全等三角形常见五种辅助线添法专训（原卷版+解析）

专题03全等三角形常见五种辅助线添法专训

@【目录】

辅助线添法一倍长中线法

辅助线添法二截长补短法

辅助线添法三旋转法

辅助线添法四作平行线法

辅助线添法五作垂线法

J【经典例题一倍长中线法】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅

助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的

有关知识来解决问题的方法.

【例1】（2023春・吉林・八年级校考阶段练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图

1,在一ABC中，若AB=8,AC=6,求8C边上的中线AD的取值范围.小明提出了如下解决方法，延长

线段AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法回答下列问题.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)探究得出的取值范围___________.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AT><7D.1<AD<1

【问题解决】

(3)如图2,在，IBC中，CD=AB,ZBDA^ZBAD,AE是的中线，求证：ZC=ZBAE.

■【变式训练】

1.（2022秋・甘肃庆阳•八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1,ABC中，AB=1,AC=5,点。

为BC的中点，求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，

就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方

法，他的做法是：如图2,延长AD到E,使连接8E,构造△BED=△C4D,经过推理和计算

使问题得到解决.请回答：

（1）小明证明LBED=△G4D用到的判定定理是：_（用字母表示）；

（2）AD的取值范围是二

（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考

问题的方法，解决问题：如图3,在中，AD为BC边上的中线，且AD平分/BAC,求证：AB=AC.

2.（2023・江苏•八年级假期作业）（1）如图1,AD是AABC的中线，延长AD至点E,使即=AD,连接CE.

图1

①证明AABD名AECD；

②若AB=5,AC=3,设AO=x,可得x的取值范围是；

(2)如图2,在AABC中，。是BC边上的中点，DE±DF,DE交AB于点E,。尸交AC于点R连接EE

求证：BE+CF>EF.

3.(2023•江苏•八年级假期作业)【观察发现】如图①，AABC中，AB=1,AC=5,点。为BC的中点，求

4。的取值范围.

小明的解法如下：延长AD到点E,使DE=A。，连接CE.

BD=DC

在4ABD与AECD中,NADB=ZEDC

AD=DE

：.AABD=AECD(SAS)

••AB-.

又丁在△AE1。中EC-ACVAEVEC+AC,而AB=EC=7,AC=5,

：.<AE<.

^：AE=2AD.

：.<AD<.

【探索应用】如图②,48〃a）,48=25,。=8,点£为水7的中点，/。在：=/瓦1£,求。尸的长为.（直

接写答案）

【应用拓展】如图③，ZBAC=60°,ZCDE=120°,AB^AC,DC=DE,连接BE,尸为BE的中点，求证：

APYDP.

J［经典例题二截长补短法】

【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长：指在长线段中截取一段等于已知线

段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词

句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）.

【模型图示】

（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段.

例：如图，求证BE+Z）C=A。

方法：①在上取一点R使得证。尸=OC；②在上取一点R使。尸=£>C,ffiAF^BE

（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等

例：如图，求证8E+Z）C=A。

方法：①延长。C至点M处，使CM=BE,证。M=A。；②延长。C至点M处，使DM=A。，证CM=2E

【例2】（2023•江苏•八年级假期作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACB。以。

为顶点作NMDN,交边AC、BC于M、N.

①②③

⑴若ZACD=3O。，ZMDN=6O°,NMDN两边分别交AC、8C于点M、N,AM.MN、BN三条线段之

间有何种数量关系？证明你的结论；

⑵当NACD+/MZW=90。时，AM.MN,8N三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在C4、8c的延长线上，完成图3,其余条件不变，则AM、

MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

｛【变式训练】

1.（2023•江苏•八年级假期作业）己知：如图，在11ABe中，/3=60。，D、E分别为A3、BC上的点，且

AE.8交于点尸.若AE、8为，ABC的角平分线.

⑴求NA”的度数；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的长.

2.（2023•江苏•八年级假期作业）在aABC中，ZACB=2ZB,如图①，当/C=90。，为4c的平分线

时，在AB上截取AE=AC,连接。E,易证A5=AC+CD.

BDCBDCBCD

图①图②图③

（1）如图②，当—CN90。，AD为ABC的角平分线时，线段A3,AC,CO之间又有怎样的数量关系？不

需要说明理由，请直接写出你的猜想.

（2）如图③，当—AC3X90。，AD为ABC的外角平分线时，线段AB,AC,8之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.

3.（2023・江苏•八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,点£、尸分别在

(1)当点E、尸分别在边BC、CO上时(如图1),请说明EF=3E+£D的理由.

(2)当点E、F分别在边BC、8延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由;

若不成立，请写出跖、BE、ED之间的数量关系，并说明理由.

j【经典例题三旋转法】

【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等.

注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用.

【模型图示】

例：如图，已知AB=AC,ZABM=ZCAN^90°,求证8M+CN=MN

方法：旋转△ABM至△ACF处，让NE=MN

【例3】（2022秋.湖北孝感.八年级统考期中）己知：△ABC之△DEC,ZACB=90,ZB=32.

图1图2

（1）如图1当点。在A3上，ZACD.

（2）如图2猜想.3DC与的面积有何关系？请说明理由.（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）

产【变式训练】

1.（2023春・全国•八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、下分别是BC、DC上的点，且

ZEAF=45°,连接斯，探究BE、DF、跖之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E、尸分别是8C、0c上的点，且

NEAF=g/BAD,此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

2.（2021秋•天津和平•八年级校考期中）在54C中，ZBAC^90°,AB^AC,AE是过A的一条直线,

于点，CE_LAE于E,

（1）如图（1）所示，若B,C在AE的异侧，易得BD与DE,CE的关系是£>E=；

（2）若直线AK绕点A旋转到图（2）位置时，（3D<CE）,其余条件不变，问与DE,CE的关系如何?

请予以证明；

（3）若直AE绕点A旋转到图（3）的位置，（BD>CE）,问BD与DE,CE的关系如何？请直接写出结果，

不需证明.

3.（2021秋・河南周口•八年级统考期末）在必△ABC中，ZACB=90°,CA=C8,点。是直线AB上的一点，

连接CD将线段绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,连接

（1）操作发现

如图1,当点。在线段4B上时，请你直接写出AB与8E的位置关系为:线段①）、AB,即的数量关

系为;

（2）猜想论证

当点O在直线AB上运动时，如图2,是点。在射线AB上，如图3,是点O在射线8A上，请你写出这两

种情况下，线段瓦）、AB.即的数量关系，并对图2的结论进行证明；

（3）拓展延伸

若AB=5,BD=1,请你直接写出AAOE的面积.

-31经典例题四作平行线法】

【例4】（2022秋.江苏•八年级专题练习）如图所示：ABC是等边三角形，。、E分别是A3及AC延长线

上的一点，且BD=CE,连接。E交BC于点

求让：MD=ME

*【变式训I练】

1.(2022秋.江苏•八年级专题练习)尸为等边AABC的边A2上一点，。为BC延长线上一点，且E4=C。,

连尸。交AC边于。.

(1)证明：PD=DQ.

(2)如图2,过尸作PEJ_AC于E,若A8=6,求。E的长.

2.(2022秋•八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是BC的中点，点

A在DB上，且

/BAE=/CDE,求证:AB=CD

分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证明AB=CD,必须添

加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对

原题进行证明.

图⑴:延长DE至I]F使得EF=DE

图(2):作CGXDE于G,BF±DE于F交DE的延长线于F

图(3)：过C点作CF〃AB交DE的延长线于F.

3.(2023春•全国•七年级专题练习)已知在等腰AABC中，AB=AC,在射线C4上截取线段“，在射线A3

上截取线段8。，连接。E,OE所在直线交直线与点M.请探究：

(1)如图(1),当点E在线段AC上，点。在AB延长线上时，若BD=CE,请判断线段MD和线段ME的数

量关系，并证明你的结论.

(2)如图(2),当点E在。1的延长线上，点。在AB的延长线上时，若BD=CE,则(1)中的结论还成立吗？

如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；

(3)如图(3),当点E在CA的延长线上，点D在线段上(点。不与A,8重合)，OE所在直线与直线

8C交于点若CE=2BD,请直接写出线段与线段ME的数量关系.

【经典例题五作垂直法】

【例5】(2022秋・湖北武汉•八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内

角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

图1图2

(1)如图1,NE是ABC中—A的遥望角.

①直接写出NE与/A的数量关系；

②连接AE,猜想-3/场与—CAE的数量关系，并说明理由.

(2)如图2,四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90。，点E在BD的延长线上，连CE,若已知DE=DC=AD,

求证：/3EC是中—5AC的遥望角.

，【变式训练】

1.(2022秋•八年级课时练习)如图1,已知四边形ABC。，连接AC,其中ADLAC,BCLAC,AC^BC,

延长CA到点E,使得点尸为AB上一点，连接五£、FD,FD交AC于点G.

(1)求证：△ENF@XDXF；

(2)如图2,连接CF,若EF=FC,求/。CT的度数.

DD

2.(2023春•全国•七年级专题练习)阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，点E是8c的中点，点A在。E上，且/8AE=/COE.

求证：AB—CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证A2=CD,必

须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长。E到点尸，使EF=DE,连接3尸；

②如图2,分别过点8、C作8尸，。E,CG1DE,垂足分别为点凡G.

(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

图1图2图3

3.(2022秋•八年级课时练习)如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是8C的中点，点A在。E上，S.ZBAE=ZCDE.求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要

证A8=C。，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明.

【重难点训练】

1.(2023•江苏•八年级假期作业)如图，AD为，ABC中8C边上的中线(AB>AC).

(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；

(2)若AB=8cm,AC=5cm,求AD的取值范围.

2.（2023・江苏•八年级假期作业）如图1,在AABC中，若AB=10,BC=8,求AC边上的中线8。的取值

范围.

（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△

①请证明^CED名AABD；

②中线BD的取值范围是.

（2）问题拓展：如图2,在△ABC中，点。是AC的中点，分别以48,8c为直角边向△ABC外作等腰直

角三角形和等腰直角三角形8CN,其中，AB=BM,BC=BN,ZABM=ZNBC=Z90°,连接MN.请

写出与MN的数量关系，并说明理由.

M

3.（2023春・全国•七年级专题练习）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

AA

A

如图1,ABC中，若AB=8,AC=6,求3C边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长AD到点E,使连接BE.请

根据小明的方法思考：

(1)如图2,由已知和作图能得到△ADCZ45DB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)如图2,AD长的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<1

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求

证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图3,AD是MBC的中线，BE交AC于点E,交AD于凡且=求证：AC=BF.

4.(2023・江苏•八年级假期作业)(1)如图1,已知ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；

(2)如图2,在一.ABC中，D,E是8C的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；

(3)如图3,在&A5C中，D,E在边BC上,且班>=CE.求证：AB+AC>AD+AE.

5.（2023・江苏•八年级假期作业）课堂上，老师提出了这样一个问题:

图1

图3图4

如图1,在..ABC中，AD平分，BAC交8c于点。，S.AB+BD^AC,求证：NABC=2NACB,小明的方

法是：如图2,在AC上截取AE,使4E=AB,连接DE,构造全等三角形来证明.

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进

行证明.辅助线的画法是：延长AB至凡使防=,连接OF请补全小天提出的辅助线的画法，并在

图1中画出相应的辅助线；

(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3,点£>在ABC的内部，AD,BD,CD分别平分N54C,ZABC,ZACB,^AB+BD^AC.求证:

ZABC=2ZACB.请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；

(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在ABC中，NABC=2NACB,点。在边BC上，AB+BD=AC,那么AD平分/A4C小东判断这个

命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

6.(2023春・江苏•八年级专题练习)如图，在锐角AABC中，/A=60。，点E分别是边AB>AC上一动点,

连接BE交直线cr>于点E

(D如图1,若AB>AC,且BD=CE,NBCD=NCBE,求NCEE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段CM,连接MF,

点N是狼的中点，连接CN.在点。，E运动过程中，猜想线段BEC/,CN之间存在的数量关系，并证明

你的猜想.

7.(2023・江苏•八年级假期作业)问题背景:

如图1：在四边形ABC。中，AB=AD.ZBAD=120°.ZB=ZADC=9Q°.E,尸分别是8C.CD上的点，且

Z£AF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

(1)小王同学探究此问题的方法是：延长ED到点G.使。G=BE.连接AG,先证明再证明

△AEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是二(直接写结论，不需证明)

探索延伸：

(2)如图2,若在四边形48CD中，AB=AD,ZB+ZADF=180°.E,尸分别是BC,CD上的点，1,Z£AF=1

/BAD,(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)如图3,在四边形中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分别是边8C、CD延长线上的点，且/上14

^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系.

8.(2023•全国•九年级专题练习)(1)如图1,在四边形ABCD中，AB^AD,N2=/D=90。，E、尸分别

是边BC、CD上的点，且线段跖、BE、阳之间的关系是二(不需要证明)

(2)如图2,在四边形ABC。中，AB^AD,ZB+ZZ)=180°,E、尸分别是边BC、CD上的点，5.ZEAF

=(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并

证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分别是边8C、CD延长线上的点，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，

并证明.

9.(2023春・全国•七年级期末)(1)问题引入：如图1,点尸是正方形边C£＞上一点，连接AF,将..

ADF绕点A顺时针旋转90。与A8G重合(。与8重合，尸与G重合，此时点G,B,C在一条直线上)，ZGAF

的平分线交BC于点E,连接ER判断线段所与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由.

(2)知识迁移：如图2,在四边形A8CZ)中，ZADC+ZB=180°,AB=AD,E,尸分别是边BC,CO延长

线上的点，连接AE,AF,且试写出线段BE,EF,。尸之间的数量关系，并说明理由.

(3)实践创新：如图3,在四边形ABC。中，ZABC=90°,AC平分/D48,点E在A3上，连接。E,CE,

且/。42=/。。石=60。，若DE=a,AD^b,AE=c,求BE的长.(用含a,b,c的式子表示)

10.（2022秋•八年级课时练习）如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，。为BC延长线上一点，AP=CQ,

PQ交AC于，

（2）过尸作PE_LAC于E,若BC=4,求DE的长.

11.（2022秋•全国•八年级专题练习）如图，在ABC中，AC=BC,AD平分N0LB.

c

D

图1图2图3

(1)如图1,若ACB=90。，求证：AB=AC+CD；

(2)如图2,若AB=AC+8£>,求NACB的度数；

(3)如图3,若NACB=100。，求证：AB=AD+CD.

12.(2023・全国•九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面

是一个案例，请补充完整.

【解决问题】

如图，点E、尸分别在正方形的边BC、CD±,ZE4F=45°,连接EF,则跖=3£+。R，试说明理

由.

证明：延长C。到G,使DG=BE,

在，ABE与△ADG中，

AB=AD

■ZB=ZADG=90°

BE=DG

，ZXAfiE/A4DG理由：(SAS)

进而证出：△AFE■丝___________，理由：()

进而得EF=3E+DF.

【变式探究】

如图，四边形ABC。中，AB=AD,NBM)=90。点£、P分别在边BC、CDk,ZEAF=45°.若NB、ZD

都不是直角，则当-3与ND满足等量关系时，仍有瓦=防+。产.请证明你的猜想.

【拓展延伸】

如图，若=ZBAD^90°,ZEAF^45°,但NE4F=；NBAD,ZB=ZD=90°,连接EE请直接写出

EF、BE、DF之间的数量关系.

K

B

EC

专题03全等三角形常见五种辅助线添法专训

@【目录】

辅助线添法一倍长中线法

辅助线添法二截长补短法

辅助线添法三旋转法

辅助线添法四作平行线法

辅助线添法五作垂线法

41经典例题一倍长中线法】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅

助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的

有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【例1】(2023春・吉林•八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图

1,在中，若AB=8,AC=6,求边上的中线AD的取值范围.小明提出了如下解决方法，延长

线段AD至点E,使=连接BE.请根据小明的方法回答下列问题.

VE

rai图2

⑴由已知和作图能得到VADCAEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)探究得出AO的取值范围.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AT><7D.1<AD<1

【问题解决】

(3)如图2,在，IBC中，CD=AB,ZBDA^ZBAD,AE是的中线，求证：ZC=ZBAE.

【答案】⑴B

⑵C

(3)见解析

【分析】(1)根据AD=DE,ZADC=ZEDB,8D=£>C推出△ADC和汨全等即可，据此即可判定；

(2)根据全等得出酩=AC=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出8-6<2AD<8+6,求出即可;

(3)延长AE到R使AE=EF,连接Z)产，证明ABE^DFE(SAS),得出43=。歹，ZF=ZBAE,

证明.AZ*-AOC(SAS),得出ZF=NC,证明NC=NS4E即可.

【详解】(1)解：&£>是ABC中线，

BD-DC,

在zwc与△瓦出中，

AD=ED

<ZADC=ZEDB

CD=BD

.._ADC\EDB(SAS),

故选：B；

(2)解：由⑴知：AADC经AEDB,

:.BE=AC^6,AE=2AD,

由三角形三边之间的关系可得：AB-BE<AE<AB+BE,

即8—6<2AD<8+6,

解得：1<AD<7,

故选：C；

(3)证明：延长AE到凡使/场=EF,连接DF,如图所示：

AE是△ABD中线，

BE=DE,

AE=EF

在jABE与VFDE中</AEB=NDEF,

BE=DE

...ABE^DfE(SAS),

:.AB=DF,ZF=ZBAE,

;CD=AB,

：.CD=DF,

,/ZF=ZBAE,

：.AB//DF,

：./BAD+ZADF=180°,

VZBZM+Zz4Z)C=180°,ZBDA=ZBAD,

：.ZADF=ZADC,

AD=AD

在△")尸和/\ADC中\NAZ)/=ZADC,

DF=DC

,AT犷gADC(SAS),

・•・/F=/C,

：.ZC=ZBAE.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，平行线的判断和性

质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理.

■【变式训练】

1.(2022秋•甘肃庆阳•八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1,A3c中，4B=7,AC=5,点。

为BC的中点，求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法，

就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方

法，他的做法是：如图2,延长AD到E,使QE=AD，连接8E,构造=经过推理和计算

使问题得到解决.请回答：

(1)小明证明=用到的判定定理是：_(用字母表示)；

(2)4。的取值范围是二

(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考

问题的方法，解决问题：如图3,在ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分/BAC,求证：AB=AC.

【答案】⑴SAS

(2)1<AD<6

(3)证明见解析

【分析】(1)根据SAS定理解答；

(2)根据全等三角形的性质得到郎=AC,根据三角形的三边关系计算，得到答案;

(3)仿照(1)的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论.

【详解】(1)解：在4班曾和“C4ZJ中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA

DE=DA

BED=.CAD(SAS),

，小明证明△BE。空△GW用到的判定定理是SAS,

故答案为：SAS；

(2)解：BED=CAD,

BE=AC,

在/ASE中，AB-BE<AE<AB+BE,

:.AB-AC<2AD<AB+AC,

.\1<AD<6；

(3)证明：延长AD到点E,使。£=AD,连接的,

在」-和.C4D中,

DE=DA

<ZEDB=ZADC,

DB=DC

BED=CAD（SAS）,

:.ZDAC=ZDEB,AC=BE,

AD平分N84C,

\?DAC2DAB,

:.ZDAB=ZDEB,

AB=BE，

AB=AC.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形三边关系，掌握三角

形全等的判定定理和性质定理是解题的关键.

2.（2023・江苏•八年级假期作业）（1）如图1,AO是ZkABC的中线，延长AZ）至点区使瓦UW,连接CE.

图1

①证明也△£”）；

②若AB=5,AC=3,设可得x的取值范围是；

(2)如图2,在AABC中，。是BC边上的中点，DELDF,DE交AB于点、E,。F交AC于点R连接EF,

求证：BE+CF>EF.

【答案】(1)①见解析；②l<x<4；(2)见解析

【分析】(1)由AD是AABC的中线推出CD=2。，再用SAS证明即可；

(2)由AABD〈AECD推出AB=EC=5,由ED=AD推出AE=2x,由△ACE三边关系EC-AC<AE<EC+AC

将已求代入解不等式即可；

(3)延长尸。到G,使得。G=OF,连接BG、EG.用SAS证明△COF9/XBOG,^EDF^AEDG,从而

得至1］。尸=86,EF=EG,最后利用在ABEG的三边关系BE+2G>EG得证.

【详解】(1)①是AABC的中线，

:.CD=BD,

在及48。与^ECD中，

'AD=ED

<NADB=NEDC,

BD=CD

:MABD乌AECD(SAS)

②l<x<4,理由如下：

,：&ABD"AECD,AB=5,

：.AB=EC=5,

\"ED=AD,AD=x,

'.AE=2x.

由△ACE三边关系得：EC-AC<AE<EC+AC,

又：AC=3,

••5—3V2%v5+3,

解得：1VXV4.

故答案是：1VXV4.

(2)延长尸。到G,使得DG=DF,连接3G、EG.

图2

•.•。是BC边上的中点，

：.CD=DB.

在^CDF与公50G中，

DF=DG

<ZCDF=ZBDG,

CD=BD

：./\CDF^/\BDG(SAS).

：.CF=BG,

•；DELDF,

：.ZEDF=ZEDG.

在AEDF与AEDG中,

DF=DG

<ZEDF=ZEDG,

ED=ED

•MEDF名/\EDG.

：.EF=EG,

在ZkBEG中，BE+BG>EG,

BPBE+CF>EF.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键.

3.(2023•江苏•八年级假期作业)【观察发现】如图①，4ABC中，AB=7,AC=5,点。为BC的中点，求

的取值范围.

小明的解法如下：延长A。到点E,使OE=A。，连接CE.

BD=DC

在小ABD与△ECD中<NADB=ZEDC

AD=DE

：.AABD=AECD(SAS)

：.AB=.

又：在△AEC中EC-AC<AE<EC+AC,而A8=EC=7,AC=5,

/.<AE<.

y.'：AE=2AD.

：.<AD<.

【探索应用】如图②,AB〃C£>,AB=25,C£>=8,点E为BC的中点，/BAE,求DF的长为.(直

接写答案)

【应用拓展】如图③，ZBAC=60°,ZC£)£=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,尸为BE的中点，求证：

AP±DP.

【答案】观察发现：EC,2,12,1,6；探索应用：17；应用拓展：见解析

【分析】观察发现：由“SAS'可证△A8D等AECD,可得A8=EC,由三角形的三边关系可求解；

探索应用：由“SAS'可证△ABE丝△及?£1,可得AB=CH=25,即可求解；

应用拓展：由“SAS'可证△B融g可得AB=FE,ZPBA=ZPEF,由“SAS'可证△AC。且△FED,可

得AD=FD,由等腰三角形的性质可得结论.

【详解】观察发现

解:如图①，延长到点E,使DE=AD,连接CE,

在△48。与4EC£>中，

BD=DC

<ZADB=/EDC,

AD=DE

:•△ABD^LECD(SAS),

：.AB=EC,

在△?!£(』，EC-AC<AE<EC+AC,而A8=EC=7,AC=5,

：.2<AE<U.

XVAE=2AZ),

A1<AD<6,

故答案为：EC,2,12,1,6；

探索应用

解：如图2,延长A区CD交于H,

:.BE=CE9

a

：CD//ABf

：.ZABE=ZECHfZH=ZBAEf

：.AABE^AHCE(AAS),

：.AB=CH=25,

：.DH=CH-CD=17,

丁ZDFE=ZBAE9

：./H=/DFE,

：.DF=DH=17,

故答案为：17；

应用拓展

证明：如图2,延长AP到点尸，使尸尸二A尸，连接OREF,AD,

图③

在45阴与4£7平中，

PF=AP

<ZEPF=ZBPA,

PE=PB

:.△BPAQXEPF(SAS),

：.AB=FE,NPBA=NPEF,

•；AC=BC,

：.AC=FE,

在四边形AWE中，ZBAD+ZADE+ZDEB+ZEBA=360°,

VZBAC=60°,ZCDE=120°,

ZCAD+ZADC+ZDEB+ZEBA=180°.

ZCAD+ZADC+ZACD=180°,

・•・ZACD=ZDEB+ZEBA,

ZACD=ZFED,

在△47。与4尸EO中，

AC=FE

</ACD=/FED,

CD=DE

：.AACD^/XFED(SAS),

：.AD=FD,

9：AP=FP,

：.AP±DP.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线,

证得三角形全等是解答此题的关键.

41经典例题二截长补短法】

【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长：指在长线段中截取一段等于已知线

段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词

句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）.

【模型图示】

（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段.

例：如图，求证

方法：①在上取一点尸，使得证DF=OC；②在上取一点R使DF=DC,ffiAF^BE

（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等

例：如图，求证8E+OC=AD

方法：①延长QC至点M处，使证②延长OC至点M处，使证CM=8E

【例2】（2023•江苏•八年级假期作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACB。以。

为顶点作NMDN,交边AC、BC于M、N.

⑴若ZACD=30。，ZMDN=60°NMDN两边分别交AC、8C于点M、N,AM.MN、BN三条线段之

间有何种数量关系？证明你的结论;

(2)当/ACD+/MDN=90。时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在C4、8c的延长线上，完成图3,其余条件不变，则AM、

MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)

【答案】(1)A〃+3N=MN,证明见解析；

(.2)AM+BN=MN,证明见解析；

(3)作图见解析，BN—AM=MN.

【分析】(1)延长CB到E,使=证,./MA/W推出N3DE=NMZM,DM=DE,证

△MDN咨AEDN,推出MN=NE即可；

(2)延长CB到E,使BE=AAf，证,DAM咨DBE，推出NBDE=ZMDA,DM=DE,证4MDN2△EDN,

推出=即可；

(3)在CB截取=连接。E,证一推出=NMZM,DM=DE,证

AMDN^AEDN,推出MN=NE即可.

【详解】(1)AM+BN=MN.证明如下：

如图，延长CB到E,使=连接DE.

ZA=ZCBD=90°,

:.ZA=NEBD=90°.

ADC冬BDC,

AD=BD.

在△DAM和一。5石中,

AM=BE

<NA=/DBE,

AD=BD

DAM^DBE(SAS},

:.ZBDE=ZMDA,DM=DE.

ZMDN=ZADC=ZBDC,

/.ZADM=ZNDC=ZBDE,AMDC=/NDB,

:.ZMDN=ANDE.

在△ATON和△EDN中，

DM=DE

<ZMDN=ZEDN,

DN=DN

:.AMDNmLEDN(SAS),

:.MN=NE.

NE=BE+BN=AM+BN,

:.AM+BN=MN；

(2)AM+BN=MN.证明如下：

如图，延长C8到区使班*=连接O£.

ZA=ZCBD=90°,

:.ZA=ZDBE=90°.

ADCqBDC,

:.AD=BD,ZADC=ZCDB.

在ADAM和-DBE中，

AM=BE

<NA=NDBE,

AD=BD

DAM^DBE(SAS),

:.ZBDE=ZMDA,DM=DE.

NMDN+NACD=90。，ZACD+ZADC=90°,ZADC=NCDB,

:.ZNDM=ZADC=/CDB,

ZADM=ZCDN=ZBDE,ZCDM=ZNDB,

.\ZMDN=ZNDE.

在△MON和AEDN中,

DM=DE

<ZMDN=ZEDN,

DN=DN

:./\MDN^AEDN(SAS),

:.MN=NE.

NE=BE+BN=AM+BN,

:.AM+BN=MN；

(3)补充完成题图，如图所示.

BN—AM=MN,证明如下：

如上图，在C3上截取=连接OE.

ZCZM+ZACD=90°,ZMDN+ZACD=90°,

.\ZMDN=ZCDA,

.\ZMDA=ZCDN.

ZB=ZCAD=90°,

ZB=ZDAM=90°.

在△DAM和二。5七中，

AM=BE

<ADAM=ZDBE,

AD=BD

/.DAM^DBE(SAS),

/.ZBDE=ZADM=ZCDN,DM=DE.

.ZADC=ZBDC=ZMDN,

:.ZADN=ZCDE,

:.ZMDN=/EDN.

在和AEDN中，

DM=DE

<ZMDN=ZEDN,

DN=DN

:.AMDN^AEDN(SAS),

:.MN=NE.

NE=BN-BE=BN-AM,

:.BN-AM=MN.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023・江苏•八年级假期作业)己知：如图，在‘ABC中，,3=60。，D、E分别为A3、BC上的点，且

AE.CD交于点尸.若AE、CD为ABC的角平分线.

(1)求NAFC的度数；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的长.

【答案】(1)120。

⑵10

【分析】(1)由题意NA4C+N3d=120。，根据ZAFC=180-NR4C-NFCA=180-；=120。，即可解决问题;

(2)在AC上截取AG=AD=6,连接尸G.只要证明推出NATO=NAFG=60°,

ZGFC=ZCFE=60°,再证明CGF三CEF(ASA),推出CG=CE=4,由此即可解决问题.

【详解】(1)解：AE、8分别为AABC的角平分线，

ZFAC=-ZBAC,ZFCA=-ZBCA,

22

ZB=60°

.\Z&4C+ZBC4=120°,

/.ZAFC=180-ZFAC-ZFCA=180°--x120°=120°.

2

(2)解：在AC上截取AG=">=6,连接FG.

B

AE.CD分别为的角平分线

.\ZFAC=ZFAD,ZFCA=ZFCE,

ZAFC=120。，

:.ZAFD=ZCFE=6Q°,

在△")/¥口=4G尸中，

AD=AG

<ZDAF=GAF,

AF=AF

ADF=AGF(SAS),

:.ZAFD=ZAFG=6O°,

.\ZGFC=ZCFE=6O0,

在ACGF和/\CEF中,

ZGFC=ZEFC

<CF=CF,

ZGCF=ZECF

.•.一CGb=。跖(ASA),

.-.CG=CE=4,

:.AC=AG+GC=\0.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题.

2.（2023•江苏•八年级假期作业）在-ABC中，ZACB=2/B,如图①，当NORO。，AO为/B4C的平分线

时，在AB上截取AE=AC,连接。E,易证AB=AC+CD.

(1)如图②，当/CH90。，AO为，ABC的角平分线时，线段AB,AC,8之间又有怎样的数量关系？不

需要说明理由，请直接写出你的猜想.

(2)如图③，当NACBW90。，AD为ABC的外角平分线时，线段AB,AC,。之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.

【答案】(1)AB=CD+AC；

(2)AB=CD-AC,证明见解析

【分析】(1)首先在A3上截取AE=AC,连接DE,易证&ADEmADC(SAS),则可得ZAED=ZC,ED=CD,

又由ZAED=ZACB,ZACB=2ZB,所以ZAEL0NB,即易证DE=CD进而求解；

(2)首先在54的延长线上截取AE=AC,连接ED,易证丛位)丝△C4Z),可得ED=CD,ZAED=ZACD,

又由NACB=2NB,易证DE=£B,则可求解.

【详解】(1)解：AB=CD+AC.

理由为：

在A3上截取AG=AC,连接。G,如图②所示，

图②

A。为/BAC的平分线,

NGAD=NCAD,

在AWG和△ADC中，

AG=AC

<ZGAD=CAD,

AD=AD

/.^ADG^ADCCSAS^,

：.DG=CD,ZAGD=ZACB.

,:ZACB=2/B,

：.ZAGD=2ZB.

又丁ZAGD=/B+/GDB,

：.ZB=ZGDB,

:.BG=DG=DC,

贝ijAB=BG+AG=CD+AC；

(2)解：AB=CD-AC.

理由为：