高频考点题型归纳28等差数列通项与前n项和【教师版】

高中数学精编资源的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．四、高频考点+重点题型考点一、等差数列的基本量例1.（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.对点训练1.（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意可得：，解得：，则.对点训练2.（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，故为正整数，关于d单减，则当时，，当时，，不符；故的最小值为5，故答案为：5对点训练3.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A．174斤 B．184斤C．191斤 D．201斤【答案】B【解析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项，所以8a1＋eq\f(8×8－1,2)×17＝996，解得a1＝65，所以第8个儿子分到的绵数a8＝a1＋(n－1)·d＝65＋7×17＝184.故选B.考点二、等差数列的性质及其应用例2.（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.对点训练1.（2019·浙江高三期末）记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故当取得最大值时，或，故答案为：0，1009或1008．考点三、前n项和的综合应用例3.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）等差数列的前项和为，已知，，则（）A．B．的前项和中最小C．的最小值为-49D．的最大值为0【答案】BC【解析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.【详解】设数列的公差为d，则

解得，，A错误；

，当n=5时取得最小值，故B正确；

，设函数，

则，当时，，

当时，，

所以，，且，，

所以最小值为-49，C正确；，没有最大值，D错误．故选：BC对点训练1.（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时，___________.【答案】【解析】首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.【详解】解：由题意可知，，解得，又，则，所以，.由，得，解得或(舍)，故故答案为：20.对点训练2.（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和，由S15>0，S16<0，得，∴，若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．考点四、证明等差数列例4-1.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.例4-2.（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）数列的前项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数得则，所以数列是等差数列；（2），则公差∴，∴.对点训练1.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.对点训练2.【2019·全国II卷】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（I）证明：{an–bn}是等差数列；{an+bn}是等比数列，（II）求{an}和{bn}的通项公式.【答案】（I）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．（2）由（1）知，，．所以，。考点五、数学文化小型应用题例5.（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.对点训练1.（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.巩固训练一、单项选择题1．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于()A．－2B．0C．3D．6答案：A解析：a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2，故选A.2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．176答案：B解析：等差数列前n项和公式，．3．是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120答案：B解析：设等差数列的公差为，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：解方程组可得.故选：B4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．8答案：C解析：设公差为，，，联立解得，故选C.5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A．65B．176C．183D．184答案：D解析：根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，则S2020＝________.答案：2020解析：由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列．设其公差为d，则eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2020,2020)＝eq\f(S1,1)＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.二、多项选择题7．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是()A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值答案：ABD解析：S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，a8<0.a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＝S9，由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．8．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．答案：ABC解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．三、填空题9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2a4a6a8=120，且+++=，则S9的值为．答案：解析：由题意得+++=+++=，则2(a2+a8)=14，即a2+a8=7，所以S9==(a2+a8)=．10．已知等差数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足=3n2an+，an≠0，n≥2，n∈N*，那么a=．答案：3解析：在=3n2an+中，分别令n=2，n=3及a1=a，得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因为an≠0，所以a2=12-2a，a3=3+2a．因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=，满足Sn2=3n2an+Sn-12．所以a=3．11．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n≥2时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________．答案：211解析：由Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即an＋1－an＝2(n≥2)，所以数列{an}从第二项起构成等差数列，则S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211．12．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值为________．答案：eq\f(19,41)解析：∵{an}，{bn}为等差数列，∴eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a6,b6)．∵eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，∴eq\f(a6,b6)＝eq\f(19,41)．二、解答题13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22．(1)求an和Sn；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c．解析：(1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22．又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4.))∴通项公式an＝4n－3．∴Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)×d＝2n2－n．(2)由(1)知Sn＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n