河北省邯郸市部分学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市部分学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册4.1，4.2．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的斜率为（）A.不存在 B.0 C. D.【答案】A【解析】，即，则其斜率不存在，故选：A．2.在空间四边形PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故选：A.3.已知数列，则是这个数列的（）A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项【答案】B【解析】数列，即数列，由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式，令，解得.故选：B.4.两平行直线之间的距离为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】由题意即为直线，所以两平行直线之间的距离为．故选：C5.已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上一点，若，则（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】由抛物线定义可得，即，所以．故选：B.6.如图，长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为（）A.点M的轨迹是圆 B.点M的轨迹是椭圆且离心率为C.点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关 D.点M的轨迹不能确定【答案】B【解析】设Mx,y，由于点M是线段AB上靠近A设，，则，即，故，由，故，即，整理得到，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆，故离心率为.故选：B7.如图，的半径等于2，弦平行于x轴，将劣弧沿弦对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，所以，，如图所示，当直线过时，将代入中，故，解得，由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为，则，即，解得，且劣弧对应的圆的半径为2，故劣弧对应的圆方程为，当直线与劣弧相切时，由，解得舍），结合图形可知，当时，直线与两段弧有4个交点，可排除B、D，由，可排除A，由，故的取值可能是．故选：C．8.在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为BD中点，则点到直线的距离（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题意可得，则，所以点到直线的距离为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设等差数列的前项和为．若，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，．故选：BD.10.如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（）A. B.C.点P坐标为 D.点P的坐标为【答案】BD【解析】由题意可得：抛物线C的焦点为，准线为，设抛物线C的准线与x轴的交点为Q，在中，则，，可得，解得，故A错误，B正确；∵，则点P横坐标为，且点P在第一象限，故点P的坐标为，故C错误，D正确．故选：BD.11.已知双曲线C：，则（）A.双曲线C也叫等轴双曲线B.双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为C.若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为D.直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点【答案】ACD【解析】对于A，由双曲线C：，可得，则，可知A正确；对于B，由双曲线C的渐近线方程为，右焦点的坐标为，可求得焦点F到直线的距离为，故B错误；对于C，由双曲线C的渐近线方程为，若直线l与双曲线相交，只需要直线l的斜率，则，可求得直线l的倾斜角的取值范围为，故C正确；对于D，如下图，由双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线平行，设，可知△OBF为等腰直角三角形，，可知点B的横坐标为，联立方程，解得，点A的横坐标为，由中点坐标公式，，可知点A为线段BF的中点，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.故答案为：13.设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．【答案】【解析】由题意可得．故答案为：14.已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是________．【答案】【解析】如图，连结，设，则，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，在中，由余弦定理，得，即，整理得：，因此，而，则，即，所以C的离心率．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知数列是等差数列，且．（1）求通项公式；（2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．解：（1）设的公差为，则解得所以；（2），所以当或时，取得最小值，最小值为．16.已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切的直线方程．解：（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，又圆的半径为2，点在圆上，有，解得（舍去）或，故圆的标准方程为；（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，由题知，解得，可得切线方程为，整理为，由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.17.已知抛物线C：y2=2pxp>0（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．解：（1）∵y2=2pxp>0∴，解得，∴抛物线C：，准线方程为；（2）由（1）知，抛物线焦点为1,0，设直线AB：，，，由，得：，则，则．18.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.（1）证明:平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解：（1）连接，，则，在中，因为，则，因为，，所以，，所以，则，又，、平面，所以平面（2）因为，为的中点，则，又平面，以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则O0,0,0、、、、P0,0,1，所以，，，，，，，，设平面法向量为m=x1,令，即，设平面法向量为n=x2,y2,z设平面与平面所成锐二面角的平面角为，所以．19.已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.解：（1）由是面积为的等边三角形，得，所以，，从而，所以椭圆的