

55055

又因为6>e°->2-,所以6>c,所以选项C正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题.

3.(2022•海拉尔区校级四模)sin2,2°」，logo.12的大小关系为()

A.sin2>2°'1>logo.12B.20'1>sin2>logo.12

C.2°'1>logo.12>sin2D.sin2>logo.i2>201

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.

【解答】解：由题意知，

0<sin2<l,

201>1,

logo.i2<0,

^Iogo.i2<sin2<201,

故选：B.

2

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数

和指数函数的性质的合理运用.

2

4.（2022•滨海新区校级模拟）已知43，则a,b,c的大

吗L6,b=l0glc=

2

小关系是（）

A.c〈b<aB.C.a<c<bD.b<c〈a

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较三个数的大小.

2_

［解答］解：小育）一口・6=2叫0二£=25，

2_

故2才<2，

即l<a<c<2,

91

>

又：b=log1ylog［w=2，

~2~2

...aVcVZ?,

故选：C.

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，属于基础题.

5.（2022•天津模拟）设a=lrr|，6=。邪，c=0.8-0-5,则a、b、c的大小关系为

（）

A.c〈b〈aB.b〈a〈cC.a<b<cD.c<.a<b

【分析】利用对数函数的单调性可判断a=ln'|<0-5,再利用指数函数的单调性判断

b、c即可.

【解答】解：〈历爪=。5

O.5=O.51<O.5°-8<O.5O=1,

即0.5<6<1,

C=0.8<5>0.80=1,

:・a〈b<c,

故选：C.

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数

和指数函数的性质的合理运用.

6.（2022•河北区模拟）若a,b都是实数，则“4〉五”是“10g2Q>10g2b”的

（）

3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】依据充分与必要条件判断即可.

【解答】解：当a=l,b=0时，

Va>瓜成立,但10g2〃>10g2b不成立；

•.'log2K>log2/b

Va>加，

故"Va>五”是“Iog2〃>log2b”的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分与必要条件的应用，属于基础题.

题型二：利用募函数的性质比较大小

一、单选题

1（2022.安徽•合肥市第七中学二模（理））已知Q=20-9/=3°5,c=2sinl,则〃，b,c的大

小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】先比较。涉得大小，再由2sinl<2sin（=A=6,即可得出答案.

【详解】因为。=2°9*=305,则/。=（2°9『=29,"°=（3°-5『=35,而29>35,故“>》，又

2sinl<2sing=6=6.故c<6,所以c<6<a.

故选：D.

2.（2022・全国•模拟预测）已知°=武,b=H,c=en,e是自然对数的底数，则a,b,c

的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】首先根据募函数的单调性判断出6>c，然后构造函数/（x）=（，运用函数

的单调性得出c>a,即可得解.

【详解】因为函数尸/在（0,«»）上单调递增，且兀>e>0,所以兀je%即b>c.

令《4，

X

贝|]/'（》）=匕詈，当xe[e,y）时，r（x）<0,7■（%）单调递减.因为无>e,所以

4

/(7i)</(e),即/〈”，得eln兀<7dne,故e—K所以。>。，

7ie

综上，b>c>a,

故选：B.

3.(2022.江苏.南京市第五高级中学模拟预测)若c>0,则下列不等式中一定

成立的是()

A.a-->b-^B.a-^>b~—C.ln(&-6z)>0D.>(3

【答案】D

【分析】结合特殊值、差比较法、函数的单调性等知识确定正确选项.

【详解】依题意avbv-l,c>0,

y=X-工在上递增，所以。-工〈人-1，A选项错误.

xab

y=x+!在(9,-!)上递增，所以。+[+B选项错误.

xabba

当〃二一3,6=—2时，ln(Z?—〃)=lnl=。，C选项错误.

aba2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

----==1△L,其中Q+—7M71△------^->0,

baab-------------ab-------------------------------------------------------------ab

所以>=无。在(0,+8)上递增，所以D选项正确.

bayb)\a)

故选：D

二、多选题

4.(2023・全国•高三专题练习)已知实数a,b,c满足a>6>l,0<c<l,则下列不等式一

定成立的有()

A.(a-c)r<0-c)fB.log“(c+l)<log〃(c+l)

1224

C.logac+logfo>2D.ere>bc>c

【答案】BD

【分析】对于A,利用嘉函数的性质判断，对于BC,利用对数函数的性质判断，对于D,

利用不等式的性质分析判断

【详解】对于A,因为0<c<l,所以>=/在(0,+⑹上单调递增，因为

a>b>c,0<c<l,所以a-c>b-c>0,所以(a-c)'>(6-c)‘，所以A错误，

对于B,因为a>b>l,所以当x>l时，log”无<log。x,因为0<c<l,所以c+l>l,所以

log/c+DvlogMc+l),所以B正确，

5

对于C,因为a>>>l,O<c<l,所以log”c<0,logca<0,所以log.c+log°a<0,所以C

错误，

对于D,因为a>6>l,0<c<l,所以/>/>1>02>0,所以a2c2>〃C2>C4,所以D正

确，

故选：BD

三、填空题

5.(2022・全国•高三专题练习)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限

r(r>0),劳累程度T(O<T<1),劳动动机6(1<6<5)相关，并建立了数学模型

£=10-107力小卬.

己知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论:

①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高;

②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高;

③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强:

④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短.则甲比乙劳累程度弱.

其中所有正确结论的序号是

【答案】①②④

【分析】利用指数函数的性质，塞函数的性质逐项分析即得.

【详解】设甲与乙的工人工作效率4,乙,工作年限小々劳累程度7],5,劳动动机

4也，

r>r14

对于①，伪=&，i2>(<£，l<b<5,0<Z>2~0<1

二监。%>4a,I；>工>0,

则E\-E]=10-107；-V14，i-(10-107^也")=10传0T力产")>°，

EX>E2,即甲比乙工作效率高，故①正确；

对于②，工=4，4>々，

1>^-014>>0,&《14万>伪《.142>4如"，

Mr

则E「E?=10-107；-b^'-(10-10T2也如钮)=104作如例)>0)

&>4，即甲比乙工作效率高，故②正确；

b

对于③，外=2，E>E,b<b,0<-L<l,

X2t2瓦

2

：.E「E2=10(7；•勾心"-g'6]如的)>0,与.久知4">式.年。1刊,

6

-0.14/j

T

—2,〉-----A.l〉1，

4&«叱

所以I>],即甲比乙劳累程度弱，故③错误;

对于④，b1=b[,E[>E],{<&,

「Mr

E与=1°伍•&«以—看也如新）>0,T2->T1-b^',

-0.144

马>23严（…）

-0.14/2>i,

工b2

所以7；>7],即甲比乙劳累程度弱，故④正确.

故答案为：①②④.

题型三：指数式、幕式大小比较

一、单选题

1.（2022•河北衡水中学模拟预测）已知。>0且分1,则“。>乃”是"a">尸'的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用指数函数的单调性即可判断

【详解】由可知，函数在R上单调递增，所以/>a",充分性成立;

因为优>屋\所以当0<〃<1时，则。<乃；当。>1时，贝万，必要性不成立，

所以“a>万”是“废>a”的充分不必要条件.

故选：A

221.

2.（2023・全国•高三专题练习）若Q=m，c=（；J,则〃、b、c的大小关系是

（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用累函数和指数函数的单调性比较大小

211

【详解】因为v=x§在（。,+◎上单调递增，且;>：，

yX25

22

所以即

因为y=在R上单调递减，且：>g，

7

所以即c>。，

所以c>a>h,Wflb<a<c

故选：A

3.（2023・全国•高三专题练习）已知。=0.3吗6=0.3°6,c=（|）1则a、b、c的大小关系

为（）

A.a〈b〈cB.c<a〈bC.b〈a〈cD.c〈b〈a

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用指数函数、塞函数单调性即可比较大小作答.

【详解】函数y=o.3工是定义域R上的单调减函数，且0.5<0.6,贝U。产>0.3°6,即

又函数y=x°5在（0,+s）上单调递增，且0.3<g,于是得0.3°5<（令［即c>0,

所以。、b、c的大小关系为6<a<c.

故选：C

4.（2022・全国•高三专题练习）设乂=严，％=27°48,%=

%>%>%B.

C.D.%>丫2>%

【答案】C

【分析】根据指数的运算及指数函数的单调性即可求解.

0483048L44

【详解】由题意可知，%=9°-9=3匕y2=27-=（3）,=3

又函数y=3'在R上是单调递增函数，

因为1.8>1.5>1.44,所以尹>3女>31型,故%>%>%，

故选:C.

5.（2022•黑龙江・牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知”=68,6=77,C=86,则。涉,0

的大小关系为（

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

8

【分析】根据式子结构构造函数〃x)=(14-x)lnx,利用导数判断出/(力在(6,y)上单调

递减，得到81n6>71n7>6U18,进而得至!|6>>7’>外,即可得到答案.

【详解】令〃％)=(14-x)lnx测尸⑺=-lnx+?-1.

因为y=-1皿在(。,+8)上单调递减，y=—1在(0,+。)上单调递减，

所以/'(x)=Tnx+*-1在(0,+功上单调递减.

1414

而/(5)=-ln5+——1>0,/(6)=-ln6+——1<0,

56

所以在(6,+向上有_f(x)<0.

所以〃尤)=(14-x)lnx在(6,y)上单调递减.

所以〃6)>/(7)>f(8),即81n6>71n7>61n8

故68>77>86.^a>b>c.

故选：D

6.(2022・全国•高三专题练习)设。=血力=：,c=d-袤.则a,b,c大小关系是

2

()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】A

【分析】根据自然常数的定义和指数幕的运算性质可知。>。，构造函数

h(x)=x-lnx(x>l),利用导数研究函数的单调性可得〃(五)>(31进而可得6>c,即

可得出结果.

a13

【详解】由。2=ep2.718>2.25=—=/,e2>-,故a>〃；

42

103_LL、

-2-_2p2_五_,故〃>C；

Ct—Ve—Ce>C—C

假设<—,有e2MV。o2-<In—<^>—-In—<A/C--<^>--In—<^-ln>/e,

'22222222

令/z(x)=x-lnx(%>l),贝！］〃(%)=1—L〉o,所以%(%)在(1,+00)上单调递增，

而血>2,贝(丘)所以e2M成立，b>c；

2\2J2

故c<Z?<a.

故选：A.

9

二、多选题

7.（2022・福建・福州三中高三阶段练习）下列判断正确的有（）

A.O.30-2>O.202>0,203

B-（0.2）-2>（64”>（io。-72）°

C.若x>1,贝［|xH-------24

x-1

12

D.若x,>>0,—।—=1,贝1|2尤+yN8

xy

【答案】ABD

【分析】对选项A,利用累函数的单调性和指数函数的单调性即可判断A正确，对选项

B,利用指数幕运算即可判断B正确，对选项C,D,根据基本不等式即可判断C错误，D

正确.

【详解】对选项A,函数>=尤02单调递增，0.3。2>0.2。2,

又y=0.2工单调递减，.•.0.2。2>0.2。3,故A正确；

对于选项B,0.2-2=52=25,6%=8，（100-72）°=1,

所以（0.2产>（64户>（100-应严故B正确；

对于C：尤一1>0,XH------=x—l-\---------bl>2+l=3,等号成立当且仅当x=2时,

X—1X—1

故C错误；

对于D:2x+y=(2x+y)?+2]=4+^+?"+2"=8,当且仅当2%=y时,

y)y

即x=2,y=4时取等号，故D正确.

故选：ABD

8.（2022.山东日照.三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限

r（r>0）,劳累程度T（O<T<1）,劳动动机6（1<6<5）相关，并建立了数学模型

£=10-107-^14r,已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是

)

A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱

D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

【答案】AC

10

【分析】设甲与乙的工人工作效率月,凡，工作年限小々劳累程度汇,劳动动机

b也,利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB；利用作商法和募函数指

数函数的性质比较大小即可判断选项CD.

【详解】设甲与乙的工人工作效率耳，耳，工作年限小2,劳累程度工，5,劳动动机

0141tl

对于A,bx=b2,r1>r2,Tl<T2,l<b<5,0<&；<16严。>b：4z>7；>0,

fll4r2

则E、_E[=10-107；・耳⑶甑-（10-107；-/?2）=10（7；4°小―42产的）>0,

即甲比乙工作效率高，故正确；

EX>E2,A

Mr

对于B,T1=T2,t[>ti,bl>b2,：.1>b严>产>0,镇[>斤°」钮〉bf',

则E「E?=10-107；・不0必_00_io七.端以）=]0看仅^^-不出）>o,

:鸣咨,即甲比乙工作效率高，故B错误：

对于C,bt=b2,Et>E2,rx<r2,

0

：.E「E[=10（7；力，一方■不%）>0,5.4J4,2>公.b-o,i4,；

4>武=闻—>1，

7102

所以（>7；,即甲比乙劳累程度弱，故C正确；

b

L

对于D,rx=i2，E1>E2,bl<b2,0<-<l,

-b2

：.4-区=10（岂-b，?-工.44叫）>0,

T2•靖小>T,在g,I>黠=伯）—=1,

所以《>?；,即甲比乙劳累程度弱，故D错误.

故选：AC

三、填空题

_3

9.（2023•全国•高三专题练习）已知"（|）力=（|）工=||]，则。，b,c的大小关系是

【答案】c<b<a^a>b>c

【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可

【详解】因为y=1|；是R上的减函数，且-夫-；<0,

11

所以3,所以

因为y=是R上的增函数，且-;<0,

所以m=l，所以C<1,

所以c<b<a

故答案为：c<b<a或a>b>c

10.（2022・全国•高三专题练习）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限

r（r>0）,劳累程度T（O<T<1）,劳动动机仪1<8<5）相关，并建立了数学模型

E=10—10T-F°w.

已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论:

①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高;

②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高;

③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强:

④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短.则甲比乙劳累程度弱.

其中所有正确结论的序号是

【答案】①②④

【分析】利用指数函数的性质，塞函数的性质逐项分析即得.

【详解】设甲与乙的工人工作效率目,占，工作年限小5劳累程度劳动动机

4.，

对于①，bb[,耳>4，\<b<5,0<fe~014<1

、=TX<T2,2

厂例>仇一。」4“，心>4>0,

则ErE?=10-107；力/次-（10-107；也<%）=1。传也知钠_44知4々）>0,

:.EI>E°,即甲比乙工作效率高，故①正确；

对于②，（=岂,rx>r2,bx>b2,

：.1>4人">bi*”>0,向《」4万>年。」44>6式喇，

则4-耳=10-107；-b^-（10-107^-V14^）=107；（-b^Mr'）>0,

即甲比乙工作效率高，故②正确；

b

对于③，E、>E,,瓦<瓦,0<-!-<1,

b2

：.Ex-E2=10（7；•4例—4.6武喇）>0,《./心钻>g.年。.必，

12

-0.14/j

T

—2,〉-----A.l〉1，

4&«叱

所以I>],即甲比乙劳累程度弱，故③错误;

对于④，b1=b[,E[>E],{<&,

Mr

E「与=1°伍•&«以—看也如新)>0,T2->T1-b^',

马>2-0.1443严（…）

-0.14/2>i,

工b2

所以7；>7],即甲比乙劳累程度弱，故④正确.

故答案为：①②④.

题型四：比较对数、指数、募的大小

一、单选题

_____________Innj+Inn

1.（2022•广东佛山•高三阶段练习）若机a=Vinm-Inn,b-------,

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【分析】利用对数函数的单调性结合基本不等式可得出。、b.。的大小关系.

【详解】因为则ln〃?>ln〃>0,由基本不等式可得竺叱>疝,

2

Inm+lnn

>Vlnm-lnzi

2

,,,m+ni/—Inm+Inn

故In----->Invmn=--------->Vinm-Inn即a<b<c.

、22

故选：A.

2.（2022•安徽•高三开学考试）若。=log515力=log4%c=0，贝!！（)

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】利用对数函数的性质分析判断，由55<153可得/<15,再两边取以5为底的对数

化简可得•>1，同样由45>93,可得由于囱〉场，两边取以2为底的对数可比

较出6>c,从而可得结论.

【详解】因为5$=3125,153=3375,

所以5$<153,所以一<15,

13

因为y=log5尤在(0,+8)上为增函数，

155

所以logs15>logs5?=§,即

因为45=10249=729,

所以4>93,

所以>9,

因为>=log4_r在(0,+oo)上为增函数，

,555

所以log4如>log49,所以§>9，即§>6,

2

b=log49=log223=log23,

因为yTogzX在(0,+8)上为增函数，且a>般,

所以log2囱>log2,

23z-

所以Iog23>log222=->V2,

所以6>c，

综上，c<b<a,

故选：C

3.(2022•吉林・东北师大附中高三开学考试)/(X)为R上的偶函数，x>0时，/(x)=e\

"了吗7%则下述关系式正确的是（

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>a>bD.a>b>c

【答案】c

【分析】根据f(x)为偶函数，在(0,+8)上/(x)="单调递增，结合f(x)=/(|x|)求解.

【详解】vx>0时,/(x)=e\

/(尤)在(。,行)上单调递增,

,・"(X)为R上的偶函数，

/(无)=用尤I),

a=/(lng)=/(—ln3)=/(ln3),^/(log31)=/(log3e),c=/(log,1)=/(ln9)

*/0<log3e<l<ln3<ln9,

：・c>a>b,

故选：C

14

4.(2022・湖北•高三开学考试)已知均为不等于1的正实数，且

Inc=cAnb,]na=bine,则。，dc的大小关系是()

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】分析可知，In。、Inb、Inc同号，分〃、b>和〃、b>c«l,+oo)两种

情况讨论，结合对数函数的单调性可得出〃、b,。的大小关系.

【详解】•・・Inc=Qlnb,ln〃=bine且〃、b、。均为不等于1的正实数，

则Inc与同号，Inc与Ina同号，从而Ina、lnZ?>Inc同号.

①若〃、b、ce(0,l),则Ina、Inb、Inc均为负数，

\na=blnc>lnc,可得lnc=a\nb>}nb,可得c>Z?,止匕时a>c>b；

②若〃、b>ce(l,+co),贝Ijlna、ln〃、Inc均为正数，

lna=b]nc>\ncf可得〃〉c,lnc=alnZ?>lnZ?,可得c>。，止匕时a>c>b.

综上所述，a>c>b.

故选：D.

5.(2022・云南师大附中高三阶段练习)已知，=e°」i/=1.产1,°=1.11,则

()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】根据式子的结构，构造函数/a)=lnx-(x-1),利用导数判断出单调性，比较出

a、6的大小；构造函数g(x)=(l+x)u-(l.lx+l),利用导数判断出单调性，比较出从c的大

小.

【详解】显然，。，4c皆为正数.欲比较。和/，的大小，只需比较Ina和ln〃的大

/J\lna=lneou=0.11,lnb=lnl.l11=l.llnl.l,即比较0.11和l.llnl.l的大小即可.

下面先证明山*<工-1，(工>。且尤*1).

记/(x)=lnx—(x-l),则(⑺=^一1.

令广(力<0,得：0<%<1；令广(力>0,得：%>1;

函数〃无)在(0,1)上单增，在(1,内)上单减，

所以对任意x>0,都有〃x)W〃l)=0,即InxVx-l恒成立，

所以对任意无>0且"1,都有〃力<〃1)=0,即lnx<x-l恒成立，故

15

l.llnl.l<l.lx(l.l-l)=0.11,故

构造函数g(x)=(1+x)”-(1.lx+1),则g,x)=1.1(1+x)01-l.l=l.l[(l+x)01-l],故当x>0时，

/(x)单调递增,^/(0.1)=(1+0.1)11-(l.lx0.1+l)=l.l11-l.ll>0,即6>c,综上。>b>c.

故选：A.

6.(2023•全国•高三专题练习)三个数a=0.42,6=bg20.3,。=2。6之间的大小关系是

()

A.a<c<bB.a<b<cC.b〈a〈cD.b〈c〈a

【答案】c

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性得b<Q,C>1,由此可判断得选项.

【详解】解：•.•0<0.42<0.4°=1,.,.0<a<l,

*/Iog20.3<log21=0,.,.b<0,

-：2°-6>2°=l,：.C>1,

".b<a<c,

故选：C.

7.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/■(力=2卜那一1(根为实数)为偶函

数，记〃=/(logo.53),b=f(log25),c=f(2m),则〃，b,c的大小关系为

()

A.b<.a<ZcB.c〈a〈bC.c〈b〈aD.a<b〈c.

【答案】B

【分析】先求出m=0,进而判断出/>(X)的图像过原点，且关于y轴对称，在(一8,0)

上单调递减，在(0,+oo)上单调递增.由0Vlog23Vlog25,即可得到cVaVZ?.

【详解】由函数〃x)=2f—1为偶函数，

所以〃1)=/(-1),即2户时一1=2.1则—1，解得，=0,

即/(x)=21%1-1,其图像过原点，且关于y轴对称，在(一8,0)上单调递减，在(0,

+oo)上单调递增.

又a=f(logo.53)=f(―log23)=f(log23),b=f(log25),

c=f(0),且0Vlog23Vlog25,所以c<a<b.

故选：B

8.(2022・全国•高三专题练习)已知Q=3%Z?=log67,c=logs6,则()

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】首先用作差法及基本不等式判断b、c,再由新函数的性质得到3。2>©°2>1.2,

16

再令〃x)=[Tog5X，利用导数说明函数的单调性，即可判断。、J

lg6lg7=Ig26-lg5/g7

【详解】解:log6-log7=

56lg5lg6Ig5-lg6

因为Ig5」g7<(姮詈］=Rlg35j=lg2^5<lg26,

BPig26-lg5-lg7>0,

^ry,log56-log67>0F即c>b,

又3°2>e%

令g(x)=e,—1—x,则g(x)=e*-1,所以当尤>0时g'(x)>0,当x<0时g'(x)<0,所以

gOOnjgex，

即e=1+x,当且仅当尤=0时取等号，所以3°2>e°2>1+02=1.2,

1

令〃x)=：-iog5无，贝厅'(无)=：一一1T=粤二，所以当尤时_f(x)>0,

55xln551n5-xIn5

所以/(X)在[R,上单调递增，显然5>高，又"5)=0,所以

/(6)=|-log56>/(5)=0,

Bp|>log56,

所以3°2>e02>g>log56,即a>c>人;

故选：C

二、多选题

9.(2023・全国•高三专题练习)已知无，yeR且4x-4y<;/-x3,贝।()

A.X。B.苫工尸c.lg(y-x)>0D.QJ<3^

【答案】AD

【分析】将原不等式转化为V+4尤<^+4y,结合函数的单调性可得了<九再根据指对幕

函数的性质逐个判断即可

【详解】因为羽>©R且4x—4y<-尤3,即羽>eR,且d+4x<+4y,设

f(x)=xi+4x,因为函数y=V在R上单调递增，函数y=4x在R上单调递增，

所以函数〃x)=^+4x在R上单调递增，

A,由d+4x<y3+4y,得所以％<九故选项A正确；

17

B,因为x,yeR,所以当x=0或y=0时，/，了3没意义，故选项B错误;

C,因为x＜＞,而只有当y-x＞l时，lg（y-x）＞0才能成立，故选项C错误；

D,因为x＜y,所以&：＜&［，即］］＜尸，故选项D正确.

故选：AD

三、解答题

10.（2022•江苏省如皋中学高一期末）已知集合4={1。852,108425,2},集合

8={log?5,晦1.记集合A中最小元素为“，集合B中最大元素为6.

⑴求AplB及。，6的值；

⑵证明：函数=在［2,+«））上单调递增；并用上述结论比较与|■的大小.

x2

【答案】（1）人门5={1。825},a=log52,6=log?5；

（2）证明见解析，

【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；

（2）根据单调性的定义即可证明函数/（x）=x+：在［2,y）上单调递增，再根据单调性以

,,1

及对数的性质log0b=-——即可比较出大小.

（1）因为题425=叫25,所以A={log52,log25,2},B={log25,-2},即

AnB={log25}.因为10852＜叫525=2=10824＜10825,所以a=log52,b=log25.

（2）设士,%为［2,+oo）上任意两个实数，且24网＜%,则玉-3＜。，玉%＞1，

/（无］）一/（尤2）=［X［H|—%2--------1="1—尤2---------------------=（X］-%2）X~~＜0,即

X

IIl）〜石马玉龙2

〃石）＜〃切，所以“X）在［2,y）上单调递增.所以〃可＞〃2）=%所以

log52+log25=+log25=/（log25）＞|.

log252

廿【热点、重难点真题训练】

选择题（共9小题）

1.（2019•新课标I）已知a=log20.2,b=20-2,c=0.2°-3,则（）

18

A.a〈b〈cB.a〈c〈bC.c〈a<bD.b<c<a

【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解.

,,1。.2/1I3

【解答】解:A,》=2口2>2。=1,0<C=0.2°-<0.2°=1,

•a=log2、log2=0

.•.aVcVb.

故选：B.

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数

和指数函数的性质的合理运用.

2.（2020•新课标III）设。=log32,6=log53,c=—,贝！J（）

3

A.a<c<bB.a〈b〈cC.b〈c<aD.c〈a〈b

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【解答】解：,.,a=bg32=iog我<kg洞V，

JJS

Z?=log53=A/27>log5/谒，

l2

3

:・a〈c〈b.

故选：A.

【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知

识，考查运算求解能力，是基础题.

3