北京市延庆区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市延庆区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意.故选：C．2.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，函数为指数函数，为对数函数，故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数.故选：B.3.下列函数中是奇函数且在上单调递增是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确；B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，又，故在0,+∞单调递增，B正确；C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；D选项，，故当时，单调递减，D错误.故选：AB.4.向量，，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于向量，且，则，解得故选：D.5.的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，，所以.故选：D.6.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为，故.故选：C.7.甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）A.在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差B.在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同C.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【答案】C【解析】甲在5天中每天加工零件的个数为：，乙在5天中每天加工零件的个数为：，对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A错误；对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误；对于C，甲加工零件数的平均数为，乙加工零件数的平均数为，故C正确；对于D，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方差为，故D错误.故选：C.8.一个袋子中有大小和质地相同的4个球其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"，"第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（）A. B.R与G互斥但不对立C. D.S与T相互独立【答案】D【解析】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件，所以，故A正确；对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，所以R与G互斥但不对立，故B正确；对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，所以，故C正确；对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有：，共12种结果，事件S包含这6种结果，，事件T包含这6种结果，，事件ST包含这2种结果，，，所以S与T不是相互独立事件，故D错误.故选：D.9.已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，，设，又，则，，，，所以时，取得最小值12，时，取得最大值28，所以的取值范围是.故选：B．10.假设有机体生存时碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（）A.10550年B.7550年C.8550年D.9550年【答案】D【解析】由已知，解得，即，推测此古生物的死亡时间为年，则，，所以，．故选：D．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_________.【答案】【解析】函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.12._______.【答案】15【解析】.13.已知，则=________.【答案】10【解析】由题意，所以.14.甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为________；该同学至少两次投中的概率为_________.【答案】【解析】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为，至少两次投中的概率为.15.设，函数给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当存在最大值时，；③存在，，使得；④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，则，①错误；在时，没有最大值，在时，有最大值，因此有最大值，则，，②正确；由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，则，③错；若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，因此，解得，④正确．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.（1）用向量与表示和；（2）用向量与表示（3）求出的值.解：（1）是中点，，.（2），则，.（3）设，则，，又向量共线，而不共线，所以，解得．17.为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.（1）从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；（2）从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为，中的学生为，中的学生为，求这2人来自同一组的概率；（3）从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：A组：；B组：.写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.解：（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.（2）样本中，组中有人，组中有人，从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：共包含15个样本点，记事件A：两人来自同一组，则，共包含7个样本点，所以这2人来自同一组的概率.（3）这两组学生的得分记录：A组：；B组：.方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，对比两组数据，可知：或.18.已知函数①；②.从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.（1）求的解：（2）在x轴上取两点和，设线段AB的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数fx的图象交于，线段中点为M.（i）求（ii）判断与的大小.并说明理由.解：（1）选择①，.选择②，.（2）选择①，线段的中点为C为，分别为，，，线段中点M为，；所以，所以，即.选择②，线段中点为C为，分别为，，，线段中点M为，；，又，所以，即.19.函数的图像如图所示，定义域为，其中，，当时.图像是二次函数的一部分，其中顶点，当时，图像是指数函数的一部分.（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集；（3）若对于，恒有恒成立.求出的取值范围（不要求计算过程）.解：（1）当时，图像是二次函数的一部分，设解析式为，根据题意可知：，解得：，当时，图像是指数函数的一部分，设解析式为，根据题意可知：，所以，所以.（2）由（1）可化为：，解得，或，解得，综上，不等式的解集为.（3）在坐标系中再作出的图象，如图，由图象可知不等式的解集为，所以由题意，，所以，即的范围是．20.已知函数（1）当时，若，求x的值；（2）若是偶函数，求出m的值；（3）时，讨论方程根的个数.并说明理由.解：（1）当时，若.（2）若是偶函数，所以，即，所以.（3）当时，由（2）可知，令，设，则，因为，则，所以，即在0,+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知在0,+∞上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，易知，所以为偶函数，，则，当时，方程没有实数根，当时，方程，有且仅有1个实数根，当时，取，则，所以在上，且在0,+∞上单调递减，由零点存在性定理可知在上，有1个实数根，所以时，方程，有2个实数根.综上所述：当时，方程没有实数根；当时，方程有且仅有1个实数根；当时，方程有2个实数根.21.已知集合A为非空数集.定义：.（1）若集合，直接写出集合S，T；