人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形（压轴题专练）（解析版）

第十二章全等三角形(压轴题专练)

全等三角形压轴题题型

专练

ITIT1

❶四边形中构造全等三角形❷一线三等角模型❸三垂直模型O倍长中线模型❺旋转模型

【题型一四边形中构造全等三角形】

;方法模型总结：若四边形中有两对邻边/Qi

E

:相等(如图)，常连接这两对邻边的交点\\2F\

;构造全等三角形解题.弋/;

：.....................H.__：

例题：如图，在四边形A8CD中，于点B,8,AD于点。，点E,尸分别在AB,上，AE=AF,

CE=CF.

(1)若AB=8,CD=6,求四边形AECP的面积；

(2)猜想NZM2,ZECF,/DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】(1)48

(2)NDAB+/ECF=2/DFC,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连接AC,证明△ACEg^ACF,则必ACE=SZACF,根据三角形面积公式求得LACF与S/ACE,根据S因

必影A£CF=S/ACF+S/ACE求解即可；

(2)由△可得NFCA=/EC4,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC,根据垂直关系，以及三角

形的外角性质可得/C+NBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+/EAC=ZDAB+ZECF.可得ND4B+

/ECF=2NDFC

(1)

解：连接AC,如图,

AE=AF

在△ACE和△AC尸中|CE=CF

AC=AC

：.AACE^AACF(SSS).

：.SAACE=SAACF,ZFAC=ZEAC.

\9CB±AB,CDLAD,

：.CD=CB=6.

SAACF=SAACE=^AECB=x8x6=24.

「・S^^AECF=SAACF~\~SAACE=24+24=48.

(2)

ZDAB+ZECF=2ZDFC

证明：VAACE^AACF,

：.ZFCA=ZECA,ZFAC=ZEACfZAFC=ZAEC.

・.・/。/。与/4尸。互补，N3EC与NAEC互补，

・•・ZDFC=ABEC.

VZDFC=ZFCA+ZFAC,ZBEC=ZECA+ZEAC,

：.ZDFC+NBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC

=ZDAB+ZECF.

：.ZDAB+ZECF=2ZDFC

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

【变式训练】

1.在四边形A8OC中，AC=AB,DC=DB,ZCAB=60°fZCDB=120°fE是AC上一点，歹是A3延长线上

一点，且CE=3尸.

c

D

⑴试说明：DE=DF：

(2)在图中，若G在AB上且/即G=60。，试猜想CE,EG,8G之间的数量关系并证明所归纳结论.

⑶若题中条件“NCAB=60°,/。8=120。改为/。42=mZCDB=180°-a,G在AB上，NEDG满足什么条

件时，(2)中结论仍然成立？

【答案】(1)见解析；

⑵CE+BG=EG,理由见解析；

(3)当/EDG=9O"3a时，(2)中结论仍然成立.

【解析】

【分析】

(1)首先判断出NC=ND2尸，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ACDE三AB//，即可判断出

DE=DF.

(2)猜想CE、EG、3G之间的数量关系为：CE+BG=EG.首先根据全等三角形判定的方法，判断出

AABDSAACZ),即可判断出=/。必=60。；然后根据NEDG=60。，可得NCDE=ZADG,

ZADE=ZBDG,再根据ZCDE=ZBDF，判断出ZEDG=ZFDG,据此推得ADEG三ADFG，所以EG=R7,

最后根据CE=B/，判断出CE+3G=EG即可.

(3)根据(2)的证明过程，要使CE+3G=EG仍然成立，则NEDG=ZBD4=NCDA=gNCO3,即

ZEDG=1(180°-«)=90°-1«,据此解答即可.

(1)

证明：Z.CAB+ZC+ZCDB+ZABD=360°,NC4B=60°,ZCDB=120°,

:.ZC+ZABD=360°-60°-120°=180°,

又；ZDBF+ZABD=180°,

:.NC=NDBF,

在ACDE和ABOb中，

CD=BD

<ZC=ZDBF

CE=BF

,\\CDE^ABDF(SAS),

:.DE=DF.

(2)

解：如图，连接AO,

猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG.

证明：在AABD和AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

.•.AABD^AACr)(SS5),

/.ZBDA=ZCDA=-ZCDB」x120。=60。，

22

又・.・N团G=60。，

.•./CDE=ZADG,ZADE=NBDG,

由(1),可得ACDENABDF,

:./CDE=/BDF,

ZBDG+ZBDF=60°f

即NFDG=60。，

:.NEDG=NFDG,

在AD£G和ADFG中，

DE=DF

<ZEDG=ZFDG

DG=DG

ADEG=bDFG(SAS),

:.EG=FG,

又・.・CE=BF,FG=BF+BG,

.•.CE+BG=EG；

(3)

解:要使CE+3G=EG仍然成立，

贝UNEDG=NBDA=ZCDA=|ZCDB,

即ZEDG=1(180°-a)=90°-1a,

.,.当NEOG=90。一1c时，CE+3G=EG仍然成立.

2

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意

推出规律是解此题的关键.

【题型二一线三等角模型】

方法模型总结：如图，NB=NC=

N1,由三角形内角和及平角的有

关性质易得N2=N3,N4=/5,

再加上任一组对应边相等，易证两三角形全等.

例题：【探究】如图①，点8、C在NM4N的边AM、AN上，点E、/在NM4N内部的射线AD上，/I、Z2

分别是AABE、VC4F的外角.若AB=AC,Z1=Z2=ZBAC,求证：VME丝VC4F.

【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，AB^AC,AB>3C,点。在边3C上，CD=2BD,点、E、尸在

线段AD上，Z1=Z2=ZBAC,若AABC的面积为9,贝心ABE与ACDP的面积之和为.

【答案】探究：见解析；应用：6

【分析】探究：根据/4=/&!£+NABE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,得出ZA5E=NC4F,根据N1=N2,

得出NA£B=NCE4,再根据AAS证明即可;

应用：根据全等三角形的性质得出：S^ABE=S^CAF,进而得出凡8尸+久如=S4As，根据CD=23。，AABC

2

的面积为9,得出与皿,=35^0=6,即可得出答案.

【详解】探究

证明：VZA=ZBAE+ZABE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,

又,:ZBAC=Z1,

：.ZABE=ZCAF,

,­'4=N2,

ZAEB=ZCFA,

在AABE和VC4F中，

'NAEB=NCFA

<NABE=ZCAF

AB=AC

：.z\4BE^AC4F(AAS)；

应用

解：,；VABE^CAF,

・q—v

••一口ACAF，

•Q-1-V—V

••*CDF丁0AC4F一°AACD，

,:CD=2BD,AABC的面积为9,

\ACD=耳S^ABC=6,

与ACDP的面积之和为6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键.

【变式训练】

1.(1)问题发现：如图1,射线AE在NM4N的内部，点B、C分别在NM4N的边AM、AN上,且AB=AC,

若NBAC=/BFE=NCDE=90°,求证：AABF^CAD.

(2)类比探究：如图2,AB=AC,>ABAC=ZBFE=ZCDE.(1)中的结论是否仍然成立，请说明

理由；

(3)拓展延伸：如图3,在"RC中，AB=AC,AB>BC.点E在BC边上，CE=2BE,点、D、尸在线

段AE上，ZBAC=ZBFE=ZCDE.若AABC的面积为15,DE=2AD,求△台砂与ACDE的面积之比.

【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）1:4

【分析】（1）根据NBAC=NBEE=NCDE=90。即可得到N54户+NC4F=90。，ZDCA+ZCAF=90°,从

而得到ZBAF=/DCA,即可得到证明；

（2）根据==得到/BA^+NC4F=NDC4+NC4产，即可得到NE4F=/OC4,即可得

到证明；

（3）根据AABC的面积为15,CE=2BE,即可得到S&BE=5,LEC=1°，结合£>E=2AD可得S△皿■=日，

20

SAEDC=3，根据AB=AC，ZBAC=/BFE=/CDE得至U^ABF^4CAD,即可得到2肥尸，即可得到答案；

【详解】（1）证明：ZBAC=ZBFE=ZCDE=90°,

AZBFA=ZCDA=90°,NBAF+/CAF=90。,ZDC4+ZC4F=90°,

JZBAF=ZDCA,

在△钻b与△C4O中，

ZBFA=ZCDA

・.・{ZBAF=ZDCA,

AB=AC

.・.△AB厂/q/XAAS）；

（2）解：成立，理由如下，

ABAC=/BFE=NCDE,

：.ABAF+ACAF=ADCA+ACAF,/BFA=/CDA,

：.ZBAF=ZDCA,

在AABb与△C4。中，

ZBFA=ZCDA

・.・{NBAF=ZDCA,

AB=AC

：.^ABF^CAD（AAS）；

(3)解：AABC的面积为15,CE=2BE,

,•S@BE=5,S&AEC=10,

,/DE=2AD,

_1020

••^AADC_3，MEDC-3，

•••ABAC=Z.BFE=Z.CDE,

ZBAF+Z.CAF=ZDCA+ZCAF,Z.BFA=NCDA,

ZBAF=ZDCA,

在AAB尸与AC4D中，

ZBFA=ZCDA

'；］ZBAF=ZDCA,

AB=AC

：.AABF^AC4£>(AAS)

・•、ABEF-33-3，

•S-V-5,Z2-1.4

,,3BEF-3CDE_3.3_L什；

【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得

到三角形全等的条件.

2.在直线"?上依次取互不重合的三个点RAE,在直线机上方有AB=AC,且满足

⑴如图1,当。=90。时，猜想线段。E,32CE之间的数量关系是.

(2)如图2,当0＜勿＜180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明

理由;

(3)应用：如图3,在AABC中，ZBAC是钝角，AB=AC,NBAD<NCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线机

与CB的延长线交于点/，若BC=3FB,AABC的面积是12,求AFBD与AACE的面积之和.

【答案】⑴DE=BD+CE

(2)DE=8Z)+CE仍然成立，理由见解析

(3)AFBD与乙ACE的面积之和为4

【解析】

【分析】

(1)由/BZM=/BAC=/AEC=90°得到/BAD+NEAC=N8AZ)+/nBA=90°,进而得到/。&4=

ZEAC,然后结合AB=AC得证之△EAC,最后得至1」。石=2。+。£；

(2)由/BOA=/BAC=/AEC=a得到N8AO+/EAC=/BAZ)+NZ)BA=180°-a,进而得到/。8A=

ZEAC,然后结合AB=AC得证△OBA04EAC,最后得到。E=BD+CE；

(3)由NBAZ)>NCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出/CAE=NA8O,由AAS证得△AOB丝ZkCAE,得

出SAABD=SACEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出SZXA2尸即可得出结果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,/ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

ZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA^90°,

：.ZDBA=ZEAC,

\'AB=AC,

：.ADBA^AEAC(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE^BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

,?ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

：.ZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA^180°-a,

：.ZDBA=ZEAC,

\'AB=AC,

：.(AAS),

：.BD^AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：,：ZBAD<ZCAE,NBDA=/AEC=NBAC,

；./CAE=/ABD,

在△ABO和△CAE中，

ZABD=ZCAE

，ZBDA=ZCEA,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS),

：.SAABD=SACAE,

设△ABC的底边BC上的高为〃，则△ABF的底边3尸上的高为h,

：.SAABC=^BC-h^n,SAABF=gBF・h,

'：BC=3BF,

：.S^ABF=4,

,/SLABF=SABDF+SAABD=SAFBD+S/\ACE=4,

：.AFBD与△ACE的面积之和为4.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三

角形的判定与性质.

【题型三三垂直模型】

:方—法穰型总结，歪三选直硬到干;刘词泰磨由桂庚济至

：两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等，：

;易证两直角三角形全等，常见的模型如下：

例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1,ZACB^90°,AC^BC,BE±MN,AD±MN,

垂足分别为£、D.图中哪条线段与AO相等？并说明理由.

问题2：试问在这种情况下线段。E、AD,8E具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由.

问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线的位置时，试问。E、AD.8E具有怎样的等量关系？请

写出这个等量关系，并说明理由.

BB

【答案】问题1，AD=EC,证明见解析；问题2：DE+BE=AD；问题3：DE=AD+BE,证明见解析.

【分析】(1)由已知推出NA0C=N8EC=9O。，因为NACQ+NBCE=90。，NZMC+ACQ=90。,推出NOAONBCE,

根据AAS即可得到^ADC^ACEB,即可得出AD=EC；

(2)由(1)得至！JA。=CE,CD=BE,即可求出答案；

(3)与(1)证法类似可证出NACD=NE8C,能推出△ADC之△CM,得到A。=CE,CD=BE,即可得到

DE、AD.8E之间的等量关系.

【详解】解：⑴AD=EC；

证明：9：AD±MN,BELMN,

：.ZADC=ZBEC=90°,

•・•ZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

•；NADC=NBEC,AC=BC,

：.AADC^ACEB,

：.AD=EC；

(2)DE+BE=AD；

由(1)已证△ADC之△CE5,

：.AD=EC,CD=EB,CE=AD

：.CE=CD+DE=BE+DE=AD

即DE+BE=AD；

(3)DE=AD+BE.

证明：9：BE±BC,ADLCE,

：.ZADC=90°,ZBEC=90°,

：.NEBC+/ECB=9。。,

,/ZACB=90°,

：.ZECB+ZACD=90°,

：.NACD=NCBE,

VZADC=ZBEC,AC=BC,

：.AADC沿4CEB,

：.AD=CE,CD=BE,

CD+CE=DC,

【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的

条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强.

【变式训练】

1.在△ABC中，NBAC=90。，AC^AB,直线MN经过点A,且CZ)_LMN于。，BELMN于E.

图1图2

(1)当直线绕点A旋转到图1的位置时，ZEAB+ZDAC=度；

(2)求证：DE=CD+BE；

(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问OE、8、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,

并加以证明.

【答案】⑴90。

(2)见解析

(3)CD=BE+DE,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由/BAC=90。可直接得到/E4S+NOAC=90。；

(2)由CD±MN,BELMN,得/ADC=NBEA=NBAC=9。。,根据等角的余角相等得到根

据A4S可证ADCA四△EAB,所以AO=CE,DC=BE,即可得到DE=E4+A。=OC+8E.

(3)同(2)易证△OCAg/XEAB,得到AO=CE,DC=BE,由图可知AE=A。+OE,所以CD=BE+DE.

(1)

,?ZBAC=9Q°

：.ZEAB+ZDAC=180°-ZBAC=180°-90°=90°

故答案为：90°.

(2)

证明：•:CDLMN于D,BELMN于E

：.ZADC=ZBEA^ZBAC=90°

'：/ZMC+/OCA=90°且ZDAC+ZEAB=9Q°

：.ZDCA=ZEAB

•.•在AOCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90°

<ZDCA=/EAB

AC=AB

：.ADCA^AEAB(A4S)

AO=8E且EA=DC

由图可知：DE=EA+AD=DC+BE.

(3)

:CDLMN于D,BELMN于E

：.ZADC=ZBEA=ZBAC=90°

'：/DAC+/Z)CA=90°且NZMC+NEAB=90°

ZDCA=ZEAB

:在AOCA和AEAB中

ZADC=ZBEA=90"

<ZDCA=ZEAB

AC=AB

：.ADCA与AEAB(44S)

AD=BE^.AE=CD

由图可知：AE=AD+DE

：.CD=BE+DE.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线

段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质.

【题型四倍长中线模型】

例题：阅读理解

在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法.

如图1,AZ)是AABC的中线，AB=7,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点M,使。M=AD,

连接2M,易证△ADCZ&WDB,所以=接下来，在AABM中利用三角形的三边关系可求得40

的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是；

类比应用

如图2,在四边形A3C。中，AB//DC,点E是BC的中点.若AE是—54。的平分线，试判断AB,AD,

0c之间的等量关系，并说明理由；

拓展创新

如图3,在四边形ABCD中，AB//CD,AF与。。的延长线交于点下，点E是BC的中点，若AE是NA4广的

平分线，试探究AB,AF,CF之间的数量关系，请直接写出你的结论.

AA

【答案】阅读理解：1<AD<6

类比应用：DC+AB=AD

拓展创新：AF+CF=AB

【分析】阅读理解：由全等的性质推出E0=AC=5,^^^AM-BM<AM<AB+BM,可得结论.

类比应用：延长AE,DC交于点F,先证AABE/AEEC得CF=AB,再由AE是的平分线知

ZBAF^ZFAD,从而得NEW=N/，据此知AD=DF,结合。C+CF=D户可得答案.

拓展创新：延长AE,DF交于点G,根据平行和角平分线可证AP=FG,也可证得"BE四△GCE,从而

可得AB=CG,即可得到结论.

【详解】阅读理解：由题可知，AADCdMDB,

：.AC=BM=5.

VAB-BM<AM<AB+BM,AB=1.

2<AM<12,

：.2<2AD<12,

：.1<AD<6,

故答案为：1<AD<6.

类比应用：DC+AB=AD.理由如下:

如图1,延长AE,DC交于点尸.

A

图1

■:AB//CD,

:.ZBAF=ZF.

CE=BE,

在△ABE和△/C石中，＜/BAF=/F,

ZAEB=ZFEC,

：.AABE^AFEC(AAS),

:.CF=AB.

•・•是4BA。的平分线，

JZBAF=ZFAD,

・•・ZFAD=ZF,

JAD=DF.

■:DC+CF=DF,

:.DC+AB=AD.

拓展创新：如图2,延长AE1,DF交于点、G.

/BAG=NG.

CE=BE,

在AABE和AGCE中，＜/BAG=NG,

NAEB=ZGEC,

：.AABE^AGECCAAS),

CG=AB.

：AE是/BA尸的平分线，

NBAG=NGAF,

：.ZFAG^ZG,

：.AF=GF.

'：FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

故答案为：AF+CF=AB.

【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定

义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线

构造全等三角形是解题的关键.

【变式训练】

1.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1,在

A/4BC中，AO是BC边上的中线，延长AO到使=连接

图1图2图3

【探究发现】

(1)图1中AC与的数量关系是，位置关系是.

【初步应用】

(2)如图2,在44BC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.

【探究提升】

(3)如图3,AD是“1BC的中线，过点A分别向外作AELAB、AFAC,使得AE=AB,AF=AC,延长

DA交EF于点、P,判断线段E尸与AD的数量关系和位置关系，请说明理由.

【答案】(1)AC^BM,AC/IBM；(2)2<A£><10；(3)EF=2AD,ADYEF,理由见解析

【分析】(1)证AMDB丝AADC,得AC=BM,ZMBD=ZACD,再由平行线的判定即可得出AC〃即1；

(2)延长4)到使得。暇=4),连接由(1)可知：AMDB-ADC,^BM=AC=8,再由

三角形的三边关系即可得出结论；

(3)延长AD到使得DW=A£),连接,由(1)可知：AMOB丝AADC,得=AC,由AC=AF,

可证=再证AABM0A£4/，得AM=EF,ZE=ZBAM,则EF=2AD,然后由平角

ZEAP+ZBAM=90°,再由NE=44M,得N£/%=90。，即可得出结论.

【详解】(1)如下图1,

•.•&£＞是AABC的中线,

BD=CD,

在ZW阳和△ADC中,

BD=CD

ZBDM=ZCDA

DMAD

..△MDBmAADC,

:.AC=BM,ZMBD=ZACD,

:.AC//BM,

二.AC与血/的数量关系是AC=5M,位置关系是AC〃氏0；

(2)如下图2,延长AO到M,使得=连接

A

由（1）可知：AMDB会AADC,

:.BM=AC=8,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

,\12-8<AM<12+8,

BP4<W<20,

/.2<AD<10；

（3）如下图3,延长AD到M,使得DM=AD,连接氏0,

M图3

由（1）可知：AMDB'ADC,

:.BM=AC,

・.・AC=AF,

BM=AF,

・.・/C=ZDBM,

:.AC//BMf

/.ZBAC+ZABM=180°,

\AELAB,AFLAC,

.\ZBAE=ZFAC=90°,

ZBAC+ZEAF=180°,

:.ZABM=ZEAFf

在△ABM和Z\E4尸中,

AB=EA

<ZABM=ZEAF,

BM=AF

:.^ABM=^EAF,

:.AM=EF,NE二ZBAM,

AD=DM,

:.AM=EF=2AD,

vZBAE=90°,

:.ZEAP+ZBAM=90°,

\-ZAEF=ZBAM,

/.ZEAP+ZE=90°,

:.ZEPA=90°f

即M>_L£F,

:.EF=2AD,AD±EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，

正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【题型五旋转模型】

例题：【尝试探究】如图1,已知在正方形ABCD中（四边相等，四个内角均为90。），点E、尸分别在边BC、

0c上运动，当㈤F=45。时，探究。尸、8E和石尸的数量关系，并加以说明；

【模型建立】如图2,若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△AQC,且ZB=ZD=90。，点E、厂分别在边。C、

BC上运动，且N胡尸=；NBAD,试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；

【拓展应用】如图3,已知44BC是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60。），BD=CD,

ZfiDC=120°,NDBC=/BCD=3",以。为顶点作一个60。角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、

F,连接收，直接写出△>!£1尸的周长.

【答案】【尝试探究】DF+BE=EF,证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16

【详解】解：【尝试探究】DF+BE=EF.

证明：如图，把绕点A顺时针旋转90。至AABG,可使A2与重合，

/EBG=180。，点E、B、G共线，

ZBAG=ZDAF+/GAB=ZFAD+ZBAG=90°-45°=45°=ZEAF,

即ZEAF=ZEAG.

AG=AF

在△AEF和AAEG中，＜NGAE=NFAE,

AE=AE

：.△A£F^AA£,G（SAS）,

EF=EG=EB+BG=EB+DF,

DF+BE^EF；

【模型建立】成立，如图，DF+BE=EF

证明：将/绕A顺时针旋转—BAD的度数，此时，AD与A3重合,

由旋转得：BG=DF,Z1=Z2,AF=AG,ZABG=ZD=90°,

同理得：点G,B,E在同一条直线上，

,/ZEAF=-ZBAD,

2

/.ZBAE+ZFAD=-ZBAD,

2

/.NBAE+ZGAB=-ABAD,

2

NEAG=NEAF,

'：AF=AG,AE=AE,

：.^GAE^FAE(SAS),

：.EF=EG,

：.EF=BG+BE=DF+BE,

(2)中的结论还成立，DF+BE=EF；

【拓展应用】：AABC是边长为8的等边三角形,

AB=AC=8,ZABC=ZACB=60°,

NDBC=NBCD=30°,

：.ZAB£)=ZACD=90°,

将△£>(#绕点。旋转120。，得到△DBG,

VBD=CD,ZBDC=120°,

和重合，NDBG=NDCF=90°,BG=CF,DG=DF,

：.ZEBG=ZEBD+ZGBD=180°,

E,比G三点共线,

同法(2),可得：AGDE当FDE,

：.EF=EG=BE+BG,

△AEP的周长=AE+AF+EF=AE+AF+3E+3G=AE+AF+BE+CF=AB+AC=16.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.解题的关键是通过旋转构造全等三角形.本题主要考查半角

模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题.

【变式训练】

1.如图，在"BC中，AB=BC,NABC=120。，点D在边AC上，且线段绕着点2按逆时针方向旋转

120。能与BE重合，点尸是匹与AB的交点.

（1）求证：AE^CDi

（2）若NDBC=45。，求的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）NBFE=105。.

【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABEg/XCBD（SAS）,进而得证；

（2）由（1）得出NOBC=/A2E=45。，BD=BE,NE加）=120。，最后根据三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】（1）证明：：线段8。绕着点8按逆时针方向旋转120。能与BE重合，

:.BD=BE,NEBD=120。,

"：AB=BC,ZABC=nO°,

：./ABD+/DBC=ZABD+ZABE^120°,

：.ZDBC=ZABE,

:.LABE沿ACBD（SAS）,

：.AE=CD；

（2）解：由（1）知NO8C=/A8E=45。，BD=BE,/EBD=120°,

；.NBED=/BDE=W（180°-120°）=30°,

ZBFE=180°-ZBED-ZABE

=180°-30°-45°=105°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是

解题的关键.

2.在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ADC=9Q°,E、尸分别是BC,8上的点，且Z£XF=60。,

在探究图1中线段BE,EF,FD之间的数量关系过程中.

(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？(真实大胆作答即可得分)

(2)小亮同学认为：延长FD到点G,使=连接AG,先证明△ABE9△ADG,再证明AAEF/AAG尸，

即可得出BE,EF,ED之间的数量关系是

(3)如图3,在四边形ABCD中，=N3+"=180。，E、/分别是8C,CD上的点，且ZE4F=；NBAD,

上述结论是否仍然成立？并证明；

(4)如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(。处)北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的8处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,

舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到

达E,F处,且两舰艇之间的夹角/EO尸为70。，试求