人教版八年级数学上册期末选填题压轴题（6种必考题型）

期末选填题压轴题（考题猜想，6种必考题型）

盛型大裳合

题型一：手拉手的构造（共3题）

题型二：角平分线的处理（共2题）

题码：夹半角与钮手（W4®）

期末选填题压轴题

题型四、犍段长与面积（共13题）

题谢二瘫度供12题）

题型六：多结论问题（共7题）

型大通关

__________________

题型一：手拉手的构造（共3题）

1.（2022秋•江汉区期末）如图，在AABC中，AB=BC,NABC=tz。，点。为AC边上一点，将绕点

。顺时针旋转。。至即，使E,3在AC异侧，连接CE,若/BCE=0。，则c与月的关系

是_______________________

2.（2021秋•青山区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD,BC=BD,ZABD=-ZBAC=a,则

2

ZBDC的度数为.（用a表示）

1

3.（2022•江岸区校级开学）如图，四边形ABCD中，/BAD=/ABD=/BCD=45。,BC=近,则△ABC的

面积为

题型二：角平分线的处理（共2题）

1.（2023秋•椒江区校级期中）如图，点尸为AA5c内部一点，使得ZPBC=3O。，NPBA=6。,且

ZPAB=ZPAC=24°,求NAPC的度数是.

2.（2023秋•东莞市期末）如图，等腰AA5C,AB^AC,N54c=120。，AD_L8C于点。，点尸是54延

长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①NATO+NDCO=30。；②BC=2PC；③

ZAPO=ZDCO；@AB^AO+AP.其中正确的是.（填序号）

题型三：夹半角与手拉手（共4题）

1.（2021秋叶6江区期末）如图，在AABC中，AB^AC,N54C=90。，直角N£PF的顶点P是3c的中点，

两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交⑷3于点G,以下五个结论：®ZB=ZC=45°；

②AP=EF；③44FP和NA£P互补；④AEPF是等腰直角三角形；⑤四边形?1EPF的面积是AABC面积的

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

2

2.（槐荫区期末）如图，在等边三角形A5c中，在AC边上取两点Af、N,使/MBN=30。.若=

MN=x>CN=n,则以x,机，〃为边长的三角形的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,加，〃的值而定

3.（2023秋•蔡甸区校级期中）如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30。的A处，

舰艇2号在指挥中心南偏东60。的3处，并且。1=05.接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里

/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60。的方向以海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到

两舰艇分别到达点E,尸处，若/EOF=75。，EF=210海里，则机的值为.

4.（2021秋•东坡区期末）如图，△A5C是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以点。为

顶点作一个60。角，使其两边分别交AB于点交AC于点、N,连结MN,则△AMN的周长是.

题型四：求线段长与面积（共13题）

1.（2023秋•洪山区期中）如图，在AABC纸片中，AB=10,BC=8,沿过点区的直线折叠这个三角形,

使点。落在边上的点石处，折痕为5。，若NC=2ZBDE,则DE的长为（）

C

245

3

2.（2023秋•安乡县期末）如图，过边长为2的等边AA5c的边上点P作PELAC于E,Q为BC延长

线上一点，当P4=C。时，连尸。交AC边于。，则DE长为.

3.（2022春•横山区期末）如图，在AABC中，BH_LAC交AC于点、H,CD平分ZACB交BH于点、D,过

点。作DE_L3c于E,ADCH的面积为"，ABCD的面积为34，CH=3,则3c的长为

2

4.（2022秋•香坊区期末）在RtAABC中，ZBAC=90°,有一个锐角为60。，3c=6,点P在边3c上（不

与点3、C重合），NB4P=30。，则CP的长为.

5.如图，已知AABC是等边三角形，点E在3c的延长线上，D是射线3c上一点，点G在AS上，若AGDF

是等边三角形，且B_L3C,已知AC=10,BG=1,则CD的长为.

6.（2023秋•荆门期末）如图的三角形纸片中，AB=8cm,AC=5cm,沿过点3的直线折叠这个三角形,

使点C落在池边上的点E处，折痕为3D,若A®的周长为7CM,则3c的长为.

7.（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在等边△ABC中，点。为线段至上一点，BD=4AD,连接8,

点E为线段AC下方一点，连接CE,且CD=CE,NBDC=ZACE,连接BE交AC于点点尸为线段

AC延长线上一点，AD=CF,连接EF.已知AD=2,则CM的长为.

4

B

8.（2020秋•巴彦县期末）如图，在等边AABC中，点。在3c的延长线上，连接AD,点E在线段4）上,

连接跳，交线段AC于点尸，AE=BC,—=BD-CF^—,则线段AF的长度为.

CD33

9.（2021秋•方正县期末）如图，在四边形A3CD中，AC是四边形的对角线，NCAD=3O。，过点C作CE_LAB

于点E,ZB=2ZBAC,NACO+NE4c=60。，若AB的长度比CD的长度多2,则BE的长为.

C

10.（2024春•兴宁市期末）如图，在AABC中，AD为边的中线，E为AD上一点，连接5E并延长交

AC于点若NAEF=NFAE,BE=4,EF=L6,则CF的长为.

11.（2023秋•广水市期末）如图，在AABC中，AH是高，AE//BC,AB=AE,在钻边上取点。，连接

DE,DE=AC,若心旷=5510-BH=],则3C=

5

12.（2024春•福田区校级期末）如图RtAACB中，ZACB=90°,AD平分交于。，点E在AB的

延长线上，满足NADE+NC4B=180。，若AC=6,BE=2,则线段AB的长为

4

13.（2023秋•高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1,在加△ABC中，ZABC=90°,

2

BD是高,E是△ABC外一点，BE=BA,NE=NC,若DE=—BD,AD=16,BD=2Q,求△5DE的面

5

积.同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在班上截取斯=DE,（如图2）.同

学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△3DE的面积为.

图1图2

题型五：求角度（共12题）

1.（2023秋•纳溪区期末）如图，点尸是NAQ9内任意一点，OP=5a〃，点M和点N分别是射线。4和射

线03上的动点，APMN周长的最小值是5cm,则NAOB的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.（2023秋•广陵区期末）如图，四边形ABCD中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找

一点/、N,使A4A4N周长最小时，则NAA4N+N/WM的度数为（）

6

3.（2023秋•南开区期末）如图，AABC中，NC4E=NCB4=48。，点。为AABC内一点，ZOAB=12°,

ZOBC=18°,则ZACO=()

C.70°D.65°

4.（2021秋•江汉区期末）如图，点。在AABC内部，DB=DC,点、E在AB上.,DE垂直平分若

ZACB=75°,^\ZBDE=

5.（2022秋•大足区期末）如图，在AABC中，NA=48。，点。为至上一点，连接DC,当OC=DB且AACD

三个角与AA5c的三个角分别相等时，NB的度数为

6.（2024春•普洱期末）如图，AABC中，AB=AC,NABC=40。，点。在线段3C上运动（点。不与点

B,C重合），连接4）,作Z4DE=40。，DE交线段AC于点E.当AADE是等腰三角形时，/BAD的度

数为

AD,CE为高,两条高所在的直线相交于“点，若=求

NACB的大小为

8.（2023秋•江门期末）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZB=34°,在边AB,3c上分别找一

点E,F使ADEF的周长最小，此时NEZm=

7

E.

BFC

9.（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，/BCD是AABC的一个外角，ZB=50°,ZBCD=110°,CE平分NACB,

贝UNBEC=.

10.（2023秋•汉阳区校级期末）已知等腰AABC中，BD±AC,且5D=^AC,则等腰AABC的顶角度数

2

为.

11.（2023秋•六盘水期末）如图，在AABC中，ZACB=2a,CD平分NACB,ZC4D=3O°-rz,Z.BAD30°,

则ZBDC=.（用含a的式子表示）

12.（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在四边形ABCD内，DB=DC,"04=60。，ZZMC=78°,ZC4B=24°,

贝ijZACB=.

8

题型六：多结论问题（共7题）

1.（2022秋•应城市期末）如图，在AABC中，AC=BC,ZABC=54°,CE平分ZACB,AD平分NC4B,

CE与AD交于点,F,G为AABC外一点，ZACD^ZFCG,ZCBG=ZCAF,连接。G.下列结论：①

AACF=ABCG；②NBGC=117。；@S^CE=SACFD+；®AD=DG+BG.其中结论正确的是

（只需要填写序号）.

2.（2022秋•道县期末）如图，C为线段上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边AABC

和等边ACDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点、Q,连结尸Q.以下五个结论：

①AD=BE；②PQHAE；®OP=OQ；④ACPQ为等边三角形；⑤N4QB=60。.其中正确的

有________________.（注:把你认为正确的答案序号都写上）

3.（2022秋•闽清县期末）如图，AB=BE,ZDBC=-ZABE,BD±AC,则下列结论正确的

2

是：.（填序号）

①BC平分NDCE；

②ZABE+ZECD=180°;

③AC=2BE+CE；

@AC=2CD-CE.

AD

9

4.（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在加△ABC中，ZABC=90°,以AC为边，作△ACD,满足AO=AC,

点E为3c上一点，连接AE,ZBAE=-ZCAD,连接DE.下列结论中正确的是.（填

2

序号）

①ACLDE；

②ZADE=ZACB；

③若CD//AB,则/场_LAD；

®DE=CE+2BE.

5.（2022秋•黄岛区校级期末）如图，ZABC=ZACB,AABC的内角NABC的角平分线33与NACB的外

角平分线交于点O,AA5c的外角4/BC的角平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论:

①AD//BC；②DB'BE；®ZBDC+ZABC=90°；④平分ZADC；⑤ZBAC+2ZBEC=180。.

其中正确的结论有.（填序号）

6.（2023秋•广阳区校级期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线加上一点，PEL3c于点E,PFLCD

于点/，连接E,F.给出下列五个结论：®AP=EF②PD=EC；③ZPFE=ZBAP；④AAPD一定是

等腰三角形；⑤"，£F.其中正确结论的序号是.

10

7.（2022秋•东西湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC.若的角平分线AE交CD于

E,连接BE,且3E边平分NABC,得到如下结论：①NAEB=90。；®BC+AD=AB；③BE=；CD；④

BC=CE；⑤若AB=x,则3E的取值范围为0<3E<x,那么以上结论正确的是.（填序

号）

11

期末选填题压轴题（考题猜想，6种必考题型）

盛型大裳合

题型一：手拉手的构造（共3题）

题型二：角平分线的处理（共2题）

题码：夹半角与钮手（W4®）

期末选填题压轴题

题型四、犍段长与面积（共13题）

题谢二瘫度供12题）

题型六：多结论问题（共7题）

题型一：手拉手的构造（共3题）

1.（2022秋•江汉区期末）如图，在AABC中，AB=BC,NABC=cz。，点。为AC边上一点，将绕点

。顺时针旋转。。至即，使E,3在AC异侧，连接CE,若NBCE=0°,则c与尸的关系

是.

【分析】如图所示，将ADCE绕点。逆时针旋转得到ADFB使得/史与重合，连接CF,证明

ZFCD=ZBCD,推出F、B、C三点共线，得到NE+NDBC=180。，再根据四边形内角和定理得到

ZBDE+ZBCE^180°,即a+£=180.

【解答】解：如图所示，

将ADCE绕点D逆时针旋转得到ADFB使得DE与DB重合，连接CF,

12

,\ZCDF=ZBDE=a°fCD=FD,ZE=ZDBF,

1800—NCD/Cr

ZFCD=ZCFD==90。——

22

\AB=BC,ZABC=a0,

ry

=90°——

22

:.AFCD=ZBCD,

•:F、3在AC的同一侧,

:.F,B、C三点共线，

:.ZDBF+ZDBC=180°,

ZE+ZDBC=180°,

ZBDE+ZBCE^180°,即a+#=180,

故答案为：a+£=180.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，四边形内角和定理，正确作出辅助

线是解题的关键.

2.（2021秋•青山区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD,BC=BD,ZABD=-ZBAC=a,则

2

ZBDC的度数为.（用a表示）

［分析】作ZMBA=ZDBA,交CA延长线于M.由等腰三角形的性质得出ZABD=ZADB=a,ABAC=2a,

证出NS4M=NS4D,证明ABAM=AR4D(ASA),得出NM=NADB=a,3河=3£>=3。，得出=,

ZACB^ZM=a,因止匕ZABM=ZM^a,设ZACD=x,贝UZBDC=x+a,由八字形得出

x+(x+a)=a+a+a,解得x=a,即可得出答案.

【解答】解：作NMBA=NDBA,交C4延长线于如图所示：

13

・・・AB=AD,ZABD=-ZBAC=a,

2

/.AABD—ZADB=a,ZBAC=2a,

:.ZCAD=1800-4af

.•.44M=180。—2a,44/)=180。—2cr,

:.ZBAM=ZBAD,

在AS4M和AR4D中，

ZMBA=/DBA

vAB=AB,

ZBAM=/BAD

ABAM=ABAD(ASA),

:.ZM=ZADB=a,BM=BD=BC,

AB—AM,XACB==oc,

:.ZABM=ZM=a,

・・•BC=BD,

:.ZBCD=ZBDC,

设NACD=x,则ZBDC=x+tz,

由八字形得：ZACD+Z.BDC^ZM+ZDBM,

即x+(x+a)=a+a+a,

:.x=a,

/.ZBDC—2a；

故答案为：2a.

•、

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练

14

掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

3.(2022•江岸区校级开学)如图，四边形ABCD中，NBAD=NABD=NBCD=45。,BC=近,则△ABC的

面积为

【分析】过。作DG_LCD交CB延长线于点G,连接AG,证△=£>3C(SAS),得出AG=3C=夜,

再证Z4GC=90。，最后根据二角形的面积公式求得结果便可.

【解答】解：过。作£>G_LCD交CB延长线于点G,连接AG,

•.■ZBAD=ZABD^45°,

:.AD=BD,ZADB=90°,

ZBCD=45°,DG±CD,

.•.NCDG=90。，DG=DC,

ZADG=ZBDC=90°-ZBAG,

在△D4G和△DBC中，

AD=BD

<ZADG=ZBDC,

DG=CD

:./\DAG=^DBC(SAS),

；.AG=BC=&,ZDGA=ZDCB=45°,

...ZAGC=90°,

SARr」BC-AG=_x^x0=l

A/IDL22

15

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，关键是构

造全等三角形解决问题.

题型二：角平分线的处理（共2题）

1.（2023秋•椒江区校级期中）如图，点P为AABC内部一点，使得NPBC=30。，ZPBA=6°,且

ZPAB=ZPAC^24°,求NAPC的度数是.

【分析】作辅助线，在AC的延长线上截取=连BF,PF,延长40交3c于D,交BF于E,则

可证得AAPB三AAPF,则"为加'的垂直平分线，结合NPR4=6。，可得NCBF=30。=NCBP,

ZBFP=60°=ZBPF,可得3c平分尸尸，进一步可求出NAPC的度数.

【解答】解：在AC的延长线上截取"'=AB,连BF,PF,延长"交3c于。，交所于E,

ZBPE=ZBAP+ZABP=24°+6°=30°=ZPBC,

在AABP和AAFP中，

AB=AF

<ZPAB=ZPAC,

AP=AP

则AAPB=/\APF(SAS),

.〔AF垂直平分班ZAFP=ZABP=6°,

:.ZFPE=NBPE=30P,

ZCBF=30°=ZCBP,ZBFP=6O°=ZBPF,

.•.BC垂直平分PF,

:.NCPF=NCFP=6。,

ZDPC=36°,

.•.ZAPC=180°-36o=144°.

故答案为：144。.

16

A

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形“三线合一”的性质，解题的关键是作辅助线,

构造全等三角形.

2.（2023秋•东莞市期末）如图，等腰A4BC,AB=AC,ZBAC=120°,AD_L3c于点。，点尸是54延

长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①NAPO+NDCO=30。；②BC=2PC；③

ZAPO=ZDCO；®AB^AO+AP.其中正确的是.（填序号）

等边对等角，可得ZAPO=ZABO、ZDCO=ZDBO,则

ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD,据此可求解；②可先求证AOPC是等边三角形，再根据三角形的

三边关系判断即可；③因为点O是线段AD上一点，所以30不一定是N的的角平分线，据此可求解；④

先证明△OR4=ACPE,则AO=CE,AB=AC=AE+CE=AO+AP.

【解答】解:

-.-AB=AC,AD±BC,

•;BD=CD,ABAD=-Z.BAC=-xl20°=60°,

22

:.OB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°,

:OP=OC,

17

：.OB=OC=OP,

:.ZAPO=ZABO.ZDCO=ZDBO,

ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30。，

故①正确；

②・・・ZAPC+ZDCP+=180。，

/.ZAPC+ZDCP=150。，

・・・ZAPO+NDCO=30。，

/.NOPC+NOCP=120°,

.\ZPOC=60°,

・.,OP=OC,

「.AOPC是等边三角形，

:.OC=PC,

・・・OCwCD,贝iJPCwCD,BC=2CD,

:.BC乎2PC,

故②不正确；

③由①知：ZAPO=ZABO,NDCO=NDBO,

,・•点O是线段AD上一点，

「.NABO与NDBO不一定相等，NAPO与NDCO不一定相等,

故③不正确；

④如图2,在AC上截取连接PE,

・・・ZPAE=180°-ZBAC=60°,

.•.A4PE是等边三角形，

:.ZPEA=ZAPE=60°,PE=PA,

..ZAPO-i-ZOPE=60°f

・・・ZCPE+ZOPE=ZCPO=60°,

:.ZAPO=ZCPE,

.\AOPA=ACPE(A4S),

:.AO=CE,

:.AB=AC=AE+CE=AP+AO,

18

故④正确.

故答案为：①④.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质

的知识点，正确作出辅助线是解题的关键.

题型三：夹半角与手拉手（共4题）

1.（2021秋•邛江区期末）如图，在AABC中，AB=AC,NB4c=90。，直角NEPF的顶点P是3C的中点，

两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于点G,以下五个结论：®ZB=ZC=45°；

②AP=EF；③N4FP和互补；④AEPF是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是AABC面积的

其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【分析】利用AS4证明AA£P=AC77,得PE=PF,则AE尸尸是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形

的性质可对结论逐一进行判断.

【解答】解：・.,AB=AC,440=90。，

.-.ZB=ZC=45°,

故①正确；

・.•点。为的中点，44C=90。，AB=AC,

:,AP=CP,ZAPC=90°,ZBAP=ZC=45°,

・.・NEPF=ZAPC,

:.ZAPE=ZFPC,

在AAEP和ACF尸中，

ZEAP=ZC

<AP=PC,

ZAPE=ZCPF

AAEP=ACFP(ASA),

:.PE=PF,

19

」.AEPF是等腰直角三角形，

四边形酒町的面积为^4即+5以勿=邑"'=：S⑷c，

故④正确，⑤不正确；

•.•ZBAC=ZEPF=90°,

;.N4£P和NAEP互补，

故③正确；

•.•PE不是定长，故②不正确.

,正确的有：①③④，

故选：D.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明

AAEP=ACFP是解题的关键.

2.（槐荫区期末）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点A/、N,使NMBN=30。.若40=〃工,

MN-x,CN-n,则以x,m，〃为边长的三角形的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,机，”的值而定

【分析】将绕点3顺时针旋转60。得到ACBH.连接HN.想办法证明NWCN=120。，HN=MN=x

即可解决问题;

【解答】解：将绕点3顺时针旋转60。得到ACB”.连接HN.

AABC是等边二角形，

20

:.ZABC=ZACB=ZA=60°,

­.•ZMBN=30°,

ZABM+ZCBN=3Q0,

ZNBH=ZCBH+/CBN=30°,

:.ZNBM=ZNBH,

•;BM=BH,BN=BN,

,\ANBM=ANBHf

：.MN=NH=x,

♦;NBCH=ZA=60。，CH=AM=m,

:.ZNCH=120°,

AX,m,〃为边长的三角形A/VCH是钝角三角形，

故选：C.

【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用

旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

3.（2023秋•蔡甸区校级期中）如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30。的A处，

舰艇2号在指挥中心南偏东60。的5处，并且。4=03.接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里

/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60。的方向以加海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到

两舰艇分别到达点石，F处,若NEOF=75。，£F=210海里，则用的值为.

【分析】延长AE、防相交于点C,根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.

21

・・•ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=150°,/EOF=75°,

:.ZEOF=-ZAOB,

2

JL-：OA=OB,ZOAC+NOBC=(90°-30°)+(60°+60°)=180°,

:.EF=AE+BF,

BP£F=1.5X(60+/M)=210.

解得加=80.

故答案为：80.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确作出辅助线是解本题的关键.

4.(2021秋•东坡区期末)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD=CD,ZBDC=nO°,以点。为

顶点作一个60。角，使其两边分别交回于点交AC于点N,连结则的周长是.

【分析】要求△40N的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来

表示，所以需要作辅助线，延长？15至歹，使BF=OV,连接DF,通过证明△BDF三△QVD,及三

4DMF,从而得出=的周长等于AB+AC的长.

【解答】解：是等腰三角形，且N3Z)C=120。，

:.ZBCD=NDBC=30。,

•.•△ABC是边长为6的等边二角形，

ZABC=ABAC=ZBCA=60°,

:.ZDBA=ZDCA^9O°,

延长AB至P,使BF=CN,连接。尸，

在△8QF和△QVD中，

BF=CN

<ZFBD=ZDCN,

DB=DC

△BDF=△CND(SAS),

:.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

22

,.・ZMDN=3,

:.ZBDM+NCDN=60。,

二ZBDM+ZBDF=60。,

在△DMN和△OWF中，

MD=MD

<ZFDM=ZMDN,

DF=DN

△DMN=△DMF(SAS),

:.MN=MF,

「.△AAZ2V的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC^6+6=12.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性

质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键.

题型四：求线段长与面积（共13题）

1.（2023秋•洪山区期中）如图，在AABC纸片中，AB=10,BC=8,沿过点3的直线折叠这个三角形,

使点C落在池边上的点E处，折痕为若NC=2ZBDE,则DE的长为（）

C

245

【分析】由折叠的性质可得：ZABD=ZCBD,BC=BE=8,ZC=ZDEB,进而证得/4Z）E=N4ED,得

到4）=他，由面积法可求解.

【解答】解：由折叠的性质可得：ZABD=NCBD,BC=BE=8,NC=NDEB,ZBDE^ZBDC,CD=DE,

如图，过点。作。于点/，作DV_L3C于点N,则

23

*,•—2，^^ADB-SABCD=1°：8=5：4，

•/ZBCD=2ZBDE,

:.ZEDC=ZBED,

:.ZADE=ZAED,

.'.AD=AE=2,

・,2•MQ05,2•2WCD--J5•r•4',

AD:CD=5:4,

Q

,\CD=-=DE.

5

故选：C.

【点评】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质.

2.（2023秋•安乡县期末）如图，过边长为2的等边AABC的边AB上点P作尸石_LAC于石，。为5C延长

线上一点，当D4=C。时，连PQ交AC边于O,则DE长为.

【分析】过尸做的平行线至AC于尸，通过求证AP/Z）和AQCD全等，推出FD=CD,再通过证明AAP尸

是等边三角形和PEJ_AC,推出即可推出AE+OC=EF+ED,可得EO=工AC,即可推出即

2

的长度.

【解答】解：过P做BC的平行线至AC于尸，

ZQ=NFPD,

等边AABC,

.1ZAP尸=NB=60°,ZAFP^ZACB^60°,

」.AAPF是等边三角形，:.AP=PF,AP=CQ,

■.■AP=CQ,

24

:.PF=CQ,

♦.•在APED和AQCD中,

ZFPD=ZQ

，/PDF=ZQDC,

PF=CQ

:.APFD=AQCD(AAS),

:.FD=CD,,.•尸石_14。于£1,AAPF是等边三角形，:.AE=EF,

:.AE+DC=EF+FD,

:.ED^-AC,-：AC=2,

2

:.DE=\.

故答案为1.

【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确

地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算.

3.（2022春•横山区期末）如图，在AABC中，AC交AC于点X,CD平分ZACB交BH于点、D,过

点。作。E_L3C于E,ADCH的面积为'G,ABCD的面积为八万，CH=3,则3c的长为

2

【分析】根据垂直的定义得到NCHD=90。，根据三角形的面积求得D"=有，过。作OEL3C于E,根

据角平分线的性质得到DE=DH=^3,于是得到结论.

【解答】解：•.•皿，AC,

:.NCHD=90°,

•.・ADCH的面积为之叵，CH=3,

2

DH=6

25

过。作。E_L3c于E,

,;CD平分NACB交BH千点D

DE=DH=小,

•••ABCD的面积为8,

-E>E-BC=-XA/3BC=3A/3,

22

/.BC=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

4.（2022秋•香坊区期末）在RtAABC中，ZBAC=90°,有一个锐角为60。，3c=6,点P在边3c上（不

与点3、C重合），NB4P=30。，则CP的长为.

【分析】根据题意画出图形，分2种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答.

【解答】解:如图1,若4=60。,

AB

图1

则NC=30。，

,;BC=6,

:.AB=-BC=3,

2

■.■ZBAP=30°,

:.ZAPB=90°,

26

1Q

则BP=—A5=?，

22

39

CP=BC-PB=6一一=-；

22

如图2,若NC=60。，

则NB=30。，

AC=-BC=3,

2

vZfiAP=ZB=30°,

ZAPC=ZC=60°,

「.AACP为等边三角形，

..PC=AC=3；

综上，CP的长为3或2.

2

故答案为：3或？.

2

【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键.

5.如图，已知AABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，。是射线3c上一点，点G在他上，若AGDF

是等边三角形，且已知AC=10,BG=1,则CD的长为.

【分析】过。作于推出ZGMD=ZDCF=90°,由等边三角形的性质得到NB=NG©尸=60。，

DG=DF,BC=AC=10,由三角形外角的性质推出NEDC=NMGD,即可证明ADCF三AMGQ(A4S),得

至|JCD=MG,令CD=x,得至l」KB=7—x,BD=10-x,由直角三角形的性质得至UND=2®W=14—2x,因

止匕10—x=14—2x,求出x=4,

27

即可得到CD=4.

【解答】解：过。作于M,

vFC±BC,

Z.GMD=ZDCF=90°,

・.・AABC、ADPG是等边三角形，

.\ZB=ZGDF=6O°,DG=DF,BC=AC=10,

•・,ZGDF+ZFDC=ZB+ZMGD,

:.ZFDC=ZMGD,

ADCF=AMGD(AAS),

:.CD=MG,

令CD=x,

:.MB=BG-MG=l-x,BD=CB-CD=10-xf

・・・N5=60。，ZBMD=90°,

:.BD=2BM=2(7-x)=U-2x,

10—x—14—2x,

/.x=4,

.•.8=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，关键是证明ADCF=AMGD(A4S).

6.(2023秋•荆门期末)如图的三角形纸片中，AB^cm,AC5cm,沿过点3的直线折叠这个三角形,

使点C落在四边上的点E处，折痕为若AAED的周长为7cm,则3c的长为.

28

【分析】根据折叠的性质和三角形的周长公式即可得到结论.

【解答】解：•.•沿过点3的直线折叠这个三角形，使点C落在4?边上的点E处，

/.BE=BC,CD=DE,

7.AC=AD+CD=AD+£）£*=5cm,

・・・AAED的周长为7cm,

/.AD+DE+AE-1cm,

AE=2cm,

BC=BE=AB—AE=6（cm）.

故答案为：6.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

7.（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在等边△ABC中，点。为线段Afi上一点，BD=4AD,连接CD,

点E为线段AC下方一点，连接CE,且CD=CE,NBDC=ZACE,连接3E交AC于点点尸为线段

AC延长线上一点，AD=CF,连接EF.已知AD=2,则CM的长为.

E

【分析】由等边三角形的性质得AC=AB=5AD=1O,则A产=12,可证明△ADC三△RIE,得NA=Nb,

AC=FE=AB,再证明AF=FM=-AF=6,则CM=4,于是得到问题的答案.

2

【解答】解：ABC是等边三角形，BD=4AD,AD=CF=2,

：.AC=AB=AD+4AD=5AD=5x2=10,

:.AF=AC+CF=10+2=12,

29

ZADC+ZBDC=180°,ZFCE+ZACE=18Q°,S.ZBDC=ZACE,

:.ZADC=ZFCE,

在△ADC和中