专题训练：第12章 整式乘除与乘法公式（原卷版）

专题训练：第12章整式乘除与乘法公式知识框架重难点题型题型1整式乘法基本运算解题技巧：p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn1．（2020·四川彭州·期末）计算的结果是（）A． B． C． D．2．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）化简5a•（2a2﹣ab），结果正确的是（）A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b3．（2020·衡阳市逸夫中学月考）先化简，再求值：，其中m=2，n=1.4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）方程的解为______．5．（2020·苏州高新区实验初级中学七年级期中）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是()A．B．C．D．无法确定6．（2020·江苏江阴·初一月考）①先化简，再求值：（4x＋3）（x－2）－2（x－1）（2x－3），x＝－2；②若（x2＋px＋q）（x2－3x＋2）的结果中不含x3和x2项，求p和q的值．7．（2020·甘肃会宁初一期中）先化简，再求值：已知代数式化简后，不含有x2项和常数项.（1）求a、b的值；（2）求的值.8．（2020·上海市浦东新区进才实验中学初一月考）（1）已知：则的值是_____（2）如果记那么_____（3）若则x=_____（4）若则_____9．（2021·太原市·山西实验中学八年级开学考试）先化简，再求值：，其中．题型2平方差与完全平方公式的基本运用解题技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。完全平方公式：用平方差公式为：，常见变化如下：位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（）系数变化：（3a+2b）（3a－2b）=指数变化：项数变化：（a+b－c）（a－b+c）=连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=1．（2020·山东初二期中）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．2．（2020·长春市第四十七中学月考）下列多项式相乘时，可用平方差公式的是（）A．B．C．D．3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A． B． C． D．4．（2020·长春市第四十七中学月考）（）=4a4-9b4，括号内应填（）A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b25．（2020·全国初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；256．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）设，则（）A． B． C． D．7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________[（_____）+3b2]．8．（2020·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．题型3构造平方差公式及公式逆用1．（2020·湖南茶陵·初一期末）已知实数，满足，则代数式的值为_____.2．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____3．（2020·全国初一课时练习）计算：____________.4．（2020·揭西县第三华侨中学初一月考）计算：_______________.5．（2020·福建省惠安科山中学月考）若，则数的末位数字是_______．6．（2020·四川省营山中学校初一期中）的计算结果的个位数字是（）A．8 B．6 C．2 D．07．（2020·全国初一课时练习）若……，则A的值是A．0 B．1 C． D．8．（2020·石家庄外国语教育集团初一期中）（探究）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①图②；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：(用字母a、b表示)；（应用）请应用这个公式完成下列各题：①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为；②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．（拓展）计算的结果为．题型4完全平方式的应用（含参问题）解题技巧：完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式a22ab+b2=(ab)2。注意:(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.1．（2021·嵊州市初级中学七年级期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（）．A． B．15 C． D．32．（2021·重庆一中八年级开学考试）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k＝___．3．（2021·四川省成都市七中育才学校）若x2+8x+m是完全平方式则m的值为_____．4．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（）A． B． C． D．5．（2020·山东威海初二期中）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是()A． B．±4x C． D．6．（2020·浙江桐乡初二月考）若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（）A．－16B．16C．8D．±167．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（）A． B． C．或 D．或题型5完全平方式的应用（知二求二）解题技巧：用可推导除一些变式=1\*GB3①=2\*GB3②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。1．（2020·全国初二课时练习）若，，则的值是（）A． B． C． D．2．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．3．（2020·山东历下·初一期中）已知，则_____________.4．（2020·湖北宜城.初二期末）若，，则______．5．（2020·湖南邵阳·期末）已知，，则的值为______．6．（2020·江苏省邗江实验学校期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．7．（2020·隆昌市知行中学月考）求值．若，，求①，②的值．8．（2020·射阳县第二初级中学初一期中）若则________________．题型6完全平方公式应用（）1．（2020·全国初二课时练习）若x﹣=3，则=（）A．11 B．7 C． D．2．（2020·四川锦江·初二学业考试）已知，则____________．3．（2020·长春市第四十七中学月考）回答下列问题：（1）填空：（2）若，求的值．4．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则________________.5．（2020·四川南充·一模）若，则的值为（）A． B． C． D．6．（2020·上海市久隆模范中学初一期中）已知求_________________。7．（2020·四川省金堂县隆盛镇初级中学初一月考）已知，那么+的值是______________.8．（2020·四川雁江·初二期末）已知，求，的值．9．（2020·重庆北碚·初三其他）已知，则等于（）A．3 B．2 C．1 D．0题型7配方法的应用解题技巧：运用一个式子求解多个未知数，考虑平方的非负性，初中阶段目前所学具有非负性的有（n为正整数).1．（2020·广西兴业·月考）代数式的最小值为（）．A． B． C． D．2．（2020·江苏宝应.初一期中）已知，，，则代数式的值为______．3．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．4．（2020·吉林长春.初二期中）阅读下列解题过程，再解答后面的题目.例题：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.题目：已知，求的值.5．（2020·福建同安?初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．6．（2020·福建宁化?初一期中）“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决.（1）根据平方数是非负数这一性质，我们知道，可以得到.如果，求、的值.（2）已知，试问：多项式的值是否与变量的取值有关?若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.7．（2020·福建泉州初三一模）已知：，且则．8．（2020·湖南江永初一期中）已知a—4a+9b+6b+5=0,则a+b=_________。9．（2020·深圳市高级中学初二期中）若，则ab的值是（）A．8 B． C．9 D．题型8乘法公式的几何背景解题技巧：两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。1．（2020·长春市第四十七中学月考）从下图的变形中验证了我们学习的公式（）A．B．C．D．2．（2020·广东揭阳·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C、a2+ab=a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．3．（2020·四川射洪中学月考）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．2a（a+b）＝2a2+2abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b24．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学月考）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，对几何图形做出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图①或图②等图形的面积表示．(1)填一填：请写出图③所表示的代数恒等式：______________________________；(2)画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.5．（2020·四川成都实外）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：（1）图2所表示的数学等式为_____________________；（2）利用（1）得到的结论，解决问题:若，求的值；（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接,若两正方形的边长满足求阴影部分面积．6．（2020·北京市顺义区第三中学初一期中）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是；（2）计算：（x+a）（x+b）=；请画图说明这个等式．7．（2020·国开教育集团初一期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．8．（2020·甘肃·初一期末）（阅读理解）“若满足，求的值”．解：设，，则，，．（解决问题）（1）若满足，则的值为________；（2）若满足，则的值为___________；（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．题型9整式乘法的归纳猜想问题1．（2021·福建三明市·三明一中八年级开学考试）观察：已知．…（1）猜想：；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①；②；（3）拓广：①；②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．2．（2021·湖南长沙市·雨花外国语学校八年级开学考试）观察下列运算（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（）A．32022﹣1 B． C． D．3．（2020·青神县实验初级中学校初一期中）阅读下文，回答问题：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=

；（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.4．（2020·湖北阳新初二期末）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(

x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：

x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．(2)(

x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．5．（2021·安徽埇桥初二期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是_____．6．（2020·石家庄市第二十八中学初一期中）（1），________；________．（2）猜想：________（其中为正整数，且）．（3）利用（2）猜想的结论计：________．7．（2020·北京平谷.初一期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．8．（2020·四川成都.初一期末）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；9．（2020·山东滨州初二期末）观察下列各式：