辽宁省联盟2024-2025学年高二年级上册12月联合考试数学试卷（含答案）

辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月联合考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1-90x91x92x...xl00可以表示为（）

1013

AAooB-M。C-A；；0DAoo

22

2.已知椭圆°：土+二=1（f7〉6〉0）的左焦点为尸（-1,0）,且椭圆C上的点与两焦点

/b1

构成的二角形的面积的最大值为2-72，则椭圆C的方程为（）

22222222

从土+匕=1B.土+乙=1C.±+匕=1D.土+乙=1

98968765

3.若C：:6=c『，则〃的值为（)

A.2B.8C.2或8D.2或4

4.已知直线/:依―y—2左+2=0(左eR)过定点Q,若P为圆C:(x—5y+(y—6y=4上

任意一点，则归。的最大值为（）

A.3B.5C.7D.9

5.已知向量。=（2,—1,2）,B=（—1,3,—3），c=（13,6,2）,若方，B1共面，贝二=（）

A.2B.3C.4D.6

6.已知双曲线c：X+2l=i，则C的渐近线方程为'=±3工是C的离心率为之的（）

mn44

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，在正方体ABCD-44G2中，E是棱。2中点，点尸在棱GA上，且

取=尢的，若用歹〃平面A3E，则X=（）

A.-ilB.-Ll?C.-D.-

4323

8.据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成

语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求

“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是

()

A.50B.64C.66D.78

二、多项选择题

9.已知在卜+子］的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，贝!］()

A.〃=6

B.展开式的各项系数和为243

C.展开式中奇数项的二项式系数和为16

D.展开式中不含常数项

10.已知空间中三点4(2,0,1),5(2,2,0),C(0,2,l),则()

A.与向量通方向相同单位向量是上半,_咚］

B.而在册上的投影向量是(-1,1,0)

C•丽与定夹角的余弦值是1

D.坐标原点0(0,0,0)关于平面ABC的对称点是号,。||

11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点工处发出

的光线，经过双曲线在点P处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点耳，且双曲

线在点P处的切线平分/耳2玛.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点

(3,-1),其左、右焦点分别为耳，工.若从工发出的光线经双曲线右支上一点「反射

的光线为PQ,点P处的切线交x轴于点T,则下列说法正确的是()

B.过点P且垂直于PT的直线平分ZF2PQ

C.若尸玛」尸。,则|尸耳卜|尸闾=18

D.若N耳尸8=60。,则|尸刀=4倒

三、填空题

12.已知抛物线V=4x，且P是抛物线上一点，设R是抛物线的焦点，M(4,2),则

\PM\+\PF\的最小值为.

13.若直线x+(l+/n)y-2=0和直线wx+2y+4=0平行，则机的值为.

四、双空题

14.如图，在三棱锥v-ABC中，底面是边长为2的等边三角形，D,E分别是AC，

AB的中点，且VA=VD=VE=1，则直线VA与平面VBC所成角为，四棱锥

V-BCDE的外接球的表面积为.

五、解答题

n2n

15.已知(1+2x)2+(1+2x)3+…+(1+2x)=9++a2x+•••+anx.

(1)求"的值；

(2)(佝+/+%+,,)—(。2+。4+。6+，，)的"fS；

(3)求出的值(结果用数字表示).

16.如图，在平行六面体ABC。-A4Gq中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,且

它们彼此的夹角都是60。，M为4G与与2的交点.若通=万，莅=B，AA=c.

(1)用。，b-c表示BM；

(2)求对角线AC】的长；

(3)求cos(通，禧》

17.在平面直角坐标系中，已知动圆M与圆/-2x=0内切，且与直线兀=-2

相切，设动圆圆心M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点/(1,0)作两条互相垂直直线与曲线E相交于A,3两点和C,。两点，求

四边形ACfi£>的面积S的最小值.

18.在四棱柱ABCD—中，已知5c，平面ABC。，AD//BC>AB±AD>

AD=2AB=2BC=2-BBX=75>E是线段与。上的点.

(1)点G到平面4。。的距离；

(2)若E为用。的中点，求异面直线。2与AE所成角的余弦值；

(3)在线段用O上是否存在点E,使得二面角C—AE—0的余弦值为舍？若存在，

请确定E点位置；若不存在，试说明理由.

19.通过研究发现对任意平面向量次=(x,y),把而绕其起点A沿逆时针方向旋转。

角可得到向量AP=(xcos。-ysind,九sin〃+_ycos。)，这一■过程叫做把点B绕点A逆时针

方向旋转。角得到点p.

（1）已知平面内点石,26），点5（6,-26），把点3绕点A逆时针旋转三得到

点P,求点尸的坐标；

（2）已知二次方程必+/—孙=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆

22

Xy=l（a〉6〉0）绕原点。逆时针旋转:所得的斜椭圆C.

/+

（i）求斜椭圆C的离心率;

（ii）过点如，理］作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M,N,过原点

331

。作直线右与直线4垂直，直线"交斜椭圆。于点G,H,判断品+品?是否为定

值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：由排列数公式A：=z(〃—1>(〃—2)相+1)，

可矢口9Ox91x92x...xlOO=A；'o.

故选：B.

2.答案：A

22

解析：因为椭圆C：=+3=1(。>6>0)的左焦点为尸(-1,0)，所以c=l，

因为椭圆C上的点与两焦点构成的三角形的面积的最大值为2夜，

所以工x2cxb=cb=2>/2=b，

2

22

贝1J[2=/+2=9,故椭圆。的方程为3-+匕=1.

98

故选：A.

3.答案：A

解析：由组合数的性质可得[3〃+6<18,解得〃”，

4n-2<18—

又C：:6=c：>2,所以3〃+6=4〃一2或3〃+6+4九一2=18，

解得〃=8(舍去)或〃=2.

故选：A.

4.答案：C

解析：由/:6一y—2k+2=0(kwR)，得y—2=左(%—2)，

所以直线/过定点Q(2,2),

由C:(x-5)2+(y-6)2=4,知圆心坐标(5,6),半径为2,

所以。到圆心的距离为d=J(5―2y+(6-2)2=5〉2,

所以。在圆外，故|P0的最大值为d+2=7.

故选：C.

5.答案：B

解析：因为商=(2,-1,2),石=(-1,3,-3)，c=(13,6,2)，三个向量共面,

所以存在唯一■实数对(x,y),使得G=x5+yC，

所以(2,—1,2)=x(-l,3,-3)+y(13,6,2)，

-x+13y=2"

所以＜3x+6y=-l,解得＜y.

—3x+yA—24々

iA=5

故选：B.

6.答案：D

解析：充分性：当双曲线C的焦点在X轴上时，由渐近线方程为丁=土3尤，知2=3,

4a4

所以离心率e=工〜^7^7=3；

当双曲线C的焦点在y轴上时，由渐近线方程为丫=±3%，知@=3,即2=

b4a3

所以离心率e=£3,所以充分性不成立.

3

必要性：由离心率为己，知e=£3

4a4

当双曲线C的焦点在X轴上时，渐近线方程为产土也=±3x;

a4

当双曲线C的焦点在y轴上时，渐近线方程为y=±@x=±3,所以必要性不成立.

b3

综上所述，C的渐近线方程为y=±3%是C的离心率为3的既不充分也不必要条件.

44

故选：D.

7.答案：C

解析：解法一：以A为坐标原点，A3，AD＞A4所在直线分别为％轴C轴、z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

Zk

则3(1,0,o)，flo,i,1L〃(0,1,1)，q(1,1,1),4(o,o,i)，

可得瓯=(-1,0,1)，丽

n-B\=-x+z=0

设历=(x,y,z)是平面ABE的法向量，贝1b_.z'

n-BE=-x+y+-=Q

I2

令z=2，则x=2，y=l,即力=(2,1,2),

由房'=(1,0,0)，且麻=4碍",可得尸

又因为则率=(x—

由耳/〃平面ABE,可得必评=2(2—l)+lxl+2x0=0，

解得4」.

2

解法二：如图，取C£＞中点M，连接90，EM，易证

所以平面即为平面ABME，

易知当F为£2的中点时，B.F//BM,5尸(2平面平面ABE，

从而〃平面ABE,所以;1=工

8.答案：A

解析：①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取24,25,35音阶，

排成的音序有C；A；A；=12种；

②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取13,14,15,35音阶,

排成的音序有C；A；A；+A；=14种；

③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14,15,24,25音阶,

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12种；

④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13,15,25,35音阶，

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12种.

由分类加法计数原理可知，一共有12+14+12+12=50种排法.

故选：A.

9.答案：BCD

解析：A项，在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大,

C；=C：是展开式的中间两项的二项式系数,

则〃为奇数，且c?与c等最大，

所以山=3,解得〃=5,A项错误;

2

B项，在中，令尤=1，得=35=243，故展开式的各项系数和为

243,B项正确;

C项，在的展开式中的二项式系数和为25=32，其中奇数项和偶数项的二项

式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16,C项正确;

项,r5rrrf

D的展开式的通项公式为丁_Qx~.2x~^—C-2,x~^-0<r<5,且

「为整数，令5-3厂=0,解得厂=3,不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项

正确.

故选：BCD.

10.答案：ABD

解析：通=(0,2,—1)，AC=(-2,2,0)-就=(-2,0,1)，

对于A,与向量而方向相同的单位向量是普J。,竺,-g],故A正确;

\ABI55J

ABACAC4(-2,2,0)/一八、.十诺

对于B,而在前5上的投影向量是下不.同=&E=(TL°)'故B正确;

对于c,cos(而,、)=丝,吧=-：,故c错误;

\/|AB||BC|5

对于D,设平面ABC的法向量是k=(无,y,z)，

„,AB-n=0„f2y-z=0人力/口

则＜_.，即n《"，令尤=1，可得y=l，z=2,

AC-n=0[-2x+2y=Q

所以平面ABC的一个法向量是为=(1,1,2),

原点0(0,0,0)到平面ABC的距离d=W臼=1(2，。，吧』，2)|=宜|,

\n\V63

坐标原点0(0,0,0)关于平面ABC的对称点是2d「故D正确.

故选：ABD.

11.答案：ABD

22

解析：对于A,因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为M=i(a〉o),

a2a2

所以2_二=1，解得/=8,得到双曲线的方程为好―y2=8,正确，

aa

对于B,如图，由题知N「PT=NBPT，NF[PT=NQPM,所以NMPQ=NgPT,

若HP上TM，所以NF2PH=NQPH,正确，

对于C,记|尸片|=相，\PF2\=n，

2

所以闺入「=m2+几2_2mncosAFxPF2=（m-n）+2mn-2mncosZFxPF2，

2h2i

又|4E|=2c，m-n=2a»得至Umn=-----------------，XS^=—mnsinZf；PF，

FP1F22

1-COSZF1PF22

c_12b2./…一/

所以AFFB_2x]_cos/.Pgxsin12-tanNF*，又/耳尸&二,，

12

由—mn=----=8，得mn=16，错误，

2tan45°

对于D,因为N-P£=60。，\PF\=m.,\PF2\=n,

lS—mHsin60°=-，得mn=32，

2tan30°

又m-ri=4\[^9得到加2_2加〃+〃2=32，得到W+/=95,

从而有（根+〃）2=160，得至tla+〃=4\/IU，

111

由一加•IP7lsin30。+—“•IPT|sin30。=-----,得到!（加+〃）|尸7麻1130。=--—

211211tan30°2、n1tan30°

2月，解得警

从而有g（m+叫PT,in30。b8|PT|=正确,

tan30°

故选：ABD.

12.答案:5

解析：抛物线＞2=©焦点/(1,0),准线方程为x=_i，

如图，过尸作准线的垂线，交准线于。，|「石=归。］，过M作准线的垂线，交准线于

N,

贝可。闸+归耳=|产射+归@习AGV|=5,当P,M,N共线时取等号,

所以|PM|+|PF|的最小值为5.

故选:5

解析：由于两直线平行，所以lx2=(l+m)〃7,解得"2=1或机=-2，

当机=1时，两直线方程为x+2y-2=0、x+2y+4=0,符合题意.

当机=—2时，两直线方程为x—y—2=0、一2x+2y+4=0,

即x-y-2=0、x-y-2=0,两直线重合，不符合题意.

所以m的值为1.

故答案为：1

14.答案：①.巴；②.史

22

解析：以中点。为原点，直线Q4为x轴，直线08为y轴，过点。与平面ABC垂

直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

底面ABC是边长为2的等边三角形，AB=BC=AC=2^AO=5

D,E分别是AC，AB的中点，且VA=VD=VE=1，

所以三棱锥V-AED为正四面体，作阳_L平面ABC于点m

则H为等边三角形AED的重心，

AHAMAO=—^HM=旦，VH=y/vA^-AH2=--

33363

则0(0,0,0),4(73,0,0),5(0,1,0)，C(0,-l,0),V半,0,半，

贝1灰=（0,-2,0），VB=—空,1,一星,AB=（-A1,O）.

、33J

设而=（x,y,z）为平面VBC的一个法向量，

BCn=O[~2y=°

则__，即2^/3R八，

VB•〃=0----%+y----z=0

I〔33

令％=1，则y=0,z=-0，

则为=（1,0,-为平面VBC的一个法向量，

又VA=，所以内//方，

所以直线期与平面冲C所成角为N

2

因为△DOC，△E06都为等边三角形，DO=OC=OB=OE=1，

所以球心在过6c中点与平面ABC垂直的直线上，

设球心G（0,0,m）,半径为七则VG=GC=H，V^,0,—,C（0,-l,0）,

、33,

所以±+[机—I]=1+疗=叱，解得加=Yl,R=叵,

3I3J44

故四棱锥V—BCDE的外接球的表面积为止.

2

故答案为：三,四.

22

15.答案：(1)n=W；

(2)8；

(3)660

解析：(1)在(l+2x)2+(l+2x)3+…+(l+2x)"=9+。/+出好+…中,

令％=0，得〃_1=9，所以〃=10.

(2)it(1+2x)2+(1+2x)3+•••+(1+2x)10=9+。］%+。2/+…+60储°中，

X=—1,彳导9—6+a,—+,,,一cig+Gt］。—1—1+1—1+,,,+1—1+1=1,

以（q+/+%+•••）—（a2+。4+。6+■,）=8.

（3）（l+2x）"的展开式的通项公式为&i=C；（2x〈=2，C：£,

因此g=2?（C；+C；+C：+…+C；0）=4（C；+C；+C；+…+C；0）=4C]=660,

所以4=660.

16.答案：（1）BM=--a-\--b+c

22

⑵76；

⑶旦

3

解析：（1）如图，连接4啰，AC，

因为M=]，AI)=b>M=?,

在△AA3中，根据向量减法法则可得丽；=丽—通=0一万，

因为底面ABCD是平行四边形，所以尼=而+屈=&+石，

因为AC〃4G且|AC|=|AG|，所以后=衣=彳+5，

又因为“为线段4cl的中点，所以不对'=gk+石)，

在△AAffi中，BM=1^+^=c-a+^a+b)=-^a+^b+c;

(2)因为顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60。，

所以洒6=同|方卜。560。=，a-c=\a\-|c|cos60°=-c=|/?|-|c|cos60°=>

由⑴可知旅=4+八

所以在平行四边形4AC£中，AQ=AC+AA^=a+b+c

|ACJ|=Ac/=(a+b+c)2=a2+b2+c"+2a-b+2a-c+2b-c

=|aI2+15|2+1c|2+21a|•|^|cos60°+21a|•|c|cos600+21b\\c\cos60°

=l+l+l+2x-+2x-+2x-=6，

222

所以|福卜布,故对角线AC】的长为布；

（3）因为AC]=M+B+｝，AB=a'

d-\a+b+c

所以cos（通，房'）AB-AC,

HH=1x76

_a~+a-b+a-c_^+2+2_2_A/6.

瓜y]6A/63

17.答案：（1）>2=4%；

（2）32

解析：（1）设圆〃的半径为广，圆必+产一2%=0的圆心厂（1,0），半径为1，

因为圆M与圆R内切，且与直线x=—2相切，

所以圆心M到直线尤=一2的距离为「，因此圆心〃到直线％=-1的距离为一1，且

MF=r—l，故圆心M到点F的距离与到直线％=一1的距离相等，

据抛物线的定义，曲线E是以尸（1,0）为焦点，直线％=—1为准线的抛物线，所以曲线E

的方程为y2=4x.

⑵设直线AB的方程为x=kV+l，mW。，A（x1,y1）,B（j;2,y2）.

联立方程组F=my+L整理得y2—44=0,故["+%=4%

〔K=4x,〔%为=-4,

所以AB=AF+BF=玉+1+犬2+1=Wi+1+1+my?+1+1

=W（X+%）+4=4加2+4.

因为ABLCD，直线CD的方程为兀=-，y+l，

m

同理可得8=3+4.

m

所以S=LAB.C£>=工（4加2+4）（3+4]=8（2+〃/+二]

22V'I疗J（点）

当且仅当疗=3，即加=±1时，取等号.

m

所以四边形ABCD面积S的最小值为32.

(2)叵;

10

(3)存在点E在靠近用的三等分点处

解析：(1)过A作直线z,平面ABCD，

则可以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则有4(0,0,0),3(1,0,0)，C(l,l,0),£>(0,2,0),耳(1,1,2),C(1,1,2),

则西=(0,0,2)，CD=(-1,1,0)»工'=西=(0,1,2)

设面耳CD的一个法向量为为=("#,.),则尸1=2吁0,

n-CD=一"+v=0

令〃=1,贝！Jv=l，w=0,所以元

所以点C到面BQD的距离d」℃臼=工=Y1.

向V22

（2）因为E为gO的中点，所以

所以顺=（；,|,1）由=函=（0,1,2），

AEDD^_2+2

所以cos（荏,力耳）V70

网国¥+■

所以异面直线OR与AE所成角的余弦值为叵・

10

⑶^DE=ADB,=2（1,-1,2）=（2,-2,22），其中0<2Wl，

则*=而+诙=（42_42丸），AC=（1,1,0）>AT）=（0,2,0）

设面ACE的一个法向量为为=（无,y,z），

\n-AE=2x+（2-2）y+22z=0.,

则n有一I"，令x=2,贝力=—X，z=l-2

n-AC=x+y=0

所以，平面AC£的一个法向量为为=（%-41一丸），

设平面ADE的一个法向量为初=（。也c），

口11沆•A£=4〃+（2-2）b+2%c=0人.

则一''，令c=l，则n6=0，〃=—2，

m•AD=2Z?=0

所以平面ADE的一个法向量为仇=（-2,0,1）,

/一_\m-n1-3A

所以小’立丽=瓦匹Ep

若存在点E,使得二面角C—AD—E的余弦值为立，

则——’3一旦,所以3万-2X=0,解得2=0（舍去）或4=2,

y/5-yJA2+A2+（l-A）25